2024年中考數(shù)學(xué) 分式方程（解析版）

第06講分式方程

目錄

題型過(guò)關(guān)練N

題型01判斷分式方程

題型02分式方程的一般解法

題型03錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問(wèn)題

題型04解分式方程的運(yùn)用（新定義運(yùn)算）

題型05根據(jù)分式方程解的情況求值

題型06根據(jù)分式方程有解或無(wú)解求參數(shù)

題型07已知分式方程有增根求參數(shù)

題型08列方式方程

題型09利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題

真即實(shí)戰(zhàn)練N

重難創(chuàng)新練

題型過(guò)關(guān)練

題型01判斷分式方程

1.關(guān)于尤的方程①/—2x=工；②竽—1=竽；③/—2/=0；?i%2-1=0.其中是分式方程是

x4x32

()

A.①②③B.①②C.①③D.①②④

2.給出以下方程：^=1,-=2,==j其中分式方程的個(gè)數(shù)是()

4xX+5232

A.1B.2C.3D.4

題型02分式方程的一般解法

1.（2022.廣東廣州.統(tǒng)考中考真題）分式方程；=工的解是

2xx+1

2.（2023廣州市一模）分式/的值比分式吃的值大3,則x為

3.（2022?廣西梧州?統(tǒng)考中考真題）解方程：=±

3-xx-3

4.（2011.河北?統(tǒng)考中考模擬）解分式方程：3-三="

2x-4x-22

（渭南市一模）解分式方程：

5.2023x-2-1=x-z2-4x+4--

題型03錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問(wèn)題

1.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的分式方程23=1,對(duì)于方程的解，甲、乙兩人有以下說(shuō)法：甲：

x+6

當(dāng)加＜4時(shí)，方程的解是負(fù)數(shù)；乙：當(dāng)機(jī)＞6時(shí)，方程的解是正數(shù).下列判斷正確的是（）

A.只有甲對(duì)B.只有乙對(duì)C.甲、乙都對(duì)D.甲、乙都錯(cuò)

2.（2023?河北滄州??？寄M預(yù)測(cè)）“若關(guān)于久的方程R=無(wú)解，求a的值.“尖尖和丹丹的做法如

3x-93X-9

下（如圖1和圖2）：

1/49

尖尖：丹丹：

去分母得：ax=12+3x-9,去分母得：ax=12+3x-9,

移項(xiàng)得：ax-3x=12-9,移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：

合并同類(lèi)項(xiàng)得：3

（＜7-3）X=3,解得：x=-7，

（＜7-3）X=3,a-3

「原方程無(wú)解，???原方程無(wú)解，為增根,

.1.47-3=0,:.3x-9=0,解得x=3,

:.a=3.3

一7=3,解得0=4.

a-3

圖1圖2

下列說(shuō)法正確的是（）

A.尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò)B.尖尖錯(cuò)，丹丹對(duì)

C.兩人都錯(cuò)D.兩人的答案合起來(lái)才對(duì)

3.（2。23上?河北邢臺(tái)?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于萬(wàn)的分式方程第-含=1無(wú)解,求機(jī)的值.

甲同學(xué)的結(jié)果：m=0.

乙同學(xué)的結(jié)果：m=-8.

關(guān)于甲、乙兩位同學(xué)計(jì)算的結(jié)果，下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲同學(xué)的結(jié)果正確B.乙同學(xué)的結(jié)果正確

C.甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起正確D.甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起也不正確

4.已知分式方程-1+3=?有解，其中“■”表示一個(gè)數(shù).

x-11-X

⑴若“■”表示的數(shù)為4,求分式方程的解；

（2）小馬虎回憶說(shuō)：由于抄題時(shí)等號(hào)右邊的數(shù)值抄錯(cuò)，導(dǎo)致找不到原題目，但可以肯定的是“■”是-1或0,試

確定“■”表示的數(shù).

5.（1）以下是小明同學(xué)解方程式=白—2的過(guò)程.

x-33-x

【解析】方程兩邊同時(shí)乘（久—3）,得1一x=—1—2.第一■步

解得x=4.第二步

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，乂-3=4-3=170.第三步

所以，原分式方程的解為x=4.第四步

①小明的解法從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；出錯(cuò)的原因是.

