高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第14練 空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系精準(zhǔn)提分練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第14練空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系[明晰考情]1.命題角度：空間線(xiàn)面關(guān)系的判斷；空間中的平行、垂直關(guān)系.2.題目難度：中檔難度.考點(diǎn)一空間線(xiàn)面位置關(guān)系的判斷方法技巧(1)判定兩直線(xiàn)異面的方法①反證法；②利用結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).(2)模型法判斷線(xiàn)面關(guān)系：借助空間幾何模型，如長(zhǎng)方體、四面體等觀(guān)察線(xiàn)面關(guān)系，再結(jié)合定理進(jìn)行判斷.(3)空間圖形中平行與垂直的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，要掌握以下的常用結(jié)論①平面圖形的平行關(guān)系：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例、平行四邊形的對(duì)邊互相平行；②平面圖形中的垂直關(guān)系：等腰三角形的底邊上的中線(xiàn)和高重合、菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直、圓的直徑所對(duì)圓周角為直角、勾股定理.1.已知直線(xiàn)a與平面α，β，α∥β，a?α，點(diǎn)B∈β，則在β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的所有直線(xiàn)中()A.不一定存在與a平行的直線(xiàn)B.只有兩條與a平行的直線(xiàn)C.存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線(xiàn)D.存在唯一一條與a平行的直線(xiàn)答案D解析在平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)，只能作一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.2.下列說(shuō)法正確的是()A.若直線(xiàn)l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，則l∥αB.若直線(xiàn)a在平面α外，則a∥αC.若直線(xiàn)a∩b＝?，直線(xiàn)b?α，則a∥αD.若直線(xiàn)a∥b，b?α，那么直線(xiàn)a平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)答案D解析A錯(cuò)誤，直線(xiàn)l還可以在平面α內(nèi)；B錯(cuò)誤，直線(xiàn)a在平面α外，包括平行和相交；C錯(cuò)誤，a還可以與平面α相交或在平面α內(nèi).故選D.3.(2017·全國(guó)Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線(xiàn)AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線(xiàn)，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線(xiàn)AB與平面MNQ相交；B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線(xiàn)，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線(xiàn)，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線(xiàn)，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.4.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C，則B1C與AB的位置關(guān)系為_(kāi)_______.答案垂直解析連接BO，∵AO⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，∴AO⊥B1C.又側(cè)面BB1C1C為菱形，∴B1C⊥BO，又AO∩BO＝O，AO，BO?平面ABO，∴B1C⊥平面ABO.∵AB?平面ABO，∴B1C⊥AB.考點(diǎn)二空間角的求解方法技巧(1)對(duì)于兩條異面直線(xiàn)所成的角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置.(2)直線(xiàn)和平面所成的角的求解關(guān)鍵是找出或作出過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)的平面的垂線(xiàn)，得到斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影.5.(2018·全國(guó)Ⅱ)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長(zhǎng)方體A′B′BA－A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線(xiàn)AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角.連接DB′，由題意，得DB′＝eq\r(12＋1＋12)＝eq\r(5)，B′B1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5).在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′Beq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2eq\r(5)cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝eq\f(\r(5),5).故選C.6.已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的大小為()A.90° B.45°C.60° D.30°答案D解析設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中位線(xiàn).由此可得GF∥AB，且GF＝eq\f(1,2)AB＝1，GE∥CD，且GE＝eq\f(1,2)CD＝2，∴∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成的角.又EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，∴sin∠GEF＝eq\f(GF,GE)＝eq\f(1,2)，又∠GEF為銳角，∴∠GEF＝30°.∴EF與CD所成的角的大小為30°.7.已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，AD的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(6),6)答案B解析連接AE，BD，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD交BD于H，連接EH，則FH⊥平面BDD1B1，∴∠FEH是直線(xiàn)EF和平面BDD1B1所成的角.