專題12 一元一次方程的概念(解析版)（重點(diǎn)突圍）

專題12一元一次方程的概念考點(diǎn)一判斷各式是否是方程考點(diǎn)二列方程考點(diǎn)三方程的解考點(diǎn)四等式的性質(zhì)考點(diǎn)五一元一次方程的概念考點(diǎn)六利用一元一次方程的概念求字母的值考點(diǎn)一判斷各式是否是方程例題：（2022·四川資陽·七年級期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】C【分析】根據(jù)方程的定義即可一一判定．【詳解】解：含有未知數(shù)的等式叫做方程，①是方程；②，不含有未知數(shù)，故不是方程；③不是等式，故不是方程；④是方程；⑤是方程；⑥不是等式，故不是方程；故方程有：①④⑤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，熟練掌握和運(yùn)用方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）下列四個式子中，是方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程的定義即可求出答案．【詳解】解：∵方程是指含有未知數(shù)的等式，∴只有B選項(xiàng)是方程，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用方程的定義．2．（2022·河南三門峽·七年級期末）在①；②；③；④中，方程共有（

）A．1個 B．3個 C．2個 D．4個【答案】C【分析】含有未知數(shù)的等式叫方程，根據(jù)方程的定義解答．【詳解】解：方程有③；④，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了方程的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二列方程例題：（2022·河北·邢臺市開元中學(xué)七年級階段練習(xí)）根據(jù)“x的3倍與5的和比x的少2”列出方程是（

）A．3x+5=+2 B．3x+5=-2C．3（x+5）=-2 D．3（x+5）=+2【答案】B【分析】仔細(xì)審題，x的3倍即是3x，x的即是，由此根據(jù)可列出方程．【詳解】解：x的3倍與5的和是3x+5，比x的少2是，所以由題意可列方程為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查列一元一次方程，列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km溫度就上升約10℃．某日地表溫度是18℃，地下某處A的溫度是25℃．設(shè)A處在地表以下x千米，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：∵A處在地表以下x千米，每下降1km溫度就上升約10℃∴從地表到地下x千米要增加10x℃．∵地表溫度是18℃，地下某處A的溫度是25℃，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查列方程，正確理解題意是解題關(guān)鍵．2．（2022·湖南株洲·七年級期末）“的3倍與7的差等于12”可列方程為____________________．【答案】【分析】根據(jù)該數(shù)的3倍與7的差等于12，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此問得解【詳解】解：根據(jù)題意得，3x﹣7＝12故答案為：3x﹣7＝12．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三方程的解例題：（2022·福建泉州·七年級期末）下列方程中，解是的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將分別代入選項(xiàng)，能使等式依然成立的即為正確答案．【詳解】A、，故A選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、，故B選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、，故C選項(xiàng)正確，符合題意；D、，故D選項(xiàng)錯誤，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，將解代入方程驗(yàn)證是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽·肥西縣嚴(yán)店初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的解，則a的值是（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】C【分析】直接利用方程的解的定義代入求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程的解，∴，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，能使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解，理解方程解的定義是關(guān)鍵．2．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）已知是方程的解，則______．【答案】5【分析】將代入方程，求出a即可．【詳解】解：把代入方程得：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解的定義．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)四等式的性質(zhì)例題：（2022·河北·安新縣第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列等式的變形不正確的是（）A．若2a﹣3＝b﹣3，則2a＝b B．若x＝y(tǒng)，則C．若（m2+1）a＝﹣（m2+1），則a＝1 D．若mx＝my，則1﹣mx＝1﹣my【答案】C【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)，等式兩邊同時加上或者減去同一個整式，或者等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立，以此判斷即可得出正確選項(xiàng)．【詳解】A、若2a﹣3＝b﹣3，等式兩邊同時＋3，則2a＝b，選項(xiàng)正確，不符合題意；B、若x＝y(tǒng)，因?yàn)椋仁絻蛇呁瑫r除以，則，選項(xiàng)正確，不符合題意；C、若（m2+1）a＝﹣（m2+1），因?yàn)?，等式兩邊同時除以，則a＝-1，選項(xiàng)錯誤，符合題意；D、若mx＝my，則等式兩邊×（-1），得﹣mx＝﹣my，兩邊同時+1，則1﹣mx＝1﹣my，選項(xiàng)正確，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等式基本性質(zhì)的理解，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南·南陽市第九中學(xué)校七年級階段練習(xí)）下列方程變形正確的是（

）A．由4＋x＝7得x＝7＋4 B．由3x﹣2（x﹣1）＝8得3x﹣2x﹣2＝8C．由5x＝﹣6得x＝﹣ D．由＝2得8x﹣7（x﹣1）＝112【答案】D【分析】根據(jù)等式基本性質(zhì)和去括號法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、左邊減4，右邊加4，故A不符合題意；B、括號前是負(fù)數(shù)去括號都變號，故B不符合題意；C、兩邊除以不同的數(shù)，故C不符合題意；D、方程＝2兩邊都乘以56，可得8x﹣7（x﹣1）＝112，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)和去括號法則，熟練掌握等式基本性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（2021·重慶·墊江第八中學(xué)校七年級階段練習(xí)）以下等式變形不正確的是（

