高中數學復習課三概率教學案蘇教版必修

……………名校名師推薦…………………PAGEPAGE1復習課(三)概率古典概型古典概型古典概型是學習及高考考查的重點，考查形式以填空題為主，試題難度屬容易或中等，處理的關鍵在于用枚舉法找出試驗的所有可能的基本事件及所求事件所包含的基本事件．還要注意理解事件間關系，準確判斷兩事件是否互斥，是否對立，合理利用概率加法公式及對立事件概率公式．eq\a\vs4\al([考點精要])1．事件(1)基本事件在一次試驗中可能出現的每一個可能結果．(2)等可能事件若在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件．(3)互斥事件①定義：不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件．如果事件A1，A2，…，An中的任何兩個都是互斥事件，就說事件A1，A2，…，An彼此互斥．②規(guī)定：設A，B為互斥事件，若事件A，B至少有一個發(fā)生，我們把這個事件記作A＋B.(4)對立事件兩個互斥事件必有一個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件，事件A的對立事件記作eq\x\to(A).2．概率的計算公式(1)古典概型①特點：有限性，等可能性．②計算公式：P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件數,試驗的基本事件總數).(2)互斥事件的概率加法公式①若事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生的概率等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②若事件A1，A2，…，An兩兩互斥．則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)對立事件計算公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[典例](1)已知5件產品中有2件次品，其余為合格品．現從這5件產品中任取2件，恰有一件次品的概率為________．(2)將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數學書相鄰的概率為________．(3)隨機擲兩枚骰子，它們向上的點數之和不超過5的概率記為p1，點數之和大于5的概率記為p2，點數之和為偶數的概率記為p3，則p1，p2，p3從小到大依次為________．(4)(天津高考)設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數分別為27,9,18.現采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽．①應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數為________．②將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6.從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽．則編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到概率為________．[解](1)記3件合格品為a1，a2，a3,2件次品為b1，b2，則任取2件構成的基本事件空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10個基本事件．記“恰有1件次品”為事件A，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6個基本事件．故其概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)設2本數學書分別為A，B，語文書為C，則所有的排放順序有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6種情況，其中數學書相鄰的有ABC，BAC，CAB，CBA，共4種情況，故2本數學書相鄰的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(3)總的基本事件個數為36，向上的點數之和不超過5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10個，則向上的點數之和不超過5的概率p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)；向上的點數之和大于5的概率p2＝1－eq\f(5,18)＝eq\f(13,18)；向上的點數之和為偶數與向上的點數之和為奇數的個數相等，故向上的點數之和為偶數的概率p3＝eq\f(1,2).即p1<p3<p2.(4)①應從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數分別為3,1,2.②從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果為{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9種．因此，事件A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).[答案](1)0.6(2)eq\f(2,3)(3)p1<p3<p2(4)①3,1,2②eq\f(3,5)[類題通法]解決與古典概型問題時，把相關的知識轉化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算eq\a\vs4\al([題組訓練])1．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．解析：利用列舉法可求出基本事件總數為6種，其中符合要求的有5種，故P＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)2．若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為________．解析：所有基本事件為(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種，其中符合“甲與乙均未被錄用”的結果只有(丙，丁，戊)．故所求概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)3．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________．解析：甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍)，(藍，紅)，(白，藍)，(藍，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共9種，他們選擇相同顏色運動服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共3種．故所求概率為P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).幾何概型答案：eq\f(1,3)

幾何概型幾何概型是各類考查的重點，考查形式以填空題為主，試題難度比古典概型稍大．eq\a\vs4\al([考點精要])1．幾何概型的特征(1)無限性：即試驗結果有無限多個．(2)等可能性：即每個結果出現是等可能的．2．幾何概型的概率公式在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：P(A)＝eq\f(構成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度面積或體積)[典例](1)在區(qū)間[0,5]上隨機選擇一個數p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________．(2)如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為________．(3)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝________.[解析](1)設方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根分別為x1，x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.故所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5)＝eq\f(2,3).