《計(jì)數(shù)原理排列組合》解題思維方法(含答案)

《計(jì)數(shù)原理排列組合》解題思維方法姓名：類型1：【分步計(jì)數(shù)】1、甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有96種【解】甲選2門有C4種選法，乙選3門有C3種選法，丙選3門有C3種選法.?,?共有C4qq=96（種）選法.2、如圖所示，有五種不同顏色分別給A、B、。、D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有 180種．【解】按區(qū)域分四步：第一步A區(qū)域有5種顏色可選；第二步B區(qū)域有4種顏色可選；第三步C區(qū)域有3種顏色可選；第四步由于重復(fù)使用區(qū)域A中已有過的顏色，故也有3種顏色可選用.由分步計(jì)數(shù)原理，共有5x4x3x3=180（種）.3、有10件不同的電子產(chǎn)品，其中有2件產(chǎn)品運(yùn)行不穩(wěn)定。技術(shù)人員對(duì)它們進(jìn)行一一測試，直到2件不穩(wěn)定的產(chǎn)品全部找出后測試結(jié)束，則恰好3次就結(jié)束測試的方法種數(shù)是 32【解】CiA2A2=328224、今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有 1260種不同的排法．（用數(shù)字作答）【解1】由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題，共有C9C5-C3=1260（種）排法.A9【解2】 ~=1260A4A3A24325、（海、寧）某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有240種.（用數(shù)字作答）【解】由題意可知有一個(gè)工廠安排2個(gè)班，另外三個(gè)工廠每廠一個(gè)班，共有Ci-C2?A3=240.種安排方法。4536、（重慶）要排出某班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法種數(shù)為288（以數(shù)字作答）【解】先排數(shù)學(xué)課有C1種排法，再排最后一節(jié)有C4種排法，剩余的有A4種排法，共有CiC4A4=288種排法。7、5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰,女生也相鄰的排法有A2A5A5種8、某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時(shí)，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是576【解】前4次中，必須有3只次品1只正品 /.C3CiA4=5764649、將編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)小球全部放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子里，若要使得放入小球的編號(hào)數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，則放小球的方法的種數(shù)為18A.81種 B.27種 C.18種D.12種【方法】分步計(jì)數(shù)原理3義3義2=1810、（難度）只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（C）A.6個(gè) B.9個(gè) C.18個(gè) D.36個(gè)【解】C3.A22.C3=18（種）排法.要領(lǐng)：有差異取排列，無差異取組合。11、將6名男生、4名女生分成兩組，每組5人，參加兩項(xiàng)不同的活動(dòng)，每組3名男生和2名女生，則不同的分配方法有（B）A.240種 B.120種 C.60種D.180種【解析】從6名男生中選3人，從4名女生中選2人組成一組，剩下的組成一組，則C3C2=120.64類型2：【分類分步計(jì)數(shù)】1、山東魯能、上海申花、天津泰達(dá)與杭州綠城四家中國足球俱樂部參加了2012年賽季亞洲足球俱樂部冠軍聯(lián)賽，為了打出中國足球的精神面貌，足協(xié)想派五名官員給這四支球隊(duì)做動(dòng)員工作，每個(gè)俱樂部至少派一名官員，且甲、乙兩名官名不能到同一家俱樂部，則不同的安排方法共有多少種（用數(shù)字作答）?【解】法一：根據(jù)題意，可根據(jù)甲、乙兩人所去俱樂部的情況進(jìn)行分類：（1）甲乙兩人都單獨(dú)去一個(gè)俱樂部，剩余三人中必有兩人去同一家俱樂部，先從三人中選取兩個(gè)組成一組，與其他三人組成四個(gè)小組進(jìn)行全排列，則不同的安排方法有C3A4=3x24=72（種）；（2）甲、乙兩人去的俱樂部中有一個(gè)是兩個(gè)人，從其剩余三人中選取一人與甲或乙組成一組，和其他三人形成四個(gè)小組進(jìn)行全排列，則不同的安排方法有C2c3A4=2x3x24=144（種）.所以不同的安排方法一共有72＋144=216種．法二：若甲、乙兩人可以去同一家俱樂部，則先從五人中選取兩人組成一組，與其他三人形成四個(gè)小組進(jìn)行全排列，則不同的安排方法共有C5A4=10x24=240種；而甲、乙兩人去同一家俱樂部的安排方法有C2A4=24種.所以甲、乙兩人不能去同一家俱樂部的安排方法共有240－24=216種．類型3：【插空法】1、8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（A）A．A88A92 B．A88C29 C．A88A27 D．A88C27【解】不相鄰問題用插空法，先排學(xué)生有A8種排法，老師插空有A2種方法，所以共有A8A2種排法.2、某城市新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)省用電而又不能影響正常的照明，可以熄滅其中的3盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，則熄燈的方法有（D）A.C31種 B.A3種 c.C9種 D.C83種3、一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？