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，∵E，F(xiàn)分別是棱BB1，AD的中點(diǎn)，∴在Rt△DFH中，DF＝1，∠FDH＝45°，可得FH＝eq\f(\r(2),2)DF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△AEF中，AF＝1，AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝eq\r(5)，可得EF＝eq\r(AF2＋AE2)＝eq\r(6).在Rt△EFH中，sin∠FEH＝eq\f(FH,EF)＝eq\f(\r(3),6)，∴直線(xiàn)EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是eq\f(\r(3),6).8.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，點(diǎn)D在棱BB1上，若BD＝3，則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為()A.eq\f(2\r(3),5) B.eq\f(2\r(39),13)C.eq\f(5,4) D.eq\f(4,3)答案B解析如圖，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，可得eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝4×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝12＝5×2eq\r(3)×cosθ(θ為eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(EB,\s\up6(→))的夾角)，所以cosθ＝eq\f(2\r(3),5)，sinθ＝eq\f(\r(13),5)，又因?yàn)锽E⊥平面AA1C1C，所以所求角即為eq\f(π,2)－θ，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)))＝eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(2\r(39),13).考點(diǎn)三空間線(xiàn)、面關(guān)系的綜合問(wèn)題方法技巧解決與翻折有關(guān)的問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵(1)要明確翻折前后的變化量和不變量.一般情況下，線(xiàn)段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化.(2)在解決問(wèn)題時(shí)，要比較翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形.9.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點(diǎn)，AB＝4，則過(guò)B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長(zhǎng)為()A.6eq\r(2)＋4eq\r(5) B.6eq\r(2)＋2eq\r(5)C.3eq\r(2)＋4eq\r(5) D.3eq\r(2)＋2eq\r(5)答案A解析∵正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，DD1的中點(diǎn)，∴EF∥AD1∥BC1.∵EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1.由正方體的棱長(zhǎng)為4，可得截面是以BE＝C1F＝2eq\r(5)為腰，EF＝2eq\r(2)為上底，BC1＝2EF＝4eq\r(2)為下底的等腰梯形，故周長(zhǎng)為6eq\r(2)＋4eq\r(5).10.如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC的中線(xiàn)AF與中位線(xiàn)DE交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形(點(diǎn)A′不與點(diǎn)F重合)，則下列命題中正確的是()①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線(xiàn)段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱錐A′－FED的體積有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③答案C解析①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線(xiàn)段AF上.②BC∥DE，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時(shí)，三棱錐A′－FED的體積達(dá)到最大，故選C.11.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線(xiàn)BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.正確的為_(kāi)_______(把所有正確的序號(hào)都填上).答案①④解析由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，∴PB⊥AE，∴①正確；由正六邊形的性質(zhì)計(jì)算可得PA＝AD，故△PAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，∴④正確.12.等腰直角三角形BCD的腰長(zhǎng)為2，將平面BCD沿斜邊BD翻折到平面BAD的位置，翻折后如圖所示，O為BD的中點(diǎn)，若AC＝2，則三棱錐A－BCD的體積為_(kāi)_______.答案eq\f(2\r(2),3)解析由題意知，AB＝AD＝CB＝CD＝2，從而根據(jù)等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ABD可求得AO＝CO＝eq\r(2)，又AC＝2，所以在△AOC中，AC2＝AO2＋CO2，所以AO⊥CO.因?yàn)锳O是等腰直角三角形ABD斜邊上的中線(xiàn)，所以AO⊥BD.因?yàn)镃O∩BD＝O，CO，BD?平面BCD，所以AO⊥平面BCD，則其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3).1.α，β是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件下，可判定α∥β的是()A.α，β都平行于直線(xiàn)l，mB.α內(nèi)有三個(gè)不共線(xiàn)的點(diǎn)到β的距離相等C.l，m是α內(nèi)的兩條直線(xiàn)且l∥β，m∥βD.l，m是兩條異面直線(xiàn)且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β答案D解析對(duì)于A，l，m應(yīng)相交；對(duì)于B，應(yīng)考慮三個(gè)點(diǎn)在β的同側(cè)或異側(cè)兩種情況；對(duì)于C，l，m應(yīng)相交，故選D.2.已知m，n表示兩條不同的直線(xiàn)，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥α D.若m∥α，m⊥n，則n⊥α答案B解析對(duì)于A，m，n還可能異面、相交，故A不正確；對(duì)于C，n還可能在平面α內(nèi)，故C不正確；對(duì)于D，n可能平行于平面α，還可能在平面α內(nèi)，故D不正確；對(duì)于B，由線(xiàn)面垂直的定義可知正確.3.(2018·長(zhǎng)沙模擬)如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如圖1).