《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課后習(xí)題答案

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課后習(xí)題答案

習(xí)題1.1解答

1.將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件CBA,,分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面“。試寫(xiě)出樣

本空間及事件CBA,，中的樣本點(diǎn)。

解：{=。(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反))

{=A(正，正)，(正，反)}；{=B(正，正)，(反，反)}{=C(正，正)，(正，反)，(反，正)}

2.在擲兩顆骰子的試驗(yàn)中，事件DCBA,,,分別表示“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)："點(diǎn)數(shù)

之和小于5”，“點(diǎn)數(shù)相等”，“至少有一顆骰子的點(diǎn)數(shù)為3”。試寫(xiě)出樣本空間及事件DCBABCCABAAB…中的樣本點(diǎn)。

解：())6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(1),2,1(),1,1(=Q；

{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB;

{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(=+BA;

e=CA;{})2,2(),1,1(=BC；

{})4,6(),2,6(),1,50,6,40,2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=-DCBA

3.以CBA”分別表示某城市居民訂閱日?qǐng)?bào)、晚報(bào)和體育報(bào)。試用CBA,,表示以下

事件：

(1)只訂閱日?qǐng)?bào)；(2)只訂日?qǐng)?bào)和晚報(bào)；(3)只訂一種報(bào)；(4)正好訂兩種報(bào)；(5)至少訂閱一種報(bào)；(6)不訂閱

任何報(bào)；(7)至多訂閱一種報(bào)；(8)三種報(bào)紙都訂閱；(9)三種報(bào)紙不全訂閱。

解：(1)CBA;(2)CAB;⑶CBACBACBA++

(4)BCACBACAB++;(5)CBA++；

(6)CBA;(7)CBACBACBACBA++^CBCABA++

(8)ABC；(9)CBA++

4.甲、乙、丙三人各射擊一次，事件321,,AAA分別表示甲、乙、丙射中。試說(shuō)明下列事件所表示的結(jié)果：2A,32AA+,21A

A.21AA+,321AAA,

313221AAAAAA++.

解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙

未擊中；甲、乙、丙三人至少有兩人擊中。

5.設(shè)事件CBA,，滿(mǎn)足(PxABC,試把下列事件表示為一些互不相容的事件的和：

CBA++,CAB+,ACB

解：如圖：

6.若事件CBA,，滿(mǎn)足CBCA+=+,試問(wèn)BA=是否成立？舉例說(shuō)明。

解：不一定成立。例如：{}5,4,3=A,{}3=B,{}5,4=C,那么,CBCA+=+,但BA%

7.對(duì)于事件CBA試問(wèn)CBACBA+-=--)()(是否成立？舉例說(shuō)明。

解:不一定成立。例如:{}5,4,3=A,{}6,5,4=B,{}7,6=C,那么{網(wǎng)(=-CBA,但是{}7,6,3)(=+-CBA。

8.設(shè)3

1)(=

AP.21)(=

BP,試就以下三種情況分別求)(ABP:

(1)e=AB,(2)BA?,(3)8

1)(=ABP.

解：

(D2

1)()()()(=-=-=ABPBPABBPABP;(2)6

1)000(=

-=-=APBPABPABP;(3)8

3

8121)()()()(=-=-=-=ABPBPABBPABPO

9.已知41)(2(===CPBPAP,16

1)()(==BCPACP,0)(=ABP求事件

CBA,，全不發(fā)生的概率。

解：0

)(1)(CBAPCBAPCBAP++-=++=

=□

)()0()()()0(1ABCPBCPACPABPCPBPAP+-++-8

3

016116104141411=+-++-=

10.每個(gè)路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設(shè)各色燈的開(kāi)閉是等可能的。一個(gè)人騎車(chē)經(jīng)過(guò)三個(gè)路口，試求下列事件的概率：=A

“三個(gè)都是紅燈全紅”；=B“全綠”；=C“全黃”；=D“無(wú)紅"；=E“無(wú)綠”；=F"三次顏色相

同"；=G

“顏色全不相同，，；=H"顏色不全相同”。

解：

271333111)()()(==

==CPBPAP；27

8

333222)()(===EPDP；

91271271271)(=++=FP；9

2

333!3)(=??=GP；

98

911)(1)(=-=-=FPHP.

