高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版第八章課后習(xí)題答案解析

第八章

向量代數(shù)與空間解析幾何

，習(xí)題8-向量及其線性運(yùn)算

1.Hu=a-b+2c,v--。+3力一c.試用".b.c表刃：2〃一3”.

解2u-3v-2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)

=5a-1+7c.

一2.如果平面上一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，試用向心證明它是平行四邊形.

證如圖8-I,設(shè)四邊形A8C7)中,4C‘與8〃交于點(diǎn)V,已知4"二覺(jué)?萬(wàn)方=詞.

故

AH=MB=MC+DM=DC.

即加DCQ.|Afi=IDC|.因此四邊形"C'〃是平行四邊形.

圖8-1圖8-2

43.把△4加；的?。贿匛等分，設(shè)分點(diǎn)依次為〃??〃、,〃一再把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接?

IA以IH=c,B(：=aK示向h[〃J.〃2盛力1和4.

證如圖8-2,根據(jù)題就知

/")；=；a,l)il)2=ga/)/八二ga1八I八=/%

故

/>i4=-(AH+〃〃])=一；a-c.

-

D2A=—(4//+lil)2)=-c.

->?——3

/7,4=-(AHf///>,)=-5"一

6一.《高等數(shù)學(xué)》（第七版）下冊(cè)習(xí)題全解

Z12.求點(diǎn)”(4,-3,5)到各坐標(biāo)軸的跖離.

解點(diǎn)M到K軸的距離</,=，(-31+-=，聲.點(diǎn)1/到>軸的沖離人=

/y

“+5)=溝-，點(diǎn)V到；軸的距離八=v4-+(-3)=v'25=5.

y13.在yOz面上.求與三點(diǎn).4(3.1.在，8(4.-2.-2)和C(0.5.l)等距離的點(diǎn).

解所求點(diǎn)在yOz而上,不妨設(shè)為/>(0.>.：).點(diǎn)”與：.立1.。年：距離.

|PA|=/3J+(>-1)2+(Z-2)2.IPB|="+(y+2)2+(二+2尸.

iPC?=/(>--5)2+mr*.

由|再J|=I湘I=I元|知

/32+(y-l)2+(z-2)2=J*+(『+2尸+(Z+2)2=y(.r-5)2+(x-I)2.

即

r9+(.r-l)'+(j-2)2=l6+(?+2)2+(:+2)\

(9+(y-I尸+(z-2)?=(>-5)2+(:-1)，.

解匕述方程組.得>=1,z=-2.故所求點(diǎn)坐標(biāo)為(0.1.-2).

214.試證明以三點(diǎn)4(4.1.9),8(10.-I.6).C(2.4.3)為頂點(diǎn)的:用杉是等腹行的

三角形.

證ill|4B|=/fl(口F+(-I-I尸+(6-9)，=7.

|4C|=7(2-4):+(4-I)2+(3-95'=7,

7:

|HC|=7(2^10)-T(4+I),+(3-6)=vOS=7、？

知|—|=|而I及I應(yīng)I2=IAllp+I\CI2.AkAW為"reriffifftH

Eal5.設(shè)已知兩點(diǎn)和1八(3.0二).計(jì)。向廿1小/：的乩〃|，，|余以和h

向角.

解向一

W,I/；=(3-4.()-/2.2-I)=(I.、：.11.

10一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）下冊(cè)習(xí)題全解

(1)(a?h)c-(a?c)b；(2)(a+b)x(^+c)；(3)(AxA)?c.

解(I)a?b=(2.-3,1)?(I,-1,3)=8,a?c=(2.-3J)-(1,-2.0)=8.

(a-b)c-(a-c)b=8(1.-2.0)-8(lt-l,3)=(0,-8,-24)

=-8J-24k.

(2)a+b=(2.-3,l)+(l,-l,3)=(3.-4.4).

b+c=(l,-1.3)+(l,-2,O)=(2,-3.3).

