江蘇省南京市、鹽城市高三年級第一次模擬考試數(shù)學試卷有答案

南京市、鹽城市2017屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學試卷

一、填空題：本大題共14個小題，每小題5分，共70分.

1.已知集合4=｛一1。/｝,B=(-oo,0),則4門5=.

2.設復數(shù)滿足z(l+i)=2,其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為,

3?已知樣本數(shù)據(jù)R，2，5,5的方差s2=3，則樣本數(shù)據(jù)2X,2x,2x,2%,2'的方差為一

4.如圖是一個算法流程圖，則輸出的x的值是.

第留

5.在數(shù)字1、2、3、4中隨機選兩個數(shù)字，則選中的數(shù)字中至少有一個是偶數(shù)的概率為.

%>0

6.已知實數(shù)羽y滿足x+y47,則上的最小值是.

x+2<2yX

7.設雙曲線竺-產=1(。>0)的一條漸近線的傾斜角為30。，則該雙曲線的離心率為.

。2

8.設1｝是等差數(shù)列，若。+a+a=21,則S=

n4569

JT兀

9.將函數(shù)y=3sin(2x+§)的圖象向右平移中(0<(p<-)個單位后，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則中=.

10.將矩形43。繞邊旋轉一周得到一個圓柱，AB=3,BC=2,圓柱上底面圓心為。，△EPG為

下底面圓的一個內接直角三角形，則三棱錐。-EFG體積的最大值是.

11.在△ABC中，已知=C=g,則OLCB的最大值為.

12.如圖，在平面直角坐標系中，分別在x軸與直線-_f（x+l）上從左向右依次取點'、%,%=1,2,…，

其中A是坐標原點，使AABA都是等邊三角形，則AABA的邊長是

1kkA;+l101011

13.在平面直角坐標系xOy中，已知點P為函數(shù)y=21nx的圖象與圓M：（x-3）2+y2="的公共點，且它

們在點P處有公切線，若二次函數(shù)，=/（無）的圖象經過點尸,M,則y=/Q）的最大值為.

14.在△?13c中，A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若g+枕+2<?2=8,則△A5C面積的最大值為

二、解答題（本大題共6小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題

紙的指定區(qū)域內）

15.（本小題滿分14分）

如圖，在直三棱柱ABC-A8C中，BC1AC,D,E分別是43,AC的中點.

111

（1）求證：BC〃平面AOE；

111

（2）求證：平面平面ACCA.

111

B

第15題圖

16.（本小題滿分14分）

在AA3c中，a,b,。分別為內角A,B,C的對邊，且加in2C=csin3.

（1）求角C；

（2）若sin（3-4=2,求sinA的值.

35

17.（本小題滿分14分）

在平面直角坐標系xOy中，已知圓。：了2+山=上經過橢圓后：*+21=1(0＜》＜2)的焦點.

4&2

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設直線/：＞=丘+機交橢圓E于尸，。兩點，T為弦尸。的中點，M(-l,0),N(l,0),記直線TM,TN的

斜率分別為左1，左2，當2m2_2公1=21時，求6?左的值.

第17題圖

18.(本小題滿分16分)

如圖所示，某街道居委會擬在瓦7地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心，其中AE=30

米.活動中心東西走向，與居民樓平行.從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形A3C。，上部分

是以。C為直徑的半圓.為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在

3

居民樓上的影長GE不超過2.5米，其中該太陽光線與水平線的夾角滿足tan0=：.

(1)若設計AB=18米，4。=6米，問能否保證上述采光要求？

(2)在保證上述采光要求的前提下，如何設計A3與的長度，可使得活動中心的截面面積最大？(注：

計算中兀取3)

19.(本小題滿分16分)

?7—1

設函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=ax+----3(aeR).

(1)當。=2時，解關于的方程g(ex)=0(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))；

(2)求函數(shù)中(尤)=/(%)+g(x)的單調增區(qū)間；

(3)當。=1時，記縱x)=/(x＞g(x),是否存在整數(shù)大，使得關于的不等式”2/z(x)有解？若存在，請求

出九的最小值；若不存在，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：山2々0.6931,ln3?1.0986）.

