人教版九年級數(shù)學期末押題卷01（測試范圍：九上＋九下26-27章）（解析版）

人教版九年級數(shù)學期末押題卷01考試時間：120分鐘試卷滿分：120分測試范圍：九上+九下26-27章一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下面四個圖案中，是中心對稱不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A．是中心對稱不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．2．（3分）下列關于x的方程中一定有實數(shù)根的是（）A．x2＝﹣x﹣1 B．2x2﹣6x+9＝0 C．x2+mx+2＝0 D．x2﹣mx﹣2＝0【分析】根據(jù)根的判別式Δ＝b2﹣4ac的值的符號就可以判斷下列方程有無實數(shù)解．【解答】解：A、方程整理得x2+x+1＝0，則Δ＝1﹣4＝﹣2＜0，所以沒有實數(shù)解，故本選項錯誤；B、Δ＝36﹣72＝﹣36＜0，所以沒有實數(shù)解，故本選項錯誤；C、Δ＝m2﹣8，由于m2﹣8不一定大于或等于0，原方程，不一定有實數(shù)解；故本選項錯誤；D、Δ＝m2+8＞0，原方程有實數(shù)解，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程沒有實數(shù)根；也考查了一元二次方程的定義．3．（3分）已知AB＝10cm，以AB為直徑作圓，那么在此圓上到AB的距離等于5cm的點共有（）A．無數(shù)個 B．1個 C．2個 D．4個【分析】找到與AB平行且距離為5的兩條直線即可．【解答】解：以AB為直徑作圓，那么到AB的距離等于5cm的點在兩條與AB平行到AB的距離為5的直線上，而這兩條直線與圓的交點只有兩個．故選：C．【點評】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．設點到圓心的距離為d，則當d＝R時，點在圓上；當d＞R時，點在圓外；當d＜R時，點在圓內．4．（3分）將拋物線y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣5 C．y＝2（x﹣4）2﹣1 D．y＝2（x﹣4）2﹣5【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【解答】解：將拋物線y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為：y＝2（x﹣1+3）2﹣3+2，即y＝2（x+2）2﹣1；故選：A．【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關鍵．5．（3分）用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0，正確的變形是（）A．（x﹣5）2＝1 B．（x+5）2＝26 C．（x﹣5）2＝26 D．（x﹣5）2＝24【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【解答】解：x2﹣10x﹣1＝0，移項，得x2﹣10x＝1，方程兩邊同時加上25，得x2﹣10x+25＝26，∴（x﹣5）2＝26．故選：C．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．6．（3分）已知反比例函數(shù)y＝﹣，則下列結論正確的是（）A．點（1，2）在它的圖象上 B．其圖象分別位于第一、三象限 C．y隨x的增大而減小 D．如果點P（m，n）在它的圖象上，則點Q（n，m）也在它的圖象上【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的性質解答．【解答】解：A、將x＝1代入y＝﹣，得到y(tǒng)＝﹣2≠2，∴點（1，2）不在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，故本選項錯誤，不符合題意；B、因為比例系數(shù)為﹣2，則函數(shù)圖象過二、四象限，故本選項錯誤，不符合題意；C、由于函數(shù)圖象在二、四象限，在每個象限，y隨x的增大而增大，故本選項錯誤，不符合題意．D、如果點P（m，n）在它的圖象上，則點Q（n，m）也在它的圖象上，故本選項正確，符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查對反比例函數(shù)的性質的理解和掌握，能熟練地根據(jù)反比例函數(shù)的性質進行判斷是解此題的關鍵．