2023-2024屆新高考一輪復習湘教版 8-8 直線與雙曲線 學案

第八節(jié)直線與雙曲線

【課標標準】1.理解直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法2掌握直線被雙曲線所截的弦

長公式.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷

y=kx+m,

聯(lián)立χ2y2得(/?2—〃2攵2)為2—242h如一42"?2-4262=0,該一元二次方程的判別式

等一京=L

為Δ.

⑴當按一足尸=0,即Jt=±p時,直線與雙曲線的漸近線,直線與雙曲線

a

(2)當從一出尸wo,即k*±e時，

a

△>0=直線與雙曲線有個交點；

△=0=直線與雙曲線有個交點；

△<0=直線與雙曲線有個交點.

2.直線與雙曲線相交的弦長公式

設(shè)斜率為％(Z≠0)的直線/與雙曲線C相交于4,B兩點，A(X%),8(X2,竺)，貝IJ

?AB?=√1+k2∣%ι—Λ2∣

=√1+k2+x)2-

Λ∕(X124X1X2

=JI+施一加

2

=Jl+?！?yι+y2)-4y1y2.

［常用結(jié)論］

同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為《；異支的弦中最短

的弦為實軸，其長為2”.

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)雙曲線的漸近線與雙曲線不會相交.()

(2)“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的充要條件.()

(3)直線y=∣x+2與雙曲線?—3=1的位置關(guān)系是相交.()

(4)過雙曲線/一1=1的右焦點F作直線/交雙曲線于A,B兩點,若HBI=4,則這樣

的直線/有2條.()

2.(教材改編)直線y=J(x—9與雙曲線V=I的交點個數(shù)是()

329

A.OB.1C.2D.4

3.(教材改編)過雙曲線。一1=1的右焦點B且傾斜角為30。的直線交雙曲線于A,B

36

兩點，O為坐標原點，F(xiàn)l為左焦點，則HBl=.

4.(易錯)已知直線y=丘一1與雙曲線/一產(chǎn)=4的右支有兩個交點，則大的取值范圍為

()

A.(0,$B,［1,今

C.(-y,y)D.(1,凈

5.(易錯)過點尸(4,3)與雙曲線，一號=1只有一個公共點的直線有條.

關(guān)鍵能力題型突破

題型一直線與雙曲線的位置關(guān)系

例1已知直線/：y=k(x-?),雙曲線：x2-y2=4,試討論下列情況下實數(shù)&的取值范

(1)直線/與雙曲線有兩個公共點：

(2)直線/與雙曲線有且只有一公共點；

(3)直線/與雙曲線沒有公共點.

［聽課記錄］

題后師說

(1)直線過定點時，根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系

確定其位置關(guān)系.

(2)直線斜率一定時，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其

位置關(guān)系.

鞏固訓練1

［2023?安徽宿州期末舊知雙曲線C的焦點在X軸上，其漸近線方程為y=±x,實軸長為

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)過點P(0,1)的直線與雙曲線C的左、右支各交于一點，求該直線斜率k的取值范圍.

題型二弦長問題

例2在平面直角坐標系Xoy中，已知點Q(一√lO),F2(√3,0),∣MFι∣-∣MF2∣=2√2,

點M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)已知傾斜角為?的直線/經(jīng)過點F,且/與曲線C交于A,B兩點，求AFMB的面積.

42

［聽課記錄］

題后師說

弦長的求解方法

(1)聯(lián)立直線與雙曲線方程，解方程組求出兩個交點坐標，再利用兩點間的距離公式求

解.

(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長公式求解.

要特別注意直線與雙曲線交于一支還是兩支.

鞏固訓練2

［2023?河北滄州期末］已知雙曲線C：2-?=l(4>0,〃>0)的漸近線方程為怎±2y=0,

且過點(2√L√3).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過雙曲線的一個焦點作斜率為1的直線/交雙曲線于A,B兩點,求弦長HB∣.

題型三中點弦問題

例3［2023?河南新鄉(xiāng)模擬］已知點A(2,1)在雙曲線C：?--^-≈l(a>l)±.

aza<-l

(1)求雙曲線的方程；

(2)是否存在過點P(l,的直線/與雙曲線相交于A,8兩點，且滿足P是線段AB的

中點？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

［聽課記錄J

題后師說

解決直線與雙曲線相交的中點弦問題的常用方法和解決直線與橢圓相交的中點弦問題

的方法相同.

鞏固訓練3

已知雙曲線C：4-?=1(β>0,b>0)的其中一個焦點為(遙，0),一條漸近線方程為2x

一y=O.

(1)求雙曲線C的標準方程;

(2)已知傾斜角為F的直線/與雙曲線C交于A,B兩點，且線段AB的中點的縱坐標為

4

4,求直線/的方程.

真題展臺

l.[2022?全國甲卷]記雙曲線C：?-?=l(α>O,6>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直

線y=2x與C無公共點”的e的一個值_______.

2.[2022?浙江卷]已知雙曲線?-?=13>0,3>0)的左焦點為尸，過戶且斜率為之的直

線交雙曲線于點A(X1，n),交雙曲線的漸近線于點B(X2,竺)，且x∣<O<Λ?.若IEBI=3∣E4∣,則

雙曲線的離心率是.

