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Hamiltoncanonicequation的首次積分

Hamiltoncanonicequation的首次積分系統(tǒng)的首次積分是方程降階降維的基礎，討論Hamiltoncanonicequation的降階降維問題能量積分循環(huán)積分H中不顯含某些廣義動量的情況2例

、水平直管以勻角速度

繞鉛直軸旋轉。管內放有用彈簧相聯的兩相同質量m的小球。小球可沿直管無摩擦地滑動。已知彈簧剛度系數為k，原長為l，試寫出系統(tǒng)的Hamilton正則方程。小球尺寸略去不計。解：兩個自由度，x1、x2為廣義坐標，主動力均為有勢力構造H函數

則3Hamilton正則方程給定初始條件后，就可得出正則變量的函數4如果Hamilton函數，即不顯含t時，則可得則（常數）因為所以Hamiltoncanonicequation的能量積分

如果是保守系統(tǒng)，則T＝T2，T0＝0則即Hamiltonequation的首次積分等于總機械能（機械守恒）5由H函數定義對某一廣義坐標ql求偏導數代入（勒讓德變換，或定義廣義動量），得因此，如果在Lagrange函數中存在某個循環(huán)坐標ql，則在Hamilton函數中也存在相同的循環(huán)坐標ql。設q1,q2,…,ql(l<k)為Lagrange函數L的循環(huán)坐標，則H函數可表示為6根據正則方程有于是得l個循環(huán)積分

利用循環(huán)坐標可對Hamilton正則方程進行降維，將上式代入Hamilton函數得此時Hamilton正則方程為對于循環(huán)坐標，有即對H求pj偏導，后將pj用Cj代替7積分上式，得:為積分常數。降為(j=l+1,l+2,…,k)若系統(tǒng)有l(wèi)個循環(huán)坐標，則Hamilton正則方程的個數由2k個降為2(k-l)個。因此對于一個力學系統(tǒng)，希望找到盡可能多的循環(huán)坐標，循環(huán)坐標越多，對于方程的求解就越有利。8設p1,p2,…,pl(l<k)不顯含在H中，則Hamilton函數可表示為則方程故由k個減少到k-l個。H函數化為9

（方程個數由k個，減少為k-l個）故共降維2l，即方程個數減少為2(k-l)個。10例3、空心圓管OA繞鉛垂軸O在水平面內轉動。它對O軸的轉動慣量J0=md2，質量為m的質點M在圓管內運動，設質點受引力Fr=-μm/r2，式中r是質點到轉軸O點的矢徑，μ是常數。試列出系統(tǒng)的Hamilton正則方程并求首次積分。解：系統(tǒng)有兩個自由度，選r、φ為廣義坐標，系統(tǒng)的動能取無窮遠處為零勢能點，勢能而11廣義動量求Hamilton函數，因為系統(tǒng)為保守的，故由上式可知，φ

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