7．（3分）y＝m（x﹣x1）（x﹣x2）+n（m＞0），點（x0，y0）是函數(shù)圖象上任意一點，（）A．若n＜0，則y0＜﹣（x1﹣x2）2 B．若n≥0，則y0＞﹣（x1﹣x2）2 C．若n＜0，則y0≤﹣（x1﹣x2）2 D．若n≥0，則y0≥﹣（x1﹣x2）2【分析】利用二次函數(shù)的性質，m大于0，拋物線有最低點，構建不等式，可得結論．【解答】解：對稱軸公式為x＝，將其代入y＝m（x﹣x1）（x﹣x2）+n（m＞0），∴y的最小值為m（﹣x1）（﹣x2）+n＝﹣（x1﹣x2）2+n，∵m＞0，∴頂點處為最小值，∵點（x0，y0）是函數(shù)圖象上任意一點．∴y0≥﹣（x1﹣x2）2+n，∴n≥0時，y0≥﹣（x1﹣x2）2，故選：D．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．8．（3分）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的內切圓，半徑為r，EF是⊙O的切線，△AEF的內切圓⊙P切EF于點N，半徑為，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用切線長的關系求出EF，構造矩形OMNH，則MN＝OH，把OH放在Rt△POH中求，再求比值．【解答】解：設AB與⊙O、⊙P的切點分別是Q、G，AC與⊙O、⊙P的切點分別是T、S，連接OQ、PG、OM、OA、PS、OT，過O作OH垂直于PN，垂足為H，則AG＝AS，EG＝EN，F(xiàn)S＝FN，EQ＝EM，F(xiàn)M＝FT，F(xiàn)M＝FT，AQ＝AT，∵OQ＝OT，OQ⊥AB，OT⊥AC，∴AO是∠BAC的角平分線，∵PG＝PS，PG⊥AB，PS⊥AC，∴P在OA上，Rt△APG中，AG＝＝＝，∴AE+AF﹣EF＝AG+EG+AS+FS﹣EN﹣FN＝AG+AS＝2AG＝①，Rt△AOQ中，AQ＝＝＝r，∴AE+AF+EF＝AE+AF+EM+FM＝AE+AF+EQ+FT＝AQ+AT＝2AQ＝2r②，②﹣①得2EF＝，∴EF＝，∵∠OMN＝∠MNH＝∠NHO＝90°，∴四邊形OMNH是矩形，∴MN＝OH，NH＝MO，Rt△POH中，OP＝AO﹣AP＝2OQ﹣2PG＝2r﹣2×＝，PH＝PN+NH＝PN+MO＝+r＝，∴OH＝＝＝，∴MN＝，∴＝＝，故選：D．【點評】本題考查了切線長定理，構造矩形OMNH，把MN轉移到OH是關鍵．9．（3分）如圖，E是?ABCD的邊AD上的一點，連接并延長，交CD的延長線于點F，若AE：BC＝3：5，則FD：DC的值為（）A．2：3 B．2：5 C．3：4 D．3：5【分析】由平行四邊形的性質得到AD∥BC，AB∥DC，由平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定得到＝，△FED∽△BEA，由相似三角形的性質得到＝，根據(jù)這些比例線段及已知即可得到結果．【解答】解：∵?ABCD，∴AD∥BC，AB∥DC，∴＝，△FED∽△BEA，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故選：A．【點評】此題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質和相似三角形的判定和性質．10．（3分）如圖，拋物線y＝x2﹣2x+t交x軸于點A（a，0），B（b，0），交y軸于點C，拋物線頂點為D，下列四個結論：①無論t取何值，CD＝恒成立；②當t＝0時，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，則b＝4；④拋物線上有兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＜y2．其中正確的結論是（）A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③【分析】①先求出C、D的坐標，再根據(jù)兩點距離公式求得CD，便可判斷；②當m＝0時，可得拋物線與x軸的兩個交點坐標和頂點坐標即可判斷；③根據(jù)拋物線與x軸的一個交點坐標和對稱軸即可得另一個交點坐標即可判斷；④根據(jù)二次函數(shù)圖象當x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根據(jù)離對稱越遠的點的縱坐標就越大得出結論．