20.（本小題滿分16分）

,n

a+d,—eNW*T,

若存在常數(shù)上aeN*?22）、q、d,使得無窮數(shù)列M｝滿足a人則稱數(shù)列｛。｝為“段比

nn+l

n_Tn

qa，—EN*,

〃k

差數(shù)列”，其中常數(shù)左、q、d分別叫做段長、段比、段差.設數(shù)列M｝為“段比差數(shù)列”.

n

（1）若布｝的首項、段長、段比、段差分別為1、3、q、3.

n

①當q=0時，求b；

2016

②當4=1時，設/｝的前3〃項和為S,若不等式S4九31對”€]^*恒成立，求實數(shù)九的取值范圍；

n3n3n

（2）設/｝為等比數(shù)列，且首項為，試寫出所有滿足條件的6｝,并說明理由.

nn

附加題

21.A（選修4-1：幾何證明選講）

如圖，48是半圓。的直徑，點P為半圓。外一點，尸A,尸3分別交半圓。于點。,C.若AD=2,PD=4,

PC=3,求的長.

21.B（選修4-2：矩陣與變換）

m2.1,

設矩陣M=。的一個特征值九對應的特征向量為0,求機與九的值.

2-3-Z

21.C（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）

3

x=-t

在平面直角坐標系X0V中，已知直線4。為參數(shù)）.現(xiàn)以坐標原點。為極點，以x軸非負半軸為極

y=-t

5

軸建立極坐標系，設圓C的極坐標方程為P=2cos0,直線與圓C交于A,3兩點，求弦的長.

21.D（選修4-5：不等式選講）

若實數(shù)x,y,z滿足x+2y+z=l,求尤2+>2+z2的最小值.

22.（本小題滿分10分）

某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機選擇1節(jié)作為綜合實踐課（上午不排該課程），張

老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程.

（1）求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率；

（2）設這兩個班”在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數(shù)”為X,求X的概率分布表與數(shù)學期望E（X）.

23.（本小題滿分10分）

設〃eN*,n>3,kwN*.

（1）求值：

①kCk—nCi；

nn-1

②k?Ck-n（n-l）Ck-2-nCk-\（左22）；

nn—2n—l

（2）化簡：12co+22。+32c2+…+Q+1>C&+…+（〃+l>C〃.

南京市、鹽城市2017屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學試卷

答案

15.(1)略

(2)略

714>/3-3

16.(1)C=-(2)

310

1

17.(1)上+J(2)

422

18.(1)能(2)AB=20米且A0=5米

19.(l)x=0或x=—ln2(2)當〃<0時，①⑴的增區(qū)間為(0,")；當時，9(光)的增區(qū)間為(0,+8)；

a

Z7—1

。>1時，叭X)的增區(qū)間為(——,+00).(3)九的最小值為0.

a

20.(1)①6,②九e114,+8)(2)b=6或6=(-1>-'h.

A1

21.A.4石B.m=0,X=-4C.AB=-D.-

56

22.(1)-(2)E(X)=-

33

23.(1)①0,②，0,(2)2“-2。2+5"+4)

南京市、鹽城市2017屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學試卷

解析

1.試題分析：403={-1，°，1}。{-8，°}={一1}

考點：集合運算

【方法點睛】集合的基本運算的關注點

(1)看元素組成.集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提.

(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決.

(3)注意數(shù)形結合思想的應用，常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖.

2.試題分析：z(l+i)=2=z=l-i,所以虛部為-1.

考點：復數(shù)概念

【名師點睛】本題重點考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復數(shù)的四則運算，要切

實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+由)=(ac—bd)+(ad+6c)i,(a,b,c,de&.其次要熟悉復數(shù)相

關基本概念，如復數(shù)。+6(a,beR)的實部為、虛部為、模為丁、對應點為①力)、共軌為a-萬.

3.試題分析：由題意得方差為22s2=4x3=12

考點：方差

4.試題分析：第一次循環(huán)：x=5,y=7,第二次循環(huán)：x=9,y=5

考點：循環(huán)結構流程圖

【名師點睛】算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，

包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)

規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，是求和還是求項.

