數(shù)學(xué)（人教版選修22）課件17定積分的簡單應(yīng)用

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.7定積分的簡單應(yīng)用1．會(huì)用定積分求平面圖形的面積．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．會(huì)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和變力做功．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．用定積分求平面圖形的面積(1)一般地，設(shè)由曲線y＝f(x)，y＝g(x)以及直線x＝a，x＝b所圍成的平面圖形(如圖所示)的面積為S，則S＝___________________.曲邊梯形上、下兩個(gè)邊界所表示函數(shù)的差3．如果用1N的力能拉長彈簧1cm，那么為了將彈簧拉長6cm需作功______J.4．由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為________．定積分與各個(gè)小曲邊梯形面積的關(guān)系定積分只能用于求曲邊梯形的面積，對(duì)于非規(guī)則的曲邊梯形，一般要將其分割或補(bǔ)形為規(guī)則的曲邊梯形，再利用定積分的和與差求面積．對(duì)于分割或補(bǔ)形中的多邊形的面積，可直接利用相關(guān)面積公式求解.

對(duì)于不規(guī)則平面圖形面積的求法求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程的方法求變力做功的方法【想一想】

1.如何利用定積分表示圖中平面圖形ABCD的面積？2．定積分的幾何意義指出了定積分可以表示某一個(gè)曲邊梯形的面積，那么對(duì)于一些不規(guī)則的圖形面積，我們能不能用定積分求出相應(yīng)的面積呢？提示：能．可以把不規(guī)則的圖形，通過分割轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形求解．

(1)計(jì)算由直線y＝x＋3，曲線y＝x2－6x＋13所圍圖形的面積S.(2)求由曲線y＝x2，直線y＝2x和y＝x圍成的圖形的面積．[思路探究]

(1)作出兩函數(shù)的圖象，并求其交點(diǎn)坐標(biāo)．確定積分區(qū)間，利用定積分求面積S.(2)求出三條曲線的不同的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，將積分區(qū)間細(xì)化，分別求出相應(yīng)區(qū)間曲邊梯形的面積再求和，注意在每個(gè)區(qū)間上被積函數(shù)均是由上減下．利用定積分求平面圖形的面積[自主解答]

(1)作出直線y＝x＋3，曲線y＝x2－6x＋13的草圖，如圖①所求面積為圖中陰影部分的面積．圖①圖②1．本題(1)為簡單圖形面積的求解，直接運(yùn)用定積分的幾何意義即可．本題(2)為較復(fù)雜圖形面積的求解．注意按曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)將積分區(qū)間細(xì)化．將圍成的圖形分割．2．利用定積分求平面圖形面積的步驟(1)畫圖形．(2)確定積分區(qū)間和上、下邊界表示的函數(shù)解析式：通過解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而確定積分區(qū)間，觀察圖形上、下邊界是否是同一函數(shù)的圖象，確定邊界表示的函數(shù)解析式．(3)面積表示：在每一個(gè)積分區(qū)間上，被積函數(shù)是圖形上邊界與下邊界所表示函數(shù)解析式的差，從而寫出平面圖形的面積的定積分表達(dá)式．(4)求面積：求定積分進(jìn)而得圖形的面積．

有一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t時(shí)的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求：點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)t＝6時(shí)，點(diǎn)P離開原點(diǎn)的路程和位移．求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移1．路程是位移的絕對(duì)值之和，因此在求路程時(shí)，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號(hào)不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間，然后分別計(jì)算，否則會(huì)出現(xiàn)計(jì)算失誤．2．務(wù)必把握位移和路程的區(qū)別，切勿因亂套公式，導(dǎo)致錯(cuò)誤．2．在題設(shè)條件中不變的情況下，求P從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t后又返回原點(diǎn)時(shí)的t值．變力做功問題[思路探究]

物體由A到B，再由B到C，再由C到D運(yùn)動(dòng)，物體運(yùn)動(dòng)的方向與力F的方向一致嗎？若不一致，那在其運(yùn)動(dòng)方向上的力如何表示？[自主解答]

在AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)F在運(yùn)動(dòng)方向上的分力F1＝Fcos30°.在BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)F在運(yùn)動(dòng)方向上的分力F2＝Fcos45°.3．設(shè)有一長25cm