幾何學(xué)與力學(xué)

關(guān)于幾何學(xué)與力學(xué)提要§1.名人談幾何學(xué)與力學(xué)

§2.從歷史發(fā)展看幾何與力學(xué)

§3.從變換的角度看不變量理論與幾何學(xué)

§4.從計(jì)算的角度看幾何學(xué)與力學(xué)§5.結(jié)語(yǔ)第2頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天§1.名人談幾何學(xué)與力學(xué)在中國(guó)明末，由西方傳教士鄧玉函（瑞士人）口授、王徵筆錄、并于1627年出版的《遠(yuǎn)西奇器圖說》。這本書談到力學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系時(shí)說：“造物主之生物，有數(shù)、有度、有重，物物皆然。數(shù)即算學(xué)，度乃測(cè)量學(xué)，重則此力藝之重學(xué)也。重有重之性。以此重較彼重之多寡，則資算學(xué)；以此重之形體較彼重之形體之大小，則資測(cè)量學(xué)。故數(shù)學(xué)、度學(xué)、重學(xué)之必須，蓋三學(xué)皆從性理而生，為兄弟內(nèi)親，不可相離者也?！边@里數(shù)學(xué)是計(jì)算的意思，和現(xiàn)今數(shù)學(xué)的含義不同。度學(xué)是指測(cè)量學(xué)，更寬一點(diǎn)，指的是幾何學(xué)。第3頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天《遠(yuǎn)西奇器圖說》第4頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天哥白尼1653年出版的《天體運(yùn)行論》的扉頁(yè)上，由出版商約翰尼斯彼得奧斯（JohannesPetreius）寫上的一句話：“沒有學(xué)過幾何學(xué)的人，不準(zhǔn)入內(nèi)。”第5頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天牛頓在他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書第一版的序言中是這樣說的：“由于古人（如帕普斯（Papus,公元前3世紀(jì)）所告訴我們的）在研究自然事物方面，把力學(xué)看得最為重要，而今人則舍棄其實(shí)體形狀和隱蔽性質(zhì)而力圖以數(shù)學(xué)定律說明自然現(xiàn)象，因此我在本書中也致力于用數(shù)學(xué)來探討有關(guān)的哲學(xué)問題。古人從兩方面來研究力學(xué)，一方面是理性的，用論證來精確地進(jìn)行，另一方面是實(shí)用的。一切手藝都屬于實(shí)用力學(xué)，力學(xué)之得名就是為這個(gè)緣故?！薄皫缀螌W(xué)是建立在力學(xué)的實(shí)踐之上的，它無非是普通力學(xué)的一部分，能精確地提出并論證測(cè)量的方法。但因手藝主要應(yīng)用于物體的運(yùn)動(dòng)方面，所以通常認(rèn)為幾何學(xué)涉及物體的大小，而力學(xué)則涉及它們的運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)意義上，推理力學(xué)是一門能準(zhǔn)確提出并論證不論何種力所引起的運(yùn)動(dòng)，以及產(chǎn)生任何運(yùn)動(dòng)所需要的力的科學(xué)?！钡?頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天牛頓（１６４２－１７２７）第7頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天“在力學(xué)中，平衡的疊加就像在幾何中圖形的疊加一樣豐富多彩?！保ɡ窭嗜?，1788）拉格朗日，１７３６－１８１３第8頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天“他（Riemann）用純粹數(shù)學(xué)推理的方法，得出了關(guān)于幾何學(xué)同物理學(xué)不可分割的思想；七十年后，這個(gè)思想實(shí)際上體現(xiàn)在那個(gè)把幾何學(xué)同引力論融合成為一個(gè)整體的廣義相對(duì)論中。”（愛因斯坦，1925）愛因斯坦，１８７９－１９５５第9頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天總結(jié)以上一些名人的說法，力學(xué)與幾何學(xué)有不可分離的密切關(guān)系。沒有幾何學(xué)，就不能準(zhǔn)確描述天體的運(yùn)動(dòng)、沒有幾何學(xué)就不能精確描述物體的運(yùn)動(dòng)、幾何學(xué)是和力學(xué)有著相同的內(nèi)容、沒有幾何學(xué)，就不可能有相對(duì)論，等等。第10頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天§2.從歷史發(fā)展看幾何與力學(xué)古希臘哲學(xué)家赫拉克利特（Heraclites,約公元前540年~前480年）說:“人不能兩次踏入同一條河”。