2023-2024學年浙江省名校協(xié)作體高三（上）開學數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年浙江省名校協(xié)作體高三(上)開學數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={-1,0,1,2,3},fi={x|x2+2x-3>0},則ACIB=()

A.[0,1}B.{2,3}C.{-1,0,1}D.{-1,04,2)

2.已知復數(shù)2=法，則Z+2』在復平面內所對應的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在A48c中，BD=^BC,若屈=五，AC=b>則而=()

A.\a-\bB.|a+|KC.+D.

4.己知函數(shù)丫=1。929合一為在區(qū)間(1,2)上單調遞增，則a的取值范圍為()

A.(0,1i)1B.(1,1)1C.?,+8)D.(l,+8)

5.拋物線y2=4x的焦點為F,過點M(d)的直線與拋物線相交于48兩點，與拋物線的

準線相交于點C.若|BF|=3,則留=()

3456

--C--

A.4567

6.某市抽調5位老師分赴3所山區(qū)學校支教，要求每位老師只能去一所學校，每所學校至少

安排一位老師.由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學校，則不同的分派方法的

種數(shù)是()

A.124B.246C.114D.108

7.已知函數(shù)/'(X)=+0)的圖象如圖所示，M,N是

直線y=—l與曲線y=f(x)的兩個交點，且附7|=拳則

/(兀)的值為()

A.。

B.-1

C.—V~~2

D.-<3

8.已知四面體4BCD中，4。=2,BD=<3>乙BCD=120°,直線40與BC所成的角為60。,

且二面角A-CD-B為銳二面角.當四面體力BCD的體積最大時，其外接球的表面積為()

A32TTD16TT

A?亍B—C.167rD.8TT

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列命題成立的是()

A.已知f?N(0,l)，若P(f>l)=p,則P(-lWfW0)=：—p

B.若--組樣本數(shù)據(jù)(々,yj)(i=1,2,3,...,n)的對應樣本點都在直線曠=-2x+3上，則這組樣本

數(shù)據(jù)的相關系數(shù)r為-1

C.樣本數(shù)據(jù)64,72,75,76,78,79,85,86,91,92的第45百分位數(shù)為78

D.對分類變量X與丫的獨立性檢驗的統(tǒng)計量/來說，/2值越小，判斷“x與y有關系”的把握

性越大

10.已知正方體48(7。-必816。1的棱長為2,點P為平面4BC0內一動點，則下列說法正確

的是()

A.若點P在棱AD上運動，則&P+PC的最小值為2+2C

B.若點P是棱AD的中點，則平面PBC1截正方體所得截面的周長為2仁+3c

C.若點P滿足PDi則動點P的軌跡是一條直線

D.若點P在直線4c上運動，貝UP到棱BG的最小距離為亨

11.設定義在R上的函數(shù)/(乃與g(x)的導函數(shù)分別為/'(X)和g'(x),若f(x+2)-g(l-乃=

2,f'(x)=g'(x+l),且g(x+l)為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是()

A.5(1)=0B.函數(shù)g'(x)的圖象關于(1,0)對稱

C./(x)的周期為4D.萬腎g(幻=o

12.已知數(shù)列｛斯｝是公比為q的等比數(shù)列，且的>0,則下列敘述中正確的是()

A.若生+。4=+03，則q=1

B.若a2=+lna3,則q<0

C.若2a3=e%+0。2,則q>1

D.若0V的<1,且％+與+的=ln(Qi+&+。3+。4)，則9>1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知函數(shù)/(%)=[0尸'XC(—8,1),則/Q)>1的解集為___.

[log4xfxG(1,4-00)

14.若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為.

15.已知尸是橢圓C：]+*=1的左焦點，過F作直線I交橢圓于4,B兩點，則|4F|+4|BF|

的最小值為.

16.己知不等式他ix-m/nx2x+n對Vx>0恒成立，則當藍取最大值時，m=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知/(x)=sinx^sinx—3cosx).

(1)求/(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)在△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c.若f(4)=|,a=2,求b+2c的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知四棱錐E-4BCD中，四邊形4BCD為等腰梯形,4B〃OC,4B=4,AD=DC=2,BE=4,

△40E為等邊三角形.