【解答】解：①∵y＝x2﹣2x+t＝（x﹣1）2+t﹣1，∴C（0，t），D（1，t﹣1），∴CD＝，故①正確；②當t＝0時，拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為A（0，0）、B（2，0），頂點D（1，﹣1），∴AD＝BD＝，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正確；③當a＝﹣1時，拋物線與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），∵對稱軸x＝1，∴另一個交點坐標為（3，0），∴b＝3，故③錯誤；④觀察二次函數(shù)圖象可知：當x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則1﹣x1＜x2﹣1∴y1＜y2．故④正確．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點、等腰直角三角形，解決本題的關鍵是綜合利用以上知識．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（0，3），點C是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點，∠ABC＝135°，AC交y軸于點D，＝，則k的值為8．【分析】過A作AH⊥BC于H，得到AH＝BH＝，根據(jù)已知條件得到B，H，A，O四點共圓，連接OH，推出H在第二象限角平分線上，作HM⊥x軸于M，HN⊥y軸于N，根據(jù)全等三角形的性質得到AM＝BN＝1，求得直線HB的解析式，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得OI，于是得到C的坐標，代入y＝（x＞0）即可求得k的值．【解答】解：∵點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝＝，過A作AH⊥BC于H，∵∠ABC＝135°，∴∠HBA＝∠HAB＝45°，∴AH＝BH＝×＝，∵BH⊥AH，BO⊥AO，∴B，H，A，O四點共圓，連接OH，∴∠BOH＝∠BAH＝45°，∴H在第二象限角平分線上，作HM⊥x軸于M，HN⊥y軸于N，則四邊形HMON是正方形，∴HM＝HN，在Rt△AHM與Rt△BHN中，，∴Rt△HAM≌Rt△HBN（HL），∴AM＝BN，∵OM＝ON，∴AM＝BN＝1，∴H（﹣2，2），∴直線BH的解析式為y＝x+3，過C作CI⊥x軸于I，∴OD∥CI，∴＝＝，∴OI＝2AO＝2，把x＝2代入y＝x+3得y＝4，∴C點坐標為（2，4），∵點C是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點，∴k＝2×4＝8，故答案為：8．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解直角三角形，正方形的判定和性質，求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判斷和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．12．（3分）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，7）關于原點對稱的點的坐標是（3，﹣7）．【分析】根據(jù)平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即關于原點的對稱點，橫、縱坐標都變成相反數(shù)．【解答】解：∵點P（﹣3，7），∴關于原點對稱的點是（3，﹣7）．故答案為：（3，﹣7）．【點評】本題考查點的對稱，解決的關鍵是對知識點的正確記憶，同時能夠根據(jù)點的坐標符號確定點所在的象限．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2．將△ABC繞點A按順時針方向旋轉至△AB1C1的位置，點B1恰好落在邊BC的中點處，則CC1的長為2．【分析】由旋轉的性質得出△ABB1是等邊三角形，求出CA的長，則可得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將該三角形繞點A按順時針方向旋轉到△AB1C1的位置，點B1恰好落在邊BC的中點處，∴AB1＝BC，BB1＝B1C，AB＝AB1，∴BB1＝AB＝AB1，∴△ABB1是等邊三角形，∴∠BAB1＝∠B＝60°，∴∠CAC1＝60°，∵將△ABC繞點A按順時針方向旋轉至△AB1C1的位置，∴CA＝C1A，∴△AC1C是等邊三角形，∴CC1＝CA，∵AB＝2，∴CA＝2，∴CC1＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質等知識，得出△ABB1是等邊三角形是解題關鍵．