(2)依題意，得eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(180,1000)，所以eq\f(S陰影,1×1)＝eq\f(180,1000)，解得S陰影＝0.18.(3)由已知，點P的分界點恰好是邊CD的四等分點，由勾股定理可得AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)AB))2＋AD2，解得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2＝eq\f(7,16)，即eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).[答案](1)eq\f(2,3)(2)0.18(3)eq\f(\r(7),4)[類題通法](1)幾何概型概率的大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關，只和該區(qū)域的大小有關．(2)在解題時要準確把握，要把實際問題作合理的轉化；要注意古典概型和幾何概型的區(qū)別，正確地選用幾何概型的類型解題．eq\a\vs4\al([題組訓練])1．(山東高考)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數x，則事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為________．解析：不等式－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)2.(福建高考)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上.若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________．解析：因為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0，))B點坐標為(1,0)，所以C點坐標為(1,2)，D點坐標為(－2,2)，A點坐標為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，故P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)3．在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S-APC的體積大于eq\f(V,3)的概率是________．解析：由題意可知eq\f(VS-APC,VS-ABC)＞eq\f(1,3)，三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高相同．作PM⊥AC交于點M，BN⊥AC交于點N，則PM，BN分別為△APC與△ABC的高，所以eq\f(VS-APC,VS-ABC)＝eq\f(S△APC,S△ABC)＝eq\f(PM,BN)＞eq\f(1,3)，又eq\f(PM,BN)＝eq\f(AP,AB)，所以eq\f(AP,AB)＞eq\f(1,3)，故所求的概率為eq\f(2,3)(即為長度之比)．概率和統(tǒng)計綜合應用答案：eq\f(2,3)概率和統(tǒng)計綜合應用eq\a\vs4\al([考點精要])對于給定的隨機事件A.由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此各類考試常常結合統(tǒng)計的知識考查概率．考查形式一般以解答題為主，難度中等．解決此類考題要注意：①正確利用數形結合的思想．②充分利用概率是頻率的穩(wěn)定值，用頻率估計概率．③準確地處理所給數據．[典例]某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據用戶對產品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表．圖①B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)．圖②(2)根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由．[解](1)如圖所示．通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散．(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”．由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．[類題通法]解決概率和統(tǒng)計綜合題，首先要明確頻率、概率、頻率分布表、頻率分布直方圖、概率的計算方法等基本知識，要充分利用頻率估計概率及數形結合等基本思想，正確處理各種數據．eq\a\vs4\al([題組訓練])隨機抽取某中學高三年級甲、乙兩班各10名同學，測量出他們的身高(單位：cm)，獲得身高數據的莖葉圖如圖，其中甲班有一個數據被污損.(1)若已知甲班同學身高的平均數為170cm，求污損處的數據；(2)現從乙班這10名同學中隨機抽取2名身高不低于173cm的同學，求身高176cm的同學被抽中的概率．解：(1)設被污損的數字為a，由題意知，甲班同學身高的平均數為eq\x\to(x)＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋170＋a＋182,10)＝170，解得a＝9.(2)設“身高176cm的同學被抽中”的事件為A，從乙班10名同學中抽取2名身高不低于173cm的同學有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}，共10個基本事件，而事件A含有4個基本事件，所以P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工．根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40,50)的概率．解：(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.(3)受訪職工中評分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2.從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為eq\f(1,10).eq\a\vs4\al([對應配套卷P105])1．從1,2,3,4這四個數中一次隨機地取兩個數，則其中一個數是另一個數的兩倍的概率是________．解析：基本事件的總數為6，滿足條件的有{1,2}，{2,4},2個，故P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是________．解析：基本事件總數有6個，滿足條件的有3個，故P＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．如圖所示，陰影部分是一個等腰三角形ABC，其中一邊過圓心O，現在向圓面上隨機撒一粒豆子，則這粒豆子落到陰影部分的概率是________．解析：向圓面上隨機撒一粒豆子，其結果有無限個，屬于幾何概型．設圓的半徑為r，全部結果構成的區(qū)域面積是圓面積πr2，陰影部分的面積是等腰直角三角形ABC的面積r2，則這粒豆子落到陰影部分的概率是eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).答案：eq\f(1,π)4．在區(qū)間[0,3]上任取一點，則此點落在區(qū)間[2,3]上的概率是________．解析：設這個事件為A，所考查的區(qū)域D為一線段，SD＝3，又SA＝1，∴P(A)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)5．現有某類病毒記作XmYn，其中正整數m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數的概率為________．解析：基本事件總數為N＝7×9＝63，其中m，n都為奇數的事件個數為M＝4×5＝20，所以所求概率P＝eq\f(M,N)＝eq\f(20,63).答案：eq\f(20,63)6．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________．解析：去看電影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)＝eq\f(3,4)，去打籃球的概率P2＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π×12)＝eq\f(1,16)，故不在家看書的概率為P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).答案：eq\f(13,16)7．從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數，其和為5的概率是________．