1115

5.試題分析：對立事件概率為不-=2,因此所求概率為1-二=二?

C：666

考點：古典概型概率

【方法點睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法

(1)列舉法.

(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的

題目，常采用樹狀圖法.

(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.

6.

【解析】

試題分析：可行域為一個三角形ABC及其內部(不含A,B)，其中則'表示可行城

X

_,3

上的點到原點連線的斜率，所以其最大值為魴c二：

4

考點：線性規(guī)劃

【名師點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，

其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離

等等，最后結合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.

7.試題分析：雙曲線漸近線方程為y=±2,所以L=tan3OOna=/nc=2ne=20

aa3

考點：雙曲線漸近線及離心率

【方法點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a,b,c的方程或不等

式，再根據(jù)a,b,c的關系消掉b得到a,c的關系式，建立關于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢

圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.

8.試題分析：由。+a+a=21得a=7,所以S=%+"/=9a=63

4565925

考點：等差數(shù)列性質

【思路點睛】等差、等比數(shù)列的性質是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷

又方便的工具，應有意識地去應用.但在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形.在

解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法.

9.

【解析】

試題分析：由題意得，=3sin(2<x-0)+勺為偶函數(shù)，所以-2印=無好EZ),又所

…5〃

以P=—

12

考點：三角函數(shù)圖像變換

【思路點睛】三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，

所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母X而言.函數(shù)y=Asin(cox+(p),xGR

是奇函數(shù)=k7c(keZ)；函數(shù)y=Asin(<nx+(p),xGR是偶函數(shù)o(p=k?i+(keZ)；函數(shù)y=Acos

(cox+(p),xGR是奇函數(shù)o(p=kn+(keZ)；函數(shù)y=Acos(a)x+(p),xGR是偶函數(shù)=(p=kn(keZ).

10.試題分析：V=ixABxS=S<-x2x4=4

O-EFG3AEFGAEFG2

考點：三棱錐體積

【方法點睛】(1)求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題

求解，注意求體積的一些特殊方法一一分割法、補形法、等體積法.

(2)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截

面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的

幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.

11.

【解析】

試題分析：C4CR=baco$C=gab,由余弦定理得：3=a2+b2-2abcoi^>2ab-ab=ab,所以

近.國人|,當且僅當a=分時取等號

考點：余弦定理

【思路點睛】三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學的兩個重要分支，內容繁雜，且平面向量與三角函數(shù)交匯點

較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進行交匯.不論是哪類向量知識與三角

函數(shù)的交匯試題，都會出現(xiàn)交匯問題中的難點，對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉化

為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，再利用三角函數(shù)的相關知識進行求解.

12.試題分析：設y="（x+l）與軸交點為P,則期位*BAP=44至9=224

,3111222333

依次類推得AABA的邊長為29=512

101011

考點：歸納推理

13.

【解析】

2221

試題分析：設玳如治）「則由y'=一得一?％=-1=>一?/=-1=凡=-5以國-3）,而二次的

xXQ飛飛一32

119

數(shù)y=-彳心一3）正好過O,尸,M三點,所以/G）=--^x-3）<-

考點：導數(shù)幾何意義，二次函數(shù)最值

【思路點睛】（1）求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，

點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.

（2）利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.以平行、

垂直直線斜率間的關系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數(shù)聯(lián)系起

來求解.

14.試題分析:S=la6sinC=[a6j]_cos2cJ（ab）2一回+枕—21='1帥―^23c2）；,

AABC222V42V4

而2ab<a2+Z?z=8-2C2nabW4-2c2,

所以S4U（4—2）2_（8-3c2）2=Jc2（16-5c2）4,5c?+（1"5。2）=2yli,當且僅當.二5了2=§時

AABC2V4442J555

取等號

考點：基本不等式求最值

【易錯點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”

（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件

才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.

15.

