高中數(shù)學易錯易混易忘題分類匯編

最新高中數(shù)學易錯易混易忘題分類匯編

高中數(shù)學易錯易混易忘題分類匯編

“會而不對，對而不全”一直以來成為制約學生數(shù)學成績提高的重要因素，成為學生揮

之不去的痛，如何解決這個問題對決定學生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆

者的多年高三教學經(jīng)驗精心挑選學生在考試中常見的66個易錯、易混、易忘典型題目，

這些問題也是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、難，進行精彩剖析并配以近幾年的

高考試題作為相應練習，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實存在，另一方面通過作

針對性練習幫你識破命題者精心設計的陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風

破浪，實現(xiàn)自己的理想報負。

【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導致思維不全面。

例1、設Ax|x28x150,Bx|ax10,若ABB,求實數(shù)a組成

的集

合的子集有多少個？

【易錯點分析】此題由條件ABB易知BA,由于空集是任何非空集合的子集，但在

解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。

解析：集合A化簡得A3,5，由ABB知BA故（I）當B時，即方程

ax10無

11或。35解，此時a=0符合已知條件（II）當B時;即方程ax10的解為3

或5,代入得a綜上滿足條件的a組成的集合為0,11,,故其子集共有238個。

35

B時，要樹立起分類討論的數(shù)學思想，【知識點歸類點拔】（1）在應用條件AUB=B

APB=AA

將集合A是空集中的情況優(yōu)先進行討論.

（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異

性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個性質(zhì)，此

外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學語言）和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：

Ax,y|x2y24,

2Bx,y|x3y42r2，其中r0,若AB求r的取值范

圍。將集合所表達

的數(shù)學語言向自然語言進行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集合

B表示以（3,4）為圓心，以r為半徑的圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內(nèi)含時，求半

徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解集等也要

注意集合語言的應用。

【練1】已知集合Ax]x24x0、Bx|x22a1xa210,若

BA,

1或alo則實數(shù)a的取值范圍是。答案：a

【易錯點2]求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知x22y2

1,求x2y2的取值范圍4

【易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求

解，但極易忽略x、y滿足x22y2

1這個條件中的兩個變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴大。41

解析：由于x22y2y221.得(x+2)=l-4422Wl,...-3WxWT從而x+y=-3xT6x-

12=222+28

因此當x=-l時x+y有最小值1,當x=-82822時，x+y有最大值。故x+y的取值范圍是

[1,2228

]

【練2】(05

()x2y221b0上變化，則x22y的最大值為高考重慶卷)若動點(x,y)

在曲線4b

b2b2

b240b440b24(D)2b(A)4(B)4(C)

42bb42bb2

答案：A

【易錯點3]求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。

例3、a2x1Ifx是R上的奇函數(shù)，(1)求a的值(2)求的反函數(shù)fx

xl2

【易錯點分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域

而出錯。解析：（1）利用fXfx0（或，00）求得a=l.

2x11yxxfxx,設yfx,則21y1y由于y1故2,

211y

1x22x111x1,1所以fxlog21x1x1

fxx2121（2）由a1即1ylyxlog2,而

【知識點歸類點拔】（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時，?定要通過確定原函數(shù)的值域即反

函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域為R可省略）。

（2）應用f1（b）af（a）b可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應注

意其自變量和函數(shù)值要互換。

【練3】（2004全國理）函數(shù)

A、

C>fx1x1的反函數(shù)是（）yx22x2x1B、

yx22x2x1yx22xx1D>yx22xx12

答案：B

【易錯點4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯位

例4、已知函數(shù)

稱，則

A、gfx12x1,函數(shù)ygx的圖像與yfx1的圖象關(guān)于直線yx

對1xygx的解析式為（）x32x2xlx3B、gxC、gx

D、gxxlx2x2x

【易錯點分析】解答本題時易由ygx與yf1x1互為反函數(shù)，而認為

yf1x1的

12x1

1x132x而錯選A。x反函數(shù)是yfx1則ygx=fx1二

解析：由1x12xl2x1x1Ifx得fx從而yfx1

再求1x2x211

X

2x。正確答案：B1xyf1x1的反函數(shù)得gx

【知識點分類點拔】函數(shù)yf1x1與函數(shù)yfx1并不互為反函數(shù)，他只

是表示f1X

yfx1則f1yx1,中x用xT替代后的反函數(shù)值。這是因為由求反函

數(shù)的過程來看：設

ly互換即得yx1的反函數(shù)為yfx1,故yfxxf1y1再將

X、1的

反函數(shù)不是yf1x1,因此在今后求解此題問題時一定要謹慎。

T-1【練4】(2004高考福建卷)已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f(x),則函數(shù)y=

f(l-x)的圖象是()