(1)求證：平面4OE_L平面4BCD；

(2)是否存在一點尸，滿足前=4鉉(OCA<1)，使直線4尸與平面BDE所成的角為60。？若

存在，求出;I的值；若不存在，請說明理由.

19.(本小題12.0分)

設數(shù)列的前n項和為右，已知又=：(3a“-l)(nGN*).

(1)求｛aQ的通項公式；

(2)設%=[n+Q嗎E數(shù)，求數(shù)列也｝的前2n的項和72n.

E?an,n為偶數(shù)

20.(本小題12.0分)

某科研所研究表明，絕大部分抗抑郁抗焦慮的藥物都有一個奇特的功效，就是刺激人體大腦

多巴胺(Dopamine)的分泌，所以又叫“快樂藥”.其實科學、合理、適量的有氧運動就會增

加人體大腦多巴胺(Dopamine)的分泌，從而緩解抑郁、焦慮的情緒.人體多巴胺(Dopamine)分

泌的正常值是107.2-246.6〃g/24/i,定義運動后多巴胺含量超過400〃g/24h稱明顯有效運動,

否則是不明顯有效運動.樹人中學為了了解學生明顯有效運動是否與性別有關，對運動后的60

名學生進行檢測，其中女生與男生的人數(shù)之比為1：2,女生中明顯有效運動的人數(shù)占g,男生

中明顯有效運動的人數(shù)礙

女生男生合計

明顯有效運動

不明顯有效運動

合計

(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)完成上表，并依據(jù)a=0.100的獨立性檢驗，能否判斷明顯有效運動與性

別有關？并說明理由;

(2)若從樹人中學所有學生中抽取11人，用樣本的頻率估計概率，預測11人中不明顯有效運動

的人數(shù)最有可能是多少？

n(ad-bc)2

附:其中九=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

參考數(shù)據(jù):

P(x2>a)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

a2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(本小題12.0分)

已知雙曲線C：盤一，=l(a>0,b>0)的左、右頂點分別為4、B,P為雙曲線上異于4、B的

任意一點，直線24、PB的斜率乘積為3.雙曲線C的焦點到漸近線的距離為1.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設不同于頂點的兩點M、N在雙曲線C的右支上，直線AM、BN在y軸上的截距之比為1：3.

試問直線MN是否過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=ae"-e(x-l)2有兩個極值點%1，%2(%iV%2),其中QCR,e為自然對數(shù)的底

數(shù).

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若ex】+(e-2次2+2(1-e)>4(與-l)(x2-1)恒成立，求4的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為8=卜|/+2%—3>0}=(—8,—3)U(l,+8),A={-1,0,1,2,3},

所以4CIB={2,3}.

故選:B.

化簡集合B,根據(jù)集合的交集運算求解即可.

本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題.

2.【答案】D

2+i_(2+i)(l+i)_l+3i

【解析】解:

口一(l-i)(l+i)-2

l+3i.o.33.

???z+2z—^―+1-3ll

22

故Z+2』在復平面內所對應的點(|,-|)在第四象限.

故選：D.

根據(jù)復數(shù)除法運算及共視復數(shù)化簡，即可得解.

本題考查了復數(shù)的運算，考查復數(shù)的幾何意義，是基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：在UBC中，BD=^BC,AB=a>AC=b，如圖，則。為

BC的一個3等分點，作平行四邊形，

則標=短+刀=|蒼+軟.

故選：C.

畫出圖形，利用向量的基本定理，寫出結果即可.

本題考查平面向量的基本定理的應用，考查轉化思想以及計算能力，是基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：因為函數(shù)y=1og2(a/-x)在區(qū)間(1,2)上有意義，

所以解得a>l,

此時二次函數(shù)y=ax2-%圖象開口向上，對稱軸》=^<1<1,

y=ax2-%在(1,2)上單調遞增，又y=log2%為增函數(shù),

所以由復合函數(shù)單調性法則知I,y=/og2(ax2-x)在區(qū)間(1,2)上單調遞增，符合題意,

所以a的取值范圍為(1,+8).