(a+b)x(6+c)=3-44=(0.-!,-!)=-j-k.

2-33

2-3I

(3)(axh)?c-I-I3=2.

I-20

10.已知山=i+3A,7甫=j+3A,求△OAH的面積.

解由向圻積的幾何意義知

5IxOB.

04xO/j=103=(-3.-3」)，

()13

|04|=/(-3)2+(-3)2+1=/19.

故

EaTL已知。=（%,%.，，：）?=（/>,.A.,//..）,c=（J』.q）,試?yán)眯辛惺降男再|(zhì)

證明：

{axb)?c=(^xc)?a=(cxa)?b.

1%%%,IAh

證因?yàn)?axb)?c=h、，,b：,(bxc)?a-Jjr..

|%c,%%〃J

而由"列式的性質(zhì)知"h、h=J<\<?..="、明”.卜故

J”,叫“h、4A

(axb)?c=(〃xr)?a(rxn)?h.

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何13

(2.-2,1)?(1.0.0)二2

cos協(xié)=cosa=

l〃ll“3-II,

〃?j(2.-2.1)?(0J,0)2

COSOy=COSP=

〃;DT=J

*6一平面過(guò)點(diǎn)(l?0°-I)且平行于向號(hào):a=(2.l,l)和b=(l,-1,0),試求這平面

方程.

解所求平面平行于向址。和以可取平面的法向盤

iJk

naxb=211=(1.1,-3),

I-10

故所求平面為I-(x-l)+i-(?-0)-3?(z+1)=0,即

x+y-3z-4=0.

47.求三平面一3,+2=1,247-2=0,7+2》+2?=3的交點(diǎn).

解聯(lián)立三平面方程

X+3y+z=1.

,2x-y-z=0,

-x+2y+2z=3.

解此方程組得x=l,>=-l.z=3.故所求交點(diǎn)為(1.-L3).

28.分別按下列條件求平面方程:

(1)平行于x1面且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-5,3)；

(2)通過(guò)二軸和點(diǎn)(-3,1,-2)；

(3)平行于,軸且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(4,0.-2)和(5.1.7).

解(I)所求平面平行于“)z面,故設(shè)所求平面方程為為+〃=0.將點(diǎn)

(2.-5.3)代人，得

-5//+D=0,即D=5B.

因此，所求平面方程為

By+5B=0.即y+5=0.

(2)所求平而過(guò)？軸,故設(shè)所求平面方程為1+為二。.將點(diǎn)(-3.1,-2)代

人，得

-34+3=0,即8=34.

閃此,所求平而方程為

Ax+3Ay=0,即x4-3y=0.

(3)所求平面fJrF?軸,故設(shè)所求平皿方程為">+Cz+"=o.將點(diǎn)(4,

().-2)及(5,1,7)分別代人方程得

-2C+〃=0及+7C+I)=0.

D9

從而解得《：=>?=--D.

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何17

,,?12?I+4-(-1)+(-2)-(-I)I八

川“二I<?(>?(n,s)|=~~r：—p=-一:”■=0,

n222222

Is/2+4+(-2)/|+(-I)+(-I)

即p=0.

,10.試確定卜列各組中的fl線和平面間的關(guān)系：

,、、x+3y+43a.、-.

(1)——=——=—ftl4x-2y-2z=3；

-2-73

(2)-=彳和3,r-2y+7z=8；

5-Z/

(3)

解設(shè)直線的方向向盤為s.平面的法向所為”.江線與平面的夾角為小且

-Vl?T

(1)s=(-2.-1.3).n=(4.-2,-2),

|(-2)-4+(-7)?(-2)+3-(-2)|?

Mil(f>='"'.....................''''=U,

/(_2尸+(-7)2+32./42+(_2尸+(-2尸

即9=().故江線平行于平面或在平面上，現(xiàn)將在線上的點(diǎn)A(-3,-4,0)代人平面方

程.方程不成立.故點(diǎn)4不在平而上.，因此立線不在平面L,宜線與平面平行.

