八年級數(shù)學(xué)下冊16.1二次根式的概念及性質(zhì)(解析版)

16.1二次根式的概念及性質(zhì)二次根式及代數(shù)式的概念

1.二次根式：一般地，我們把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．

注意：

二次根式的兩個要素：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).2.代數(shù)式：形如5，a，a+b，ab，，x3，a(a≥0)這些式子，用基本的運(yùn)算符號(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.題型1二次根式及代數(shù)式的概念1．（2022八下·涼山期末）在式子x2x>0，2，y+1y=-2，-2xx>0，3A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解析】【解答】解：二次根式有：x2x>0，2，x2+1共3個，

故答案為：B.【變式1-1】下列各式中，是二次根式有（）①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)二次根式的概念及二次根式成立的條件進(jìn)行判斷．【解答】解：②，被開方數(shù)小于0，不是二次根式；③是三次根式；⑤當(dāng)a＜9時，被開方數(shù)小于0，不是二次根式；⑥，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣1＜0，被開方數(shù)小于0，不是二次根式；①；④（x≤3）；⑦（ab≥0）是二次根式．故選：B．【變式1-2】下列式子中，一定屬于二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)，被開方數(shù)不是非負(fù)數(shù)，沒有意義，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，被開方數(shù)不能保證x﹣2是非負(fù)數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，是三次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，是二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【新題速遞】（2022八下·拱墅月考）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．a(chǎn)+1 B．a(chǎn)-1 C．a(chǎn)2-1 【答案】D【解析】【解答】解：A、當(dāng)a<-1時，a+1不是二次根式；B、當(dāng)a<1時，a-1不是二次根式；C、當(dāng)-1<a<1時，a2D、a2故答案為：D.【分析】形如“a(a≥0）”的式子就是二次根式，據(jù)此一一判斷得出答案.二次根式的性質(zhì)