將四邊形ADEF沿AD折起，連接AC，CF，BE，BF，CE(如圖2)，在折起的過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.AC∥平面BEFB.B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)不可能共面C.若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCDD.平面BCE與平面BEF可能垂直答案D解析A選項(xiàng)，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取BE的中點(diǎn)M，連接OM，F(xiàn)M，則四邊形AOMF是平行四邊形，所以AO∥FM，因?yàn)镕M?平面BEF，AC?平面BEF，所以AC∥平面BEF；B選項(xiàng)，若B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，因?yàn)锽C∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C選項(xiàng)，連接FD，在平面ADEF內(nèi)，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，F(xiàn)D∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF與AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D選項(xiàng)，延長(zhǎng)AF至G，使AF＝FG，連接BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，過(guò)F作FN⊥BG于N，則FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，則過(guò)F作直線(xiàn)與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾.解題秘籍線(xiàn)面關(guān)系的判斷要結(jié)合空間模型(如長(zhǎng)方體、正四面體等)或?qū)嵗远ɡ淼慕Y(jié)論為依據(jù)進(jìn)行推理，而不能主觀(guān)猜想.1.已知直線(xiàn)a∥平面α，則“直線(xiàn)a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析若直線(xiàn)a⊥平面β，直線(xiàn)a∥平面α，可得平面α⊥平面β；若平面α⊥平面β，又直線(xiàn)a∥平面α，那么直線(xiàn)a⊥平面β不一定成立.如正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BCC1B1，直線(xiàn)AD∥平面BCC1B1，但直線(xiàn)AD?平面ABCD；直線(xiàn)AD1∥平面BCC1B1，但直線(xiàn)AD1與平面ABCD不垂直.綜上，“直線(xiàn)a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要條件.2.如圖，在三棱錐P－ABC中，不能得出AP⊥BC的條件是()A.AP⊥PB，AP⊥PCB.AP⊥PB，BC⊥PBC.平面PBC⊥平面APC，BC⊥PCD.AP⊥平面PBC答案B解析A中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A可以得出AP⊥BC；C中，因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC，且平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，BC?平面PBC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以PA⊥BC，故C可以得出AP⊥BC；D中，由A知D可以得出AP⊥BC；B中條件不能得出AP⊥BC，故選B.3.已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中正確的命題是()A.①② B.②③C.①④ D.③④答案B解析兩個(gè)平面斜交時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平面的交線(xiàn)的情況，①不正確；垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，②正確；當(dāng)兩個(gè)平面與兩條互相垂直的直線(xiàn)分別垂直時(shí)，它們所成的二面角為直二面角，故③正確；當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，分別與兩個(gè)平面平行的直線(xiàn)也平行，故④不正確.

4.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線(xiàn)AB上B.直線(xiàn)BC上C.直線(xiàn)AC上D.△ABC內(nèi)部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線(xiàn)AB上.5.在如圖所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，AD的中點(diǎn)，直線(xiàn)BF與平面AD1E的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.在平面內(nèi)答案A解析取AD1的中點(diǎn)O，連接OE，OF，則OF平行且等于BE，∴四邊形BFOE是平行四邊形，∴BF∥EO.∵BF?平面AD1E，OE?平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面.其中不正確的結(jié)論是()A.①B.②C.③D.④答案B解析作出過(guò)M，N，P，Q四點(diǎn)的截面交C1D1于點(diǎn)S，交AB于點(diǎn)R，如圖中的六邊形MNSPQR，顯然點(diǎn)A1，C分別位于這個(gè)平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論②不正確.7.空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分別是對(duì)角線(xiàn)AC與BD的中點(diǎn)，則MN與()A.AC，BD之一垂直 B.AC，BD都垂直C.AC，BD都不垂直 D.AC，BD不一定垂直答案B解析連接AN，CN，∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB，則AN＝CN.在等腰△ANC中，由M為AC的中點(diǎn)知MN⊥AC.同理可證MN⊥BD.故選B.8.如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論：①直線(xiàn)BE與直線(xiàn)CF異面；②直線(xiàn)BE與直線(xiàn)AF異面；③直線(xiàn)EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案B解析將展開(kāi)圖還原為幾何體(如圖)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD∥BC，即直線(xiàn)BE與CF共面，①錯(cuò)；因?yàn)锽?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線(xiàn)，②正確；因?yàn)镋F∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，④錯(cuò).故選B.9.如圖，已知在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________.答案平行解析在△PAB中，因?yàn)镈，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理可證EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，E