11.設(shè)一批產(chǎn)品共100件，其中98件正品，2件次品，從中任意抽取3件(分三種情況：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3

次；每次拿1件，取后不放回拿3次)，試求：

(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率;

（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：

一次拿3件：

（1）0588.0310012298==CCCP；（2）0594.03

100

198

2229812=+=CCCCCP;每次拿一件，取后放回，拿3次：

（1）0576.031009823

2

=??=

P；（2）0588.01009813

3

=P；每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）0588.0398

9910097

982==

P；

（2）0594.098

9910096

97981=-=P

12.從9,,2,1,0中任意選出3個(gè)不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：

{}501與三個(gè)數(shù)字中不含=A,{}502或三個(gè)數(shù)字中不含=A?

解：

15

7

）（310381==CCAP;

15142）（31038392=-=CCCAP或15

14

1）（310182=-=CCAP13.從9,,2,1,0中任意選出4個(gè)不同的數(shù)字，計(jì)算它們能組成一個(gè)4位偶數(shù)的概率。

解：9041

454

10

2839=-=PPPP14.一個(gè)宿舍中住有6位同學(xué)，計(jì)算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰

有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；

解：

（1）41.01211166

=-=P;(2)00061.012116

246=?=CP；(3)0073.012

116

246112==CCP15.從一副撲克牌(52張)任取3張(不重復(fù))，計(jì)算取出的3張牌中至少有2張花色相同的概率。

解：

602.03521392131431314=+=CCCCCCP或602.013

52

11311311334=-=CCCCCP習(xí)題1.2解答

1.假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,從中任取一件，結(jié)果不

是三等品，求取到的是一等品的概率。

解：

令凸A"取到的是i等品"，3,2,1=i

3

2

9.06.0)0()()()(3133131====

APAPAPAAPAAPO

2.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產(chǎn)品中有1件不合

格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：

令=人"兩件中至少有一件不合格”，=B"兩件都不合格”

5

11)

(1)

()001(210

2

621024

-==CCCCAPBPAPABPABP3為了防止意外，在礦內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)和II。兩種報(bào)警系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)

和II有效的概率分別0.92和0.93,在系統(tǒng)I失靈的條件下，系統(tǒng)II仍有效的概率為0.85,求

(1)兩種報(bào)警系統(tǒng)I和II都有效的概率；(2)系統(tǒng)II失靈而系統(tǒng)I有效的概率；(3)在系統(tǒng)II失靈的條件下，系統(tǒng)I仍有效

的概率。

解：令=人”系統(tǒng)(I)有效"，=B"系統(tǒng)(II)有效”則85.0)|(,93.0)(,92.0)(===ABPBPAP(1))()()()(BAPBPBABPAB

P?=?=

862.085.0)92.01(93.0)|()()(=?-=-=ABPAPBP(2)058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=ABPAPABAPABP(3)8286.093

.01058

?0)001(=-==

BPBAPBAP

4.設(shè)1)(Ov

證：

:A與B獨(dú)立,A???與B也獨(dú)立。)()1(),()I(BPABPBPABP==.)|()|(ABPABP

:1)(01)(0?.-.<

又)

0

OKJOOKAPBAPABPAPABPABP==

而由題設(shè))

0

()()()|()|(APBAPAPABPABPABP=.

即)]()()[()()](1[ABPBPAPABPAP-=-)()()(BPAPABP故A與B獨(dú)立。

5.設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，兩個(gè)事件只有A發(fā)生的概率與只有B發(fā)生的概率都是4

1,求)(AP和)(BP.解：4

1

)()(==BAPBAP,又A與B獨(dú)立

.,.41

)()](1[)()()(=-==BPAPBPAPBAP

4

1

)](1)[()()()(=-==BPAPBPAPBAP

4

1)00,0(2

=-=.*.APAPBPAP

即2

1

)()(==BPAPO

6.證明若)(AP>0,)(BP>0,則有(1)當(dāng)A與B獨(dú)立時(shí)，A與B相容；(2)當(dāng)A與B不相容時(shí)，A與B不獨(dú)立。