②解分式方程的思想是利用的數(shù)學(xué)思想，把分式方程化為整式方程.

A.數(shù)形結(jié)合B.特殊到一般C.轉(zhuǎn)化D.類(lèi)比

③寫(xiě)出解方程上|=2-2的正確過(guò)程.

x-33-x

⑵化簡(jiǎn)：槳冷（一￡）?

2/49

6.在解分式方程2時(shí)，小亮的解法如下：

x-22-x

解：方程兩邊同時(shí)乘X—2,得1一K=一1一2（第一步）

解這個(gè)整式方程得：x=4（第二步）

任務(wù)一：填空

在上述小亮所解方程中，第一步有錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是：

任務(wù)二：請(qǐng)寫(xiě)出解這個(gè)方程的正確過(guò)程.

任務(wù)三：請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)解分式方程的注意事項(xiàng)給其他同學(xué)再提出一條建議.

題型04解分式方程的運(yùn)用（新定義運(yùn)算）

1.（2023西安鐵一中一模）定義一種新運(yùn)算：n-xn~rdx=an—bn,例如：2-xdx=k2—h2,若

/黑—%—2念=—2,則m=（）

22

A.-2B.--C.2D.-

55

2.（2023?山東荷澤?校考三模）對(duì)于實(shí)數(shù)Q和b,定義一種新運(yùn)算“③”為：a?b=這里等式右邊是實(shí)

l-bz

數(shù)運(yùn)算.例如：503=^=--.則方程X*2=3—1的解是（）

1-328X-4

A.%=4B.x=5C.x=7D.x=6

3.（2023?廣東深圳?深圳某中學(xué)?？级＃?duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算%”為：aSb=、,例如：

a+bz

162=~,則3（-2）=三一2的解是____.

1+2/x+4

{—,a>b

4.（2022.北京海淀?人大附中校考模擬預(yù)測(cè)）定義運(yùn)算“※”：皿b=°7.若5月X=2,則久的值可能

—,CLb

Kb-a

為（）

A.jB.5C.yD.10或,

題型05根據(jù)分式方程解的情況求值

1.（2021?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程2-廿=工的解是正數(shù)，則左的取值范圍是.

x-22-x

2.（2023慈溪市二模）如果方程4-1=二的解是正數(shù)，那么k的取值范圍為

X-l1-X-----

3.（2023齊齊哈爾市模擬）若關(guān)于x的方程二+產(chǎn)=3的解為正數(shù)，則根的取值范圍是.

x-33-x

4.（2022?湖北黃石.統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的方程工+二=壬的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是_______

xx+1x（x+l）

5.（2022?山東日照?日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？家荒＃┮阎P(guān)于無(wú)的分式方程注=1的解不大于2,則相的取值

2X-1

3/49

范圍是.

6.（2。22?四川南充?統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的分式方程六=含+3的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是

題型06根據(jù)分式方程有解或無(wú)解求參數(shù)

1.（2021.四川巴中?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于尤的分式方程舞-3=0有解，則實(shí)數(shù)力應(yīng)滿足的條件是（）

2-X

A.m--2B.-2C.m=2D.m^2

2.（2020黃岡市模擬）關(guān)于x的分式方程三=號(hào)有解，則字母a的取值范圍是（）

xx-2

A.a=2或a=0B.aH0C.aH5D.aW5且aW0

3.（2021.內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于尤的分式方程三+詈=2無(wú)解，則a的值為（）

x-33-x

A.3B.0C.-1D.0或3

4.（2022.黑龍江?統(tǒng)考三模）關(guān)于x的分式方程上？+2=*有解，則a的取值范圍是

x-22-X------

5.關(guān)于x的分式方程上+等；=三無(wú)解，則機(jī)的值為

題型07已知分式方程有增根求參數(shù)

1.（2022?湖北襄陽(yáng)?統(tǒng)考一模）關(guān)于x的方程日|=三有增根，則血的值及增根x的值分別為（）

X4-3X+3

A.-1,-3B.1,-3C.-1,3D.1,3

2.（2022?山東濰坊?統(tǒng)考二模）如果解關(guān)于x的分式方程三+（二心、=2時(shí)出現(xiàn)增根,則根的值可能為

x-1（x-l）（x+2）x+2

（）

A.-6或-3B.-3C.-2D.1

3.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模）關(guān)于尤的方程安=9+1有增根，則相的值是.

x-33-x

4.（2022綏寧縣一模）若去分母解分式方程二|+1=V會(huì)產(chǎn)生增根，則機(jī)的值為.

x-3x-3

5.（2022.江蘇徐州.統(tǒng)考二模）如果關(guān)于x的方程三=1-二有增根，那么k=.