答案：B

【易錯點5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點對

稱。

例5、判斷函數(shù)f(x)lg1x2

x22的奇偶性。

【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：

f(x)lg1x2

x22fx從3

而得出函數(shù)fx為非奇非偶函數(shù)的錯誤結(jié)論。

21x0解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域為1,00,1

定義域關(guān)于原點對稱，

x22在定義域下fxlg1x2

x易證fxfx即函數(shù)為奇函數(shù)。

【知識點歸類點拔［(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充

分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時一定要先研究函數(shù)的定義域。

(2)函數(shù)fx具有奇偶性，則fxfx或fxfx是對定義域

內(nèi)x的恒等式。常常利用這一?點求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。

【練5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

①fXfXX1③fX1sinxcosx

1sinxcosx

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯點6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導致解題過程繁鎖。

例6、函數(shù)fxlog22x22x11111證明fx是奇函數(shù)且在x或

的反函數(shù)為fx,22

其定義域上是增函數(shù)。

【思維分析】可求

只需研究原函數(shù)f1x的表達式，再證明。若注意到f1x與fx具有相同

的單調(diào)性和奇偶性，fx的單調(diào)性和奇偶性即可。

2x1

2x1解析：fxlog2

log22x12x1log22x12x1fx，故f為奇函數(shù)從而

f1x為奇函數(shù)。又令t2x1211t1在和，上均為增

函數(shù)且ylog2為增函數(shù)，2x12x122

故11x在，和，上分別為增函數(shù)。故f1x分別在

0,和,0上分別為22

增函數(shù)。

【知識點歸類點拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結(jié)論：(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有

反函數(shù)。(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。(3)定

義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)。

(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù)(5)原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到

換。即f1(b)af(a)b.

f(x)2【練6】(1)(99全國高考題)已知，則如下結(jié)論正確的是()4

A、

C、fx是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、fx是奇函數(shù)且為減函數(shù)fx是偶函數(shù)且為

增函數(shù)D、fx是偶函數(shù)且為減函數(shù)

1則使fx1成立的x的f1x是函數(shù)fx1axaxa1的反

函數(shù)，答案：A(2)(2005天津卷)設2a2la2la21)C、(，)B、(,,a)

D、(a,)取值范圍為()A、(2a2a2a

2答案：A(a1時，fx單調(diào)增函數(shù)，所以

f1x1ff1xf1xf1a1.)2a

【易錯點7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域

優(yōu)先的原則。例7、試判斷函數(shù)fxaxba0,b0的單調(diào)性并給出證明。x

［易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注

意定義xlD,x2Dfxlfx2fxlfx2中的xl,x2的任意性。以及

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。

解析：由于fxfx即函數(shù)fx為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)fx在

0,上的單調(diào)性

xlx20,即可。設fxlfx2xlx2ax1x2bxlx2由于xlx20

故當

xl,x2時，此時函數(shù)在fxfxOfx12上增函數(shù)，同

理可證

函數(shù)fx在上一為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函

數(shù)，在

為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在

fx

和上分別為減函數(shù).

5

fxaxa0(1)用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)fx在ax【練7】(1)(濰

坊市統(tǒng)考題)

(2)設fx在0x1的最小值為ga，求yga的解析式。0,I:

的單調(diào)性。

1112a1答案:(1)函數(shù)在，為增函數(shù)在0,為減函

數(shù)。(2)ygaaaa0a1

(2)(2001天津)設a0且exafxxae為R上的偶函數(shù)。(1)求a的值

(2)試判斷函數(shù)在0,上的單調(diào)性并給出證明。

答案：(1)a1(2)函數(shù)在0,上為增函數(shù)(證明略)

【易錯點8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條

件使用，導致錯誤結(jié)論。

例8、(2004全國高考卷)已知函數(shù)

【易錯點分析】fxax33x2x1上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

fx0xa,b是fx在a,b內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過

程

fxx3在R上遞減，但fx3x20?