(2)s=(3.-2,7).”=(3,-2,7),由于s="或

|3?3+(-2)-(-2)+7-7|,

sin(p---------------------------------‘‘—=I,

732+(-2)2+72-/32+(-2)2+72

知故在線與平面垂直.

(3)s=(3,1,-4)刖=(1//),由于…=0或

|3?1+1?I+(-4)?I；?

sin中=——-------------------------=U,

/32+12+(-4)2-yp+12+12

知.=0,將。線上的點(diǎn)4(2,-2,3)代入平面方程，方程成立，即點(diǎn)4在平面上.故.

線在平面上.

%11.求過(guò)點(diǎn)(1,2.1)而與兩宜線

fx+2y-z+!=0,和r2x-y=0,

1x-y+z-l=0[x-)+z=0

平行的平面的方程.

解兩直線的方向向址為

/jkijk

$i=I2-I=(1,-2,-3),s2-2-II=((),-!,-!).

20一、《高等數(shù)學(xué)》(第七版)下冊(cè)習(xí)題全解

以1.一球面過(guò)原點(diǎn)及.4(4,0,0),8(I,3,0)和C(0.0,-4)三點(diǎn).求球面的方程及球心

的坐標(biāo)和半徑.

解設(shè)所求球面的方程為(工-。)2+(丫-/,)2+(2-。)2=廢，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)

代人上式.得

a2+b1+c2=R2,(1)

(a-4)2+62+c2=/?2,(2)

(a-1)2+(6-3)2+c2=/?',(3)

a2+A2+(4+r)2=R2.(4)

聯(lián)立(1)(2)得"=2,聯(lián)立(1)(4)得e=-2.將"=2代人(2)(3)并聯(lián)立得6=

I,故K=3.因此所求球面方程為(x-2尸+(,-1"+("2)2=9.其中球心坐標(biāo)為

(2,1.-2),半徑為3.

邑2.建立以點(diǎn)(1.3,-2)為球心,旦通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.

解設(shè)以點(diǎn)(I,3.-2)為球心.K為半徑的球面方程為

(x-1)3+(V-3)2+(工+2尸=K\

球面過(guò)原點(diǎn),故

?2=(0-1)2+(0-3)2+(0+2):=14,

從而所求球血方程為(x-l)?+(”3)2+(：+2尸=14.

歷i3.)1程*2+y2+/_2x+4y+2z=0表示什么曲面?

解籽已知方程整理成

(x-I)2+(y+2)2+(3+I)2=(#)\

所以此〃件衣加以(I,-2.-I)為球心,以yb'Ai'lif-的跳Ifii.

24求與坐標(biāo)原點(diǎn)()及點(diǎn)(2,3.4)的印肉之比為I：2的點(diǎn)的個(gè)住所不成的曲面的h

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何27

*8.求旋轉(zhuǎn)拋物面「二』+」(0這zW4)在三坐標(biāo)加上的投影.

z=x2+V2,..

得X2+/=4.故旋轉(zhuǎn)拋物面在xOy面上的投影為

{2=4

f.v2+y2W4,

|z=0.

如圖8-17.

圖8-17

22

聯(lián)立「二’'得2=/，故旋轉(zhuǎn)拋物面在面上的投影為由z=y2及z=4

[x=0

所圍成的區(qū)域.

同理,聯(lián)立「='+''得故旋轉(zhuǎn)拋物面在％3面上的投影為由z=/及

1>=0

z=4所用成的區(qū)域.

