2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)：核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)十一

核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)十一

函數(shù)與方程

鞏固提升練(3。分鐘60分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)

1.函數(shù)f(x)=2L?-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)

【解析】選C.因?yàn)閒(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，則由題意得f(l)?f(2)=

(0-a)(3-a)<0,解得0<a<3.

2.已知函數(shù)f(x)=(口-logx,若實(shí)數(shù)x是方程f(x)=0的解,且x<x,則f(x)的

U30011

值()

A.恒為負(fù)B.等于零

C.恒為正D.不大于零

【解析】選A.由于函數(shù)f(x)=G)Tog'x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，于是，若f(x0)=0,

當(dāng)x〈x時(shí),一定有f(x)<0.

011

3.(2020?泰安模擬)已知函數(shù)f(x)=G)-cosx,則f(x)在［0,2n］上的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)為()

-1-

A.1B.2C.3D.4

【解析】選C.作出g(x)=G)與h(x)=cosx的圖象(圖略)，可以看出函數(shù)g(x)

與h(x)在［0,2n］上的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,所以函數(shù)f(x)在［0,2n］上的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)為3.

4.(2020?福州模擬)已知f(x)42z+1，*工°，則方程f(f(x))=3的根的個(gè)數(shù)

.lux,x>0,

是()

A.6B.5C.4D.3

【解析】選B.令f(x)=t,則方程f(f(x))=3即為f(t)=3,解得t=e-3或e3,作出函

數(shù)f(x)的圖象(圖略)，由圖象可知方程f(x)=e-3有3個(gè)解,f(x)=e3有2個(gè)解，則

方程f(f(x))=3有5個(gè)實(shí)根.

5.已知a,b,c,d都是常數(shù),a>b,c>d.若f(x)=2020-(x-a)(x-b)的零點(diǎn)為c,d,則

下列不等式正確的是()

A.a>c>b>dB.a>b>c>d

C.c>d>a>bD.c>a>b>d

【解析】選D.f(x)=2020-(x-a)(x-b)=-X2+(a+b)x-ab+2020,又f(a)=f(b)=

2020,c,d為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且a>b,c>d,所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)

f(x)的大致圖象,如圖所示,由圖可知c>a>b>d.

二、填空題(每小題5分，共15分)

-2-

6.(2018,全國(guó)卷HI)函數(shù)f(x)=cos(3x+三)在［0,兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

[解析]令f(x);cos(3乃+乙)=0,得3x+-=-+kn(k￡Z),即x=-+Akn,

I,￡丿6292

當(dāng)k=0時(shí)，x=^￡[0,n],當(dāng)k=1時(shí)，x=生￡[0,n],當(dāng)k=20^,x=—G[0,n],所以

999

f(x)=cos(3x+力在［0,n］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.

答案：3

7.已知函數(shù)f(x)=f°%"+Vfx>0,若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)

(-z2-2匕x<0,

數(shù)m的取值范圍是.口

【解析】函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn),轉(zhuǎn)化為f(x)-m=0的根有3個(gè),進(jìn)而轉(zhuǎn)化

為y=f(x),y=m的交點(diǎn)有3個(gè).畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，則直線y=m與其有3個(gè)公

共點(diǎn).又拋物線的頂點(diǎn)為(-1,1),由圖可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1).

答案：(0,1)

8.設(shè)函數(shù)丫=乂3與y=H)“2的圖象的交點(diǎn)為(x,y),若x￡(n,n+1),n￡N,則x所

oooo

在的區(qū)間是.「I

【解析】設(shè)f(x)=x3-ey1則x。是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系下

作出函數(shù)y=X3與y=(2)’'的圖象如圖所示

-3-

因?yàn)榍?1)=1-(3f(2)=8-GJ=7>0,所以f(1)彳(2)<0,所以x°￡(1,2).

答案：(1,2)

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.設(shè)函數(shù)f(x)=1-丄(x>0).

T

(1)作出函數(shù)f(x)的圖象.

(2)當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時(shí),求丄+丄的值.

ab

⑶若方程f(x)初有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍.

【解析】⑴如圖所示.

--1,(0,1」，

(2)因?yàn)閒(x)=1-1=.X

X1-+8丿,

故f(X)在(0,1］上是減函數(shù)，而在(1,+8)上是增函數(shù).

由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b,

且所以L￡=2.

nhnh

-4-

(3)由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)0<m<1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m有兩個(gè)不

同的交點(diǎn)，即方程f(x)二m有兩個(gè)不相等的正根.

10.已知二次函數(shù)f(x)=X2+(2a-l)x+l-2a,

(1)判斷命題：”對(duì)于任意的aER,方程f(x)=l必有實(shí)數(shù)根”的真假,并寫出判斷

過程.

⑵若y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,》內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(D"對(duì)于任意的a￡R,方程f(x)=l必有實(shí)數(shù)根”是真命題.依題

意，f(x)=1有實(shí)根，即X2+(2a-1)x-2a=0有實(shí)根，因?yàn)椤鞫?2a7)2+8a=(2a+1)220

對(duì)于任意的aGR恒成立，即X2+(2a-1)x-2a=0必有實(shí)根，從而f(x)=1必有實(shí)根.