fx3a2x6x1(1)當fx0忖，fx是減函數(shù)，貝U

解得中易誤作是充要條件，如解析：求函數(shù)的導數(shù)a0故

fx3a2x6x1OxR0

3

32a3,(2)當a3時，18(3)當a3時，

fx3x3xx13x易知此時函數(shù)也在R上是減函數(shù)。39

在R上存在一個區(qū)間在其上有

的取值范圍是fX0,所以當a3時，函數(shù)fX不是減函數(shù)，綜上，所求

a,3。

其導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：①f(x)Ofx可導，【知

識歸類點拔】若函數(shù)6

與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:f(x)0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)

f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0,Af(x)0是f(x)為增函數(shù)的充

分不必要條件。②f(x)0時，f(x)0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:若將f(x)0的根

作為分界點，因為規(guī)定f(x)0,即摳去了分界點，此時f(x)為增函數(shù)，就一定有

f(x)0。.?.當f(x)0時，f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分必要條件。

③f(x)0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系：f(x)為增函數(shù)，一定可以推出f(x)0,但反之不

一定，因為f(X)0,即為f(x)0或f(x)0。當函數(shù)在

f(X)0,則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。...f(x)0是f(x)為增函數(shù)的某個

區(qū)間內(nèi)恒有

必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù),條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們

一定要把握好以上三個關(guān)系，用導數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的

端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際

應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。因此本題在第一步后再對a

維的嚴密性。

【練8】(1)(2003新課程)函數(shù)

A、b3和a3進行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或

將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，這需要同學們在學習過

程中注意思yx2bxcx0,是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()0B、

b0C、b0D、b0

答案：A

(2)是否存在這樣的K值，使函數(shù)

上遞增？

答案：k

在fxk2x4231xkx22x在1,2上遞減，在2,321?(提示據(jù)

題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知f20,但f20是函數(shù)在1,2上遞減，2)

2,上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由f20求出K值后要檢

驗。

【易錯點9】應用重要不等式確定最值時，忽視應用的前提條件特別是易忘判斷不等式

取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知：a>0,b>0,a+b=l,求(a+la)+(b+21

b)的最小值。2

錯解：(a+

值是8la)+(b+21b)=a+b+22211+22ab+4,2ab+2ab+424ab11+4=8A(a+aab)+(b+21b)

的最小2

【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a+b22ab,第一次等號成立的

條件是a=b=

二次等號成立的條件ab=2212,第lab,顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8

不是最小值。

7

解析:原式=a+b+1111112++4-(a+b)+(+)+4-[(a+b)-2ab]+[(+)-

]+4ababa2b2a2b21ablllll=(l-2ab)(l+22)+4由abW()=得：l-2ab2l-=，且22216,

l+222172422ababab

12511125,原式》17+4=(當且僅當a=b=時，等號成立)(a+)+(b+)的最小值是。

222ab2222222222

【知識歸類點拔】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即

“一正、二定、三

相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限

制范圍內(nèi)。

【練9】(97全國卷文22理22)甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙

地，速度不得超過ckm/h,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定

部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義

域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

答案為：(1)ysa2bvaOvc(2)使全程運輸成本最小，當vbWc時，行

駛速度v=a

b；

當a>c時，行駛速度丫=或b

【易錯點10】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時，沒有根據(jù)性質(zhì)進行分類討論的意

識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實數(shù)a使函數(shù)

明理由。

【易錯點分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題

過程中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制條件而導致a的范圍擴大。

解析：函數(shù)fxlogaax2x在2,4上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存

在，說fx是由xax2x和ylogax復合而成的，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)

性的判斷方

fxlogaax2法（1）當a>l時，若使x在2,4上是增函數(shù)，則

xax2x在2,4上是增函

212ax數(shù)且大于零。故有2a解得a>l。（2）當a<l時若使

fxloga24a20x在2,4上是增

142函數(shù)，則xaxx在2,4上是減函數(shù)且大于零。2a不等式組無

解。綜上

416a40

所述存在實數(shù)a>l使得函數(shù)fxlogaax2x在2,4上是增函數(shù)

【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次

項系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1）,特別在解決涉及指、對復

合函數(shù)的單調(diào)性問題時要樹立分類討論的數(shù)學思想（對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限