故選：D.

根據(jù)復合函數(shù)單調性及二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調性判斷即可.

本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質、二次函數(shù)的性質及復合函數(shù)的單調性，屬于中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：由拋物線f=4x的焦點為F(1,O)，

準線方程為工=-1,設4(X〕內),B(x2,y2),

①如圖(1)所示，

過4B分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為E,N,

則|B用=\BN\=X2+1=3,所以刀2=2,

把亞=2代入拋物線y2=4x,

可得=±2y/~2,即點8(2,-2/7)或B(2,2，7)，

當點B(2,-2C)時，此時點4在x軸上方，即以＞0,

由資=可得yi=2y/~x^,即4al

因為M(、廠石,0)且A/IM=fc/ifc,即:解得=3，

所以|4E|=3+1=4,所以耨=黑=*

②如圖圖(2)所示，過4,B分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為D,G,

則|BF|=\BG\=X2+1=3,所以=2,

把?=2代入拋物線y2=4x,可得丫2=±2，^，即點B(2,-2C)或B(2,2/7),

當點B(2,2，N)時，此時點4在x軸下方，即為＜0,

由火=4x「可得yi=-2/^7，即4(X1，-

因為M(，石,0)且=^MC＞即:解得%=3,

所以|皿=3+1=4,所以朗=鼠/

綜上可得，器H

故選:A.

設4(與,外聲。2沙2)，過48分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為E,N,根據(jù)拋物線的定義

求得8(2,—2S)，根據(jù)/CAM=/CMC，列出方程求得與=3,結合制=需，即可求解.

本題考查拋物線的定義和標準方程，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，以及學生應用知識分析解

決問題的能力及運算能力.屬中檔題.

6.【答案】C

【解析】設學校為4B,C,先把甲乙兩人安排到不同學校，有用=6種，

不妨設甲在4乙在B,只需剩余3人至少有1人去C即可，

利用間接法計算，有33-23=19種不同安排方法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6X19=114種不同安排方法.

故選：C.

利用分步乘法計數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計算.

本題考查計數(shù)原理的應用，是基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：由函數(shù)f(%)=Asin(a)x+@)的圖象知4=2,

設MQi/i),N(x2,y2),(x2>%i),

由可得%2-％1=手

令2s譏(3%+9)=—1,即sin(3%+9)=-2,

結合圖象可得+0=—,a)x2+"=-*,

則3(%2-/)=等即o>x^=:，所以3=3,

把％=-[,y=。代入/(%)—Asin(a)x+cp),即2sin(一與+@)=0,

所以W=(2k-1)TT+寫,/c€Zf

則/'(兀)=2sin(3n+(2k-1)兀+y)=2sin與=一，3.

故選：D.

根據(jù)函數(shù)圖象確定4的值，設/V(x2,y2),(x2>%!),結合|MN|=等確定3,利用點的

坐標確定3的表達式，代入求值即得答案.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：如圖，

因為=BC2+DC2-2BC-DC-cosl20°=BC2+DC2+BC-DC=3,

所以3BC?DCWBe?+DC2+BC?DC=3,即BC-0CW1,當且僅當BC=DC=1時等號成立,

此時底面4BCD面積最大,S=^BC-DC-s譏120。=華,

將AD沿方平移至AC,則點4與A到底面BCD的距離相同，且乙4'CB=60。，

為使四面體ABCO高最大，則直線4C在底面BCD的射影為直線BC,此時4B，面BCD,

設點4在底面BCD的投影為B',可知四邊形BCDB'為菱形，且ABCD的外心為B',

此時滿足二面角4-CD-B為銳二面角，

故四面體4BCD的外接球的球心。在直線力夕上，

因為AB'=A'B=BCtan60°=C，DB'=1,OA=OD=R,

所以在RtZkOB'C中，(C-R)2+12=R2,

解得R=浮，

此時外接球的表面積為S=4兀xg=亭.

故選:B.

