二次函數(shù)的應(yīng)用課件人教版九年級數(shù)學(xué)上冊

課題

第二十二章

二次函數(shù)的應(yīng)用回顧與思考導(dǎo)入

在日常生活中存在著許許多多與數(shù)學(xué)知識有關(guān)的實際問題，過山車的這一部分是否像一個開口向下的二次函數(shù)圖象呢？利用二次函數(shù)的特征是否可以求出該過山車的最高點(diǎn)呢？

商品買賣過程中，作為商家追求利潤最大化是永恒的追求，如果你是商場經(jīng)理，如何定價才能使利潤最大？是否可以轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)模型來求最大利潤呢？

利用二次函數(shù)解決實際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的等量關(guān)系，求出函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去解決問題.2.用二次函數(shù)解實際問題的一般步驟

（1）審；（2）找；（3）列；（4）解；（5）檢.1.用二次函數(shù)解實際問題的常用方法知識點(diǎn)一:最大利潤問題利潤＝售價－成本總利潤＝每件商品的利潤×銷量利潤率＝

×100%常見銷售問題中的數(shù)量關(guān)系：3.求解最大利潤問題時，要熟練掌握利潤問題中相關(guān)數(shù)量的意義以及常用的數(shù)量關(guān)系.審清題意，根據(jù)具體問題，建立函數(shù)關(guān)系式，解決實際問題.例1（1）【例1】超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件，設(shè)銷售單價增加x元，每天售出y件.（1）請寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；根據(jù)這兩句話可以列函數(shù)關(guān)系式；【例1】超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件，設(shè)銷售單價增加x元，每天售出y件.（1）請寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；根據(jù)這兩句話可以列函數(shù)關(guān)系式；

例1（2）【例1】超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件，設(shè)銷售單價增加x元，每天售出y件.（2）當(dāng)x為多少時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元？根據(jù)題中這幾句話可以得出結(jié)果；【例1】超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件，設(shè)銷售單價增加x元，每天售出y件.（2）當(dāng)x為多少時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元？

實際問題中，各個量除了滿足一定的數(shù)量關(guān)系外，還需要考慮各個量的實際意義和已知條件的限制【例1】超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件，設(shè)銷售單價增加x元，每天售出y件.（3）設(shè)超市每天銷售這種玩具可獲利W元，當(dāng)x為多少時W最大，最大值是多少？總利潤＝每件商品的利潤×銷量例1（3）【例1】超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件，設(shè)銷售單價增加x元，每天售出y件.（3）設(shè)超市每天銷售這種玩具可獲利W元，當(dāng)x為多少時W最大，最大值是多少？

注意：

1.用二次函數(shù)解實際問題時，審題是關(guān)鍵，檢驗容易被忽略，求得的結(jié)果除了要滿足題中的數(shù)量關(guān)系，還要符合實際問題的意義.

2.在實際問題中求最值時，解題思路是:列二次函數(shù)解析式，

①用配方法把函數(shù)解析式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式求函數(shù)的最值；

②針對函數(shù)解析式用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求函數(shù)的最值.【鞏固】1.某青年公寓有100張床位，每張床位的日租價為10元時，公寓的床位可全部出租.若每張床位的日租價提高1元，則租出的床位就會減少5張，按此種情況，要想獲得最大收益，則每張床位的日租價需提高_(dá)_________元.鞏固15【鞏固】2.某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y（千克）與售價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價x（元/千克）506070銷售量y（千克）1008060（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；【鞏固】2.某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y（千克）與售價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價x（元/千克）506070銷售量y（千克）1008060（2）該商品每天的總利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)解析式（利潤＝收入－成本）；（2）由題意可得，W＝（x－40）（－2x＋200）＝－2x2＋280x－8000，即W與x之間的函數(shù)解析式是W＝－2x2＋280x－8000．【鞏固】2.某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y（千克）與售價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價x（元/千克）506070銷售量y（千克）1008060（3）試說明（2）中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，

并指出售價為多少時獲得最大利潤，最大利潤是多少？（3）∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2（x－70）2＋1800，（40≤x≤80），∴當(dāng)40≤x≤70時，W隨x的增大而增大，當(dāng)70＜x≤80時，W隨x的增大而減小．當(dāng)x＝70時，W取得最大值，此時W=1800．答：當(dāng)40≤x≤70時，W隨x的增大而增大，當(dāng)70＜x≤80時，W隨x的增大而減?。蹆r為70元/千克時，最大利潤是1800元．在日常生活中，經(jīng)常遇到求某種圖形的最大面積問題，這類問題可以利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決，也就是把最大面積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題．求圖形的面積時常會涉及線段與線段之間的關(guān)系，通常是根據(jù)圖形中線段的關(guān)系，找到相應(yīng)線段與面積之間的函數(shù)關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，就可以用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來解決．

知識點(diǎn)二:圖形的面積最值問題【例2】用長為6米的鋁合金條制成如圖所示的窗框，若窗框的高為x米，窗戶的透光面積為S平方米.（鋁合金條的寬度不計）（1）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