14．（3分）已知圓錐的高為7.6米，底面積半徑為2.7米，則圓錐的體積為57.99立方米（π取3.14，結果精確到0.01，圓錐的體積＝×底面積×高）．【分析】把圓錐的高為7.6米，底面積半徑為2.7米，代入所給公式求值即可．【解答】解：圓錐的體積＝×底面積×高＝×π×2.72×7.6≈57.99立方米．【點評】本題考查圓錐的體積的求法，把相應的值代入求值即可．15．（3分）用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．科學原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為20cm，如果在離水面豎直距離為h（單位：cm）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出來的射程s（單位：cm）與h的關系式為s2＝4h（20﹣h），則射程s最大值是20cm．（射程是指水流落地點離小孔的水平距離）【分析】將s2＝4h（20﹣h）寫成頂點式，按照二次函數(shù)的性質得出s2的最大值，再求s2的算術平方根即可．【解答】解：∵s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，∴當h＝10cm時，s有最大值20cm．∴當h為10cm時，射程s有最大值，最大射程是20cm；故答案為：20．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，理清題中的數(shù)量關系并明確二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP，CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結論：①△EPD∽△HPB；②PD＝HD；③；④．其中正確的是②④（寫出所有正確結論的序號）．【分析】證出∠FDP＝∠PBD，∠EPD≠∠BDP，由相似三角形的判定可得出結論；由等邊三角形的性質證出∠PDH＝∠CPD，由等腰三角形的性質可得出結論；證明△FPE∽△CPB，由相似三角形的性質得出＝，設PF＝x，PC＝y(tǒng)，則DC＝y(tǒng)，求出x與y的關系式可得出結論；證明△DFP∽△BPH，由相似三角形的性質得出．【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠FEP＝∠EPD+∠EDP＝60°，∴∠EPD＝45°，∴∠EPD≠∠HPB，∴△EPD∽△HPB不成立，故①錯誤；∵CD＝PC，∠DCP＝90°﹣60°＝30°，∴∠CPD＝75°，∵∠DHP＝∠PCD+∠BDC＝75°，∴∠DHP＝∠CPD，∴DP＝DH，故②正確；∵∠FPE＝∠PFE＝60°，∴△FEP是等邊三角形，∴△FPE∽△CPB，∴＝，設PF＝x，PC＝y(tǒng)，則DC＝y(tǒng)，∵∠FCD＝30°，∴y＝（x+y），整理得：（1﹣）y＝x，解得：，則，故③錯誤；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，∴，故④正確；故答案為：②④．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，等邊三角形的性質，解答此題的關鍵是熟練掌握正方形的性質及相似三角形的判定與性質．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解一元二次方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．【分析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：3x（x﹣1）＝2x﹣2，3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，解得：．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．18．（4分）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標A（﹣2，0），B（﹣5，﹣3），C（0，﹣5）都在格點上．