由余弦定理及均值不等式判定當?shù)酌鏋榈妊切螘r面積最大,再確定當4夕垂直底面時，高最大,

利用外接球的性質確定球心，在Rt△OB'D中求出半徑.

本題主要考查了三棱錐的外接球問題，考查了二面角的定義，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：4選項：由正態(tài)分布可知，圖象關于f=0對稱，因為P(f>l)=p,所以P(O<f<

11

1)=2-P,所以P(—1SfS0)=2—p,故A正確；

B選項：由題意知丫=-2%+3就是回歸方程，即為負相關，所以r<0,因為樣本數(shù)據(jù)都在回歸方

程上，即相關性系數(shù)為-1,故B正確；

C選項：共有10個數(shù)，故10x0.45=4.5,所以第45百分位數(shù)是由小到大排列的第5位，即78,故

C正確；

。選項：對分類變量x與丫的獨立性檢驗的統(tǒng)計量f來說，產值越小，判斷“x與y有關系”的把握

性越小，故。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷4由回歸方程的系數(shù)的意義判斷B,根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷C,根

據(jù)獨立性檢驗f的意義判斷D.

本題考查回歸直線方程，百分位數(shù)，獨立性檢驗，正態(tài)曲線的性質，屬于中檔題.

10.【答案】BCD

【解析】解：對于4：如圖將平面4BCD展開與平面4DD1占處于一個平面，連接&C與4。交于點P,

22

此時41P+PC取得最小值，即(aP+PQmin=V2+4=2，石，故A錯誤；

對于8：如圖取的中點E,連接BP、PE、GE、ADr,

因為點P是棱的中點，所以PE〃也且PE=

又AB〃GDi且4B=Ci￡?i，所以四邊形ABGDi為平行四邊形，所以ACJ/BG，

所以PE〃BG，所以四邊形EPBG即為平面PBCi截正方體所得截面，

22

又BG=2-7，PE=\ADV=yT2,BP=Eg=Vl+2=V-5.

所以截面周長為3c+2，石，故B正確；

對于C：如圖，0G1。1。，BC_L平面。。6。1，0C[u平面。CCi。],

所以DG_LBC,XDjCDBC=C,DXC,8。匚平面8。。送1，

所以DG1平面BCD14,因為平面力BCDn平面BCD14=BC,

劣6平面BCD/i，Pe^ABCD,

又PD11CC1，所以P在直線BC上，即動點P的軌跡是一條直線，故C正確;

對于。：如圖建立空間直角坐標系，則8(2,2,0),”0,2,2),設P(a,2-a,0)(ae[0,2]),

所以何=(-2,0,2)，BP=(a-2,-a,0).

所以P到棱BC1的距離d=|前|2_(廛祟)2=I32_2a+2=I3(a_2)2+4

|DL|I7，N，33

所以當a=|時dmin=J[=亨，故O正確.

故選：BCD.

化折線為直線，即可判斷4取。的中點E,連接BP、PE、C]E、ADr,即可證明四邊形EPBQ即

為平面PBQ截正方體所得截面，從而求出截面周長，即可判斷B；根據(jù)線面垂直判斷C；利用空間

向量法判斷D.

本題考查線線垂直和動點的軌跡，以及兩點的距離和點到直線的距離，考查轉化思想和數(shù)形結合

思想、運算能力和推理能力，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：4選項，g(x+l)為奇函數(shù)，故g(x)關于點(1,0)中心對稱，故g(l)=0,故A正確;

B選項，g(x)關于點(1,0)中心對稱，

故g(l+x)+g(l-%)=0,取導數(shù)則g'(l+%)-g'(l-x)=0,

即g'(l+%)=g'(l—x),

所以g'(x)關于x=l軸對稱，故B錯誤；

C選項，因為/(%)=g'(x+l),故/(x)+a=g(x+l)+b,a,bER,

f(x+2)-g(l-x)=2,

?1?f(x)-g(3-x)=2,

故g(3-x)+2+a=g[x+1)+b,

令x=1,得g(2)+2+a=g(2)+6,

故2+a=b,故g(3-x)=g(x+1),

???g(x)關于x=2軸對稱，

又g(x)關于點(i,o)中心對稱，

故g(x)周期為4,則/'(%)=g(x+1)+2,

故f(x)的周期為4,故C正確；

。選項，因為g(l)=0,g(x)關于x=2軸對稱，

所以g(3)=0,

因為9(x)關于點(1,0)中心對稱且周期為4,

所以9(2)+9(4)=g(2)+g(0)=0,

故g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=0,

所以注彗3g(k)=g(l)+g(2)+g(3)=g(2),而g(2)的值不確定,故。錯誤.

