一數(shù)學(xué)《函數(shù)奇偶性》教案

第三節(jié)函數(shù)奇偶性〔高一秋季班組第五次課10.05〕教學(xué)目標(biāo)了解奇偶函數(shù)的概念，會(huì)推斷函數(shù)奇偶性；奇偶性的應(yīng)用奇偶性及單調(diào)性綜合教學(xué)內(nèi)容：一般地，假如對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)，都有，則函數(shù)就叫做偶函數(shù)。奇函數(shù)：一般地，假如對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)，都有，則函數(shù)就叫做奇函數(shù)。奇偶性：假如函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則就說(shuō)明函數(shù)具有奇偶性。正確理解函數(shù)奇偶性的定義：定義是推斷或探討函數(shù)奇偶性的依據(jù)，由定義知，假設(shè)是定義域中的一個(gè)數(shù)值，則-也必定在定義域中，因此，函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個(gè)必不可少的條件是：定義域在數(shù)軸上所示的區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。換言之，所給函數(shù)的定義域假設(shè)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)必不具有奇偶性。無(wú)奇偶性函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；假設(shè)一個(gè)函數(shù)同時(shí)滿意奇函數(shù)及偶函數(shù)的性質(zhì)，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。兩個(gè)奇偶函數(shù)四則運(yùn)算的性質(zhì)：①兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；②兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；③兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；④兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；⑤一個(gè)奇函數(shù)及一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。例1.判別以下函數(shù)的奇偶性：f(x)＝|x＋1|+|x－1|;f(x)＝;f(x)＝x＋;f(x)＝;f(x)＝x,x∈[-2,3]思索：f(x)=0的奇偶性？練習(xí)1.推斷以下函數(shù)的奇偶性．f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；(2)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)；(3)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋xx>0，,x2＋xx<0.))2．奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像必過(guò)點(diǎn)(C)A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a)) D．(a，f(eq\f(1,a)))解析∵f(－a)＝－f(a)，即當(dāng)x＝－a時(shí)，函數(shù)值y＝－f(a)，∴必過(guò)點(diǎn)(－a，－f(a))．3．f(x)為奇函數(shù)，則f(x)－x為(A)A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析令g(x)＝f(x)－x，g(－x)＝f(－x)＋x＝－f(x)＋x＝－g(x)．4．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則以下結(jié)論恒成立的是(A)A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)解析由f(x)是偶函數(shù)，可得f(－x)＝f(x)．由g(x)是奇函數(shù)，可得g(－x)＝－g(x)．由|g(x)|為偶函數(shù)，∴f(x)＋|g(x)|為偶函數(shù)．5.設(shè)f(x)＝ax＋bx＋5，f(－7)＝－17,求f(7)的值。6.f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)－g(x)＝，求f(x)、g(x)。7．設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，又f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，則f(x)＝________，g(x)＝________.答案eq\f(1,x2－1)，eq\f(x,x2－1)解析∵f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①∴f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1).又f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1).②①＋②，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)，①－②，得g(x)＝eq\f(x,x2－1.)8.函數(shù)f(x)，對(duì)隨意實(shí)數(shù)x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，試判別f(x)的奇偶性。9.f(x)是奇函數(shù)，且在[3，7]是增函數(shù)且最大值為4，則f(x)在[-7，-3]上是函數(shù)，且最值是。10.函數(shù)f(x)=ax+bx+3a+b為偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-1,2a]，求函數(shù)值域。11.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則．12．設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，則f(7.5)＝________.答案13．設(shè)f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(－2)＝________.答案－5解析由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，即f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝22＋1＝5.∴f(－2)＝－5.2.奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像的性質(zhì)：假如一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖像是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形〔奇函數(shù)的圖像不肯定過(guò)原點(diǎn)〕；反之，假如一個(gè)函數(shù)的圖像是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。由于奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則我們可以得出結(jié)論：假如奇函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí)，則必有。假如一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖像是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，假如一個(gè)函數(shù)的圖像是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。f(x)＝f(|x|)例2.是偶函數(shù)，圖像及軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程全部實(shí)根之和是〔〕〔A〕4 〔B〕2 〔C〕1 〔D〕0是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的x的取值范圍是〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕〔－2，2〕在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕 〔D〕是定義在R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則=________________．在上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則〔〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕5.下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖像肯定及y軸相交；②奇函數(shù)的圖像肯定通過(guò)原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)肯定是f(x)＝0(x∈R)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(a)A．1B．2C．3D．43.函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性之間的關(guān)系：一般地，假設(shè)為奇函數(shù)，則在和上具有一樣的單調(diào)性；假設(shè)為偶函數(shù)，則在和上具有相反的單調(diào)性。假設(shè)奇函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上增函數(shù)，且有最小值-M.例3.定義在上的奇函數(shù)在整個(gè)定義域上是減函數(shù)，假設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。練習(xí)1．定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，假設(shè)f(1－m)<f(m)．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．答案m∈[－1，eq\f(1,2))解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(1－m)<f(m)可化為f(|1－m|)<f(|m|)，又f(x)在[0,2]上是減函數(shù)，∴|1－m|>|m|，兩邊平方，得m<eq\f(1,2)，又f(x)定義域?yàn)閇－2,2]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，))解之得－1≤m≤2，綜上得m∈[－1，eq\f(1,2))．2,設(shè)定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，假設(shè)f(m)＋f(m－1)>0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(m)>f(1－m)．又∵f(x)在[0,2]上為減函數(shù)且f(x)在[－2,2]上為奇函數(shù)，∴f(x)在[－2,2]上為減函數(shù)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤m≤2，,－2≤1－m≤2，,m<1－m，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤m≤2，,－1≤m≤3，,m<\f(1,2).))∴－1≤m<eq\f(1,2).3.設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，假設(shè)x1<0，且x1＋x2>0，則(A)A．f(x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)及f(x2)大小不定4..假設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則(c)A．f(－1)<f(－1.5)<f(2)B．f(－1.5)<f(－1)<f(2)C．f(2)<f(－1.5)<f(－1)D．f(2)<f(－1)<f(－1.5)5．假設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈R是奇函數(shù)，且f(1)<f(2)，則必有(B)A．f(－1)<f(－2)B．f(－1)>f(－2)C．f(－1)＝f(－2) D．不確定6．f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且有f(3)>f(1)．則以下各式中肯定成立的是(A)A．f(－1)<f(3)B．f(0)<f(5)C．f(3)>f(2) D．f(2)>f(0)解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．7．設(shè)f(x)為定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，則f(－2)，f(－π)，f(3)則大小依次是(a)A．f(－π)>f(3)>f(－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(－π)<f(3)<f(－2)D．f(－π)<f(－2)<f(3)解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，∴f(2)<f(3)<f(－π)，∴f(－2)<f(3)<f(－π)．8．假設(shè)奇函數(shù)f(x)當(dāng)1≤x≤4時(shí)的關(guān)系式是f(x)＝x2－4x＋5，則當(dāng)－4≤x≤－1時(shí)，f(x)的最大值是(D)A．5B．－5C．－2 D．－1解析當(dāng)－4≤x≤－1時(shí)，1≤－x≤4，∵1≤x≤4時(shí)，f(x)＝x2－4x＋5.∴f(－x)＝x2＋4x＋5，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x－5＝－(x＋2)2－1,當(dāng)x＝－2時(shí)，取最大值－1.9．假設(shè)奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為－1，則2f(－6)＋f(