證明:0)(,0)(?BPAP

(1)因?yàn)锳與B獨(dú)立，所以

0)()()(>=BPAPABP,A與B相容。(2)因?yàn)?)(=ABP,而0)()(>BPAP,)()()(BPAPABPA與B不獨(dú)立。

7.已知事件CBA,相互獨(dú)立，求證BA與C也獨(dú)立。

證明：因?yàn)锳、B、C相互獨(dú)立，??.)(])[(BCACPCBAP=

)()()()]()()([)()()()()()()()

()()(CPBAPCPABPBPAPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACP=-+=-+=-+=

BA.?與

C獨(dú)立。

8.甲、乙、丙三機(jī)床獨(dú)立工作，在同一段時(shí)間內(nèi)它們不需要工人照顧的概率分別為0.7,0.8和0.9,求在這段時(shí)間內(nèi)，最多只

有一臺(tái)機(jī)床需要工人照顧的概率。

解：

令321,,AAA分別表示甲、乙、丙三機(jī)床不需要工人照顧，那么9.0)(,8.0)(,7.0)(321===APAPAP令B表示最多有一臺(tái)機(jī)床

需要工人照顧，

那么)()(321321321321AAAAAAAAAAAAPBP+++=

902

.01.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)

()0()(321321321321=??+??+??+??=+++=AAAPAAAPAAAPAAAP

9.如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件能正常工作的概率為)10(<

解：令=人

=iA"第iniAAAPAP221??)(身目互獨(dú)立。那么

[])()()(22121nnnnAAAAAAPAP+++=

K0

)

2(2)

()0()

()0(221

21

1

22122121nnnnn

nnii

nii

nnnnnPPPPAPAPAPAAAPAAAPAAAP-=-=-+=

■+=nnn=+==++

)]())([()(22211nnnnAAAAAAPBP+??++=++

n

nniniinii

ni

n

iiniPPPPAPAPA

PAPAAP)2(]2[)]()()()([)

(1

211-=-=-+=

+=nnn==++=+

10.10張獎(jiǎng)券中含有4張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購(gòu)買(mǎi)1張，求(1)前三人中恰有一人中獎(jiǎng)的概率；(2)第二人中獎(jiǎng)的概率。

解：令=1A"第i個(gè)人中獎(jiǎng)”，3,2,1=i(1))(321321321AAAAAAAAAP++)()()(321321321AAAPAAAPAAAP++=

)

I0I00

101()0101()(213121213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAPAAPAP++=

2

1859410684951068596104=??+??+??=

注：利用第7題的方法可以證明)(iniAA+冶)(jnjAA++

ji工時(shí)獨(dú)立。

系統(tǒng)I

系統(tǒng)II

或213

10

2614==CCCP(2))|()()|()()(1211212AAPAPAAPAPAP+=

5

2

9410693104=?+?=

11.在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查鄴5%的真實(shí)患者，但也有可能將10%的人誤診。根據(jù)以往的記

錄，每10000人中有4人患有肝癌，試求：

(1)某人經(jīng)此檢驗(yàn)法診斷患有肝癌的概率；

(2)已知某人經(jīng)此檢驗(yàn)法檢驗(yàn)患有肝癌，而他確實(shí)是肝癌患者的概率。

解：

令=8“被檢驗(yàn)者患有肝癌二=A"用該檢驗(yàn)法診斷被檢驗(yàn)者患有肝癌'那么，0004.0)(,10.0)|(,95.0)|(===BPBAPBAP(1))|

()()|()()(BAPBPBAPBPAP+=10034.01.09996.095.00004.0=?+?=

(2))

I00I00

|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP+=

0038.01

.09996.095.00004.095

.00004.0=?+??=

12.一大批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為30%,每次任取1件，連續(xù)抽取5次，計(jì)算下列事件的概率：