總習(xí)題八

cal填空：

(1)設(shè)在坐標(biāo)系中點(diǎn)4和點(diǎn)M的坐標(biāo)依次為(%，%.%)和(3

y,z),則在"；i/A坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為,向W漏的坐標(biāo)

為_(kāi)_______；

(2)設(shè)數(shù)八?,A2.As不哈為0,使人?a+A?/>+A遙=0,則a,。.c三個(gè)向H是

______的；

(3)設(shè)a=(2,1,2),6=(4.-I,10),c=B-Aa」I.al.c.則A=_；

(4)設(shè)|a|=3.|ft|=4.|c|=5.IU^h!a+b+c=0MI|a*6+&xc+cxa|=

蒯⑴點(diǎn)”的坐標(biāo)為->o，z-zo)，向依漏的坐標(biāo)為(，f>+

34一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）下冊(cè)習(xí)題全解

所求直線平行于平面3x-41+.10=0.故仃

3m-4n+p=0.(I)

乂所求宜線與宜線相交.故行

-I-(-I)3-00-4

1I2=0.

mnp

即10/n-4/i-3p=0.(2)

聯(lián)立(1)(2)式可得

一16=—19=一28.

mnp

因此所求H線方程為

x+I_y_z-4

16=19=2?'

X-X.V-V.Z-2[X-X->\-V,3-J

注若兩在線，：——!■==>!■=-Lj——U--=-ftlz.W')/,'j/.

m\n\P\叱〃2P2

必共面,故

%%?(%X$?)=0.

卜-A)2-->l燈—I]

即有叫n,/),=0.

m2n2Pi

Sa19已知點(diǎn)4(1.0.0)及點(diǎn)8(0.2.1).試在：軸上求-點(diǎn)C.使△\BC的面積最小.

解所求點(diǎn)位T:軸，設(shè)其坐標(biāo)為c(o,0.).由向hi的幾何?義.

設(shè)/（?）=5/-2:+5,則由/'（力=10--2=0*；.因/[；）=I。＞O.Ak-i

:={時(shí)，△”"：的1（11枳取得極小俏.IIILJI點(diǎn)呻.故"i；=；.即（：的t標(biāo)為

第八章

向量代數(shù)與空間解析幾何

，習(xí)題8-向量及其線性運(yùn)算

1.Hu=a-b+2c,v--。+3力一c.試用".b.c表刃：2〃一3”.

解2u-3v-2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)

=5a-1+7c.

一2.如果平面上一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，試用向心證明它是平行四邊形.

證如圖8-I,設(shè)四邊形A8C7)中,4C‘與8〃交于點(diǎn)V,已知4"二覺(jué)?萬(wàn)方=詞.

故

AH=MB=MC+DM=DC.

即加DCQ.|Afi=IDC|.因此四邊形"C'〃是平行四邊形.

圖8-1圖8-2

43.把△4加；的小；邊E等分，設(shè)分點(diǎn)依次為〃??〃、,〃一再把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接?

IA以IH=c,B(：=aK示向h[〃J.〃2盛力1和4.

證如圖8-2,根據(jù)題就知

/")；=；a,l)il)2=ga/)/八二ga1八I八=/%

故

/>i4=-(AH+〃〃])=一；a-c.

-

D2A=—(4//+lil)2)=-c.

->?——3

/7,4=-(AHf///>,)=-5"一

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何7

片模T7,V；=--1尸+(=z其方向余弦分別為

?a在?

cosa=——,cosp--不,cosy~

L22

力向ffj分別為a=q~iT，B=,y=:.

16.設(shè)向工；的方響余弦分別］滿足(I)<,osa=0;(2)<,os口=1；(3)cosa=cosp=0,問(wèn)這

蚱向危與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面的關(guān)系如何？

匚(1)ill">、a=0知a=*，故向?qū)倥cx軸垂直，平行于y()z面.

(2)由cus0=I知S=。,故向一與)軸同向.垂直于x()z面.

(3)由eosa=<-<?萬(wàn)=()知a=3=：,故向；”庭I*［于x軸和,軸，即與z軸平行,

幣H于面.

17.設(shè)向獻(xiàn)，的模是4.它與"軸的夾角是個(gè)?求r在u軸上的投影.

解已知r=4,Prjur=r|<<>s(f=4?cos^-=4x=2.