【解析】

試題分析：（I）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的

尋找與論證，往往需要結合平幾知識，如三角形中位線性質，及利用柱體性族，如上下底面時應邊相互平

行（H）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明，

往往需要利用線面垂直判定與性質定理進行多次轉化：由直棱柱性質得側棱垂直于底面：cc，底面ABC,

1

再轉化為線線垂直ccJ_DE；又根據(jù)線線平行。E//BC,將線線垂直BC,AC進行轉化。ELAC,再

1

根據(jù)線面垂直判定定理得DE平面ACCA

11

試題解析:證明：(1)因為O,E分別是AB,AC的中點，所以DE//3C,..............................2

分

又因為在三棱柱ABC-A3C中，BC1/BC,所以BC//DE...............................4分

1111111

又3cz平面AOE,￡>Eu平面AOE,所以8C〃平面AOE...............................6分

1111111

(2)在直三棱柱ABC-A8C中，CCJ_底面ABC,

1111

又OEu底面ABC,所以CCLOE...............................8分

1

又5C_LAC,DEIIBC,所以。石_LAC,..............................10分

又CC,ACu平面ACCA,且CCCAC=C,所以平面ACCA...............................12分

1it11111

又OEu平面AOE,所以平面AOEL平面ACCA...............................14分

iiii

（注：第（2）小題也可以用面面垂直的性質定理證明OEL平面ACCA,類似給分）

11

考點：線面平行判定定理，面面垂直判定定理

【思想點睛】垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.

（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.

（2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.

（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.

16.

【解析】

試題分析：（I）由正弦定理將條件轉化為角的關系：2sin上sinCeosC=sii1csiu3,再根據(jù)三角形內角

12冗

范圍化簡得8SC=不，進而可根據(jù)特殊值求角（II）根據(jù)三角形內角關系得?。/=而＜口＞—月3由于已

4J

yj"___'}}7T"7TJ}'If'}i

知角上一§的正弦值，所以再化就/二小說百一茜一^》:而不沿乂刀一百^^^^^的一三〉，再根據(jù)

同角三角函數(shù)關系求得cos（3-$=j-sin"T=；最后代入可得結果

試題解析：解：（1）由加in2C=csin3,根據(jù)正弦定理，^2sinBsinCcosC=sinCsinB,.......2分

因為sinB〉0,sinC＞0,所以cosC=』，...............4分

2

一TC

又?！辏?,兀），所以。=彳................6分

（2）因為所以3￡（0,二-）,所以5￡（一彳,；），

33333

又sin（B—?=（，所以cosGB_g=Jl-sin2（B—..................................8分

又…老,即A=",

4“+3X6

所以sinA=sin(--B)=3(〃+b+b)=3=9俏+3n12分

3253n-l2

/4134石-3

X————X-=...........................14分

252510

考點：正弦定理，給值求值

【方法點睛】三角函數(shù)求值的三種類型

（1）給角求值：關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉化為特殊角的三角函數(shù).

（2）給值求值：關鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.

①一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應用；

②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的.

（3）給值求角：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.

17.試題分析：（I）先確定交點位置：在軸上，再根據(jù)圓與軸交點得等量關系：c=b；又。=2,所以核=2

（II）設T（x,y）,表示左-k=-X-,然后根據(jù)直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，結合韋達定理表示中點T坐

0012X2-1

0

kk1

標，并利用條件2加2-2左2=1化簡：x------,y=m-k'-=--,最后代入并利用條件癡2-2%2=1化

°機um2m

簡得-2=4

試題解析：解：<1）因0<5<2,所以橢HE的焦點在x軸上，

又圓。:/+/=所經過橢圓屈的焦點，所以橢圓的半焦距c=b,3分

所以2b2=4,即/=2,所以橢圓X的方程為耳+爐=1

”,6分

42

（2）方法一：設P（\?）,2(x,y),T(x,y),

2200

X2V2y

---1----1

聯(lián)立：42，消去y,得(1+2左2)冗2+4kmx+2m2—4=0,

y=kx+m

4km「2k

所以X+九=一------,又2nI2-2k2=1,所以X+X=--

121+2^212m

所以x=上10分

°m%m2m

11

11

則上?左二乎2m14分

12k[4左2—4帆2—2(2加2—2女2)