(1)取到的5件產(chǎn)品中恰有2件是優(yōu)質(zhì)品；

(2)在取到的5件產(chǎn)品中已發(fā)現(xiàn)有1件是優(yōu)質(zhì)品，這5件中恰有2件是優(yōu)質(zhì)品。

解：令=1B"5件中有i件優(yōu)質(zhì)品”，5,4,3,2,1,0=i

(1)3087.0)7.0()3.00(3

2252==CBP

⑵)0

0I0I

(0

02025

12BPBBPBBPBBPii=

371.0)7.0(13087

.0)(1)(5

02=-=-=BPBP

13.每箱產(chǎn)品有10件，其次品數(shù)從。到2是等可能的。開(kāi)箱檢驗(yàn)時(shí)，從中任取1件，如果檢驗(yàn)是次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合格而

拒收。假設(shè)由于檢驗(yàn)有誤，1件正品被誤檢是次品的概率是2%,1件次品被誤判是正品的概率是5%,試計(jì)算：(1)抽取的1

件產(chǎn)品為正品的概率；

(2)該箱產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收的概率。

解：令=人“抽取一件產(chǎn)品為正品，=iA“箱中有i件次品”，2,1Q=i=B勺亥箱產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收”

(1)9.0101031)1()0(2

2

0="?==

￡X==iii

AAPAPAP(2))|()()|()()(A

BPAPABPAPBP+=

887.005.01.098.09.0=?+?=

14.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的儀器，以概率0.70可以直接出廠，以概率0.30需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠，并以概率

0.20定為不合格品不能出廠?，F(xiàn)該廠新生產(chǎn)了)2佇nn臺(tái)儀器(假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立)，求：

(1)全部能出廠的概率；(2)其中恰有2件不能出廠的概率；(3)其中至少有2件不能出廠的概率。

解：令=人"儀器需進(jìn)一步調(diào)試”；=B“儀器能出廠”=A“儀器能直接出廠"；=AB"儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠”顯然ABAB+=,

那么8.0)|(,3Q)(==ABPAP

24.08.03.0)|())(=?==ABPPAABP所以94.024Q7.0)()()(=+=+=ABPAPB「令凸B"n件中恰有i件儀器能出廠”，ni?1,0=

(1)n

nBP)94.0()(=(2)222

222

2)06.0()94.0()06.0()94.0()(—==nnnnn

nCCBP(3)nnnnnnkk

CBPB

PBP)94.0()94.0(06.01)()(1)(

11

1

2

0-=-=-=Z

15.進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率均加，試求以下事件

的概率：

(1)直到第r次才成功；

(2)第r次成功之前恰失敗k次；(3)在n次中取得)1(nr

rw次成功；

(4)直到第n次才取得)1(nrrW次成功。

解：

(1)1

)

1(-=rppP

(2)k

rrkrppCP)1(11-=-+

(3)r

nrrnppCP-=)1(

(4)r

nrrnppCP--=)1(11

16.對(duì)飛機(jī)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊，第一次射擊命中率為04第二次為0.5,第三次為0.7.擊中飛機(jī)一次而飛機(jī)被擊落的概率為

0.2,擊中飛機(jī)二次而飛機(jī)被擊落的概率為0.6,若被擊中三次，則飛機(jī)必被擊落。求射擊三次飛機(jī)未被擊落的概率。

解：令=1A”恰有i次擊中飛機(jī)”，3,2,1,0=i=B"飛機(jī)被擊落”顯然：

09.0)7,01)(5.01)(4.01()(0=—=AP

36

.07

.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)(1=?-?-+-??-+-?-?=AP41

.07.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)(2=??-+?-?+-??=AP

14.07.05.04.0)(3=??=AP

而0)|(0=ABP,2.0)|(1=ABP,6.0)|(2=ABP,1)|(3=ABP

所以

458.0)10()(3

==L=iiiABPAPBP;542.0458.01)(1)(=-=-=BPBP

習(xí)題1.3解答

1.設(shè)X為隨機(jī)變量，且kkX

P2

1)(==(,2,1=k),則

(1)判斷上面的式子是否為X的概率分布；(2)若是，試求)為偶數(shù)XP(和)5(NXP.