題型08列方式方程

1.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考一模）習(xí)近平總書(shū)記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”、為

了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開(kāi)展名著閱讀活動(dòng)，用3600元購(gòu)買(mǎi)“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這

批圖書(shū)滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書(shū)管理員在購(gòu)買(mǎi)第二批時(shí)正趕上圖書(shū)城八折銷(xiāo)售該套書(shū)，于是用2400元

購(gòu)買(mǎi)的套數(shù)只比第一批少4套，設(shè)第一批購(gòu)買(mǎi)的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則符合題意的方程是（）

A360036004c36002400,

A.--------------=4B.--------------=4

0.8%xx0.8%

4/49

―24003600八c24002400A

C.---------------------=0D.---------=4

0.8xx0.8xx

2.（2023?河南駐馬店??？级＃┠丑w育用品商店出售跳繩，售賣(mài)方式可批發(fā)可零售，班長(zhǎng)打算為班級(jí)團(tuán)購(gòu)

跳繩，如果每位同學(xué)一根跳繩，就只能按零售價(jià)付款，共需800元；如果多購(gòu)買(mǎi)5根跳繩，就可以享受批發(fā)

價(jià),總價(jià)是720元，已知按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)40根跳繩與按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)50根跳繩付款相同，則班級(jí)共有多少名學(xué)生?

設(shè)班級(jí)共有尤名學(xué)生，依據(jù)題意列方程得（）

AA.5L0Cx—800=—720x440cB.4“0cx—720=—800x5LC0

xx+5x-5x

C―.440cx—800=—720x5「0八D.5lc0x—720=—800x4,0八

xx+5x-5x

3.（2022?四川宜賓.統(tǒng)考中考真題）某家具廠要在開(kāi)學(xué)前趕制540套桌凳，為了盡快完成任務(wù)，廠領(lǐng)導(dǎo)合理

調(diào)配，加強(qiáng)第一線人力，使每天完成的桌凳比原計(jì)劃多2套，結(jié)果提前3天完成任務(wù).問(wèn)原計(jì)劃每天完成

多少套桌凳？設(shè)原計(jì)劃每天完成x套桌凳，則所列方程正確的是（）

A54054035405403―540540g「540540g

A.--------=3B.-----------=3C.------------------=3D.-----------=3

x-2xx+2xxx+2xx-2

4.（2022?廣東佛山?佛山市華英學(xué)校?？既＃〢,8兩地相距80千米，一輛大汽車(chē)從4地開(kāi)出2小時(shí)后，又

從4地開(kāi)出另一輛小汽車(chē)，已知小汽車(chē)的速度是大汽車(chē)速度的3倍，結(jié)果小汽車(chē)比大汽車(chē)早40分鐘到達(dá)8地,

求兩種汽車(chē)每小時(shí)各走多少千米.設(shè)大汽車(chē)的速度為xkm/h,則下面所列方程正確的是（）

A..-80----8-0=440八B.---=2.4

x3xx3x

C.--2=-+-D.—+2=—2

x3x3x3x3

5.（2023福州文博中學(xué)模擬）某廠計(jì)劃加工120萬(wàn)個(gè)醫(yī)用口罩，按原計(jì)劃的速度生產(chǎn)6天后，疫情期間因

為任務(wù)需要，生產(chǎn)速度提高到原來(lái)的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前3天完成任務(wù).若設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)尤萬(wàn)個(gè)

口罩，則可列方程為（）

A120120,「n120120c

A.—=----F3B.—=------3

x1.5xx1.5%

-120—6x120—6x__120_6%120—6%-

C.--------=-----------F3D.--------=------------3

x1.5%x1.5%

6.（2021?山東臨沂?統(tǒng)考中考真題）某工廠生產(chǎn)力、B兩種型號(hào)的掃地機(jī)器人.B型機(jī)器人比4型機(jī)器人每小