故選:AC.

根據(jù)奇函數(shù)性質及圖象平移判斷4

利用軸對稱及中心對稱的性質判斷B；

根據(jù)函數(shù)既是軸對稱又是中心對稱得出函數(shù)周期判斷C；

利用周期及對稱的性質判斷D.

本題考查了抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性及周期性，也考查了導數(shù)的基本運算，屬于中檔題.

12.【答案】BD

【解析】解：對于4選項，的+即1+q3=q+q2=q3—q2—q+i=o=(q—

l)(q2-1)=0,

解得q=l或q=-l,故A錯誤；

2

對于B選項，a2=+lna3=ln(cii?a3)=ln(?i-q)=2比|%-q\=2ln\a2\>

若q>0時，則a2>0,令/'(x)=2)x-x,則/''(x)=|-1,

當x>2時，f(x)<0,當0<x<2時，f(x)>0,

所以函數(shù)/'(x)=2，nx-4在(0,2)上單調遞增，在(2,+8)上單調遞減，

所以=f(2)=2ln2-2<0,

故/(x)=0無解，a2=2配。2不成立，

若q<0時，a2<0>

令g(x)=2/n(-x)-x,

則g'(x)=：-1，當x<0時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調遞減，

因為g(-eT)=e-1-2<0,g(-e)=e+2>0,

由零點存在性定理知g(X)=0有解，故。2<0,q<0,故8正確；

對于C選項，構造無(%)=e"—x,

則九'(x)=e*—1,x>0時，h'(x)>0.

當％<0時，h\x)<0,所

以函數(shù)在(-8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

所以九(%)>九(0)=1,即e*>x,

所以2a3=+。例>%+a2,即2qZ-q-1>0,解得q>1或qV故C錯誤；

對于D選項，構造函數(shù)k(x)=Inx—(%—1)(%>0),則k'(x)=g—1,當0VxV1時，k'(x)>0,

當%>1時，kf(x)<0,所以函數(shù)在(0,1)單調遞增，在(L+8)上單調遞減，

故々(%)<k(l)=0,即Inx<x—1,所以%+a?+03=ln(%+g+Q3+Q4)4％+g+。3+

a4-l=>a4>l,因為0<%<1,所以言■=q3>1=q>1,故。正確.

故選：BD.

根據(jù)等比數(shù)列通項列方程求解判斷4,化簡所給條件構造函數(shù)，利用函數(shù)的性質確定B,構造函數(shù)

利用函數(shù)最值得到不等式，再由不等式求解判斷C,構造函數(shù)，利用函數(shù)最值轉化為不等式求解

判斷O.

本題主要考查了根據(jù)不等式的特征，構造合適的函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)最值，轉化為不等式，

利用不等式證明或求解是解決此題的關鍵所在.

13.【答案】(一8,0)u(4,+8)

【解析】【分析】

本題為分段函數(shù)為載體的不等式解法問題，在作答過程中要分兩段分別求解，并注意分段條件在

解題過程中的作用.

在解以分段函數(shù)為載體的不等式時候，要注意分段點的限制.此題培養(yǎng)學生分類整合的數(shù)學思想.

【解答】

解：(1)當X<1時，/(X)=0)x

V/(%)>1

.?.(獷>1=?)。，

???%<0；

vx<1,/.x<0；

(2)當％>1時,函數(shù)f(%)=log4x,

v/(%)>1,

/.log4x>1=log44,

A%>4

又??,%>1

AX>4

綜上不等式的解集為(-8,0)u(4,+8).

