第2講 因式分解（精講篇）-2020年數(shù)學(xué)初高中銜接講與練

第2講因式分解我們把一個(gè)整式寫成幾個(gè)整式的乘積,稱為因式分解,每一個(gè)乘式稱為積的因式.在因式分解中,通常要求各個(gè)因式都是既約多項(xiàng)式,這樣的因式稱為質(zhì)因式.初中階段,我們已經(jīng)掌握了因式分解的一些基本方法,本講中的因式分解與初中相比，會(huì)出現(xiàn)字母多、次數(shù)高的特點(diǎn)，因此難度會(huì)加大。不過掌握本講的基本方法會(huì)化難為易。我們首先要掌握十字相乘法。本講知識(shí)結(jié)構(gòu)：因式分解公式法高次多項(xiàng)式因式分解十字相乘法分組分解法其他方法因式因式分解因式分解各種應(yīng)用一、十字相乘法 1．型的因式分解 這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．，因此，。即-p,-q是方程x22．一般二次三項(xiàng)式型的因式分解大家知道，．反過來，就得到：，我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解．在掌握了因式分解的四種常用方法:提取公因式法、公式法、分組分解法與十字相乘法后,我們還要了解因式分解一些基本技巧.比如:拆項(xiàng)與添項(xiàng)、主元策略、待定系數(shù)法等方法.3.拆項(xiàng)與添項(xiàng)來分解應(yīng)該掌握的幾個(gè)公式,,,,,,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.上面的幾個(gè)公式都是中學(xué)階段非常重要的恒等式,請讀者加以用心體會(huì).例1把下列各式因式分解： (1) ；(2)；（3）。解：(1) (2)。.（3）。 說明用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，分別把二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分解，看交叉相乘后是否是一次項(xiàng)系數(shù)，如果不是，再調(diào)整相關(guān)因數(shù)。例2把下列各式因式分解： (1)；(2)。 分析(1)把看成的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項(xiàng)系數(shù)．解(1)。 (2)例3分解因式：（1）；（2）6x2-5xy+(3)6x2-5xy+y2分析（1）把整體看作一個(gè)字母，可不必寫出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式，這是換元思想。解 。（2）分析先把6x2-5xy+y2分解得到(3x-y)(2x-y),這時(shí)發(fā)現(xiàn)余下的一次式2x-y正好和前面的因式解6x2（3）分析本題與（2）類似，但后面一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)不與前面因式相同，不能像（2）那樣直接提出公因式。注意到常數(shù)項(xiàng)是-1，所以原式分解因式后的兩個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)一個(gè)是1，另一個(gè)是-1，因此可以考慮試分解：6x2-5xy+y說明也可以采用待定系數(shù)法：設(shè)6x2-5xy+y2-x-1=3x-y+m2x-y+n，右邊展開得3x-y+m2x-y+n=6x比較系數(shù)可得2m+3n=-1,m+n=0，mn=-1，解得m=-1，n=1，從而6x2本題還可以把x看作主元，把y看作常數(shù)，整體看成x的二次三項(xiàng)式，采用十字相乘法：6x2=6x實(shí)際解題個(gè)人根據(jù)自己情況選擇合適的解法。本題在高中數(shù)學(xué)中的背景是方程6x26x可得3x-y-(4)仿照（3）可得===．或===．練習(xí)1分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6)2.把下列各式分解因式： (1);(2);(3);(4);二、分組分解法對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼耍梢韵葘⒍囗?xiàng)式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．例4把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）。 （1）分析把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式．解說明本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組． （2）分析按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號(hào)打開后重新分組，然后再分解因式．