2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-讓學(xué)生成為“演員”

2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-讓學(xué)生成為“演員”高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：讓學(xué)生成為“演員”

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個獨立分支，因為極具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點。有相當(dāng)一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學(xué)生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”。針對這一現(xiàn)象，筆者在日常教學(xué)過程中經(jīng)過嘗試總結(jié)出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識和主觀能動性，能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價性，可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過程中的兩個難點通過兩個特例作進(jìn)一步的說明：

1、

占位子問題

例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進(jìn)編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？

①仔細(xì)審題：在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目：在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色，我將題目轉(zhuǎn)換為：

讓學(xué)號為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準(zhǔn)備好放在講臺前），要求只有兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？

③解決問題：這時我在選另一名學(xué)生來安排這5位學(xué)生坐位子（學(xué)生爭著上臺，積極性已經(jīng)得到了極大的提高），班上其他同學(xué)也都積極思考（充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學(xué)，有C種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學(xué)不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C=20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④學(xué)生小結(jié)：接著我讓學(xué)生之間互相討論，根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

⑤老師總結(jié)：對于這一類占位子問題，關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

2、分組問題

例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個和2個數(shù)組成五位數(shù)，問這樣的五位數(shù)有幾個？

（本題我是先讓學(xué)生計算，有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P×P）

①仔細(xì)審題：先由學(xué)生審題，明確組成五位數(shù)是一個排列問題，但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目：在學(xué)生充分審題后，我讓學(xué)生自己對題目進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下：

從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)競賽，問有多少種不同的選法？

③解決問題：接著我就讓同學(xué)A來提出選人的方案

同學(xué)A說：先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有P×P種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P×P種選法；最后由乘法原理得出結(jié)論為（P×P）×（P×P）（種）。（這時同學(xué)B表示反對）

同學(xué)B說：如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P×P.（同學(xué)們都表示同意，但是同學(xué)C說太蘩）

同學(xué)C說：可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學(xué)科中排列，他列出的計算式是C×C×P（種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來C×C×P（種）。

④老師總結(jié)：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進(jìn)行排列。

以上是我一節(jié)課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試（教學(xué)效果比較明顯），進(jìn)一步活躍課堂氣氛，更全面地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在互相討論的過程中學(xué)會自己分析轉(zhuǎn)換問題，解決問題。三次函數(shù)的再探索-對稱中心問題三次函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨命題，而為二次函數(shù)，利用來研究三次函數(shù)的單調(diào)性、極值等三次函數(shù)的性質(zhì)已成為常用工具，而三次函數(shù)的對稱中心（處），雖然不是高考的重點，但還是應(yīng)該引起我們的重視。一．三次函數(shù)必定存在對稱中心嗎？結(jié)論：三次函數(shù)肯定存在對稱中心。證明：假設(shè)三次函數(shù)的對稱中心為（M，N）。即證曲線上的任意一點，關(guān)于的對稱點必在曲線上。因為

對比

由（1）有代入(3)有

即

說明三次函數(shù)的對稱中心不僅存在，而且是曲線上的某一個點，即對稱中心為【例1】

求的對稱中心解：令為的對稱中心

為曲線上任意一點，則也在曲線上，即

整理得

對比有

解得所以，的對稱中心為

二．三次函數(shù)對稱中心的幾何位置問題一回答了三次函數(shù)圖象對稱中心的存在性，其實三次函數(shù)對稱中心在圖象上還有它的獨特位置。

（4）結(jié)論

是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，則圖象關(guān)于直線對稱。證明：的圖象關(guān)于對稱，則

由

圖象關(guān)于直線對稱，說明對稱中心的橫坐標(biāo)恰為的對稱軸。

圖①圖②

對照上述證明和①，②兩圖，不難發(fā)現(xiàn)A，B兩處分別為的極大值，極小值處，而從A到B的曲線是單調(diào)遞減的，但注意到對稱中心C處兩側(cè)附近的曲線形式（凹凸性）發(fā)生變化，即C為的拐點，而C的橫坐標(biāo)是恰為的對稱軸。令，則，，這樣由④得，所以對稱中心也是A，B的中點。綜上所述：三次函數(shù)的對稱中心是必定存在的，就是圖象中的拐點處，橫坐標(biāo)就是的對稱軸。如果三次函數(shù)極值存在的話，對稱中心還是兩極值處的中點位置。換句話說，對稱中心的橫坐標(biāo)就是極值處的橫坐標(biāo)，即。