⑵依題意，要使

(f(-1.)>0,p-4?>0,

只需1丿vo,即｛1一2。<0,

［心。，3>。，

解得Uad.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為H

綜合運(yùn)用練(15分鐘35分)

1.(5分)函數(shù)f(x)=(x+l)InxT的零點(diǎn)有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【解析】選B.由f(x)=(x+1)InxT=0,得Inx二」—,作出函數(shù)y=lnx,y二——的

￡+11

圖象如圖，

-5-

由圖象可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

2.(5分)(2019?鄭州模擬)設(shè)m￡N,若函數(shù)f(x)=2x-mJlQ^+10存在整數(shù)零點(diǎn),

則符合條件的m的取值個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【解析】選C.令f(x)=0,得2x+10=m［iQ—x，則有-5WxW10,

因?yàn)閙eN,x￡Z,

所以當(dāng)mHO時(shí)，［10-x^N,

所以x可以取1,6,9,10,相對(duì)應(yīng)m的值為4,11,28(其中x=10時(shí)m的值不存在),

又當(dāng)m=0,x=~5也符合，所以符合條件的m的值共有4個(gè)，選C.

3.(5分)(2020?黃岡模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=f(-x).

當(dāng)x￡［0,1］時(shí),f(x)=2x-l,則函數(shù)g(x)=(x-2)f(x)-1在區(qū)間［-3,6］上的所有零

點(diǎn)之和為()

A.2B.4C.6D.8

【解析】選D.由題意得,f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期為4.

因?yàn)榍?x+2)=f(-x),所以千(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱.

-6-

作出f(x)圖象如圖所示，函數(shù)g(x)=(x-2)f(x)-1的零點(diǎn)即為y=f(x)圖象與

y--圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),四個(gè)交點(diǎn)分別關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，則x+x=4,x+x=4,

X-21423

即零點(diǎn)之和為8,故選D.

【變式備選】

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x20時(shí),f(x)=a|x-2|-a,其中a

為常數(shù),且a>0.若函數(shù)y=f(f(x))有10個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【解析】當(dāng)x20時(shí),令f(x)=0,得|x-2|=l,即x=l或x=3.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),

則f(x)的零點(diǎn)為x=±1和x=±3,作出函數(shù)y=f(x)的大致圖象如圖所示.

令f(f(x))=0,則f(x)=±1或千(x)二±3.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(f(x))有10個(gè)零點(diǎn)，則函

數(shù)(x)的圖象與直線y=±1和y=±3共有10個(gè)交點(diǎn).由圖可知，1<a<3.

答案：(1,3)

1

4.(10分)已知函數(shù)f(x)=-X2-2x,g(x)=..XH----.X>0.

lx+1,x<0.

(1)求g(f(l))的值.

⑵若方程g(f(x))-a=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

-7-

［解析］⑴利用解析式直接求解得g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.

⑵令f(x)=t,則原方程化為g(t)=a,易知方程f(x)=t在(-8,1)上有2個(gè)不同

的解，則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)y=g(t)(t<1)與y=a的圖象有2個(gè)不同的交

點(diǎn),作出函數(shù)y=g(t)(t<1)的圖象如圖，

由圖象可知，當(dāng)1Wa<m時(shí)，函數(shù)y=g(t)(t<1)與y=a有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即所求a

4.

的取值范圍是L1).

5.(10分)已知函數(shù)f(x)=-X2+2ex+m-l,g(x)=x+—(x>0).

上

(1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍.

(2)確定m的取值范圍，使得函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

【解析】⑴因?yàn)間(x)=x+弓22\：/=2e,

X

等號(hào)成立的條件是x=e,

故g(x)的值域?yàn)椋?e,+8),

因而只需m22e,則g(x)=m就有零點(diǎn),

即m的取值范圍為［2e,+8).

⑵函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

即g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根,

-8-

即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

作出g(x)=x+—(x>0)的圖象.

因?yàn)閒(x)=-X2+2ex+m7=-(x-e)2+m7+e2,其對(duì)稱軸為x=e,開口向下，最大值為

m-1+e2,

故當(dāng)m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時(shí),g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn),即g(x)-f(x)=0有兩

個(gè)相異實(shí)根.

所以m的取值范圍是(_e2+2e+1,+°°).

【拓廣探索練】

1.(2019?濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)=e「er+4,若方程f(x)=kx+4(k>0)有三個(gè)不同

的實(shí)根x,x,x,則x+x+x=.

123123

【解析(x)=kx+4(k>0),即ex-e-x=kx,所以y=ex-e-x與y=kx有三個(gè)不同的交點(diǎn),

12

且都是奇函數(shù).因此x+x+x=0.

123

答案：0

2.(2020?嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)=|x-2k|,xG[2k-l,2k+l](k￡Z),則函數(shù)

g(x)=f(x)-lgX的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.5B.7C.9D.11

【解析】選C.函數(shù)g(x)=f(x)-lgx的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=lgx與(x)的交點(diǎn)，給k

賦值,作出函數(shù)y=f(x)及y=lgx的圖象，從圖象上看，共有9個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)

g(x)的零點(diǎn)共有9個(gè)，故選C.