）A．由，得到 B．由，得到C．由，得到 D．由，得到【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．【詳解】解：A、兩邊都加2，等式仍成立，故A正確，不符合題意；B、兩邊都加3，等式仍成立，故B正確，不符合題意；C、兩邊都乘以a，等式仍成立，故C正確，不符合題意；D、當(dāng)a≠0時，等式才成立，故D錯誤，符合題意.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．考點(diǎn)五一元一次方程的概念例題：（2021·山東·單縣湖西學(xué)校七年級階段練習(xí)）下列是一元一次方程的是（

）A．2＝3－1 B． C．x＋1＝5 D．－2【答案】C【分析】根據(jù)一元一次方程的通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0），進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．2=3-1，沒有未知數(shù)，不是方程，故本選項(xiàng)不合題意；B．，不是方程，故本選項(xiàng)不合題意；C．x+1=5是一元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；D．-2不是方程，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義和一般形式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川省射洪縣射洪中學(xué)外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級階段練習(xí)）下列各式中：①x2－4x=3；②3x－1=；③x+2y=1；④xy－3=5；⑤5x－x=3，是一元一次方程的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①x2－4x=3中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程；②3x－1=符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；③x+2y=1中含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程；④xy－3=5中含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程；⑤5x－x=3符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；綜上分析可知，是一元一次方程的有2個，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的定義，含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是一次的整式方程，是一元一次方程．2．（2022·仁壽縣長平初級中學(xué)校（四川省仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)初中部）七年級期中）下列方程中，一元一次方程共有(

)個①4x-3=5x-2；②3x-4y=5；③3x+1=；④+=0；⑤；⑥x-1=12A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)一元一次方程的定義得出即可．【詳解】解：①4x?3＝5x?2，是一元一次方程，符合題意；②3x-4y=5，含有2個未知數(shù)，不是一元一次方程，不合題意；③3x＋1＝，分母含有字母，不是一元一次方程，不合題意；④+=0，是一元一次方程，符合題意；⑤，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程，不合題意；⑥x?1＝12，是一元一次方程，符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程，能熟記一元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六利用一元一次方程的概念求字母的值例題：（2022·重慶·黔江區(qū)育才初級中學(xué)校七年級期中）若關(guān)于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，則k的值為（）A．2 B．1 C．0 D．0或2【答案】A【分析】根據(jù)一元一次方程的概念列出方程及不等式求解．【詳解】∵關(guān)于x的方程是一元一次方程，∴，且，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的概念，正確理解概念是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川·安岳縣興隆初級中學(xué)七年級期中）已知方程是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是______．【答案】1【分析】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1的方程叫做一元一次方程，根據(jù)定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：且m＋1≠0，解得：m＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．2．（2021·江蘇·鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程是一元一次方程，則m的值是__．【答案】【分析】根據(jù)一元一次方程的定義（只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程）即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，解得：m=-1．故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元一次方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．一、選擇題1．（2021·河南·輝縣市第一初級中學(xué)七年級期中）下列各選項(xiàng)中為一元一次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.含有2個未知數(shù)，不是一元一次方程；B.不含未知數(shù)，不是方程；C.整理得，符合一元一次方程的定義，是一元一次方程；D.不是方程；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式叫做一元一次方程．2．（2020·江蘇省新海高級中學(xué)七年級期末）下列等式變形正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：A、如果，當(dāng)時，不一定成立，變形錯誤，不符合題意；B、如果，那么，變形錯誤，不符合題意；C、如果，那么，變形錯誤，不符合題意；D、如果，那么，變形正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式，等式仍然成立；等式兩邊同時乘以一個數(shù)或式子等式仍然成立；等式兩邊同時除以一個不為零的數(shù)字或式子等式仍然成立．3．（2022·江蘇·常州外國語學(xué)校七年級期中）已知是關(guān)于x的方程的解，則a的值為（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】直接將代入中即可得出的值．【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程的解，∴，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義，熟知一元一次方程的解即為能使方程成立的未知數(shù)的值是解本題的關(guān)鍵．4．（2021·河南·輝縣市第一初級中學(xué)七年級期中）如果方程是一個關(guān)于x的一元一次方程，那么m的值是（）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)一元一次方程的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1，左右兩邊都是整式的等式，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，又∵，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的定義．熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022·福建·上杭縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級期中）已知代數(shù)式的值為7，則的值為（）A． B． C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得到，，然后整體代入法求解即可．【詳解】解：∵代數(shù)式的值為7，∴，∴，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，整體代入法求代數(shù)式的值，得到是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·湖北省水果湖第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（