（1）將△ABC先向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）將△A1B1C1繞原點逆時針旋轉90°得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2，并直接寫出點C2的坐標；（3）在（2）的條件下，求△A1B1C1在旋轉過程中B1C1掃過的面積．【分析】（1）分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1，再依次連接即可；（2）分別作出A1，B1，C1的對應點A2，B2，C2，再依次連接，再寫出點C2的坐標即可；（3）利用扇形面積公式求解即可．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，點C2（1，6）；（3）＝＝．【點評】本題考查平移作圖與旋轉作圖，扇形的面積，熟練掌握利用平移的性質和旋轉的性質作圖，扇形面積公式是解題的關鍵．19．（6分）已知點M為二次函數(shù)y＝﹣（x﹣b）2+4b+1圖象的頂點，直線y＝mx+5與x軸、y軸交于A，B兩點．（1）如圖1，若二次函數(shù)的圖象也過點A，B，①求拋物線的解析式；②若mx+5＜﹣（x﹣b）2+4b+1，根據(jù)圖象直接寫出x的范圍；（2）判斷頂點M是否在直線y＝4x+1上，并說明理由；（3）如圖2，點A的坐標為（5，0），點M在△AOB內，若點C（，y1），D（，y2）都在二次函數(shù)圖象上，試比較y1與y2的大小．【分析】（1）①求出點B的坐標，代入二次函數(shù)解析式求出b的值即可；②根據(jù)①的解析式求出A點坐標，再根據(jù)圖象decubitus結論；（2）由拋物線解析式求出頂點坐標，將頂點坐標代入直線解析式求解；（3）根據(jù)拋物線的頂點在△AOB的內部，確定b的取值范圍，由于拋物線的對稱軸為x＝b，再根據(jù)點點C（，y1），D（，y2）的橫坐標與對稱軸的距離和拋物線的增減性進行判斷．【解答】解：（1）①直線y＝mx+5分別交y軸于點B，當x＝0時，y＝5，因此B（0，5）把點B（0，5）代入二次函數(shù)關系式得：5＝﹣b2+4b+1，解得：b＝2，∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+9；②由①知，二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+9，當y＝0時，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0），由圖象，得當mx+5＜﹣（x﹣b）2+4b+1時，x的取值范圍是0＜x＜5；（2）點M在直線y＝4x+1上，理由：∵點M為二次函數(shù)y＝﹣（x﹣b）2+4b+1圖象的頂點，∴M的坐標是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4b+1，得y＝4x+1，∴點M在直線y＝4x+1上；（3）A（5，0），B（0，5），二次函數(shù)y＝﹣（x﹣b）2+4b+1圖象的頂點M（b，4b+1）在△AOB內部，，解得：0＜b＜，由拋物線的對稱軸為x＝b，①當0＜b＜時，點C（，y1），D（，y2）根據(jù)拋物線的對稱性和增減性可得：y1＞y2，②當b＝時，點C（，y1），D（，y2）根據(jù)拋物線的對稱性和增減性可得：y1＝y(tǒng)2，③當＜b＜時，點C（，y1），D（，y2）根據(jù)拋物線的對稱性和增減性可得：y1＜y2，答：當0＜b＜時，y1＞y2；當b＝時，y1＝y(tǒng)2；當＜b＜時，y1＜y2．【點評】本題考查二次函數(shù)與不等式（組）之間的關系、二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．20．（6分）某班利用課余時間舉辦了一次“數(shù)學知識快問快答”有獎競答活動，最終甲、乙兩位同學均獲得一次抽獎機會，抽獎規(guī)則：將準備好的正面分別標有數(shù)字1，2，3，4的四張翻獎牌（除正面數(shù)字外，所有翻獎牌完全相同）背面朝上，并洗勻，兩名抽獎者從中任意翻取一張翻獎牌，即可獲得該翻獎牌正面數(shù)字所對應的獎品，已知數(shù)字1～4分別對應獎品：文具盒、筆記本、文具盒、水杯，且被翻取后的翻獎牌失效，不參與下一次抽獎（即下一位抽獎者不能翻取同一張翻獎牌）．（1）求第一位同學抽中文具盒的概率；（2）若甲、乙兩位同學都想抽中水杯．甲：先抽的中獎率高，我先抽，抽中了你就沒機會了；乙：先抽的中獎率低，你很可能抽不中，那我中獎的幾率就更大了．你認為兩人中誰的說法正確？請用列表或畫樹狀圖的方法說明．