I?響/的終點(diǎn)作點(diǎn)8(2,-1,7),它在*釉、)軸和二軸I：的投影依次為4,-4和

7.求這向何的起點(diǎn)4的坐標(biāo).

解設(shè)4點(diǎn)坐標(biāo)為(x,J.z),則

誦=(2-x,-l_yj_z),

由題意知

2-x=4.-I-y=-4,7-z=7.

故x=-2,1=3.z=0?因此,4點(diǎn)坐標(biāo)為(-2.3,0).

19.設(shè)m:3i+5j+XA.〃-2i-4j-1k和p=5i+J-4A.求向1/a=4m+3〃-pftx

軸I的投影及在y軸上的分向ht.

a=4m+3w〃=4(3i+5/+8A)+3(2i-V-〃)-(5i+j-4A)

=13；+7；+I5A.

a作t軸的投影為13,/Ey軸I的分向.為7j.

數(shù)量積向量積*混合積

設(shè)a=3i-j-2A,6=i+2/-4,求

(I)?-/>/iaXA；(2)(-2a)-及"x2Z?；(3)”/的夾角的余弦.

獻(xiàn)(I)a-A=(3.-1.-2)?(1.2.-I)

=3xl+(-l)x2+(-2)x(-l)=3,

10一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）下冊(cè)習(xí)題全解

(1)(a?h)c-(a?c)b；(2)(a+b)x(^+c)；(3)(AxA)?c.

解(I)a?b=(2.-3,1)?(I,-1,3)=8,a?c=(2.-3J)-(1,-2.0)=8.

(a-b)c-(a-c)b=8(1.-2.0)-8(lt-l,3)=(0,-8,-24)

=-8J-24k.

(2)a+b=(2.-3,l)+(l,-l,3)=(3.-4.4).

b+c=(l,-1.3)+(l,-2,O)=(2,-3.3).

(a+b)x(6+c)=3-44=(0.-!,-!)=-j-k.

2-33

2-3I

(3)(axh)?c-I-I3=2.

I-20

10.已知山=i+3A,7甫=j+3A,求△OAH的面積.

解由向圻積的幾何意義知

5IxOB.

04xO/j=103=(-3.-3」)，

()13

|04|=/(-3)2+(-3)2+1=/19.

故

EaTL已知。=（%,%.，，：）?=（/>,.A.,//..）,c=（J』.q）,試?yán)眯辛惺降男再|(zhì)

證明：

{axb)?c=(^xc)?a=(cxa)?b.

1%%%,IAh

證因?yàn)?axb)?c=h、，,b：,(bxc)?a-Jjr..

|%c,%%〃J

而由"列式的性質(zhì)知"h、h=J<\<?..="、明”.卜故

J”,叫“h、4A

(axb)?c=(〃xr)?a(rxn)?h.

14一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）下冊(cè)習(xí)題全集

因此，所求平面方程為

9I)

-+-z+〃=0.

即9>-z-2=0.

的9.求點(diǎn)(1.2,1)到平面x+2)+2?-10=0的距離.

解利用點(diǎn)如(*04().%)到平面加+向+G+"=0的距離公式

d_I-4xn+By0+Cz0+I)|

J*+h

|1+2-2+2T-10|_I-3|_

"+2?+2『=3

空間直線及其方程

&L求過(guò)點(diǎn)（4,-1.3）且平行于宜線三=十=?的宜線方程.

解所求直線與已知在線平行.故所求1*1線的方向向hts=（2.1,5）,江線方程

即為

x-4_1+11-3

亍=!"T-=~5~'

la2.求過(guò)兩點(diǎn)多(3,-2,1)和%(-1,0,2)的直線方程.

解取所求有線的方向向盤

s=j=(-I-3,0-(-2).2-1)=(-4,2,1).

因此所求在線方程為

x-3_y+2:-1

-42=~1~

a3.用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線

AC-y+z=1.

)2x+)+z=4.