——+1--k--12

mm

九2V2<

=1

42

方法二設「（彳》Q（r”飛山,則

與+畀

兩式作差，得G，+OG「G+（yj*）G「）=o,

42

y(y-y)

X\x-x)(、八尤n

又x+x=2x,y+y=2y-0-1--2-+y\y-y)=Q,-0_Ia-=0,

12012020122X一X

1:2

Q（x,y）在直線>=區(qū)+加上，二一之=%

又尸（彳”,x+2ky=0,①

22X-Xoo

12

又7（無，y）在直線y=fcx+加上，y=丘+相，②

0000

2kmm

由①②可得尤=---------,y-----------10分

01+2^21+2左2

以下同方法一.

考點：直線與橢圓位置關系

【思路點睛】直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達

定理或求根公式進行轉化，涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數(shù)關系，設而不求法計算弦長；涉及

垂直關系時也往往利用根與系數(shù)關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線

的定義求解.涉及中點弦問題往往利用點差法.

18.

【解析】

試題分析：(I)由條件知的究直線與圖相切，所以建立坐標系：以點A為坐標監(jiān)點，AB所在直2物x軸,

確定圓的方程，求出切線方程>=-：乂+"，解出切線與電線交點，最后判斷GE是否涓足不超過2.5米

這個條件(口〉同(1)建立坐標系,設立網的方程；圓心為日化捫，半徑為一求出切線方程

3.

y=--x4-A+2r,解出切線與直線交點，根據(jù)GE不超過25米這個條件列參救限制條件/iM25—2,

4

最后根據(jù)活動中心的截面面積關系式求最值：

13355

S=2rh+—Ttn=2rh+—xr2<2r(25-2r)+—xr2=—r2+50r=—(r-10)2+250<250

22222

試題解析：解：如圖所示，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.

(1)因為AB=18,AD=6,所以半圓的圓心為“(9,6),

3

半徑r=9.設太陽光線所在直線方程為y=-

4

即3x+4y-4b=0,...........................2分

127+24-4^1八

則由=9,

3

解得b=24或6=-(舍).

2

3

故太陽光線所在直線方程為y=-：x+24,...........................5分

令x=30,得EG=1.5米<2.5米.

所以此時能保證上述采光要求............................7分

(2)設AO=/i米，AB=2r米，則半圓的圓心為,半徑為.

3

方法-：設太陽光線所在直線方程為，二丁+八

\3r+4h-4b\

gp3x+4y-4/?=0,

由J…

角翠得b=/z+2/或Z?=/z-2r(舍)...............9分

3

故太陽光線所在直線方程為y=—x+h+2r,

4

455

令x=30,得EG=2r+h———,由EGV—,得hW25—2r...............11分

22

133

所以S=2rh+—兀r?=2rh+-xr2<2r(25-2r)+—xr2

222

=-1r2+50r=-1(r-10)2+250<250.

當且僅當r=10時取等號.

所以當A3=20米且AD=5米時，可使得活動中心的截面面積最大................16分

方法二：欲使活動中心內部空間盡可能大，則影長EG恰為2.5米，則此時點G為(30,2.5),

設過點G的上述太陽光線為，則所在直線方程為y—=-(x-30),

即3x+4y-100=0.10分

l3r+4/7-100l

由直線與半圓H相切，得廠=

5

而點H(r,h)在直線的下方，則3r+4h—100<0,

3r+4/7-100

a即nr=-------------，從而/7=25-2r.13分

1355

又S=2泌+5兀s=2r(25-2r)+-xr2=--r2+50r=--(r-10)2+250<250.

當且僅當r=10時取等號.

所以當AB=20米且A。=5米時，可使得活動中心的截面面積最大.16分

考點：直線與圓位置關系

【方法點睛】判斷直線與圓的位置關系的常見方法

(1)幾何法：利用d與r的關系.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用A判斷.

(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交.

上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題.