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，先抽的抽中水杯的結果有3種，后抽的抽中水杯的結果有3種，再由概率公式求出各自的概率，即可解決問題．【解答】解：（1）第一位同學抽中文具盒的概率為＝；（2）兩人的說法不正確，理由如下：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有12種等可能的結果，先抽的抽中水杯的結果有3種，后抽的抽中水杯的結果有3種，∴先抽的抽中水杯的概率＝后抽的抽中水杯概率＝＝，∴甲、乙兩位同學抽中水杯的機會是相等的，∴兩人的說法不正確．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（8分）已知關于x的方程3x2+2x﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍．（2）若方程的一個根為x1＝﹣1，設另一根為x2，求x12+x22的值．【分析】（1）利用判別式的意義得到△＝22﹣4×3×（﹣m）＞0，然后解不等式即可；（2）利用根與系數(shù)的關系得到﹣1+x2＝﹣，則可求出x2＝，然后x12+x22的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得△＝22﹣4×3×（﹣m）＞0，解得m＞﹣；（2）根據(jù)題意得﹣1+x2＝﹣，∴x2＝，所以x12+x22＝（﹣1）2+（）2＝．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．22．（10分）資料：公司營銷區(qū)域面積是指公司營銷活動范圍內的地方面積，公共營銷區(qū)域面積是指兩家及以上公司營銷活動重疊范圍內的地方面積．材料：某地有A，B兩家商貿公司（以下簡稱A，B公司）．去年下半年A，B公司營銷區(qū)域面積分別為m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共營銷區(qū)域面積與A公司營銷區(qū)域面積的比為；今年上半年，受政策鼓勵，各公司決策調整，A公司營銷區(qū)域面積比去年下半年增長了x%，B公司營銷區(qū)域面積比去年下半年增長的百分數(shù)是A公司的4倍，公共營銷區(qū)域面積與A公司營銷區(qū)域面積的比為，同時公共營銷區(qū)域面積與A，B兩公司總營銷區(qū)域面積的比比去年下半年增加了x個百分點．問題：（1）根據(jù)上述材料，針對去年下半年，提出一個你喜歡的數(shù)學問題（如求去年下半年公共營銷區(qū)域面積與B公司營銷區(qū)域面積的比），并解答；（2）若同一個公司去年下半年和今年上半年每平方千米產生的經(jīng)濟收益持平，且A公司每半年每平方千米產生的經(jīng)濟收益均為B公司的1.5倍，求去年下半年與今年上半年兩公司總經(jīng)濟收益之比．【分析】（1）問題：求去年下半年公共營銷區(qū)域面積與B公司營銷區(qū)域面積的比？根據(jù)比的定義即可求解；（2）根據(jù)同一個公司去年下半年和今年上半年每平方千米產生的經(jīng)濟收益持平，列出方程求出x，再求出去年下半年與今年上半年兩公司總經(jīng)濟收益之比．【解答】解：（1）問題：求去年下半年公共營銷區(qū)域面積與B公司營銷區(qū)域面積的比？3n×＝n，n：n＝；（2）依題意有×3n（1+x%）＝[3n（1+x%）+n（1+4x%）﹣×3n（1+x%）][3n×÷（3n+n﹣n）+x%]，100（x%）2+45x%﹣13＝0，解得x%＝20%，x%＝﹣65%（舍去），設B公司每半年每平方千米產生的經(jīng)濟收益為a，則A公司每半年每平方千米產生的經(jīng)濟收益為1.5a，今年上半年兩公司總經(jīng)濟收益為1.5a×3n×（1+20%）+an×（1+4×20%）＝7.2na，去年下半年兩公司總經(jīng)濟收益為1.5a×3n+an＝5.5na，故去年下半年與今年上半年兩公司總經(jīng)濟收益之比為（5.5na）：（7.2na）＝55：72．故去年下半年與今年上半年兩公司總經(jīng)濟收益之比為55：72．【點評】考查了一元二次方程的應用，列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．本題難度較大．23．（10分）已知，在⊙O中，弦AB、CD相交于E，點C是的中點．（1）如圖1，當AB是⊙O直徑時，求證：∠ABD＝2∠BDC；（2）如圖2，當AB⊥CD時，求證：AE＝EB+BD；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC，作直徑CF，連接AF并延長交CD的延長線于G，DG＝2，AG＝6，求⊙O的半徑長．