17.1.3-勾股定理在幾何中的應(yīng)用

第十七章

勾股定理17.1勾股定理第3課時

勾股定理在幾何

中的應(yīng)用1課堂講解2課時流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升用勾股定理在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)用勾股定理解幾何問題

某拍賣行貼出了如下的一個土地拍賣廣告：

如下圖，有面積為560英畝的土地拍賣，土地共分三個正方形，面積分別為74英畝、116英畝、370英畝．三個正方形恰好圍著一個池塘，如果有人能計(jì)算出池塘的準(zhǔn)確面積．則池塘不計(jì)入土地價錢白白奉送．英國數(shù)學(xué)家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個問題，你能解決嗎?1知識點(diǎn)用勾股定理在數(shù)軸上表示數(shù)

我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示

的點(diǎn)嗎？

如果能畫出長為

的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示

的點(diǎn).容易知道，長為

的線段是兩條直角邊的長都為1的直角三角形的斜邊.長為

的線段能是直角邊的長為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？知1－講知1－講

利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，直角邊的長為正整數(shù)2,3的直角三角形的斜邊長為

.由此，可以依照如下方法在數(shù)軸上畫出表示

的點(diǎn).

如圖,在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，則OA=3,過點(diǎn)A作直線l垂直于OA，在l上取點(diǎn)B，使AB=2,以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示

的點(diǎn).總

結(jié)知1－講

類似地，利用勾股定理，可以作出長為

…的線段(圖1).按照同樣方法，可以在數(shù)軸上畫出表示

…的點(diǎn)(圖2).

圖1圖2利用

a＝

可以作出．如圖2，先作出與已知線段AB垂直，且與已知線段的端點(diǎn)A相交的直線l，在直線l上以A為端點(diǎn)截取長為2a的線段AC，連接BC，則線段BC即為所求．如圖2，BC就是所求作的線段．例1如圖1，已知線段AB的長為a，請作出長為

a的

段．(保留作圖痕跡，不寫作法)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）圖1圖2導(dǎo)引：解：總

結(jié)知1－講

這類問題要作的線段一般是直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理由要作的線段確定兩直角邊的長是解題的關(guān)鍵．（來自《點(diǎn)撥》）1在數(shù)軸上做出表示的點(diǎn).知1－練（來自《教材》）如圖所示．作法：(1)在數(shù)軸上找出表示4的點(diǎn)A，則OA＝4；(2)過A作直線l垂直于OA；(3)在直線l上取點(diǎn)B，使AB＝1；(4)以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與

數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示

的點(diǎn)．解：2(2016·臺州)如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)O，A，B分別表示

數(shù)0，1，2，過點(diǎn)B作PQ⊥AB，以點(diǎn)B為圓心，AB

的長為半徑畫弧，交PQ于點(diǎn)C，以原點(diǎn)O為圓心，OC的長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的

數(shù)是(

)

A.B.C.D.知1－練（來自《典中點(diǎn)》）B3如圖，點(diǎn)C表示的數(shù)是(

)A．1B.C．1.5D.知1－練（來自《典中點(diǎn)》）D如圖，在長方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為(

)A．2B.－1C.－1D.知1－練（來自《典中點(diǎn)》）4C如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，3)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于(

)A．－4和－3之間B．3和4之間C．－5和－4之間D．4和5之間知1－練（來自《典中點(diǎn)》）5A2知識點(diǎn)用勾股定理解幾何問題知2－講例2如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的長．導(dǎo)引：題中沒有直角三角形，可以通

過作高構(gòu)建直角三角形；過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，圖中會出現(xiàn)

兩個直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，這兩

個直角三角形有一條公共邊AD，借助這條公共邊，

可建立起直角三角形之間的聯(lián)系．知2－講解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，AD

在Rt△ABD中，BD∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.（來自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知2－講（來自《點(diǎn)撥》）

利用勾股定理求非直角三角形中線段的長的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問題．1

如圖，等邊三角形的邊長是6.求：(1)高AD的長；(2)這個三角形的面積.知2－練（來自《教材》）(1)由題意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的“田字格”，只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出長度為

的線段________條．知1－練（來自《典中點(diǎn)》）28知2－練（來自《典中點(diǎn)》）3如圖，每個小正方形的邊長均為1，則△ABC中，

長為無理數(shù)的邊有(

)A．0條

B．1條

C．2條

D．3條C知2－練（來自《典中點(diǎn)》）4如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長為(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB【2017·宜賓】如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對角線BD上F處，則DE的長是(

)A．3B.C．5D.知1－練（來自《典中點(diǎn)》）5C如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，則△ABC的周長等于________cm.知1－練（來自《典中點(diǎn)》）61．勾股定理與三角形三邊平方關(guān)系的綜合應(yīng)用：單一應(yīng)用：先由三角形三邊平方關(guān)系得出直角三角形后，

再求這個直角三角形的角度和面積：綜合應(yīng)用：先用勾股定理求出三角形的邊長，再由三角形

平方關(guān)系確定三角形的形狀，進(jìn)而解決其他問題；逆向應(yīng)用：如果一個三角形兩條較小邊長的平方和不等于

最大邊長的平方，那么這個三角形就不是直角三角形.1知識小結(jié)2．應(yīng)用勾股定理解題的方法：(1)添線應(yīng)用，即題中無直角三角形，可以通過作垂線，構(gòu)

造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求解；(2)借助方程應(yīng)用，即題中雖有直角三角形，但已知線段的

長不完全是直角三角形的邊長，可通過設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建

方程，解答計(jì)算問題；(3)建模應(yīng)用，即將實(shí)際問題建立直角三角形模型，通過勾

股定理解決實(shí)際問題．如圖，把長方形紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則長方形ABCD的面積為________．115.22易錯小結(jié)在Rt△PFH中，F(xiàn)H＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8