14.【答案】拶

【解析】解：由題意可得所求的圓在第一象限，設圓心為(a,a),則半徑為a,a>0.

故圓的方程為。一。)2+(3/-。)2=。2,再把點(2,1)代入，求得a=5或1,

故要求的圓的方程為(x-5尸+(y—5/=25或1產+⑶-1產=1.

故所求圓的圓心為(5,5)或(1,1)；

,12x5-5-312/3,12x1-1-312<3

故圓心到直線2%—y—3=0的距離4?22=藍—或d"V~TT=藍一；

J22+12J22+12

故答案是：駕.

由已知設圓方程為0-。)2+3-。)2=。2,(2,1)代入，能求出圓的方程，再代入點到直線的距

離公式即可.

本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的標準方程的方法，求出圓心坐標和半徑的值，是解題的關鍵，

屬于基礎題.

15.【答案】?

4

【解析】解：己知橢圓C：。+4=1，

43

則a=2,c=1,F(—1,0),

當直線斜率不為0時，設直線I：x=my-l,

聯(lián)立M

(3xz+4y“-12=0

得(3m2+4)y2—6my—9=0,

設做孫力),B(x2,y2),

.6m9

y】+丫2=薪4=痂彳'

2

??,弦長|AB|=Vl+k\x1-x2\=

1_J__|4F|+|BF|_|AB|_J撈2+1|為一乃|_Jm2+1|九一y2|

麗十麗=\AF\\BF\=\AF\\BF\=1源+不百一。卜4m2+￡M-0|=(*+1)以及1

._--I---------------2------------J36m2+36(3m2+4)

J源+1](丫1+丫2)-4%及=3m2+4—=4

2

(w+i)-yry2--.1+1—-手

3nl2+4

則叫+4|BF|=[(|川|+4麻|)(虛+矗)=喬+調+提)

苧”符確寧

9

當且僅當靄=儡即[叫飛時，等號成立，

明舊用畫|=2

J8

所以|4F|+4|8F|的最小值為條

當直線斜率為。時，\AF\+4|BF|=(a-c)+4(a+c)=1+12=13>%

綜上，|AF|+4|BF|的最小值為今

故答案為:

4

先設直線方程，聯(lián)立直線與楠圓的方程，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系及弦長公式化簡，利用均值不

等式求解.

本題考查了直線與橢圓的位置關系，重點考查了均值不等式的應用，屬中檔題.

16.【答案】e

【解析】解：因為(％—m)仇xNx+ri,且沅。0,

若zn<0,

此時y=(X—在%趨向于。時，函數(shù)值趨向-8,而y=%+71趨向于九，

所以(%—徵)伍％Nx+九在％G(0,+8)上不能恒成立，

則m>0,

不妨設/(x)=(x-m)/nx-x,函數(shù)定義域為(0,+8),

可得/(%)=嚀1,

不妨設g(%)=以九%-ni,函數(shù)定義域為(0,+8),

可得g'(%)=仇%+1，

當Ovxv：時，g'(%)<0,g(%)單調遞減；

當》>：時，gr(x)>0,g(%)單調遞增，

所以g(x)>g(；)=-;-m<0，

當不€(0,：)時，g(x)vO,%趨向正無窮時，g(x)趨向正無窮，

所以G(-,+00),使得g(%o)=XolnxQ-m=0,

此時m=x0/nx0,

當％E(O,%o)時，g(x)V0,/'(%)<0：

當％W(Xo，+8)時，g(%)>0,/'(%)>0,

所以當％6(0,&)時，函數(shù)/(%)單調遞減；

當%€(&,+8)時,函數(shù)/(%)單調遞增,

2

所以/(無)>/(%)=xlnx.mlnx-x=m--m----

0oQQQxo

要使工仇x—minx>%4-九對Vx>0恒成立，

需滿足/(&)>九恒成立，

此時m————xQ>n,

即巴式1一%一包41一2I㈣?桎=-1,

mXQmq沏m

當且僅當藁=篙即巾=與時等號成立，

又/Qo)==-m=n,

則&bi》。=m=x0,

整理得七%o=1,

解得/=e,

則m=x0=e.