時(shí)的清掃面積多50%；清掃100m2所用的時(shí)間力型機(jī)器人比B型機(jī)器人多用40分鐘.兩種型號(hào)掃地機(jī)器人

每小時(shí)分別清掃多少面積？若設(shè)4型掃地機(jī)器人每小時(shí)清掃“m2,根據(jù)題意可列方程為（）

A100100,2c100,2100

A.——=---1--B.---------1--=—

0.5xx30.5x3x

-100,2100c100100,2

C.------1--=------D.——=------F-

x31.5%x1.5x3

7.（2023西峽縣三模）《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢

馬送到900里遠(yuǎn)的城市，所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；若改為快馬派送，則所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天,

已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時(shí)間，設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則可列出正確的方程為（）

AA.—900=2仁x—900B.—=2x—

%+3x-1x~3x+1

C-.—900=2仁x—900D.—=2x—

x-1x+3x+1x—3

5/49

8.（2022?浙江麗水?統(tǒng)考中考真題）某校購(gòu)買(mǎi)了一批籃球和足球.已知購(gòu)買(mǎi)足球的數(shù)量是籃球的2倍，購(gòu)買(mǎi)

足球用了5000元，購(gòu)買(mǎi)籃球用了4000元，籃球單價(jià)比足球貴30元.根據(jù)題意可列方程理=理-30,

2xx

則方程中尤表示（）

A.足球的單價(jià)B.籃球的單價(jià)C.足球的數(shù)量D.籃球的數(shù)量

題型09利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題

1.（2021.山東泰安.統(tǒng)考中考真題）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對(duì)疫苗急需問(wèn)題，某制藥

廠緊急批量生產(chǎn)，計(jì)劃每天生產(chǎn)疫苗16萬(wàn)劑，但受某些因素影響，有10名工人不能按時(shí)到廠.為了應(yīng)對(duì)

疫情，回廠的工人加班生產(chǎn)，由原來(lái)每天工作8小時(shí)增加到10小時(shí)，每人每小時(shí)完成的工作量不變，這樣

每天只能生產(chǎn)疫苗15萬(wàn)劑.

（1）求該廠當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有多少人？

（2）生產(chǎn)4天后，未到的工人同時(shí)到崗加入生產(chǎn)，每天生產(chǎn)時(shí)間仍為10小時(shí).若上級(jí)分配給該廠共760

萬(wàn)劑的生產(chǎn)任務(wù)，問(wèn)該廠共需要多少天才能完成任務(wù)？

2.（2022.江蘇揚(yáng)州.統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計(jì)劃由八年級(jí)（1）班的4個(gè)小組制

作360面彩旗，后因1個(gè)小組另有任務(wù),其余3個(gè)小組的每名學(xué)生要比原計(jì)劃多做3面彩旗才能完成任務(wù).如

果這4個(gè)小組的人數(shù)相等，那么每個(gè)小組有學(xué)生多少名？

3.（2022?山東荷澤?統(tǒng)考中考真題）某健身器材店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批籃球和排球，已知每個(gè)籃球進(jìn)價(jià)是每個(gè)排球

進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用3600元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用3200元購(gòu)進(jìn)排球的數(shù)量少10個(gè).

（1）籃球、排球的進(jìn)價(jià)分別為每個(gè)多少元？

（2）該健身器材店決定用不多于28000元購(gòu)進(jìn)籃球和排球共300個(gè)進(jìn)行銷(xiāo)售，最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)籃球？

真題實(shí)戰(zhàn)練

1.（2023?上海?統(tǒng)考中考真題）在分式方程等+白=5中，設(shè)等=y,可得到關(guān)于y的整式方程為（）

A.y2+5y+5=0B.y2—5y+5=0

C.y2+5y4-1=0D.y2—5y+1=0

2.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）分式方程三=三的解為（）

x-3x-3

A.2B.3C.4D.5

3.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）將關(guān)于尤的分式方程:二上去分母可得（）