【解】分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有A5種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元5素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種A4不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有A5A4一種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩 端4、某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為二05、某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為2【解法1】插空法：6x7=42A7【解法2】動(dòng)靜對(duì)比法：A5=7x6=4256、不同的五種商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，丙、丁兩種不能排在一起，則不同的排法種數(shù)共有24.【方法】捆綁法+插空法：A2A2A2=24223類型4：【捆綁法】1、6人站成一排，甲、乙、丙三人必須站在一起的排列種數(shù)為144【解】捆綁法：A3?A4=144342、有4件不同的產(chǎn)品排成一排，其中A、B兩件產(chǎn)品排在一起的不同排法有—12種.【解】相鄰問題“捆綁法”，將A、B兩件產(chǎn)品看成一個(gè)元素，則三個(gè)元素全排列數(shù)為AL又A、B兩件之間有序排列數(shù)為A；，因此共有A3A；=12種排法.3、7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A5A2A2=480種不同的排法522要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.4、某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為二0類型5：【間接法】正難則反總體淘汰策略1、從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),則不同的取法有51種。解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù)，所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有C；,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有C1C1和為偶數(shù)的取法共有C1C2+C3。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有C1C2+C3-955 5 55 5有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體中淘汰.2、我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?【解】C5-C543 413、假設(shè)在200件產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)在從中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有(B)AC2C197種 B?（C2c397+C3c297）種c（c200—c59）種 D.（c5°0—c3c497）種【解】方法一（直接法）至少有兩件次品的抽法有兩種可能，即①2件次品，3件合格品有：CgC397種;②3件次品，2件合格品有：c3c297種.由分類計(jì)數(shù)原理得抽法種數(shù)為（C2C197+C3c297）種.所以選B.方法二（間接法）不論次品，抽法有c500種，恰有1件次品的抽法數(shù)為7^97種，沒有次品的抽法種數(shù)為cq97種，至少有2件次品的抽法種數(shù)為95。。一cq97—c3c497）種.所以選B.【備注】理解對(duì)“至少”“至多”等詞的含義，分清事件的類別，用直接法解；或者是反面考慮，用間接法解答．4、（2013全國）6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共方480種.（用數(shù)字作答）.【解1】逆向思維A6—A2A5=4806 25【解2】插空法：A4?A2=480455、某校要求每位學(xué)生從7門課程中選修4門，其中甲、乙兩門課程不能都選，則不同的選課方案有一25種【解1】學(xué)生從7門課程中選修4門，其中甲、乙兩門課程不能都選，有三種方法，一是不選甲乙共有C45種方法，二是選甲，共有C；種方法，三是選乙，共有C；種方法，把這3個(gè)數(shù)相加可得結(jié)果為25【解2】逆向思維：C4-C2C2=257 256、將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為30【解】用間接法解答：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)班的種數(shù)是C2，順序有A3種，而甲乙被分在同一43個(gè)班的有A3種，所以種數(shù)是C2A3-A3=303 43 37、（2013重慶）從3名骨科.4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是 590（用數(shù)字作答）【解】逆向思維：C5-（C5+C5+C5）+C5=59012 7 8 9 5類型6：【窮舉法】實(shí)際操作1、設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有20種投法解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有2種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球,3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法，同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有2C;種巴口口3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果2、同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有9種。【解】窮舉法、等價(jià)法3、給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有72_種【解】24 4