故答案為：e.

由題意，設TH。。，結合y=(%-TH)伍%、y=%+九的性質及不等式恒成立得?n>0,構造函數(shù)

/(%)=(%-m)lnx-x,對函數(shù)f(%)進行求導，利用導數(shù)研究其最小值得到f(%)>/(x0)=m-

黑-均且&€&,+8),結合不等式恒成立得到血-臂-利用基本不等式求出2最大值

并確定取值條件m=x0,此時有(%o-m)Znx0=%o+九恒成立，進而求得參數(shù)值.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，考查了邏輯推理、轉化思想和運算能力.

17.【答案】解：(1)/(%)=sinx^sinx—V-3cosx)=sin2%—\[~3sinxcosx=1一早sin2x=

~~sin(2x+,

LO

令2kzr+^<2%4-72kli+-^,k6Z,得krc4-7<%</CTT+GZ,

Z6L6D

所以f(X)的增區(qū)間為阿+，時+等,kez；

⑵由f(4)=|,得sin(24+9=-1,

由46(0,TT),得24+16

ooo

所以24+好空所以4=亭，

OZ□

因為，_=±=上=金，

^sinAsinBsinC\T3

所以b=-^=sinB,c=*sinC=言sin(4+B)=2cosB--^=sinBf

47

則b+2c=^==sinB+2(2cosB一1?stnB)=4cosB,

因為Be(05),所以cosB6《，l),

所以b+2c€(2,4).

【解析】(1)先根據(jù)降幕公式及輔助角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性即可得解;

(2)先求出角4再根據(jù)正弦定理結合三角函數(shù)的性質即可得解.

本題考查了三角恒等變換、正弦定理及三角函數(shù)的性質，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)等腰梯形4BC。中，AB=4,AD=DC=2,則4n4B=60。，

則BD=2C，所以4。2+口。2=AB2,BD1AD.y.BE=4,DE=2,

由+DE2=16=BE2,得到8。1DE,

又ADClDE=D,因此BO_L平面40E,又因為B。u平面ABC。，

故平面40E，平面4BC0；

(2)方法一：由(1)知B。J_平面力DE,BDu面BDE,則面BCE_L面力DE.

作力H1DE于H點，則有

則UFH即為直線4F與面BDE所成角,

在直角三角形4,尸中，由4"=R,^AFH=60°,得到FH=1,

由EH=FH=1,Z.HEF=60°,可得fE=1,又EB=4,所以存在4="

方法二：過點。作MD1平面力BCD于。，

以點。為坐標原點，DA,DB,DM所在直線為坐標軸建立如圖所示空間直角坐標系.

其中D(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2q,0),E(l,0,C),

得到麗=(0,20,0),DE=(1,0,C)，

設平面BDE的一個法向量為元=(x,y,z),

由匕電=。，得。，

(n?DE=0(x+z=0

不妨設z=-1,則x=/?,y=0,

所以平面BDE的一個法向量為元=(q,0,-l),

又鋁=(-1,20,EF=A^B=(-2,2H入.SQ，

AF=AE+EF=(-1,0,<3)+(-A,2V^A,-V-32)=(-A-1,2<3A,V-3-

則|cos(方，元)|=||=i2T=sin60°=?，

11112J16A-4A+4

解之得；l=0(舍去)或;l=%所以4=；,

存在一點凡滿足前=；(說(0</1<1),使直線4尸與平面8DE所成的角為60。，此時4=也

【解析】(1)利用面面垂直判定定理即可證得平面4DE1平面4BCD；

(2)法一，先確定出直線4F與平面BDE所成的角，再求得EB的值即可求得;I的值；法二，建立空間

直角坐標系，依據(jù)題給條件列出關于4的方程即可求得；I的值.

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的求法，考查運算求解能力，屬中檔題.

19.【答案】解：⑴由2Sn=3aH-1,得2Sn_i=3an_i-l(n>2),兩式相減得冊=3an_x(n>2).