解析：從五個數中任意取出兩個數的可能結果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個，其中“和為5”的結果有(1,4)，(2,3)，故所求概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．若a，b∈{－1,0,1,2}，則使關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的概率為________．解析：要使方程有實數解，則a＝0或ab≤1，所有可能的結果為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共16個，其中符合要求的有13個，故所求概率P＝eq\f(13,16).答案：eq\f(13,16)9．在一次教師聯歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機挑選一人表演節(jié)目，若選到男教師的概率為eq\f(9,20)，則參加聯歡會的教師共有________人．解析：設男教師為x人，則女教師為(x＋12)人．依題意有：eq\f(x,2x＋12)＝eq\f(9,20).∴x＝54.∴共有教師2×54＋12＝120(人)．答案：12010．在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“x＋y≤eq\f(1,2)”的概率，p2為事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，則p1，p2，eq\f(1,2)按從小到大排列為________．解析：如圖，滿足條件的x，y構成的點(x，y)在正方形OBCA內，其面積為1.事件“x＋y≤eq\f(1,2)”對應的圖形為陰影△ODE，其面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，故p1＝eq\f(1,8)＜eq\f(1,2)；事件“xy≤eq\f(1,2)”對應的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于eq\f(1,2)，故p2＞eq\f(1,2)，則p1＜eq\f(1,2)＜p2.答案：p1＜eq\f(1,2)＜p211．(山東高考)某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表：(單位：人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學B1，B2，B3.現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．解：(1)由調查數據可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，故至少參加上述一個社團的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率為P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15個．根據題意，這些基本事件的出現是等可能的．事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個．因此A1被選中且B1未被選中的概率為P＝eq\f(2,15).12．編號分別為A1，A2，…，A16的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下：運動員編號A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834運動員編號A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)將得分在對應區(qū)間內的人數填入相應的空格：區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40]人數(2)從得分在區(qū)間[20,30)內的運動員中隨機抽取2人，①用運動員編號列出所有可能的抽取結果；②求這2人得分之和大于50的概率．解：(1)4,6,6.(2)①得分在區(qū)間[20,30)內的運動員編號為A3，A4，A5，A10，A11，A13，從中隨機抽取2人，所有可能的抽取結果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15種．②“從得分在區(qū)間[20,30)內的運動員中隨機抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為事件B)的所有可能結果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5種．所以P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).13．在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分．用xn表示編號為n(n＝1,2，…，6)的同學所得成績，且前5位同學的成績如下：編號n12345成績xn7076727072(1)求第6位同學的成績x6，及這6位同學成績的標準差s；(2)從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率．解：(1)∵這6位同學的平均成績?yōu)?5分，∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90.這6位同學成績的方差s2＝eq\f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴標準差s＝7.(2)從前5位同學中，隨機地選出2位同學的選法有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10種，恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4種，所求概率為P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).14．設f(x)和g(x)都是定義在同一區(qū)間上的兩個函數，若對任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，則稱f(x)和g(x)是“友好函數”，設f(x)＝ax，g(x)＝eq\f(b,x).(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函數”的概率；(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函數”的概率．解：(1)設事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數”，則|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情況有：x－eq\f(1,x)，x＋eq\f(1,x)，x＋eq\f(4,x)，4x－eq\f(1,x)，4x＋eq\f(1,x)，4x＋eq\f(4,x)，共6種且每種情況被取到的可能性相同．又當a＞0，b＞0時，ax＋eq\f(b,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a))))上遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,a))，＋∞))上遞增；x－eq\f(1,x)和4x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上遞增，所以對x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－eq\f(1,x)，x＋eq\f(1,x)，x＋eq\f(4,x)，4x－eq\f(1,x)，故事件A包含的基本事件有4種，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故所求概率是eq\f(2,3).(2)設事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數”，因為a是從區(qū)間[1,4]中任取的數，b是從區(qū)間[1,4]中任取的數，所以點(a，b)所在區(qū)域是長為3，寬為3的矩形區(qū)域．要使x∈[1,2]時，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋eq\f(b,2)≤8，所以事件B表示的點的區(qū)域是如圖所示的陰影部分．所以P(B)＝eq\f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(11,4)))×3,3×3)＝eq\f(19,24)，故所求的概率是eq\f(19,24).