解 說明由（1）、（2）可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律．由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用． （3）分析把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒有公因式，但可以運(yùn)用平方差公式分解因式，其中一個(gè)因式是；把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式后，另一個(gè)因式也是.解 （4）分析提取系數(shù)2，前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式．解 說明從（3）、（4）可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來分解因式．練習(xí)2（1）;（2）xy+ax-ay-x2;(3)(m2n+mn2-m-n);(4)三、一元高次多項(xiàng)式的因式分解記一元次多項(xiàng)式,如果用表示被除式,表示除式,表示商式,表示余式,那么,其中的次數(shù)低于的次數(shù).當(dāng)余式時(shí),則稱整除.如果多項(xiàng)式除以的商式是,余式是,那么,由于字母可以取得一切實(shí)數(shù),令,則有,即,因此我們得到:余數(shù)定理:多項(xiàng)式除以所得的余數(shù).特別的,當(dāng)時(shí),,即為的一個(gè)因式.因此又有:因式定理:若,則為的一個(gè)因式.例3把下列多項(xiàng)式分解成一次因式的積：（1）fx=x3（3）fx=x4-4x2分析根據(jù)因式定理需要確定a，使fa=0,怎么確定a？其實(shí)a就是記,若,則有fa=當(dāng)和均為整數(shù)時(shí),必能被整除.于是，a就是多項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)的約數(shù)（最高次項(xiàng)系數(shù)為1，若最高次系數(shù)不為1，則a是最高次項(xiàng)的系數(shù)除以常數(shù)項(xiàng)的約數(shù)，想一想為什么？）。解（1）分別把x=±1,x=±2代入fx（2）分別將代入中,容易得到，、.知必有因式、、、，從而得到。（3）分別把x=±1,x=±2代入fx得f=（4）分別把x=±1,x=±13，x=±23代入f=練習(xí)3把下列各式因式分解：（1）2x3-x(3)x4+四、其他方法因式分解有時(shí)分解因式可能要綜合運(yùn)用多種方法，比如公式法、分組分解法、添項(xiàng)或拆項(xiàng)、提取公因式等方法。例4把各式分解因式。解1記f(x)=,f(-3)=0,f(x)有因式(x+3),運(yùn)用綜合除法可得商式為x2+3，因此=。解2可以對(duì)原式重新分組，以便提取公因式：===．解3也可以把原式中的9拆成1+8，以便利用立法公式：＝＝＝＝＝．例5把分解因式。解1把x看作主元，解關(guān)于x的一元二次方程求出兩個(gè)根，在分解因式。令=0，則解得，，=．解2根據(jù)前兩項(xiàng)的特點(diǎn)，可把原式配成完全平方差,再用平方差公式：=(x+2y)2=.例6把因式分解。解=x+y-zx==例7把分解因式。解要分解可以考慮添一項(xiàng)減一項(xiàng)，以便能有公因式提取。添或減什么呢？注意到x+1，可以想到添x2，有x2+x+1，就要減去x=x5-=x練習(xí)4把下列公式因式分解：（1）a6-7a3b3-8（3）2x4+x2y2五、因式分解解答應(yīng)用例8三邊，，滿足a2+ab-bc+2a=2c+ca，試判定的形狀．解由a2aa+b+2-ca+b+2因?yàn)閍+b+2，所以a-c=0，從而a=c，所以是等腰三角形。例9證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時(shí)，能被120整除．證明因?yàn)?n(n4=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).因?yàn)闉榇笥?的整數(shù)，所以n最小值3，此時(shí)n-2n-1n當(dāng)n大于3時(shí)，n-2n-1nn+1n+2表示連續(xù)5個(gè)正整數(shù)的乘積，一定還有因數(shù)2,3,4,5，其積為120，所以練習(xí)51.已知，求證：。2.已知多項(xiàng)式3x3+ax2+bx+1能被3.三邊，，滿足a2c+ab2-c3練習(xí)1答案1.(1)(x-1)(x-2);(2)(x+1)(x+36);(3)(x-2)(x+13);(4)(m-5n)(m+n);(5)(a-b+4)(a-b+7)(6)(7a+7b+2)(a+b-1) 2.（1）(x-3)(5x+2y);(2)(2a-5b-6)(2a-5b+6);(3)(1-2x+y)(1+2x-y);（4）=(x-3y+m)(x-5y+n),待定系數(shù)解得m=-2,n=-4.從而=(x-3y