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

注意：二次根式具有非負(fù)性

1.二次根式(a≥0)的值是非負(fù)數(shù)。一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的形式，即.2.與要注意區(qū)別與聯(lián)系：1).的取值范圍不同，中≥0，中為任意值。2).≥0時，==；<0時，無意義，=.題型2：二次根式有意義的條件2.求下列式子有意義的x的取值范圍（1）14-3x（2）3-xx+2（3）x-3x-2（4）-x【答案】解：（1）根據(jù)二次根式的意義和分式有意義的條件，被開方數(shù)4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，解得x＜43所以x的取值范圍是x＜43（2）根據(jù)二次根式的意義和分式有意義的條件，被開方數(shù)3﹣x≥0，解得x≤3；分母x+2≠0，解得x≠﹣2．所以x的取值范圍是x≤3且x≠﹣2．（3）根據(jù)二次根式的意義和分式有意義的條件，被開方數(shù)x﹣3≥0，解得x≥3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．因?yàn)榇笥诨虻扔?的數(shù)中不包含2這個數(shù)，所以x的取值范圍是x≥3．（4）根據(jù)題意得：﹣x2≥0，∵x2≥0，∴x2=0，解得x=0．∴x的取值范圍是x=0；（5）根據(jù)題意得：2x2+1≥0，∵x2≥0，∴2x2+1＞0，故x的取值范圍是任意實(shí)數(shù)；（6）根據(jù)題意得：2x﹣3≥0，解得x≥322x﹣3≤0，解得x≤32綜上，可知x=32∴x的取值范圍是x=32【解析】【分析】（1）（2）（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，由被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0可知；（4）（5）（6）根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)可知．【變式2-1】當(dāng)x為何值時，x-22x+1【答案】解：要使有意義需x-22x+1則x-2?02x+1>0或x-2?0解之得：x?2或x<-1即當(dāng)x?2或x<-12時，【解析】【分析】利用二次根式有意義，則被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，由此建立關(guān)于x的不等式，再分情況討論，可得x的取值范圍.【變式2-2】若式子2x-3+【答案】解：由題意得，2x﹣3≥0，4﹣x≥0，解得，32【解析】【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式即可．【變式2-3】（1）已知是整數(shù)，求自然數(shù)n所有可能的值；（2）已知是整數(shù)，求正整數(shù)n的最小值．【分析】（1）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出自然數(shù)n的值即可；（2）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出正整數(shù)n的最小值即可．【解答】解：（1）∵是整數(shù)，∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，則自然數(shù)n的值為2，9，14，17，18；（2）∵是整數(shù)，n為正整數(shù)，∴24n＝144，即n＝6，則正整數(shù)n的最小值為6．題型3利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算3.計算下列各式：(1)(2)【答案與解析】(1).(2).【總結(jié)】二次根式性質(zhì)的運(yùn)用.【變式3-1】（1）=_____________.（2）=_____________.【答案】(1)10;(2)0.【變式3-2】若整數(shù)滿足條件則的值是___________.【答案】=0或=-1.題型4：二次根式有意義的條件的應(yīng)用4.若x，y都是實(shí)數(shù)，且y＝++8，求3x+2y的平方根．【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x，y的值，再利用平方根的定義得出答案．【解答】解：∵x﹣3≥0且3﹣x≥0，∴x＝3．∴y＝8．∴3x+2y＝3×3+2×8＝25．∴3x+2y的平方根是：±＝±5．即3x+2y的平方根為5或﹣5．【變式4-1】如果a-5+│b-2│=0，求以a、b為邊長的等腰三角形的周長【答案】解：由原式得a=5，b=2，以a、b為邊構(gòu)成的等腰三角形邊長為5、5、2，故其周長為12【解析】【分析】根據(jù)算數(shù)平方根的非負(fù)性及絕對值的非負(fù)性及幾個非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個數(shù)都為零，從而得出a,b的值，然后根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)，分類討論，得出答案?！咀兪?-2】已知a、b分別為等腰三角形的兩條邊長，且a、b滿足a=6+3b-9【答案】解：由題意得，3b-9≥03-b≥0解得，b=3，∴a=6，∵3+3=6，∴3、3、6不能組成三角形，∴等腰三角形的三邊是：6，6，3，∴此三角形的周長為6+6+3=15.【解析】【分析】根據(jù)題意求出a、b的值，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定三角形的邊長，求出此三角形的周長.題型5：二次根式非負(fù)性的應(yīng)用5：當(dāng)﹣4＜x＜1時，化簡x2+8x+16﹣2x【答案】解：原式=(x+4)2﹣2(x-1)∵﹣4＜x＜1，∴x+4＞0，x﹣1＜0，∴原式=x+4+2x﹣2=3x+2【解析】【分析】利用條件即可將原式化簡；【變式5-1】若a、b、c分別是三角形的三邊長，化簡：(a+b-c)2+(b-c-a)2+【答案】解：∵a、b、c分別是三角形的三邊長，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，∴(a+b-c)2+(b-c-a)2=a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）+b+c﹣a=a+b﹣c﹣b+c+a+b+c﹣a=a+b+c【解析】【分析】首先利用三角形三邊關(guān)系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，進(jìn)而化簡求出答案．【變式5-2】若a+1+b2-2b+1=0【答案】解：∵a+1+∴a+1+|b-1|=0∴a+1=0,b-1=0，解得：a=-1,b=1，∴a2013【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及非負(fù)性求出a、b的值，然后代入計算即可.題型6：利用二次根式性質(zhì)化簡6：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡|a|+的結(jié)果是（）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b【分析】根據(jù)數(shù)軸可判斷a、a﹣b與0的大小關(guān)系，然后利用絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)即可化簡求出答案．【解答】解：由數(shù)軸可知：a＞0，b＜a，∴a﹣b＞0，∴原式＝a+a﹣b＝2a﹣b，故選：A．【變式6-1】已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：|．【解析】解：由圖可知，a＜0，c＜0，b＞0，且|c|＜|b|，所以，a+c＜0，c﹣b＜0，=﹣a+a+c+b﹣c﹣b=0.【總結(jié)】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負(fù)性，根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡、絕對值的性質(zhì)，正確進(jìn)行計算即可.【變式6-2】已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且c=，求代數(shù)式c2+ab的值．【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出a,b,c的值，進(jìn)而代入得出答案．【解答】解：∵c=∴a-2=0，b-1=0，c=2-∴a=2，b=1，