(時間120分鐘滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案填寫在題中橫線上)1．從一箱產品中隨機抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.則事件“抽到的不是一等品”的概率為________．解析：設事件“抽到的不是一等品”為D，則A與D對立，∴P(D)＝1－P(A)＝0.35.答案：0.352．甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，則甲緊接著排在乙前面值班的概率是________．解析：甲、乙、丙三人在3天中值班的情況為：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6種，其中符合題意的有2種，故所求概率為eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3．根據下列算法語句，當輸入x為60時，輸出y的值為________．eq\x(\a\al(Readx,Ifx≤50Then,y←0.5x,Else,y←25＋0.6×x－50,EndIf,Printy))解析：由題意知，該算法語句的功能是求分段函數y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6x－50，x＞50))的值，所以當x＝60時，輸出y的值為25＋0.6×(60－50)＝31.答案：314．從1,2,3,6這4個數中一次隨機地取2個數，則所取2個數的乘積為6的概率是________．解析：取兩個數的所有情況有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6種情況．乘積為6的有：(1,6)，(2,3)共2種情況．所求事件概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為________．解析：由程序框圖與循環(huán)結束的條件“k＞4”可知，最后輸出的S＝log255＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．(福建高考)某校高一年級有900名學生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本，則應抽取的男生人數為________．解析：設男生抽取x人，則有eq\f(45,900)＝eq\f(x,900－400)，解得x＝25.答案：257．(湖北高考)某電子商務公司對10000名網絡購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數為________．解析：(1)由(1.5＋2.5＋a＋2.0＋0.8＋0.2)×0.1＝1，解得a＝3.(2)區(qū)間[0.3,0.5]內頻率為0.1×(1.5＋2.5)＝0.4，故[0.5,0.9]內的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數為0.6×10000＝6000.答案：(1)3(2)60008．(陜西高考)某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為eq\x\to(x)和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為________．解析：對平均數和方差的意義深入理解可巧解．因為每個數據都加上了100，故平均數也增加100，而離散程度應保持不變．答案：100＋eq\x\to(x)s29．甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲在心中任想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”．現任意找兩人玩這個游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為________．解析：甲、乙所猜數字的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個，其中滿足|a－b|≤1的基本事件有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共10個，故所求概率為eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).答案：eq\f(5,8)10．正方形ABCD面積為S，在正方形內任取一點M，△AMB面積大于或等于eq\f(1,3)S的概率為________．解析：如圖，設正方形ABCD的邊長為a，則S＝a2，△ABM的高為h，由題知，eq\f(1,2)h·a≥eq\f(1,3)S＝eq\f(1,3)a2，∴h≥eq\f(2,3)a，∴P＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)11．如下圖是CBA籃球聯賽中，甲、乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖，則平均得分高的運動員是________．解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(44＋30＋100＋30,10)＝20.4，eq\x\to(x)乙＝eq\f(63＋50＋80,10)＝19.3，∴eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙．答案：甲12.如圖，A是圓O上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，它是一條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為________．解析：如圖，當AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝60°，由圓的對稱性及幾何概型得P＝eq\f(120,360)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)13．為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數作為樣本數據．已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互不相同，則樣本數據中的最大值為________．解析：設5個班級的數據分別為0＜a＜b＜c＜d＜e.由平均數及方差的公式得eq\f(a＋b＋c＋d＋e,5)＝7，eq\f(a－72＋b－72＋c－72＋d－72＋e－72,5)＝4.設a－7，b－7，c－7，d－7，e－7分別為p，q，r，s，t，則p，q，r，s，t均為整數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＋r＋s＋t＝0，,p2＋q2＋r2＋s2＋t2＝20.))設f(x)＝(x－p)2＋(x－q)2＋(x－r)2＋(x－s)2＝4x2－2(p＋q＋r＋s)x＋(p2＋q2＋r2＋s2)＝4x2＋2tx＋20－t2，由(x－p)2，(x－q)2，(x－r)2，(x－s)2不能完全相同知f(x)>0，則判別式Δ<0，解得－4<t<4，所以－3≤t≤3，所以最大值為10.