2xx-1

A.3%—3=2xB.3%—1=2%C.3x—1=xD.3%—3=%

6/49

4.（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程三-2='解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）

x-12x-2

242r4ri2

A.m>——B.m<-C.m>——且?nW0D.zn〈-且znH-

33333

5.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程三+1=4的解為非負(fù)數(shù)，則比的取值范圍是（）

x-11-X

A.m<1且ntW—1B.m>—1且znW1C.m<1且znH—1D.m>—1且znW1

6.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的分式方程三+1=F的解是非負(fù)數(shù)，則根的取值范圍是（）

X-22-X

A.m<2B.m>2

C.m<2且mH—2D.m<2且mH—2

7.（2023?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）已知久=1是方程9-白=3的解，那么實(shí)數(shù)小的值為（）

2-xx-2

A.-2B.2C.-4D.4

8.（2023?云南?統(tǒng)考中考真題）閱讀，正如一束陽(yáng)光.孩子們無(wú)論在哪兒，都可以感受到陽(yáng)光的照耀，都可

以通過(guò)閱讀觸及更廣闊的世界.某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學(xué)生推出“童心讀書(shū)會(huì)”的分享活動(dòng).甲、乙兩同

學(xué)分別從距離活動(dòng)地點(diǎn)800米和400米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動(dòng).甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的

1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn).若設(shè)乙同學(xué)的速度是%米/分，則下列方程正確的是（）

.x1.2x.?1.2xX.-400800.一800400

A.------------=4B.-------------=4C.-------------=4D.-------------=44

8004008004001.2%X1.2%X

9.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）某運(yùn)輸公司運(yùn)輸一批貨物，已知大貨車(chē)比小貨車(chē)每輛多運(yùn)輸5噸貨物,

且大貨車(chē)運(yùn)輸75噸貨物所用車(chē)輛數(shù)與小貨車(chē)運(yùn)輸50噸貨物所用車(chē)輛數(shù)相同，設(shè)有大貨車(chē)每輛運(yùn)輸無(wú)噸，則

所列方程正確的是（）

.7550C7550—7550—7550

A.——=—B.—=——C.——=—D.—=——

x-5xxx-5x+5xxx+5

10.（2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題）某鎮(zhèn)的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛(ài)，也是饋贈(zèng)親友的尚佳禮品，首批

“脆紅李”成熟后，當(dāng)?shù)啬畴娚逃?2000元購(gòu)進(jìn)這種“脆紅李”進(jìn)行銷(xiāo)售，面市后，線上訂單猛增供不應(yīng)求，該

電商又用11000元購(gòu)進(jìn)第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價(jià)比第一批每件便宜了5元，但數(shù)

量比第一批多購(gòu)進(jìn)了40件，求購(gòu)進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià).設(shè)購(gòu)進(jìn)的第一批“脆紅李”的單價(jià)為x元/件,

根據(jù)題意可列方程為（）

A.1Z222=11222.40B.1^22-40

xx-5xx+5

―12000,4c11000—11000,12000

C.------+40=-------D.------+40=-------

x+5xxx-5

11.（2023?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）為了降低成本，某出租車(chē)公司實(shí)施了“油改氣”措施.如圖，%、內(nèi)分別

表示燃油汽車(chē)和燃?xì)馄?chē)所需費(fèi)用y（單位：元）與行駛路程S（單位：千米）的關(guān)系，已知燃油汽車(chē)每千

米所需的費(fèi)用比燃?xì)馄?chē)每千米所需的費(fèi)用的3倍少0.1元，設(shè)燃?xì)馄?chē)每千米所需的費(fèi)用為x元，則可列

方程為（）

7/49

W元

可怖米

A.25=1。g25=10c.25=10D25=10

*x3X-0.1x3x4-0.13x+0.1x'3x-0.1x

12.（2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修一條道路，其中甲工程隊(duì)需要修9千米，乙

工程隊(duì)需要修12千米.已知乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修1千米，最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月.若

設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修x千米，則可列出方程為（）

.91211291廠9121「1291

A.-----=-D.------=-C.------=-D.---------=-

xx+12x+1x2x+1x2xx+12

13.（2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題）某校八年級(jí)學(xué)生去距離學(xué)校120km的游覽區(qū)游覽，一部分學(xué)生乘慢車(chē)先行，

出發(fā)lh后，另一部分學(xué)生乘快車(chē)前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知快車(chē)的速度是慢車(chē)速度的1.5倍，求慢車(chē)的

速度，設(shè)慢車(chē)的速度是％km/h,所列方程正確的是（）

.120,.120「120y120—120120—120120

A.—+1=—B.-------1=——C.—=-D.—=—

x1.5%x1.5%1.5xx-11.5xx+1

14.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）某校學(xué)生去距離學(xué)校12km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車(chē)先走,

過(guò)了20min后，其余學(xué)生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)學(xué)生速度的2倍，汽車(chē)的

速度是（）.