解根據(jù)題意可知已知直線的方向向以

iJA

s=I-II=(-2.1.3).

2II

取、=0.代入在線方程得［斛用?=:?二:：.這打就用利線”過(guò)

Iy+z=4.~-

的點(diǎn)卜）囚此H線的對(duì)稱式方程為

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何17

,,?12?I+4-(-1)+(-2)-(-I)I八

川“二I<?(>?(n,s)|=~~r：—p=-一:”■=0,

n222222

Is/2+4+(-2)/|+(-I)+(-I)

即p=0.

,10.試確定卜列各組中的fl線和平面間的關(guān)系：

,、、x+3y+43a.、-.

(1)——=——=—ftl4x-2y-2z=3；

-2-73

(2)-=彳和3,r-2y+7z=8；

5-Z/

(3)

解設(shè)直線的方向向盤為s.平面的法向所為”.江線與平面的夾角為小且

-Vl?T

(1)s=(-2.-1.3).n=(4.-2,-2),

|(-2)-4+(-7)?(-2)+3-(-2)|?

Mil(f>='"'.....................''''=U,

/(_2尸+(-7)2+32./42+(_2尸+(-2尸

即9=().故江線平行于平面或在平面上，現(xiàn)將在線上的點(diǎn)A(-3,-4,0)代人平面方

程.方程不成立.故點(diǎn)4不在平而上.，因此立線不在平面L,宜線與平面平行.

(2)s=(3.-2,7).”=(3,-2,7),由于s="或

|3?3+(-2)-(-2)+7-7|,

sin(p---------------------------------‘‘—=I,

732+(-2)2+72-/32+(-2)2+72

知故在線與平面垂直.

(3)s=(3,1,-4)刖=(1//),由于…=0或

|3?1+1?I+(-4)?I；?

sin中=——-------------------------=U,

/32+12+(-4)2-yp+12+12

知.=0,將。線上的點(diǎn)4(2,-2,3)代入平面方程，方程成立，即點(diǎn)4在平面上.故.

線在平面上.

%11.求過(guò)點(diǎn)(1,2.1)而與兩宜線

fx+2y-z+!=0,和r2x-y=0,

1x-y+z-l=0[x-)+z=0

平行的平面的方程.

解兩直線的方向向址為

/jkijk

$i=I2-I=(1,-2,-3),s2-2-II=((),-!,-!).

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何

程，它表示怎樣的曲面？

解設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(*,).:),根據(jù)題意有

/(一0)2+"0)2+(z-0)2二］

+(>-3產(chǎn)+(Z-4)22，

化簡(jiǎn)整理得

卜+,)'+(>+1”+卜+&『=信制：

它表示以(-I,-寺)為球心，以q■網(wǎng)為半徑的球面.

&5.將x()：坐標(biāo)面上的拋物線/=5x繞X軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解以代替拋物線方程J=5x中的z,得

(±y/y2+!2)2=5x,

即/+?=5x.

注x〃z面上的曲線廣(x.z)=0繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

F(x.±分+J)=0

-6.將x()z坐標(biāo)面上的/X2+/=9繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

ft?以士/rrJ-代替圓方程/+/=9中的x,得

(土，/+y2)2+J=9,

即x2+y2+z2=9.

47.將箱〉坐標(biāo)面上的雙曲線4/-9/=36分別繞x軸及>軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成

的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解以代杵雙曲線方程4/-9/=36中的y,得該雙曲線繞K軸旋轉(zhuǎn)

一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

4/-9(士——+J-=36.

即4x2-9(y2+?)=36.

以代科雙曲線力?程4x2-9/=36中的x,得該雙曲線繞，軸旋轉(zhuǎn)一周

而生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

4(-9/=36,

即4(x2+z1)-9y2=36.

8.1岫出F列各方程所收小的曲曲：

⑴卜-］『+/=(罪；⑵一:+「1;

r22

(3)—+—=I；(4)y2-z=0；(5)z=2-x'.