）①若，，則；②近似數(shù)精確到了百分位；③若方程是關(guān)于x的一元一次方程，則；④使得成立的x的值有無數(shù)個．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】利用反例對①進(jìn)行判斷；根據(jù)科學(xué)記數(shù)法對②進(jìn)行判斷；根據(jù)一元一次方程的定義對③進(jìn)行判斷；解絕對值方程對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：①若，，則，故該說法錯誤；②近似數(shù)精確到了千位，故該說法錯誤；③若方程是關(guān)于x的一元一次方程，則有，所以，故該說法錯誤；④對于，當(dāng)時，原方程可化為，解得；當(dāng)時，原方程可化為，x為何值均成立；當(dāng)時，原方程可化為，解得．所以使得成立的x的值有無數(shù)個，該說法正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值的一次方程、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)、一元一次方程的定義等知識，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·陜西·西安市第二十六中學(xué)九年級期中）若，則_________．【答案】【分析】等式兩邊同時除以即可得解．【詳解】解：將兩邊同時除以得化簡整理得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等式基本性質(zhì)，等式兩邊同時除以一個不為零的數(shù)，等式仍然成立，熟練運(yùn)用等式基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2022·廣西·梧州市黃埔雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知是方程的解，則m的值是______．【答案】2【分析】把代入已知方程列出關(guān)于的新方程，通過解新方程即可求得的值．【詳解】解：依題意，把代入，得，解得．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．9．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)期末）若方程是一元一次方程，那么____．【答案】【分析】根據(jù)一元一次方程的定義求解即可．【詳解】解：∵方程是一元一次方程，∴，解得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義和已知字母的值求代數(shù)式的值，利用一元一次方程的定義求解是解題關(guān)鍵．10．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）已知是關(guān)于x的一元一次方程，則___________．【答案】【分析】根據(jù)一元一次方程的概念可得x的指數(shù)，x的系數(shù)，由此可解．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元一次方程，∴，且，∴，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程；解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)一元一次方程的概念確定m應(yīng)滿足的條件．11．（2022·福建·泉州科技中學(xué)七年級期末）已知，則代數(shù)式的值為_________．【答案】4【分析】等式兩邊都除以2，得到，從而得到原式．【詳解】解：∵，∴，∴原式．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，代數(shù)式求值，掌握等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題的關(guān)鍵．12．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別是a，6，c，已知，，且c是關(guān)于x的方程的一個解，則m的值為_________．【答案】-4【分析】點(diǎn)B表示的數(shù)是6，則0B=6，即可求出OA的長度；由于a+c=0，則a、c互為相反數(shù)，OA=OC，即可求出點(diǎn)C表示的數(shù)，將x=c代入方程即可求出m．【詳解】∵點(diǎn)B表示的數(shù)為6，∴OB=6，∵AB=8，∴OA=8-6=2，由圖可知，點(diǎn)A在負(fù)半軸，故a=-2，∵a+c=0，∴c=2，∵c是關(guān)于x的方程的一個解，將x=2代入原方程得：（m-4）×2+16=0，解得：m=-4，故答案為：-4【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)，相反數(shù)的意義以及已知一元一次方程的解求參數(shù)，熟練地掌握數(shù)軸上點(diǎn)的含義，相反數(shù)的意義以及解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2020·甘肅蘭州·七年級期末）已知（m＋1）x|m|＋2＝0是關(guān)于x的一元一次方程，求m的值；【答案】m=1【分析】只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程，根據(jù)一元一次方程的定義列式計(jì)算.【詳解】解：由題意知：m+1≠0,

|m|=1，則m≠-1,

m=1或m=-1，則m=1【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的定義，根據(jù)滿足定義的條件列式計(jì)算是解答此題的重要途徑.14．（2022·廣東·廣州市第二中學(xué)七年級期中）用等式的性質(zhì)解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等式的性質(zhì)，方程兩邊同時減4，即可解得方程；（2）利用等式的性質(zhì)，方程兩邊同時加2，再同時除以4，即可解得方程．【詳解】（1）解：方程兩邊同時減4，可得，，即；（2）解：方程兩邊同時加2，可得，，∴，方程兩邊同時除以4，可得，．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，正確運(yùn)用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·全國·七年級單元測試）已知是關(guān)于的方程的解，求的值．【答案】1【分析】先將x=2代入方程求出m，再將m的值代入即可求解．【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程的解，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解的含義的知識，掌握方程解的含義是解答本題的關(guān)鍵．16．（2019·江西·鄱陽縣第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知是關(guān)于的一元一次方程.(1)求的值；(2)若是方程的解，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的性質(zhì)，即可得出的值；（2）首先將方程的解代入方程即可得出，然后代入所求式根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由已知，得∴；（2）由（1）知，是方程的解，代入，得解得∴【點(diǎn)睛】此題主要考查一元一次方程的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.17．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)七年級階段練習(xí)）方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值．如果一個方程的解都是整數(shù)，那么這個方程叫做“立信方程”(1)若“立信方程”的解也是關(guān)于x的方程的解，則__