極言萬(wàn)物無時(shí)無刻不在變化。研究事物的變化乃是科學(xué)的真諦。不過，為了區(qū)分事物、為了識(shí)別變化的事物，我們必須抓住變化事物的不變性質(zhì)。所以認(rèn)識(shí)在變化過程中，事物的不變性質(zhì)，乃是研究這種事物的關(guān)鍵。第11頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天在力學(xué)中，最早樸素地認(rèn)識(shí)不變性質(zhì)的，大約是物體處于平衡時(shí)，進(jìn)行微擾平衡不改變。13世紀(jì)約旦努在他的《重物的科學(xué)》中，就以這種觀點(diǎn)來處理杠桿平衡問題。實(shí)際上，這就是后來發(fā)展的虛功原理的萌芽。第12頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天力學(xué)是研究物質(zhì)在空間中位置變化的科學(xué)，而幾何學(xué)是專門研究空間結(jié)構(gòu)的學(xué)科。所以力學(xué)和幾何學(xué)有著天生不可分的聯(lián)系。所以在1627年出版的我國(guó)最早的力學(xué)文獻(xiàn)《遠(yuǎn)西奇器圖說》中說“數(shù)學(xué)、度學(xué)，重學(xué)之必須，為兄弟內(nèi)親，不可相離者也。”這里重學(xué)就是力學(xué)，度學(xué)就是指幾何學(xué)。第13頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以力學(xué)同數(shù)學(xué)的發(fā)展是同步的，或者說，有什么樣的數(shù)學(xué)就有什么樣的力學(xué)，反過來在一定的程度上也可以說有什么樣的力學(xué)就有什么樣的數(shù)學(xué)。力學(xué)的研究經(jīng)常是要了解客觀事物的質(zhì)和量?jī)蓚€(gè)側(cè)面，而質(zhì)和量是不可分的，所以力學(xué)同數(shù)學(xué)自古便有緊密聯(lián)系的傳統(tǒng)。力學(xué)的任務(wù)是研究物質(zhì)在空間中的運(yùn)動(dòng)，而幾何是研究空間的，所以力學(xué)與幾何有著最為密切的聯(lián)系。力學(xué)與物理學(xué)的革命性的發(fā)展常常是和幾何聯(lián)系在一起的從阿基米德到斯梯芬時(shí)代，力學(xué)的研究?jī)?nèi)容是靜力學(xué)。在幾何方面的主要工具是歐氏幾何。相應(yīng)的計(jì)算工具是常量的代數(shù)運(yùn)算。第14頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天從伽利略、惠更斯到牛頓、萊布尼茲的時(shí)代，力學(xué)研究的主要內(nèi)容是自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，特別是解決在引力作用下的自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在幾何方面的主要工具是解析幾何，特別是有關(guān)圓錐曲線的解析幾何。在計(jì)算方面的主要工具則是引進(jìn)了變量，發(fā)明了微積分，而且微積分的發(fā)明人牛頓與萊布尼茲自己也是著名的力學(xué)家，是那個(gè)時(shí)期的力學(xué)學(xué)科的開拓者。從拉格朗日到哈密爾頓和雅科比時(shí)代，力學(xué)主要的研究?jī)?nèi)容是約束運(yùn)動(dòng)。在幾何方面的主要工具是引進(jìn)了n維空間的概念，后來經(jīng)過黎曼的嚴(yán)格化，就是流形或黎曼幾何。而在分析方面的主要工具則是引進(jìn)了泛函的概念，并且發(fā)展了求泛函極值的方法，也就是變分法，拉格朗日自己就是早期開拓變分法的主將。第15頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天在20世紀(jì)末，力學(xué)又進(jìn)入了一個(gè)重要的新階段，這就是以龐卡萊與李亞普諾夫?yàn)榇淼陌l(fā)展動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論時(shí)代。定性理論與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的研究本來是從天體力學(xué)中提出來的一個(gè)理論課題，之后發(fā)現(xiàn)在一切力學(xué)系統(tǒng)中，甚至在由一切非線性常微分方程決定的系統(tǒng)中都有普遍理論與應(yīng)用意義。簡(jiǎn)單說，定性理論是研究系統(tǒng)解的性質(zhì)隨參數(shù)而變化的方向，例如有沒有周期解的變化、有沒有極限環(huán)的變化、解穩(wěn)定與不穩(wěn)定的變化等等。相應(yīng)的幾何方面的主要工具就是拓?fù)鋵W(xué)，而相應(yīng)的計(jì)算工具是同倫與外微分等。至今經(jīng)過了100多年的發(fā)展，它仍然是世界上都很關(guān)心的研究領(lǐng)域。第16頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.從變換的角度看不變量理論