94

28一、《高等數(shù)學(xué)》(第七版)下冊(cè)習(xí)題全解

*0->0+>0，飛+飛)=(f，z)?

(2)由(入I。++入3c)Xb]?C=0得(。Xb)?C=0,即a.b,cJtjfl].

(3)c=￡F-Aa=(4,-IJ0)-A(2.l.2)=(4-2A.-l-Aj0-2A).

aJ.c,故。?c=(2,1,2)?(4-2人.一I-入.1。-2人)=27-9入=0.從而八二3

(4)由(a+b+c)xb=0知axb+cxb=0,即ax/>=bxc；

由(a+b+c)xa=0)31/>xa+cxa=0.l!|laxb=cxa.

又,由|o|2+|b|J|c|2知以向?yàn)檫叺娜切螢樵诮蛆i彬.目

alb.故

axb+bxc+cx"'=3；axb=3absin(a,b)

=3x3x4xI=36.

&2.下列兩題中給出了四個(gè)結(jié)論,從中選出一個(gè)正確的結(jié)論：

x-1+Z=1.

(1)設(shè)紅線/.的方程為則A的參數(shù)方程為();

2x+、+2=4.

X=I-2/.,A=I-2i,x=I-2/

(A)y=1+/.(B)y=-1+，.(C)(0)

z=1+3/z=I+3/z=1+3/;=I+3/

(2)卜列結(jié)論中.錯(cuò)誤的是().

(A)工+2/+/=0衣示飾阿地物面

(B)/+2/=1+3z2表示雙葉雙曲面

(C)/+y2-(1-1尸=0表示圓錐面

(D)y2=5x表示拋物柱面

解(I)應(yīng)選(A).直線Z.的方向向W為s=(-2.1.3).過(guò)點(diǎn)(1.1.1).

(2)應(yīng)選(B).『+2/=I+3/衣示單葉雙曲面.

&3在)軸上求與點(diǎn)4(1.-3.7)和點(diǎn)8(5.7,-5)等距離的點(diǎn).

解根據(jù)題意，設(shè)所求點(diǎn)為W(0.>.0).由

1’+(y+3)2+7)=5?+(,-7)2+(-5尸.

得y=2.故所求點(diǎn)為W(0,2.0).

后4巳知△HBC的頂點(diǎn)為A(3.2.-I).8(5.-4.7)和C(-I.I.2).求從頂點(diǎn)，所用

中線的尺度.

解設(shè)48中點(diǎn)的坐標(biāo)為(v0

3+52-47-I

2

從而頂點(diǎn)(：所用中線的K度

</=/(4+I)2\(-I-I尸?(3-2)'=、30.

￡5.沒(méi)△AIM：的..邊H(：=a,(：\=機(jī)市=r.邊中點(diǎn)依次為〃.乩兒試用向Ha.b.c

第八條向量代數(shù)與空間解析幾何35

/)?。?；)時(shí).5乙.最小.

2//

一2”求曲線「二"-''，在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.

b=(x-1)2+(y-l)2

解在「二2-'二、'，中消去z,得2-/=(x-l)2+(y-l)2,即

U=(.r-l)2+(y-l)2

v"+i*-x-y=0.

為曲線在xOy面上的投影曲線方程.

{2=0

在「二2-''，中一去，，得2=(X-1-+(±/2-/-z-l)2,即

U=(X-1)2+()-1)2

r2x2+2xz+z2-4x-3z+2=0,

2J+2x:+J-4x-3z+2=0,故為曲線在x()z面上

ly=o

的投影曲線方程.

同理.可得，~~".一-'它就是曲線在yOz面上的投影曲線

方程.

21求/面二=〃2+>2與柱與Z?=2］所圍立體在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.

斛在「“丁+丁’中消去Z.得2.3/?/即(一］)2+>2=］,故立體在期.

2

\：=2x

r(x-l)2+y2^l,,,

面上的投杉為(如圖8-2。)?

［z=0