解：令212

1

)(====kpkXPkk

(1)顯然10WWkp,且

112

1

2121

11=-==XXco

=00

=kkkkp

所以21,2

1

乂===kkXPk為一概率分布。

(2)XP(為偶數(shù)31

12

1)41411212=-===ZZ°o

=oo=kkkkp

161

12

1)5(21

21

555====處8

=oo=kkkkpXP

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為入入-==ekCkXPk

I

)((,2,1=。且0＞入，求常數(shù)C.

解：1!1

=-00

=ZA

Ae

kckk

,而1!

=-00

=￡

AAekkk

1!010=??

-入入ec,即1)1(…=入3c

3.設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為)10(v

解：，2,1,)1()(1

=-==-kppkXPk

4.設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線(xiàn)在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的

合格品數(shù)，試求

(1)X的概率分布；(2))5(>XPo

解：

(1),2,1,0,1.0)9.0()1()(=?=-==kppkXPk

k

⑵55

5

)9.0(1.0)

9.0()()5(=?===

立功

=8=kk

kkXPXP

5.一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中有1個(gè)答案是正確的。求某學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)至少4道題的概率是

多少？

解：因?yàn)閷W(xué)生靠猜測(cè)答對(duì)每道題的概率為41=p,所以這是一個(gè)5=n,4

1=p的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

64

1)43()41(43)4

1

()4(0

5554

4

5=

+?

旺CCXP6.為了保證設(shè)備正常工作，需要配備適當(dāng)數(shù)量的維修人員。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)每臺(tái)設(shè)備發(fā)

生故障的概率為0.01,各臺(tái)設(shè)備工作情況相互獨(dú)立。

(1)若由1人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)設(shè)備，求設(shè)備發(fā)生故障后不能及時(shí)維修的概率；(2)設(shè)有設(shè)備100臺(tái)，1臺(tái)發(fā)生故障由1人處理,

問(wèn)至少需配備多少維修人員，才能保證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率不超過(guò)).01?

解：

(1)0175.0)99.0(01.020)99.0(11920

=????(按Poisson(泊松)分布近似)

(2)入==?==101.0100,100npn(按Poisson(泊松)分布近似)

01.0!1)

99.0()01.0()1(100

1

1

100

1

100100

<?==+>SS+=-+=-NkkNkk

kkkeC

NXP

查表得4=N

7.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為人的Poisson(泊松)分布，且2

1)0(==XP,求

(1)入；(2))1(>X

P.

解：2ln,2

1

!0)0(0

=-AAAeXP

)]1()0(⑴1⑴1(=+=-=±=>XPXPXPXP

)2ln1(2

1

]2ln2121(1-=+-=

8.設(shè)書(shū)籍上每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從Poisson(泊松)分布。經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書(shū)上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的

頁(yè)數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁(yè)，每頁(yè)上都沒(méi)有印刷錯(cuò)誤的概率。

解:)2()1(===XPXP,即2,!

2!

12

1

-AAAAA

ee

2

0-==.t.eXP）（8

4

2）（—=--eeP

9.在長(zhǎng)度為的時(shí)間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)服從參數(shù)為的Bisson分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小

時(shí)計(jì)），求

（1）某一天從中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)有收到緊急呼救的概率；（2）某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)收到1次緊急呼救的概率；

9.在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為2t

的Poisson（泊松）分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.求（1）某一天從中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)有收到緊急呼救

的概率；（2）某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)收到1次緊急呼救的概率；

解：

（D2

3）0（23

=6XPt入

⑵2

51)0(1)1(2

5

,5-

==_=N=

=eXPXPt入

10.已知的概率分布為:

試求(1)a;(2)1-=XY

的概率分布。

解:

(1)123101

2=+++++aaaaa10

1

：,o

⑵

11.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度曲線(xiàn)如圖

試求：(1)t.

解：

(1)(21=.1.t

(2)

c+-e+=其它，o

)3,0[,2161

)0,1[,2121)(xxxxxf

(3)1211

)2161()2121()22012

=+-++=<<-??-dxxdxxXP(

12.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

試確定常數(shù)a并求)6

(n>X

P.解:令

1)(=?+<?