【例2】

求的極值和對稱中心

解：

令有

易求極大值處A，極小值處B

而的對稱軸，

所以

對稱中心

易發(fā)現(xiàn)對稱中心為A，B的中點三．過三次函數(shù)對稱中心的切線條數(shù)結(jié)論：過三次函數(shù)對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且只有一條；而過三次曲線上除對稱中心外的任一點與該三次曲線相切的直線有兩條。由于三次曲線都是中心對稱曲線，因此，為便于研究，將三次曲線的對稱中心移至坐標(biāo)原點，這樣便可將三次函數(shù)的解析式簡化為。證明：若是三次曲線上的任一點，設(shè)過M的切線與曲線相切于，則切線方程為，因為點M在此切線上，故，又，所以，整理得：，解得，或。由此可見，不僅切線與三次曲線的公共點可以多于一個，而且過三次曲線上點的切線也不一定唯一。【例3】

已知曲線，求曲線在點處的切線方程解：，，

曲線在點處的切線斜率為

代入直線方程的斜截式，得切線方程為

即

變式：已知曲線，則曲線過點的切線方程___________。錯解：依上題做法，直接填上答案錯因分析：因為求過曲線上某點的切線方程，不一定這點就是切點，這與圓的切線是有不同的。本題點在曲線上，所以求過點（2，4）的切線，點（2，4）可以是切點也可以不是。正確解法：設(shè)過點的切線對應(yīng)的切點為，斜率為，切線方程為即點的坐標(biāo)代入，得，，

又

解得或所以過（2，4）的切線方程為或

點評：“在點”處的切線方程和“過點”的切線方程是不同的。

四．三次函數(shù)對稱中心在高考題中的表現(xiàn)

【例4】（2004高考，浙江，理（11）題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）解：根據(jù)圖象特征，不防設(shè)是三次函數(shù)，則的圖象給出了如下信息：①②導(dǎo)函數(shù)方程兩根是0，2（對稱中心的橫坐標(biāo)是1）③在上；在或上由①可排除B、D，由③確定選C

縱觀上述，三次函數(shù)的對稱中心問題還是比較容易掌握的，而處或的對稱軸就是對稱中心的橫坐標(biāo)，且經(jīng)過對稱中心的切線有且有一條。賞析等比數(shù)列的前n項和公式的幾種推導(dǎo)方法等比數(shù)列的前n項和公式是學(xué)習(xí)等比數(shù)列知識中的重點內(nèi)容之一，其公式：當(dāng)時，①或②當(dāng)q=1時，本身不僅蘊涵著分類討論的數(shù)學(xué)思想，而且用以推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的方法---錯位相減法，更是在歷年高考題目中頻繁出現(xiàn)。本文變換視野、轉(zhuǎn)換思維，從不同的角度加以推導(dǎo)，以加深對公式的理解與應(yīng)用,希望能起到拋磚引玉的效果。一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項和是公式的推導(dǎo)方法一：當(dāng)時，由得∴當(dāng)時，①或②當(dāng)q=1時，當(dāng)已知,q,n時常用公式①；當(dāng)已知,q,時，常用公式②.拓展延伸：若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，對形如的數(shù)列，可以用錯位相減法求和。例題數(shù)列的前項和，則的表達(dá)式為（）．A． B．C． D．解析：由，①可得，②②－①，得，故選（D）．點評：這個脫胎于課本中等比數(shù)列前項公式推導(dǎo)方法的求和法，是高考中命題率很高的地方，應(yīng)予以高度的重視。公式的推導(dǎo)方法二：當(dāng)時，由等比數(shù)列的定義得，根據(jù)等比的性質(zhì)，有即∴當(dāng)時，或當(dāng)q=1時，該推導(dǎo)方法圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比的性質(zhì)，導(dǎo)出了公式，給我們以耳目一新的另類感覺。導(dǎo)后反思：定義是基礎(chǔ)，深刻理解定義，靈活地運用好定義，往往能得到一些很有價值的結(jié)論和規(guī)律。例如等比數(shù)列的一個常用性質(zhì)：已知數(shù)列是等比數(shù)列（），是其前n項的和，則，…，仍成等比數(shù)列。其推導(dǎo)過程可有以下兩種常見的證明過程：證明一：（1）當(dāng)q=1時，結(jié)論顯然成立；（2）當(dāng)q≠1時，∴=∴成等比數(shù)列.［這一過程也可如下證明］：證明二：－=－===同理，－==∴成等比數(shù)列。對比以上兩種證明過程，我們不難看出，利用好定義在解決某些問題的過程中可以收到很簡捷的效果。公式的推導(dǎo)方法三：＝＝＝∴當(dāng)時，或當(dāng)q=1時，“方程”在代數(shù)課程里占有重要的地位，是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)列一章的公式考察中常利用方程思想構(gòu)造方程（或方程組），在已知量和未知量之