制）。

8

【練10］（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設a

間。

答案：當00,且a1試求函數(shù)yloga43xx2的的單調(diào)區(qū)

333a1,函數(shù)在1,上單調(diào)遞減在,4上單調(diào)遞增當a1函數(shù)在

1,上單調(diào)222

遞增在3,4上單調(diào)遞減。2

Ifxlogax3axa0,a1在區(qū)間(，0)內(nèi)單調(diào)遞增，貝Ua的2

1399取值范圍是()A、［,1)B、［,1)C、(,)D、(1,)4444(2)(2005高考天

津)若函數(shù)

答案：B.(記g2則g'x3xa當a1時，要使得fx是增函數(shù)，則需有

g'x0xx3ax,

231a3恒成立，所以.矛盾.排除C、D當0a1時，要使fx是函數(shù)，則

需有g(shù)'x0恒42

31成立，所以a3.排除A)422

【易錯點111用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性.

12求sinycosx的最大值3

1【易錯點分析】此題學生都能通過條件sinxsiny將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，

進而利用換3

元的思想令tsinx將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量

的等價性而造成例11、已知sinxsiny錯解，

解析：由已知條件有siny

2sinx13,而11sinx且sinysinx1,1(結(jié)合sinx1,1)

得33122令siyncxo=ssinxcos2x=sin2xsinx33

即2222tsinxt1則原式=t2tt1根據(jù)二次函數(shù)配方

得：當t3333

sinx2

3時，原式取得最大值49。

【知識點歸類點拔】“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素

質(zhì)的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能

力”，解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡

化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的

是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、

復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變

量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或

者變?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。

【練11](1)(高考變式題)設a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx2cosx—2a

的最大值和29

最小值。

答案：11&)的最小值為一2@—2

2

12(0a)122

2a-,最大值為

2122

2a22a(a)22

(2)不等式x>ax+答案：a

3的解集是(4,b),則a=________,b=_______。

2

1

,b36t原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為8

)

【易錯點12】已知Sn求an時，易忽略n=1的情況.例12、(2005高考北京卷)數(shù)

列

(1)求a2,a3,a4的值及數(shù)列an前n項和sn且al1,an13sn。

1

an的通項公式。

【易錯點分析】此題在應用sn與an的關(guān)系時誤認為an的情況的驗證。易得出數(shù)列

snsn1對于任意n值都成立，忽略了對n=l

an為等比數(shù)列的錯誤結(jié)論。

解析：易求得

141611

a2,a3,a4。由al1,an1sn得ansn1n2故

392733

11141

an1ansnsn1ann2得an1ann2又al1,a2故該數(shù)列從

第

33333

1n1

二項開始為等比數(shù)列故an14n2。

n233

sin1【知識點歸類點拔】對于數(shù)列an與sn之間有如下關(guān)系：an利用兩

者之間的關(guān)系snsn1n2

可以已知sn求an。但注意只有在當al適合an的形式。

【練12］（2004全國理）-知數(shù)列則數(shù)列

snsn1n2時兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)

an滿足al1,anal2a23a3n1an1n2

an的通項為。

1n1

答案：（招條件右端視為數(shù)列nan的前nT項和利用公式法解答即可）ann!

n22

【易錯點13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制

是正整數(shù)集或其子集（從1開始）10

例13、等差數(shù)列an的首項al0,前n項和sn,當1m時，smsi。問n為何值

時sn最大？

【易錯點分析】等差數(shù)列的前.n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n

的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制條件。

解析：由題意知sn=fnnalnn12dd2dnaln此函數(shù)是以

22n為變量的二次函

數(shù)，因為al0,當1m時，smsi故d0即此二次函數(shù)開口向下，故由

f1fm得當

時x

當11m2fx取得最大值，但由于nN,故若1m為偶數(shù)，當n1m1時sn

最大。1m2時，sn最大。m為奇數(shù)時，當n

【練13］（2001全國高考題）設

結(jié)論錯誤的是（）A>dan是等差數(shù)列，sn是前n項和，且s5s6,s6s7s8,

則下列OB、a70C、s9s5D、s6和s7均為sn的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再