A.0.2km/minB.0.3km/minC.0.4km/minD.0.6km/min

15.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組~>2+1的解集為x<-2,且關(guān)于y的分式方

14%+a<%—1

程二+再=2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為_(kāi)_____.

y-11-y

16.（2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程二-4=1（優(yōu)為常數(shù)）有增根，則增根是.

17.（2023?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考中考真題）3月12日植樹(shù)節(jié)期間，某校環(huán)保小衛(wèi)士組織植樹(shù)活動(dòng).第一組植樹(shù)12

棵；第二組比第一組多6人，植樹(shù)36棵；結(jié)果兩組平均每人植樹(shù)的棵數(shù)相等，則第一組有人.

18.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩船從相距150km的4B兩地同時(shí)勻速沿江出發(fā)相向而

行，甲船從4地順流航行90km時(shí)與從8地逆流航行的乙船相遇.甲、乙兩船在靜水中的航速均為30km/h,

則江水的流速為km/h.

19.（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校開(kāi)展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12km,甲、乙兩同學(xué)騎自

行車(chē)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到lOmin,求乙同學(xué)騎自行車(chē)的速度.

20.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）某公司不定期為員工購(gòu)買(mǎi)某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品.

（1）該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買(mǎi)了雜醬面、牛肉面共170份，此時(shí)雜醬面、牛肉面的價(jià)格分別為15元、

20元，求購(gòu)買(mǎi)兩種食品各多少份？

8/49

（2）由于公司員工人數(shù)和食品價(jià)格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費(fèi)1260元、1200元一次性購(gòu)買(mǎi)雜醬面、牛肉面

兩種食品，已知購(gòu)買(mǎi)雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多50%,每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，求購(gòu)

買(mǎi)牛肉面多少份？

21.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題）為了踐行習(xí)近平總書(shū)記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某

地計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)種植梨樹(shù)6000棵.開(kāi)始種植時(shí)，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植梨樹(shù)的數(shù)量比原計(jì)

劃增加了20%,結(jié)果提前2天完成任務(wù).問(wèn)原計(jì)劃每天種植梨樹(shù)多少棵？

22.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩名學(xué)生到離校2.4km的“人民公園”參加志愿者活動(dòng)，甲同學(xué)步

行，乙同學(xué)騎自行車(chē)，騎自行車(chē)速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)30min后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)同時(shí)到達(dá),

求乙同學(xué)騎自行車(chē)的速度.

重難創(chuàng)新練N

1.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫(xiě)出。的值為.b的值為

X結(jié)果

2n

代數(shù)式

3%+17b

2x+1

a1

X

2.（2021.廣西賀州.統(tǒng)考中考真題）如用={1,2,%},我們叫集合M,其中1,2,x叫做集合M的元素.集合

中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如x豐l,x豐2）,無(wú)序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變?若

集合N={x,l,2},我們說(shuō)M=N.已知集合力={1,0,a},集合B={：,|磯,卜，若力=B,貝肪一a的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（2022.重慶?統(tǒng)考中考真題）為進(jìn)一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會(huì)決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓.初

步預(yù)算，這三座山各需兩種樹(shù)木數(shù)量和之比為5:6:7,需香樟數(shù)量之比為4:3:9,并且甲、乙兩山需紅楓數(shù)

量之比為2:3.在實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，香樟的價(jià)格比預(yù)算低20%,紅楓的價(jià)格比預(yù)算高25%,香樟購(gòu)買(mǎi)數(shù)量減少了

6.25%,結(jié)果發(fā)現(xiàn)所花費(fèi)用恰好與預(yù)算費(fèi)用相等，則實(shí)際購(gòu)買(mǎi)香樟的總費(fèi)用與實(shí)際購(gòu)買(mǎi)紅楓的總費(fèi)用之比

為.