答案：1014．設集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和B中隨機取一個數a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為________．解析：事件Cn的總事件數為6.只要求出當n＝2,3,4,5時的基本事件個數即可．當n＝2時，落在直線x＋y＝2上的點為(1,1)；當n＝3時，落在直線x＋y＝3上的點為(1,2)，(2,1)；當n＝4時，落在直線x＋y＝4上的點為(1,3)，(2,2)；當n＝5時，落在直線x＋y＝5上的點為(2,3)；顯然當n＝3或4時，事件Cn的概率最大為eq\f(1,3).答案：3或4二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分14分)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數．乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示．(1)如果X＝8，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差；(2)如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數為19的概率．(注：方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)為x1，x2，…，xn的平均數)解：(1)當X＝8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8,8,9,10，所以平均數為：eq\x\to(x)＝eq\f(8＋8＋9＋10,4)＝eq\f(35,4)；方差為：s2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(35,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(35,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(35,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(35,4)))2＝eq\f(11,16).(2)記甲組四名同學為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數依次為9,9,11,11；乙組四名同學為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有16個：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示“選出的兩名同學的植樹總棵數為19”這一事件，則C中的結果有4個，它們是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求概率為P(C)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).16．(本小題滿分14分)(廣東高考)從一批蘋果中，隨機抽取50個，其重量(單位：克)的頻數分布表如下：分組(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)頻數(個)5102015(1)根據頻數分布表計算蘋果的重量在[90,95)的頻率；(2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個，其中重量在[80,85)的有幾個？(3)在(2)中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個的概率．解：(1)由題意知蘋果的樣本總數n＝50，在[90,95)的頻數是20，∴蘋果的重量在[90,95)頻率是eq\f(20,50)＝0.4.(2)設從重量在[80,85)的蘋果中抽取x個，則從重量在[95,100)的蘋果中抽取(4－x)個．∵表格中[80,85)，[95,100)的頻數分別是5,15，∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1.即重量在[80,85)的有1個．(3)在(2)中抽出的4個蘋果中，重量在[80,85)的有1個，記為a，重量在[95,100)的有3個，記為b1，b2，b3，任取2個，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6種不同方法．記基本事件總數為n，則n＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1個的事件記為A，事件A包含的基本事件為ab1，ab2，ab3，共3個，由古典概型的概率計算公式得P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).17．(本小題滿分14分)為慶祝國慶，某中學團委組織了“歌頌祖國，愛我中華”知識競賽，從參加考試的學生中抽出60名學生，將其成績(成績均為整數)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫出如圖的部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分．解：(1)設第i組的頻率為fi(i＝1,2,3,4,5,6)，因為各組的頻率和等于1，故第四組的頻率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.頻率分布直方圖如圖所示．(2)由題意知，及格以上的分數所在的第三、四、五、六組的頻率之和為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，抽樣學生成績的合格率是75%.故估計這次考試的及格率為75%.利用組中值估算抽樣學生的平均分：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.從而估計這次考試的平均分是71分．18．(本小題滿分16分)某公司有一批專業(yè)技術人員，對他們進行年齡狀況和接受教育程度(學歷)的調查，其結果(人數分布)如下表：學歷35歲以下35～50歲50歲以上本科803020研究生x20y(1)用分層抽樣的方法在35～50歲年齡段的專業(yè)技術人員中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人的學歷為研究生的概率；(2)在這個公司的專業(yè)技術人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再從這N個人中隨機抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為eq\f(5,39)，求x，y的值．解：(1)用分層抽樣的方法在35～50歲的人中抽取一個容量為5的樣本，設抽取學歷為本科的人數為m，∴eq\f(30,50)＝eq\f(m,5)，解得m＝3.∴抽取了學歷為研究生的有2人，學歷為本科的有3人，分別記作S1，S2；B1，B2，B3.從中任取2人的所有基本事件共10個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B