結(jié)合單調(diào)性解答）

【易錯點14］解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解

答過程繁瑣。例14、已知關(guān)于的方程x23xa0和x23xb0的四個根組成首項

為34的等差數(shù)列，求ab的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等

差數(shù)列中的項是如何排列的。

解析：不妨設34是方程x23xa0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列

的性質(zhì)知方程

2x23xa0的另一根是此等差數(shù)列的第四項，而方程x3xb0的兩根是等差數(shù)

列的中間兩

項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：2735313579,b,，故a從而ab二。

1616844,4411

2【練14](2003全國理天津理)已知方程x

為2xm0和x22xn。的四個根組成一個首項34C、14的等差數(shù)列，則mn=

()A、1B、12D、38

答案：C

【易錯點15]用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q=1的情況

例15、數(shù)列｛an｝中,al

(I)求使anan11,a22,數(shù)列｛anan1｝是公比為q(q0)的等比數(shù)列。

(H)求數(shù)列｛an｝的前2n項的和S2n.anlan2an2an3成立的q的取值范

圍；

【易錯點分析】對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比q二l的特殊情況，造成概念性錯

誤。再者學生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列｛anan1｝是公比為q(q0)的等比數(shù)列得

到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列而找不到解題突破I」。使思維受阻。

解：(I)??,數(shù)列｛an

由anan1an1｝是公比為q的等比數(shù)列，/.anlan2ananlq,

an2an3ananlq2,anlan2an2an3得

anan1ananIqananlq21qq2,即

12.,解得0qq2q10(q0)

(ID由數(shù)列｛anan1｝是公比為q的等比數(shù)列，得anlan2aqn2q,這表

明數(shù)列｛an｝的ananlan

1,a22,???當q1時，所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比

都是q,又al

S2nala2a3a4a2n1a2n

(ala2a3an)(a2a4a6a2n)

al(1qn)a2(lqn)3(lqn),當q1時，1qlqlq

S2nala2a3a4a2n1a2n

(ala2a3an)(a2a4a6a2n)12

（1111）（2222）3n.【練15］（2005高考全國卷一第一

問）設等比數(shù)列

圍。

答案：an的公比為q,前n項和sn0（1）求q的取值范1,00,

【易錯點16］在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前小項和不

會采用錯項相減法或解答結(jié)果不到位。

例16、.（2003北京理）已知數(shù)列

（1）求數(shù)列an是等差數(shù)列，且al2,ala2a312an的通項公式（2）令

bnanxnxR求數(shù)列bn前項和的公式。

an的通項公式再由數(shù)列bn的通項公式分析可知數(shù)列bn是一【思維分析】本

題根據(jù)條件確定數(shù)列

個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯項相減的方法求和。

解析：（1）易求得an

(2)由(1)得bn2n2nxn令sn2x4x26x32nxn(I)則

（注意錯過一位再相減）得xsn2x24x32n1xn2nxn1(II)用

（I）減去（II）

x1xn2n123nn1nx當1xsn2x2x2x2x2nx當

xIsn1x1x

x1時sn2462nnn1

綜上可得：

n2x1xn1當xlsnnx當x1時

sn2462nnn11x1x

【知識點歸類點拔】一般情況下對于數(shù)列cn有cnanbn其中數(shù)列an和bn

分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項和可通過在原數(shù)列的每一項的基礎(chǔ)上都乘上等比

數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情

況的特例。

【練16］（2005全國卷一理）已知

求數(shù)列an的unananlban2b2abnlbnnN,aO,bO當

ab時，13

前n項和sn

答案：a1時snn1an2n2an1a22a當a1時，

sn21ann3

2.

【易錯點17】不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應的求和方法，在應用裂項求和方法時

對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導致多項或少項。

例17、求Snllll?.112123123n

【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破

口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不清而導致解題失

誤。

解：由等差數(shù)列的前n項和公式得123nn(n1)

2,Z.

1111211,,,就分別得到，，，,，，2(),n取1,2,3,

112123123nn(nl)nn1

ASn2(11)2(11)2(11)2(11)22334nn1

2(112n).22142162l(2n)21【練17](2005濟南統(tǒng)考)求和Sn2+

++,,+.22142162l(2n)1

答案：Snllllllll2n111?1

n.1335572n12n12n1

【易錯點18】易由特殊性代替一?般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏

嚴謹?shù)倪壿嬎季S。例18、(2004年高考數(shù)學江蘇卷，20)設無窮等差數(shù)列｛an｝的前n項

和為Sn.