19.試題分析：(I)代入化簡方程得2(&)2-3'+1=0,由二次方程解得ex=l或,再根據(jù)指對數(shù)

2

關

系得x=0或X=-1D2.(II)先求函數(shù)導數(shù)并明確酉數(shù)定義域：

4(0=!+。一二=竺士半竺工>0；再討論導函數(shù)不變號情況：當時，口'(工)>0,

X3CX

觀力的增區(qū)間為<0.小。)；最后討論導函額變號時符號變化物律:當a>1B寸，由W'G>>0,解得X>"；

a

當。<0時，由解得0<x<”L(III)存在性問題，一般轉化為對向函數(shù)最值問題；

a

2XNh(x),利用導數(shù)先求函數(shù)/?(x)=/(x)-g(x)最小值：本題難點是最小值點x不能解出，只能得到其

min0

3

所在區(qū)間，為使九值能確定最小值，需精確考慮最小值點所在區(qū)間，如尤c(10細化到(二,2)

o2

試題解析：解：(1)當。=2時，方程g0)=O即為2/+,一3=0,去分母，得

ex

20”―3/+1=0,解得"=1或ex=L...........................2分

2

故所求方程的根為x=0或x=—ln2............................4分

a—1

(2)因為(p(x)=/(%)+g(x)=lnx+axH---------3(%>0),

x

ax2

后二I、I，(、1.°—1+x-(a-l)(<2x-(tz-1))(%+1),.八

所以(p(x)=-+a-----------------------------------------------------(x>n0),...........................6分

XX2X2X2

①當〃=0時，由(p，a)〉o,解得工〉0；

n—1

②當。>1時，由(p'(x)>0,解得x>——；

a

③當0<。<1時，由<p'(x)>0,解得x>0；

④當。=1時，由(p'(x)>0,解得x>0；

⑤當。<0時，由cp'(x)>0,解得0<x<^~.

a

a—1

綜上所述，當a<0時，叭X)的增區(qū)間為(0,L)；

a

當0?。<1時，(P(。的增區(qū)間為(0,+?0；

/7—1

a>l時，中(無)的增區(qū)間為(——,+00)............................10分

a

(3)方法一：當a=l時，g(x)=x-3,/z(x)=(x-3)lnx,

3333

所以"(x)=lnx+l--單調遞增，/i,(-)=ln-+l-2<0,"(2)=ln2+l-一>0,

x222

所以存在唯一心￡4,2),使得/(X)=0,即1口九+1-2=°,...........................12分

02o0x

o

當X￡(O,X)時,hf(x)<0,當)￡(X,+8)時,hr(x)>0,

00

3(x-3hQ

所以/i(x)=h(x)=(x-3)lnx=(x-3)(——l)=---e_-=6-(x+—),

min00001x°X

000

93

記函數(shù)心)=6-(尤+-)，則Nx)在(一,2)上單調遞增，...............14分

尤2

331

所以r(—)<h(x)<r(2),即h(x)e(-一,--),

2oo22

3

由2九2—一，且九為整數(shù)，得大20,

2

所以存在整數(shù)九滿足題意，且九的最小值為0................16分

方法二：當a=l時，g(x)=x-3,所以％(元)=(x-3)lnx,

由/z(l)=0得，當九=0時，不等式U2/z(x)有解，...............12分

下證：當九<T時，入(%)>2九恒成立，即證(彳-3)111%>一2恒成立.

顯然當無e(0,l][J[3,+8)時，不等式恒成立，

只需證明當xe(1,3)時，(x-3)lnx>-2恒成立.

2?

即證明InxH-----<0.令m(x)=InxH-----,

x-3x-3

.12x2—8x+9l

所以根(x)=--y_—=-7—I-，由機(幻=0,得x=4-J7,...............14分

X(X-3)2X(X-3)2

當尤e(l,4—歷，m\x)>0；當xe(4—五3),根'(無)<0；

所以m(x)=加(4一6=ln(4->/7)一+1<ln(4-2)--=ln2-1<0.

max33

所以當九(一1時，飄龍)>2大恒成立.

綜上所述，存在整數(shù)九滿足題意，