∴c2+ab=（2-）2+2×1

=4+3-4+2

=9-4【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出a,b的值是解題關(guān)鍵．一、單選題1．（2022八下·營口期末）二次根式x+3有意義的條件是（）A．x>3 B．x>-3 C．x≥3 D．x≥-3【答案】D【解析】【解答】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0得，x+3有意義的條件是x+3≥0解得：x≥-3故答案為：D【分析】根據(jù)題意求出x+3≥0，再求解即可。2．（2021·臨海模擬）若二次根式x-5有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜5 B．x＞5 C．x≤5 D．x≥5【答案】D【解析】【解答】解：由題意x-5≥0，解得x≥5，故答案為：D.【分析】二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，依此列出不等式求解即可.3．（2021七下·普洱期中）若2x-6在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是二次根式，則x的取值范圍是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≠3【答案】A【解析】【解答】解：由題意可知：2x-6≥0，∴x≥3，故答案為：A．

【分析】根據(jù)二次根式由意義的條件即可求出x的范圍。4．（2022·昭平模擬）下列等式正確的是（）A．(-1)2=-1 B．22×23【答案】D【解析】【解答】解：A、(-1)2B、22C、20D、(-1)2故答案為：D.【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)“a25．（2021·硚口模擬）式子x+3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥0 B．x≥﹣3 C．x≥3 D．x≤﹣3【答案】B【解析】【解答】∵式子x+3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x+3≥0∴x≥-3故答案為：B.【分析】利用二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，由此建立關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集.6．（2021·競秀模擬）以下關(guān)于8的說法，錯誤的是（）A．8是無理數(shù) B．8＝±22C．2＜8＜3 D．能夠在數(shù)軸上找到表示8的點(diǎn)【答案】B【解析】【解答】A、8=2B、因?yàn)?=C、因?yàn)?<8<D、因?yàn)橛欣頂?shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的．故D不符合題意．

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義、二次根式的性質(zhì)和估算無理數(shù)的大小逐項(xiàng)判定即可。二、填空題7．（2022八上·奉賢期中）若（(2x-1)2=1-2x【答案】x≤【解析】【解答】解：由題意得：1-2x≥0，

解得：x≤12.

故答案為：x≤18．（2021·南京模擬）計算：|-3|=；(-3)2=【答案】3；3【解析】【解答】解：|-3|=-故答案為：3，3.【分析】利用絕對值的性質(zhì)“一個負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)”及二次根式的性質(zhì)a29．（2021九下·南寧開學(xué)考）若二次根式x+2有意義，則x的取值范圍是.【答案】x≥-2【解析】【解答】解：∵二次根式x+2有意義，∴x+2≥0，∴x≥-2，故答案為：x≥-2.【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)可得x+2≥0，求解即可.10．（2021八下·東麗期中）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則(3-a)2﹣(【答案】2a-14【解析】【解答】解：∵5＜a＜10，∴原式=|3-a|-|a-11|=-（3-a）+（a-11）=-3+a+a-11=2a-14故答案為：2a-14．【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再結(jié)合數(shù)軸利用特殊值法判斷絕對值的正負(fù)，再去掉絕對值，最后合并同類項(xiàng)即可。11．（2021八下·溫州期中）化簡：(3+1【答案】3【解析】【解答】解：(3故答案為：3+1【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得(3三、計算題12．（）計算：①72②(1③2.12④(-7)2⑤(-1⑥(-2.1)2【答案】解：①72②(13③2.12④(-7)2⑤(-13⑥(-2.1)2【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義分別解答即可.13．（2022八下·黃州期中）計算下列各題：（1）12（2）(【答案】（1）解：12＝2＝23（2）解：(＝(＝18－12＝6．【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)“ab=aba≥0，b≥0、a2=a”可求解；

（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)“a四、解答題14．已知y=4-x2【答案】解：由題意可知：4-x2≥0∴x=±2，當(dāng)x=2時，y無意義，∴x=-2時，y=-1，∴xy2∴1的n次方為1，故答案為1.【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件可得4-x2≥0、x2-4≥0、x-2≠0，解得x=-2，則y=-1，xy215．（2022七上·上城期中）已知