3(1)若首項al，公差d1,求滿足S2(Sk)2的正整數(shù)k；2k

(II)求所有的無窮等差數(shù)列｛an｝,使得對于一切正整數(shù)k都有S

時極易根據(jù)條件''對于一切正整數(shù)k都有Sk2(Sk)2成立.【易錯點分析】本小題主

要考查數(shù)列的基本知識，以及運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力.學生在解第

(II)k2(Sk)2成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數(shù)列的首項和公差，但沒有認

識到求解出的等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立14的充分條

件。還應進一步的由特殊到一般。

解：(I)當al由S3n(n1)3n(n1)12,d1時Snnaldnnn

2222214131kk2(k2k)2,即k(k1)0又k0,所以k4.422n2k2(Sk)2,得

(ID設數(shù)列{an}的公差為d,則在S

2(Sn)2中分別取k=l,2,得

alal2,SI(SI)(1),即43212d(2a1d)24a1S4(S2)

(2)22由(1)得al0或alL當al0時，代入⑵得d0或d6,2若

al0,d0,則an0,Sn0,從而Sk(Sk)成立，若al20,d6,則an6(n1),由

S318,(S3)2324,Sn216知s9(S3),故所得數(shù)列不符合題意.當al

若al1時，代入⑵得46d(2d)2,解得d0或d21,d0,則anl,Snn,

從而Sk2(Sk)2成立；若all,d2,則an2nl,Sn13(2n1)n2,從而

S(Sn)2成立.綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：①{an}:an=0,即0,0,

0,?；②{an}:an=l,即1,1,1,?；③{an}:an=2n—1,即1,3,5,,,,

k2【知識點歸類點拔】事實上，“條件中使得對于一切正整數(shù)k都有S(Sk)2成立.”

就等價于關(guān)于k的方

程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項系數(shù)同時為零，于是本題也可采用這

程等價轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述

解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。

【練18](1)(2000全國)已知數(shù)列cn，其中cn2n3n,且數(shù)列cn1pen

為等比數(shù)列.求常數(shù)p答案：p=2或p=3(提示可令n=l,2,3根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立關(guān)于

P的方程，再說明P值對任意自然數(shù)n都成立)

【易錯點19】用判別式判定方程解的個數(shù)(或交點的個數(shù))時，易忽略討論二次項的系

數(shù)是否為0.尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.

例19、已知雙曲線x2y24,直線ykx1,討論直線與雙曲線公共點的個數(shù)

【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程

組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個交點，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程

后，易忽視對方程的種類進行討論而主觀的誤認為方程就是二次方程只利用判別式解答。

ykx122222解析：聯(lián)立方程組消去y得到1kx2kxk40

(1)當1k0時，22xy4

即k1,方程為關(guān)于x的一次方程，此時方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個交

點。(2)當

21kOk時即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個交點(3)當

2443k0

21k0k時，方程組有兩個交點此時k1。(4)當

233443k0

21k0時即或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。

kk233443k015

綜上知當k1或k時直線與雙曲線只有一個交點，當k1。時k3k

33直線與雙曲線有兩個交點，當k

【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方

程組解的個數(shù)對應于直線與雙曲線的交點個數(shù)另一種方法借助于漸進線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)

合的方法解答，并且這兩種方法的對應關(guān)系如下上題中的第一種情況對應于直線與雙曲線

的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一個公共點，通過這一點也說明直線與

雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應于直線

與雙曲線相切。通過本題可以加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一。

x2

y21,雙曲線c2的左右焦點分別為cl的左右【練19](1)(2005重慶卷)已知

橢圓cl的方程為4

頂點，而c2的左右頂點分別是cl的左右焦點。(1)求雙曲線的方程(2)若直線

1:ykx

圓cl及雙曲線c2恒有兩個不同的交點，且與c2的兩個交點A和B滿足10A0B6,

其中。為原

x2112點，求k的取值范圍。答案：(1)y1(2)

1,322

(2)已知雙曲線C：,過點P(1,1)作直線1,使1與C有且只有一個公共點，則滿

足上述條件的直線1共有

y2

1中整理有(4-k)x+2k(k-Dx-條。答案：4條(可知k存在時，令1:y-l=k(x-l)