，自變量x的取值范圍為

；（2）如何安排窗框的高和長，才能使窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？例2【例2】用長為6米的鋁合金條制成如圖所示的窗框，若窗框的高為x米，窗戶的透光面積為S平方米.（鋁合金條的寬度不計）（1）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

，自變量x的取值范圍為

；（2）如何安排窗框的高和長，才能使窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？

【例2】用長為6米的鋁合金條制成如圖所示的窗框，若窗框的高為x米，窗戶的透光面積為S平方米.（鋁合金條的寬度不計）（1）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

，自變量x的取值范圍為

；（2）如何安排窗框的高和長，才能使窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？【解析】（2）通過S與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

0＜x＜2【例2】用長為6米的鋁合金條制成如圖所示的窗框，若窗框的高為x米，窗戶的透光面積為S平方米.（鋁合金條的寬度不計）（1）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

，自變量x的取值范圍為

；（2）如何安排窗框的高和長，才能使窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？0＜x＜2

【鞏固】1.一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開.已知籬笆總長為900m（籬笆的厚度忽略不計），當(dāng)AB＝_________m

時，矩形土地ABCD的面積最大.鞏固1150【鞏固】2.如圖，在一面靠墻的空地上用長24m的籬笆，圍成中間隔有兩道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的一邊AB的長為xm，面積為Sm2.（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x取何值時，圍成的花圃面積最大，最大面積是多少？鞏固2（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將拋物線形的圖形放在坐標(biāo)系中；（2）設(shè)出函數(shù)解析式，結(jié)合圖形和已知條件，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解實際問題．利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題的一般步驟：知識點(diǎn)三:拋物線形建筑物問題【例3】如圖所示，某河面上面有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時，寬為20m，若水位上升3m，水面就會達(dá)到警戒線CD，這時水面寬度為10m.（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線的解析式；【解析】以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，先求出拋物線的解析式，然后結(jié)合拋物線的解析式求解即可．例3解：（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)所求拋物線的解析式為：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可設(shè)D（5，b），由AB＝20m，水位上升3m就達(dá)到警戒線CD，則B（10，b－3），

【例3】如圖所示，某河面上面有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時，寬為20m，若水位上升3m，水面就會達(dá)到警戒線CD，這時水面寬度為10m.

（2）若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時就能到達(dá)拱橋的拱頂？解：（2）由（1）知CD距拱頂?shù)木嚯x為1m，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開始，到達(dá)拱頂?shù)臅r間為1÷＝5（h）．所以從警戒線CD開始，再持續(xù)5小時到達(dá)拱橋頂．注意：

同一個問題中，建立平面直角坐標(biāo)系的方法有多種，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系能簡化函數(shù)解析式，通常應(yīng)使已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．【鞏固】1.小明的父親在相距2m的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距離地面都是2.5m，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1m的小明距較近的那棵樹0.5m時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距離地面_________m.鞏固1

【鞏固】2.某菜農(nóng)搭建一個橫截面為拋物線的大棚，有關(guān)尺寸如圖所示，若菜農(nóng)身高為1.6m，則他在不彎腰的情況下在大棚內(nèi)橫向活動的最大范圍是___________m.鞏固2【鞏固】

鞏固3解：（1）依題意，函數(shù)的頂點(diǎn)為（4，

），故設(shè)函數(shù)的解析式為：y＝a（x－4）2＋

，∵點(diǎn)（0，1）在拋物線上∴代入得1＝a（0－4）2＋

，解得a＝－則羽毛球經(jīng)過的路線對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y＝－

（x－4）2＋

．【鞏固】

【例4】如圖，已知一次函數(shù)y1＝－x＋m與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx－3的圖象交于A（－1，0），B（2，n）兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線頂點(diǎn)，求△ABP的面積.已知y1＝－x＋mA（－1，0）B（2，n）y2＝ax2＋bx－3y1＝－x－1B（2，－3）y2＝x2－2x－3求解S△ABPS△ABP＝S△ADP＋S△BDP求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式A（－1，0）求出P、D點(diǎn)的坐標(biāo)B（2，n）y2＝ax2＋bx－3例知識點(diǎn)四:二次函數(shù)的綜合問題4解：把點(diǎn)A（－1，0）代入y1＝－x＋m，得1＋m＝0，解得m＝－1，∴一次函數(shù)的解析式為y1＝－x－1，∵點(diǎn)B（2，n）在一次函數(shù)y1＝－x－1的圖象上，∴n＝－2－1＝－3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，－3），

【鞏固】

鞏固1解：（1）對于拋物線y＝x2－3x＋

，令y＝0，得x2－3x＋

＝0，解得x1＝

，

x2＝

，∴A（

，0），B（

，0），令x＝0，得y＝

，∴C（0，

）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，【鞏固】

鞏固1（2）設(shè)D坐標(biāo)為（m，m2－3m＋

），∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，－

m＋

），設(shè)DE的長為d，∵D是直線BC下方的一點(diǎn)，【鞏固】2.

如圖，已知拋物線y＝－x2＋mx＋3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.（1）求m的值