9/49

第06講分式方程

目錄

題型過(guò)關(guān)練N

題型01判斷分式方程

題型02分式方程的一般解法

題型03錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問(wèn)題

題型04解分式方程的運(yùn)用（新定義運(yùn)算）

題型05根據(jù)分式方程解的情況求值

題型06根據(jù)分式方程有解或無(wú)解求參數(shù)

題型07已知分式方程有增根求參數(shù)

題型08列方式方程

題型09利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題

10/49

題型過(guò)關(guān)練N

題型01判斷分式方程

1.關(guān)于％的方程①/一2%=工；②與藝一1==］；③%4一2%2=o；(4)|x2-1=0.其中是分式方程是

x4x32

()

A.①②③B.①②C.①③D.①②④

【答案】B

【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各方程進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：方程①是分式方程，符合題意；

方程②分母中含有未知數(shù)，符合題意；

方程③是整式方程，不符合題意；

方程④是整式方程，不符合題意；

故其中是分式方程的有：①②，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的定義，熟知分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解答此題的關(guān)鍵.

2.給出以下方程：早=1,三=2,凳=1,3—5=1，其中分式方程的個(gè)數(shù)是()

4xx+5232

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程，進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：與=1中分母不含未知數(shù)，不是分式方程；

4

三=2中分母含有未知數(shù)，是分式方程；

X

上1=9中分母含有未知數(shù)，是分式方程；

2-1=1中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，

共有兩個(gè)是分式方程，故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式方程的定義，掌握定義并進(jìn)行準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵.

題型02分式方程的一般解法

1.(2022.廣東廣州.統(tǒng)考中考真題)分式方程工=左的解是

2xx+1

【答案】x=3

【分析】先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程求解，再檢驗(yàn)即可求解；

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以2尤。+1),得

3(x+l)=4x

3尤+3=4x

x=3,

檢驗(yàn)：把43代入2x(x+l)=2x3(3+l尸24邦，

原分式方程的解為：x=3.

故答案為：x=3.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解分式方程的基本思想是將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程求解，注意：解分式

方程一定要驗(yàn)根.

2.(2023廣州市一模)分式產(chǎn)的值比分式上的值大3,則x為

【答案】1

【分析】先根據(jù)題意得出方程，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)，最后得出答案即可.

【詳解】根據(jù)題意得：尹-上=3,

2-xx-2

方程兩邊都乘以x-2得：-(3-x)-1=3(x-2),

解得：x=l,

檢驗(yàn)：把x=l代入x-2^0,

所以x=l是所列方程的解，

所以當(dāng)x=l時(shí)，P的值比分式上的值大3.

2-xx-2

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，能求出分式方程的解是解此題的關(guān)鍵.

3.(2022?廣西梧州?統(tǒng)考中考真題)解方程：1-匕=吃

3-xx-3

【答案】X=5

【分析】先方程兩邊同時(shí)乘以(％-3),化成整式方程求解，然后再檢驗(yàn)分母是否為0即可.

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以(刀一3)得到：％-3+2=4,

解出：x=5,

當(dāng)久=5時(shí)分式方程的分母不為0,

二分式方程的解為：%=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過(guò)程中細(xì)心即可.

4.(2011?河北?統(tǒng)考中考模擬)解分式方程：白—卷=；.

2x-4X-22

【答案】X.

【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，因式分解、去分母、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化“1”、驗(yàn)根、下結(jié)論即可.

【詳解】解：

3x1

整理得

2（x-2）x-22

方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母2(x-2)得3-2%=%-2,

移項(xiàng)得3+2=x+2x,

合并同類(lèi)項(xiàng)得3x=5,

系數(shù)化T得x=|,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=|時(shí)，2(x-2)=2x(|-2)H0,

x=|是原分式方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟，不要忘記驗(yàn)根是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.(2023渭南市一模)解分式方程：￡-1=^-

【答案】x=4

【分析】先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，得到尤的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程

的解.

【詳解】解：卷一1=丁三，

x-2xz-4x4-4

方程兩邊乘(％—2/得：x(x—2)—(x—2)2=4,

解得:x=4,

2

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，(x-2)H0.