代入x4

5(l-k)-4=0,當4-k=0即k=±2時，有一個公共點；當k4±2時，由△=()有k,

有一個切點另：當k2222122

1

不存在時，x=l也和曲線C有一個切點，綜上，共有4條滿足條件的直線）

【易錯點20】易遺忘關(guān)于sin和cos齊次式的處理方法。

cossin22；(2)sinsin.cos2cos的值.cossin

22【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用1sincos可將（2）式分子分母除去

sin即可。

sin1cossincos1tan12322；解：⑴

sin1tan12cossin1cos

sin2sincos2cos222(2)sinsincos2cossin2cos2

sin2sin2222242cos2cossin213lcos2例20、已

知tan2,求⑴

【知識點歸類點拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點（如果不具備,通過構(gòu)造的辦法得到），進

行弦、切互化，就會使解題過程簡化。

（1sin2cos2sec2tan2tancot16

這些統(tǒng)稱為1的代換）常數(shù)“1”的種種代換有著廣泛的應用.

【練20】,（2004年湖北卷理科）

已知6sin2sincos2cos20,[,],求sin（2）的值.23

tan1tar）2）1tan2答案：66tan2tan20,

sin2313【易錯點21]解答數(shù)列應用題，審題不嚴易將有關(guān)數(shù)列的

第n項與數(shù)列的前n項和混淆導致錯誤解答。例21、如果能將一張厚度為0.05min的報紙

對拆,再對拆....對拆50次后,報紙的厚度是多少?你相信這時報紙的厚度可以在地球和月

球之間建一座橋嗎？（已知地球與月球的距離約為410米）8

【易錯點分析】對拆50次后,報紙的厚度應理解一等比數(shù)列的第n項，易誤理解為是比

等比數(shù)列的前n項和。解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設每次對拆厚度構(gòu)成數(shù)

列an,則數(shù)列an是以0510米為首項，公比為2的等比數(shù)列。從而對拆50次后紙

的厚度是此等比數(shù)列的第51項，利用等比數(shù)列的通項公式易得a5ro.0531032=5.63310,

而地球和月球間的距離為4310-3501038<5.6331010故可建一座橋。

【知識點歸類點拔】以數(shù)列為數(shù)學模型的應用題曾是高考考查的熱點內(nèi)容之一，其中

有很多問題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的前n項和或第n項的問題，在審題過程中一定

要將兩者區(qū)分開來。

【練21]（2001全國高考）從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境

建設，并以此發(fā)展旅

1,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為5

1400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增

加.4游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少

(1)設n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn

的表達式；

(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

lln-lnlk-14n(1)an=800+8003(1-)+?+8003(1-)=8003(1-)=40003[1-()]

5555k1

llk-ln5-5bn=400+4003(1+)+?+4003(1+)=4003()kl=16003E()n-114444k1

(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

【易錯點221單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學生易對此知識遺忘，應用意識不

強，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對應的三角函數(shù)線與線段的長度二者等同起來，產(chǎn)生

概念性的錯誤。

例21、下列命題正確的是()17

A、都是第二象限角，若sinsin，貝!JtantanB、都是第三象

限角,若

coscos,貝sinsintantan

C、都是第四象限角，若sinsin

,貝IJ。

D、都是第一象限角,若coscos，則sinsin

【易錯點分析】學生在解答此題時易出現(xiàn)如下錯誤：(1)將象限角筒單理解為銳角或

鈍角或270到360度之間的角。(2)思維轉(zhuǎn)向利用三角函數(shù)的單調(diào)性，沒有應用三角函

數(shù)線比較兩角三角函數(shù)值大小的意識而使思維受阻。

解析：A、由三角函數(shù)易知此時角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要小即tan

理可知sin

tan

B、同

sinC、知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角

。正確。D、同理可知應為sin

的正切線的數(shù)量要大即

tantansin。

【練22］（2000全國高考）已知sinA、若B、若答案：D

【易錯點23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時。易將和

求錯。

sin

,那么下列命題正確的是（）

、都是第二象限角，則tan、都是第四象限角，則tan

、都是第一象限角，則cos、都是第三象限角，則cos

cosB、若cosD、若

tantan

例23.要得到函數(shù)

1

ysin2x的圖象，只需將函數(shù)ysinx的圖象（）

23

個單位。3

1

B、先將每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向左平移個單位。

43

C、先把每