【分析】（1）連接AC、OC，OD，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，圓心角是圓周角的2倍，推導出∠COA＝2∠CAO，∠AOD＝4∠OAC，∠AOD＝2∠ACD，∠COB＝∠OBD，得到∠COB＝2∠CDB，即可證明∠ABD＝2∠CDB；（2）連接AC，在AE上截取ME＝BE，延長CM交圓于點N，連接AD，可得△BDM是等腰三角形，再由弧的關系得到＝，則∠BAD＝∠ADN，得到AM＝D，即可證明AE＝AM+ME＝BD+BE；（3）連接DF，作∠DFG的平分線FK交DG于點K，過K點作KL⊥FG交于點L，根據(jù)弧的關系得到AF＝FD，設AF＝a，則FD＝a，在Rt△FDG中，（6﹣a）2＝a+4，解得a＝，分別可求FG＝，F(xiàn)D＝FL＝，LG＝，在Rt△KGL中，（2﹣KL）2＝KL2+，解得LK＝，F(xiàn)K＝，求出sin∠DFK＝，再由A、F、D、C四點共圓，推導出∠DFK＝∠ACF，得到＝，求出OC＝，即可得圓O的半徑為．【解答】（1）證明：連接AC、OC，OD，∵＝，∴∠CAB＝∠CDB，∵OC＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠COB＝2∠CAO，∵C是的中點，∴∠AOC＝∠COD，∴∠BOD＝180°﹣4∠OAC，∴∠AOD＝4∠OAC，∵＝，∴∠AOD＝2∠ACD，∴∠OCD＝∠ACO，∵∠DEB＝∠CEO，∴∠COB＝∠OBD，∵＝，∴∠COB＝2∠CDB，∴∠ABD＝2∠CDB；（2）證明：連接AC，在AE上截取ME＝BE，延長CM交圓于點N，連接AD，∵AB⊥CD，ME＝EB，∴△BDM是等腰三角形，∴∠MDE＝∠CDB，∴＝，∵＝，∴＝，∴∠BAD＝∠ADN，∴AM＝DM，∵BD＝DM，∴AE＝AM+ME＝BD+BE；（3）解：連接DF，作∠DFG的平分線FK交DG于點K，過K點作KL⊥FG交于點L，∵AF是圓的直徑，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∵＝，＝，∴＝，∴∠ACF＝∠FCD，∴AF＝FD，設AF＝a，則FD＝a，∵AG＝6，∴FG＝6﹣a，∵∠FDG＝90°，在Rt△FDG中，（6﹣a）2＝a+4，解得a＝，∴FG＝，∵∠DFK＝∠KFG，DK⊥FD，KL⊥FG，∴FD＝FL＝，∴LG＝，在Rt△KGL中，（2﹣KL）2＝KL2+，解得LK＝，∴FK＝＝，∴sin∠DFK＝，∵A、F、D、C四點共圓，∴∠DFG＝∠ACD，∴∠DFK＝∠ACF，∴＝，∴CF＝，∴OC＝，∴圓O的半徑為．【點評】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握圓周角與圓心角定理，四點共圓的性質，等腰三角形的性質，垂徑定理是解題的關鍵．24．（12分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝5，BC＝10，頂點A在y軸上，邊BC在x軸上，且點B的坐標為（﹣4，0）（1）求點D的坐標；（2）設點P是邊BC上（不與點B、C重合）的一個動點，設點P的坐標為（m，0），△ABP的面積為s，求△ABP的面積s關于m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）直接寫出當△ABP為等腰三角形時點P的坐標．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出OA，根據(jù)平行四邊形的性質求出點D的坐標；（2）根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（3）分AB＝AP、AB＝BP、AP＝BP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質、勾股定理解答．【解答】解：（1）∵點B的坐標為（﹣4，0）∴OB＝4，∴OA＝＝3，∴點D的坐標為（10，3）；（2）s＝×（4+m）×3＝m+6，s關于m的函數(shù)關系式s＝m+6（﹣4＜x＜6）；（3）當AB＝AP時，OP＝OB＝4，則點P的坐標為（4，0），當AB＝BP＝5時，OP＝BP﹣OB＝1，則點P的坐標為（1，0），如圖，當AP＝BP時，BP＝AP＝OB﹣OP＝4﹣OP，由勾股定理得，OP2+OA2＝AP2，即（4﹣OP）2＝32+OP2，解得，OP＝，則點P的坐標為（﹣，0），綜上所述，當△ABP為等腰三角形時點P的坐