所以原方程的解為x=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

題型03錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問(wèn)題

1.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的分式方程3=1,對(duì)于方程的解，甲、乙兩人有以下說(shuō)法：甲：

x+6

當(dāng)m<4時(shí)，方程的解是負(fù)數(shù)；乙：當(dāng)機(jī)>6時(shí)，方程的解是正數(shù).下列判斷正確的是（）

A.只有甲對(duì)B.只有乙對(duì)C.甲、乙都對(duì)D.甲、乙都錯(cuò)

【答案】B

【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根據(jù)參數(shù)的取值范圍求解即可.

【詳解】3=1

x+6

去分母得，m=%+6,

解得％=m-6,

要使分式方程有解，％+6。0,

:?m—6+6W0,

.,.mH0,

當(dāng)m<4時(shí)，m—6<4—6,

<—2,

???當(dāng)7HV4,且加。0時(shí)，方程的解是負(fù)數(shù)，故甲說(shuō)法錯(cuò)誤；

當(dāng)m>6時(shí)，m—6>6—6,

>0,

???乙說(shuō)法正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程含參數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程的增根的定義：使分式方程的最

簡(jiǎn)公分母等于0的根叫做分式方程的增根.

2.（2023?河北滄州??？寄M預(yù)測(cè)）“若關(guān)于久的方程昌+1無(wú)解，求a的值.”尖尖和丹丹的做法如

下（如圖1和圖2）：

尖尖：丹丹：

去分母得：ax=12+3x-9,去分母得：ax=12+3x-9,

移項(xiàng)得：ax-3x=12-9,移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：

合并同類(lèi)項(xiàng)得：3

,解得：x=~

(a-3)x=3,(<7-3)X=3

???原方程無(wú)解，???原方程無(wú)解，為增根,

，。-3=0,3x-9=0,解得x=3,

.,.<7=3.3

—7=3,解得67=4.

(7-3

圖1圖2

下列說(shuō)法正確的是()

A.尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò)B.尖尖錯(cuò)，丹丹對(duì)

C.兩人都錯(cuò)D.兩人的答案合起來(lái)才對(duì)

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程無(wú)解情況①去分母后方程無(wú)解，②解出的解是增根，兩類(lèi)討論即可得到答案;

【詳解】解：由題意可得,

去分母可得，ax=12+3久—9,

移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得，

(a—3)%=3,

當(dāng)a—3=。時(shí)，即a=3時(shí)方程無(wú)解,

當(dāng)a—3H0時(shí)，即aW3時(shí)，x=

Q—3

???方程急=趨+1無(wú)解，

即％=六是方程的增根，可得：3-9=。，解得：“3,

.,.3=/—,解得：a=4,

a—3

故選D；

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程無(wú)解的情況，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程無(wú)解情況①去分母后方程無(wú)解,

②解出的解是增根.

3.(2023上河北邢臺(tái)?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))已知關(guān)于久的分式方程累-署=1無(wú)解，石的值.

甲同學(xué)的結(jié)果：爪=0.

乙同學(xué)的結(jié)果：m=-8

關(guān)于甲、乙兩位同學(xué)計(jì)算的結(jié)果，下列說(shuō)法正確的是()

A.甲同學(xué)的結(jié)果正確B.乙同學(xué)的結(jié)果正確

C.甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起正確D.甲、乙同學(xué)的結(jié)果合在一起也不正確

【答案】D

【分析】解分式方程，用含m的代數(shù)式表示出x,當(dāng)分式方程無(wú)解時(shí)，求出的x的值無(wú)意義或?yàn)樵龈?，由?/p>

可解.

【詳解】解：土I—白=1,

x+2xz-4

去分母，得(％—2)2—mx=%2—4,

解得“白

x-2mx

???關(guān)于X的分式方程:1無(wú)解,

x+2X2-4

焉無(wú)意義或使“高為增根，

當(dāng)％=—色一無(wú)意義時(shí)，m+4=0,

m+4

解得巾=-4,

當(dāng)％=—日—為增根時(shí)，X2—4=(x+2)(%—2)=0

m+4

—=2或上=-2

m+4m+4

解得m=0或巾=-8,

綜上可知，m——4或m--0或m=-8,

因此甲、乙同學(xué)的結(jié)