【解】24 4類型7：【優(yōu)先法】1、實(shí)驗(yàn)員從8種化學(xué)藥品中選出4種，放在4個(gè)不同的瓶子里，若甲、乙兩種藥品不宜放入1號(hào)瓶，則不同的方法有 1260種．【解】先選放入1號(hào)瓶的．2、由0,1,2,3,4,5可以組成 288個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).3414ic解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置3414ic然后排首位共有。4最后排其它位置共有A34由分步計(jì)數(shù)原理得。。43二288434位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件14403、7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，則有1440不同的種法?！窘狻緼2A545類型8：【差異法、對(duì)比法】1、按下列要求把12個(gè)人分成3個(gè)小組，各有多少種不同的分法？(1)各組人數(shù)分別為2,4,6人；(2)平均分成3個(gè)小組；

(3)平均分成3個(gè)小組，進(jìn)入3個(gè)不同車間工作．【解】(1)C22c40c6=13860；(2)C4A4C4=5775；(3)C4A34"A3=C4<gq=34650.【解】(3)分兩步：第一步平均分三組；第二步讓三個(gè)小組分別進(jìn)入三個(gè)不同車間，故有9譽(yù)么3=A3 3C42q?C4=34650種不同的分法.2、北京《財(cái)富》全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為 (A)A．C12C4CA．C12C4C414 12 8B．C12A4A414 128c．C12C4C4

_14__12_8-A3

3D．C12C4C4A314 12 8 3【解】組合數(shù)連乘，包含排列。類型9：【等價(jià)轉(zhuǎn)化法】1、已知圓上9個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)連一線段，所有線段在圓內(nèi)的交點(diǎn)有126個(gè)【解】此題可化歸為：圓上9個(gè)點(diǎn)可組成多少個(gè)四邊形，每個(gè)四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)即為所求，所以，交點(diǎn)有C$=126個(gè).2、、2013浙江)將A,B,C,D,E,F六個(gè)字母排成一排，且A,B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有480_種(用數(shù)字作答)【解1】逆向思維A6-(2x4+2x2x3)x2xA3=480；634【解2】—A6=48066類型10：【平均分組問題除法】1、6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有15分法。解：分三步取書得C:C:C22種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則C2C:C22中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A3種取法，而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有C62C4C2/A3種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何渚B是一種情況，所以分組后要一定要除以An(n為均分的n組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。2、將13個(gè)球隊(duì)分成3組，一組5個(gè)隊(duì)，其它兩組4個(gè)隊(duì)，有 45045分法.(C5C4C4/A2)138 4 23、10名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有 1540不中不同的分組方法C4C3C2C3【解】———C1C4=1540A2 A2 87224、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為 90 (C2C2A2/A2=90)426 2類型11：【重排問題求冪】1、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有二種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有76種不同的排法允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mn種2、某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法78類型12：【排列組合混合問題先選后排】1、有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.【解】抽屜原理；第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有C2種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合

元素）裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有A4種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有C2A44 5 4解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎？2、一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有192種類型13：【構(gòu)造模型策略】1、馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞，求滿足條件的關(guān)燈方法有10種。解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有C3種5__一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決2、某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有120種。【解】插空法類型14：【隔板法】元素相同問題1、有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)方—c;一種分配方案。解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個(gè)空隙。在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C6種9分法。將n個(gè)相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為Cm-12、10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中，每盒至少一個(gè)，則有 C4種裝法。93、x+y+z+w=100，則這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)為 C3103【解】等價(jià)轉(zhuǎn)化+隔板法：求(X+1)+(y+1)+(z+1)+(w+1)=104，即x+y+z+狡=1040000這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)。4、(2006年全國卷I)設(shè)集合I=｛1,2,3,4,5｝。選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有A．50種 B．49種 C．48種 D．47種【解】顯然AB=0，設(shè)AB=C，則C是I的非空子集，且C中元素不少于2個(gè)(當(dāng)然，也不多nu于5個(gè))。另一方面，對(duì)I的任何一個(gè)k(2&k45)元子集C，我