數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘要:數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；數(shù)形結(jié)合的解題方法，能使很多問題迎刃而解，且解法簡捷、事半功倍。關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想高中數(shù)學(xué)一、高中學(xué)生用“數(shù)形結(jié)合”解題的現(xiàn)狀目前，從高中生數(shù)形結(jié)合解題能力調(diào)查可知，高中生數(shù)形結(jié)合解題意識不強(qiáng)，這主要表達(dá)在數(shù)學(xué)解題中數(shù)與形的別離上，即一個(gè)問題僅僅是從數(shù)的角度求解，或者是僅僅從形的角度考慮。而且學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)容易出現(xiàn)問題，不易找到數(shù)形結(jié)合解題的突破口。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)如果能有效地引導(dǎo)學(xué)生自覺強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題意識，善于培養(yǎng)學(xué)生尋找數(shù)形結(jié)合解題突破口的能力，將能大大提高學(xué)生解題準(zhǔn)確率。二、“數(shù)形結(jié)合”的思想及重要性“數(shù)”與“形”，作為數(shù)學(xué)中最古老最重要的兩個(gè)方面，一直就是一對矛盾體。正如矛和盾總是同時(shí)存在一樣，有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”。華羅庚先生曾說過：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫別離！”寥寥數(shù)語，把數(shù)形之妙說得淋漓盡致?？梢?，所謂數(shù)形結(jié)合，指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化?！皵?shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)中的一種重要思想，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位。近年高考數(shù)學(xué)試卷，就是一個(gè)有力的明證。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念及其幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。三、數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用及效果在多年來的高考題中，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，大多是“以形助數(shù)”。在解方程和不等式、求函數(shù)的最值問題、求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)等問題中，如果巧妙運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解題，可以化抽象為具體，效果事半功倍。數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以解決以下問題：(一)、解決集合問題：在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，從而使問題得以簡化，使運(yùn)算快捷明了。應(yīng)用1：設(shè)命題甲：0<x<3，命題乙：|x－1|<4，那么甲是乙成立的〔〕A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.不充分也不必要條件將兩個(gè)命題用數(shù)軸表示，如圖：A.UAB應(yīng)用2：設(shè)是全集，，那么①，②，UAB③，④。上面結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是：_______。解：畫出適合條件的韋恩圖即知③不正確。[點(diǎn)評］對于處理集合的問題，可以用數(shù)形結(jié)合的方法，如果是含字母參數(shù)的，可以畫韋恩圖；如果是具體的數(shù)集，那么可以畫數(shù)軸，都可以使集合間的關(guān)系直觀化.(二)、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時(shí)，把方程的根的問題看作兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；處理不等式時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。應(yīng)用：設(shè)，關(guān)于的一元二次方程有兩實(shí)根，且，求的取值范圍。12分析：此題告訴我們方程有兩個(gè)根，所以可考慮解出兩根，再把兩根帶入求解不等式即可。顯然這樣的思路想來簡單，但求解卻是非常困難的事情，所以我們不得不考慮其他方法。假設(shè)我們令:12那么問題就可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與軸應(yīng)有兩個(gè)交點(diǎn)，而交點(diǎn)的位置一個(gè)在內(nèi)、一個(gè)在內(nèi)，由圖可列出圖像應(yīng)滿足的條件并求解：(三〕、解決線性規(guī)劃問題：線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問題。從圖形上找思路恰好就表達(dá)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。應(yīng)用：某電腦用戶方案用不超過500元的資金購置單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，那么不同的選購方式共有〔〕A5種B．6種C．7種D．8種分析1：該題可用例舉法一一例舉出結(jié)果分析2：利用線性規(guī)劃知識求解：設(shè)需買軟片片、買磁盤盒，由題意知：上述約束條件所表示的平面區(qū)域?yàn)槿缬覉D所示的陰影三角形上。整點(diǎn)〔，〕共有7個(gè)，即為〔3，2〕、〔4，2〕、〔5，2〕、〔6，2〕、〔3，3〕、〔4，3〕、〔3，4〕，共有7種不同的選購方式應(yīng)選C[點(diǎn)評]顯然前一種方法雖然可以求解該題，但花費(fèi)時(shí)間較長，且容易漏解，第二種方法解該題卻顯得既準(zhǔn)確又快捷。(四)、解決三角函數(shù)問題：有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間確實(shí)定或比擬三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。應(yīng)用：假設(shè),記，對于函數(shù)，給出以下4個(gè)命題：⑴該函數(shù)的值域是；⑵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；⑶該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；⑷當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．上述命題中正確的命題是解析：根據(jù)題意，可把函數(shù)轉(zhuǎn)譯為，將其簡圖畫出〔見圖1〕，由此圖像可知，該函數(shù)值域是；當(dāng)或時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；該函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，所以命題⑴、⑵、⑶都不正確，而命題⑷是正確的。[點(diǎn)評]：此題的特點(diǎn)是給出的函數(shù)較為復(fù)雜，如果利用以往學(xué)過的函數(shù)性質(zhì)不便于解題。這時(shí)我們利用的正弦，余弦函數(shù)圖像解題，那么簡單，明了，準(zhǔn)確。(五〕除以上應(yīng)用之外，數(shù)形結(jié)合在解決解析幾何、立體幾何等問題時(shí)，同樣可以起到使復(fù)雜的問題簡單化、直觀化的效果。從上面數(shù)形結(jié)合的解題實(shí)例中可以看出，充分抓住數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系去探索問題，將會收到事半功倍的效果?？偠灾瑔栴}是數(shù)學(xué)的心臟,提出并解決問題是推動數(shù)學(xué)開展的動力。而數(shù)形結(jié)合就是高效解決數(shù)學(xué)問題的重要方法之一。假設(shè)我們的學(xué)生能恰當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合思想提高解題效率，就更有時(shí)機(jī)在高考的大軍中突圍而出，搶占一席之地。然而，數(shù)與形的結(jié)合方式多種多樣，不同的問題往往有不同的方法.因此數(shù)形結(jié)合這一思想方法,并非通過一兩道例題就能掌握的，數(shù)形結(jié)合的思想需要滲透在學(xué)習(xí)新知識和運(yùn)用知識解決問題的過程之中，這就需要教師在教學(xué)過程中把握時(shí)機(jī),選擇適當(dāng)?shù)姆椒?使學(xué)生在潛移默化的過程中逐步領(lǐng)悟并學(xué)會運(yùn)用這一思想方法去解決問題。參考文獻(xiàn)：[1]王君芬.例談數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合[J].黑