00

-dxxf,BPlsin0

=?dxxa

1cos0

=-.t.ax,即2

,0cosn

=aa

2

3

|cossin)6

(2

6

2

6

n

nn

n

n

xxdxXP13.乘以什么常數(shù)將使x

xe

+-2變成概率密度函數(shù)？

解:令12

=?

+8

8-+-dxcex

x

即14

1)2

1(2

=?

+8

oo—dxeecx

即14

1=nce

4

11

.'?ecn

14.隨機(jī)變量),(?2

opNX,其概率密度函數(shù)為

6

4

42

61)(H=

xxexfn

(+co?oo-x)

試求2

,op;若已知

8

-4-00

=c

c

dxxfdxxf)()(,求C.

解：

2

22)3(2)2(6

443

21

61)(-+-

xxxee

xfnn

2=.,?|1,32=o

若

8

-4-00

=c

C

dxxfdxxf)()(,由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性

可知2==K.

15.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為以丫表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中“2

1<X

”出現(xiàn)的次數(shù)，試求概率)2仁YP.解：412)21(2

1

==<

xdxXP64

9)43()4

1)2(2

2

3=

==CYPo16.設(shè)隨機(jī)變量X服從[1,5]上的均勻分布，試求)(21xXxPvv.如果(1)5121?

解：X的概率密度為?=其他05

1,41)(xxf

(1)?-==?2

1

221)1(41

41)(xxdxxXxP

⑵?-==

?5

1211

)5(4141)(xxdxxXxP17.設(shè)顧客排隊(duì)等待服務(wù)的時(shí)間X(以分計(jì))服從5

1=入

的指數(shù)分布。某顧客等

待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘，他就離開(kāi)。他一個(gè)月要去等待服務(wù)5次，以丫表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)的次數(shù)，試求Y的概

率分布和)1佇YP.

解：

2105

1]1[1)10(1)10(-?-=-=<-=>eeXPXP

5,4,3,2,1,0,)1()()(5225=-==.,.—keeCkYPkkk

5167.0)1(1)1(5

2?-=>-eYP

習(xí)題1.4解答

1.已知隨機(jī)變量X的概率分布為

2.0)1(==XP,

3.0)2(==XP,

5.0)3(==XP,試求X的分布函數(shù)；)25.0(<<XP;畫(huà)出)(xF的曲線(xiàn)。

解：

><<<<<=3

,1

32,5.021,2.01

,0)(xxxxxF

5.0）25.0（=<<XP

）（xF曲線(xiàn)：

）

（xF

2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

試求：（1）X的概率分布；（2）川2（。

解：（1

（2）3

2

）1（）1川2（*

工

3.從家到學(xué)校的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的概率是相互獨(dú)

立的，且概率均是0.4,設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，試求（1）X的概率分布；（2）X的分布函數(shù)。

解:

(D3,2,1,0,)5

3()5

2()(33===-kCkXPk

k

k

⑵

><<<<<<<=3

1

32,12511721,12581

10,125270,0）（xxxxxxF4.試求習(xí)題1.3中第11題X的分布函數(shù)，并畫(huà)出）（xF的曲線(xiàn)。

解：

><<++-<<-++-<=31

3

0412112

10141214110

）（22xxxxxxxxxF5.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

試求：（1）BA,的值；（2））11（<<-XP;（3）概率密度函數(shù)）（xf.

解：

(1)11)(lim)(2=.*.=+=+oo-+co->ABe

AFx

x

又10)0()(lim20

-=-='"'==H—>+ABFBe

Ax

x

(2)2

1)1()1()11(-=-=?-e

FFXP

(3)<>==-0,0

,2)(')(2xxexFxfx

6.設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為試確定)(xF中的deba,,,的值。解：10)(=.』-8aF又11)(=.=+8dF

又10)1In(lim1

aexxbxx

又111

)1ln(lim=+--,.==+-->ebedxxbxe

x即1=b

7.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為)

1()(2xaxf+=n,試確定a的值并求)(xF和)1(

解：1)

1(2=+?+oo

oo-dxxa

n即

11|arctan=「?=8

+oo-axa

n

+oo?oo-+=+=

-xxdttaxFx