令n=L得%=1,.?.數(shù)列｛a3是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

n-1

?1?an=3；

(2)由題意可得“=2十數(shù),

為偶數(shù)

所有奇數(shù)項的和Si=(1+3+5+…+2n-1)+(30+32+344-...+32n-2)

nn

_n(l+2n-l)lx(l-9)_29-l.

-2+1-9~n+-8-'

所有偶數(shù)項的和S2=2?3】+4?33+6?3s+...+2n-32n-1，①

則9s2=2-33+4?35+6?37+…+2n-32n+1,②

①一②得：一852=2C31+33+...+32"-1)-2n-32n+1=2--2n-32n+1.

._(24n-3)32n+3

"另=32，

.-2,9"-l,(24n-3)32n+3_(24n+l)-32n-l

"T-n+—+------------------n2+--------至-----

【解析】(1)由2Sn=3(1n-1,得2Sn-i=3即_1-l(n>2),兩式相減可得數(shù)列｛七｝是以1為首項,

3為公比的等比數(shù)列，從而可求出其通項公式;

(2)由(1)得％=/1+即川為奇色，然后分別利用分組求和，錯位相減法求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項

(n-a”。為偶數(shù)

的和，相加即可.

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和，訓練了錯位相減法求數(shù)列的前n項和I,

是中檔題.

20.【答案】解：(1)因為對60名學生明顯有效運動是否與性別有關的調查，其中女生與男生的人

數(shù)之比為1：2,女生中明顯有效運動的人數(shù)占去男生中明顯有效運動的人數(shù)占弓，得到下面的列

聯(lián)表:

女生男生合計

明顯有效運動103040

不明顯有效運動101020

合計204060

給定假設%:明顯有效運動與性別沒有關系.

n(ad-bc)260x(10x10-30x10)2

由于#2==3.75>2.706=P(/2>0.100),

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20x40x40x20

則根據(jù)小概率值a=0.100的f獨立性檢驗，有充分的證據(jù)推斷假設/不成立，因此認為明顯有效

運動與性別存在差異;

(2)由樣本數(shù)據(jù)可知，不明顯有效運動的頻率為：，用樣本的頻率估計概率，所以不明顯有效運動

的概率為5

設11人不明顯有效運動的人數(shù)為X,則X?

所以P（x=k）=c衲kq-Ji.k*=0,1,2,-11）,

假設11人中不明顯有效運動的人數(shù)最有可能是k,

則產（1獷（1一*.＞的］即+1（1_獷?！?/p>

”（1—＞曲】C）kT（］_扔2-/

解得3WkW4,k€N,

故k=3或k=4.

所以11人中不明顯有效運動的人數(shù)最有可能是3或4.

【解析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計算與臨界值對比即可得出結論；

（2）由題意，問題可轉化為二項分布，利用二項分布概率公式列出不等式組求解.

本題主要考查獨立性檢驗，二項分布，屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴設P（xo，y。），

由彎一畛=1可得畛=自咨又A（一a,o）,B（a,0）,

a2b262a2

所以'.人=旦=4=:，

22

寸和+axQ-ax§-aa3

又焦點到其一條漸近線bx+ax=。的距離為=b=1,解得a=C,b=l.

Ja2+b￡

2

所以雙曲線C的方程為宗—y2=1.

（2）設直線MN的方程為x=my+t,M?,%）,W（x2,y2）＞如圖，

因為4（一，30）,8（，耳,0），直線4M：丫=x；力（x+C「

則直線4M在y軸上的截距為點冷,

直線BN：—O,則直線8N在y軸上的截距為黑當，

由題意得^^=一，^^，又k/IM.kBM=x；%.x［%=一

%1+V3X2-V3%1+VJX17JJ

所以4^=巴薩.

%1+V33yl

所以q(丁口)=丁翼，則(%1-O)(%2-C)+7172=0，

J1人2v」

即(m月+￡—V~^)(my2+t—V-3)+丫1為=0，

-2

即有(m?+Y)y1y2+(C-V-3)m(y1+y2)+?-V~~3)=0，

即有(機2+i).+(t-V-3)m-1當+(t-<3)2=0，化簡得t=門或￡=2c.

若￡=，閂