與幾何學(xué)在所有的變化中，最為基本的變化就是位置的變化。為了描述位置的變化，從歷史上說，首先就要把位置用數(shù)量來表述。這就是坐標(biāo)的引進(jìn)。1637年笛卡爾（ReneDescartes，1596-1650)發(fā)表《LaGéométrie》奠定了解析幾何的基礎(chǔ)。從而產(chǎn)生了坐標(biāo)變換的概念。第17頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史1893年李（MariusSophusLie

，1842-1899）出版了他積九年研究的成果于三卷書《TheoriederTransformationsgruppen》中。奠定了李群也就是變換群的基礎(chǔ)。第18頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（FelixChristianKlein，1849-1925）在論文《VergleichendeBetrachtungenüberneueregeometrischeForschungen》中提出以變換來區(qū)分非歐幾何的理論。后來被稱為Erlangenprogram愛爾朗根綱領(lǐng)。

第19頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史在引進(jìn)了坐標(biāo)和時(shí)間的變換后，人們自然要討論在這些變換下，哪些力學(xué)量保持不變。于是人們定義了以下三個(gè)力學(xué)量即：動(dòng)量＝、角動(dòng)量＝和能量＝。人們立即發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)力學(xué)量分別在坐標(biāo)的平移、旋轉(zhuǎn)和時(shí)間的平移之下保持不變。這就是著名的力學(xué)中的三大守恒定律。第20頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史1904年羅倫茨（H.Lorentz，1853-1928）引進(jìn)了時(shí)間和空間變量的羅倫茨變換，在羅倫茨變換下，時(shí)空距離是不變量。其中c是光速。羅倫茨變換在后來相對(duì)論的發(fā)展中起了非常重要的作用。第21頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史在研究了許多個(gè)別的不變量之后，人們需要從一般的觀點(diǎn)來討論變換和不變量。在力學(xué)問題被牛頓和拉普拉斯等人提為微分方程組之后，一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的變化可以用動(dòng)力系統(tǒng)，，設(shè)給定初值為，它的解是（1）這個(gè)解實(shí)際上給出了從到的一個(gè)帶參數(shù)t的變換。李是系統(tǒng)研究這種變換的第一人。這個(gè)變換構(gòu)成了一個(gè)單參數(shù)變換群，也稱為單參數(shù)李群。第22頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天一些重要變換的歷史設(shè)為的任一函數(shù)，一般來說如果

（2）則就是在變換（1）之下的一個(gè)不變量。顯然這個(gè)條件是充分必要的，這是因?yàn)檫M(jìn)一步講，力學(xué)中的各種定律和各種方程，都是講在一定條件或過程中的不變量。都可以統(tǒng)一納入不變量的理論中去討論。第23頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天勒讓德A.M.Legendre1752－1833

第24頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天勒讓德變換是從以下偏微分方程出發(fā)的（3）其中令，再令R、S、T僅是p、q函數(shù)。

一些重要變換的歷史第25頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天令曲面的切平面為

（4）則應(yīng)當(dāng)有

（5）（4）式就在函數(shù)變量x,y與p,q之給出了一個(gè)變換。即第26頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天由(4)微分得

第27頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天把以上結(jié)果代入（3）就得到（5），這一變換可以把一個(gè)擬線性方程化歸為一個(gè)線性方程求解。

第28頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天勒讓德變換的一般提法把以上思想推廣。設(shè)有n個(gè)自變量的函數(shù)它具有直到二階的連續(xù)微商，取新的一組變量

(6)

第29頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天它們組成對(duì)的一組變量替換，設(shè)其Jacobi行列式從（6）就可以把原變量反解出來。得（7）

（8）

考慮新函數(shù)

第30頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天可以證明（9）

在勒讓德變數(shù)替換下，兩個(gè)函數(shù)U，和

的關(guān)系由（8）給出，對(duì)應(yīng)的變量與函數(shù)的關(guān)系由（6）和（9）給出。它概括了力學(xué)與物理上各種作用量之間的關(guān)系。

第31頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天在力學(xué)中常見的內(nèi)能與自由能之間有關(guān)系。變形能密度與余變形能密度之間有關(guān)系。它們都是勒讓德變換的實(shí)例第32頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天在分析力學(xué)中，拉格朗日方程是其中拉格朗日函數(shù)是T為動(dòng)能，U為勢(shì)能。哈米爾頓函數(shù)與拉格朗日函數(shù)之間的關(guān)系是這實(shí)際上也是一個(gè)勒讓德變換。在這個(gè)變換下，拉格朗日方程就變換為哈米爾頓方程。第33頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天從應(yīng)變能到胡—鷲原理也可以歸結(jié)為勒讓德變換令分別為彈性體的位移場(chǎng)、應(yīng)力張量場(chǎng)和應(yīng)變張量場(chǎng)。是應(yīng)變能密度函數(shù)。D為彈性體所占的體積。則泛函取駐值的充分必要條件是第34頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天§4.從計(jì)算的角度看幾何學(xué)與力學(xué)從歷史上看，不僅在對(duì)線性問題的求解中，發(fā)展了一整套幾何語(yǔ)言來表述求解問題的技術(shù)，如：投影、解空間、誤差度量、梯度法，等等。就是近代受到充分注意的非線性問題的計(jì)算中，起最重要作用的兩個(gè)算法：同倫算法和單形法，它們都是起源于近代幾何并且用近代幾何語(yǔ)言來描述的。第35頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天進(jìn)一步，在計(jì)算力學(xué)中近年來引起注意的分叉問題的計(jì)算，則不僅要和上述非線性問題的計(jì)算打交道，還要和動(dòng)力系統(tǒng)的流、微分拓樸、變換群等概念打交道。第36頁(yè),共41頁(yè)，2024年2月25日，星期天最后，還應(yīng)當(dāng)提起一個(gè)在計(jì)算力學(xué)方面比較明顯的趨勢(shì)，即在相空間內(nèi)直接求解。在用手工進(jìn)行計(jì)算的時(shí)代，多事先