3.[2022?新高考1卷]已知點A(2,1)在雙曲線C：m一也=1(4>D上，直線/交C于

azaz-1

P,Q兩點，直線AP,AQ的斜率之和為0.

(D求」的斜率;

(2)若tanZZ?e=2√2,求△見。的面積.

4.[2021?新高考1卷]在平面直角坐標系Xoy中，已知點Fi(一√F,0)、F2(√17,0),

點M滿足IMFlI-IMF2∣=2,記”的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點7在直線Xw上,過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和P,Q兩點,且|切僧|

=?TP?-?TQ?,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

第八節(jié)直線與雙曲線

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.⑴平行相交于一點(2)2?O

夯實雙基

1.(I)J(2)×(3)√(4)X

2.解析：由雙曲線的方程?一產(chǎn)=1可得雙曲線的漸近線方程y=±$.

產(chǎn)初一夕與直線產(chǎn)孑平行且直線產(chǎn)例一今過定點60)，在雙曲線的內(nèi)部，直線與

雙曲線只有一個交點.

故選B.

答案：B

3.解析：由雙曲線的方程得F∣(3,0),F2(3,0),直線AB的方程為y=日(X-3),①

將其代入雙曲線方程消去y得，

5∕+6χ-27=0,解得Xl=-3.

將Xi,X2代入①，得％=—2次,

答案：16有

χ2_τr2=Λ

y'消去y得(1一公)/+2h一5=0,所以左#±1,設(shè)直線

{y=kx-1,

與雙曲線的兩個交點的坐標分別為(XI,yl),(X2,yi),

(Δ>0,f(2fc)2+20(l-fc2)>0,

所以卜i+χ2>0,即，τ?>°,

(X1×2>0,>0,

II-K

4k2<5,

k(k-l)(k+l)>0,整理1<%岑，所以實數(shù)人的取值范圍是(1,y).

{2

k>1,

答案：D

5.解析：因為雙曲線的方程為旨一1=1,

169

所以4=4,。=3,

所以雙曲線的漸近線方程為y=±∣r,

又點P(4,3)在直線y=%上，

如圖所示：

當過點P(4,3)的直線與直線y=-∣x平行或與X軸垂直(過右焦點)時，與雙曲線只有一

個公共點，

所以這樣的直線有2條.

答案：2

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：取立直線1)和雙曲線x2—y=4,消去y得(I-F)/+2FX一/一4

判別式A=4?4+4(l-F)(R+4)=4(4—3R).

(I)I-RWO,且A＞0,解得

也＜k＜出且k≠±?,

則人的取值范圍是(一當，-∣)U(-1,1)U(1,吟.

(2)1—F=O或1—FHO,且△=(),解得4=±1,或R=則k的取值范圍是?=÷1,

或人吏

(3)l-RW0,且△<(),解得Q等或k<-^?,則人的取值范圍是(一8,一誓)u(警,

+∞).

鞏固訓練1解析：(1)由題意雙曲線C的焦點在X軸上，其漸近線方程為y=±x,實軸

長為2,

可設(shè)雙曲線方程為??—5=1,(a>0),且2a=2,a=1,

則雙曲線標準方程為/—y=i.

(2)由題意可知過點P(0,1)的直線與雙曲線C的左、右支各交于一點,

故該直線斜率一定存在，且不和雙曲線漸近線平行，

故設(shè)直線方程為y=fcv+l,k≠±?,

J_1［；，整理得(1—R)/-2"一2=0,

聯(lián)立

需滿足7?*c°,解得一lv2<l,

l-k2

即該直線斜率Z的取值范圍為(一1,1).

例2解析：(1)由題意可知：2^=2√2≠>π=√2,C=√3,得人=1,

所以點M的軌跡即C的方程為以點F∣(一遍，0),F2(√3,0)為焦點，

實軸長為2魚，虛軸長為2的雙曲線的右支，即?一爐=1。2四).

(2)由(1)知:Fι(-√3,0),F2(√3,0),即直線AB的方程為y=χ-√Σ

y=X-V3

設(shè)A(XV),B(X2,y,2),聯(lián)立?χ2.,解得JC2—4恁+8=0,

v-y2=1

12

滿足Δ>0且Xl+X2=4√5,XIX2=8,

由弦長公式得

22

∣AB∣≈√1+l?h?∣-X2∣=√2XJ(4√3)-4×8=√2×4=4√2,

點Q(一√l0)到直線AS：χ-y-√5=0的距離"=上然二包=后,

所以SgAB=削卦d=p4√IX√6=4√3.

鞏固訓練2解析：⑴由雙曲線方程知：漸近線斜率k=±g,又漸近線方程為√lx±2y=

b_√3

0,雙曲線過點(2Λ∕Σ,、/?),.?.?^?-白=1.由a^2得｛；二擊，...雙曲線C的

a2azbz?-?=1

,a2b2

方程為9一Y=L

(2)由(1)得雙曲線的焦點坐標為(土√7,0).若直線AB過雙曲線的左焦點(一位，0),則

y=X+√7-f,

x+X=-8Λ∕7

AB∑γ=x+√7,由次上_］得好+8岳+4。=。.設(shè)A(Myi)IS,"),則｛12

?43~X1X2=40

.?.∣A8∣=√Σ?J(xι+X2)2—4xj2=√Σx√Σ麗=24.由雙曲線對稱性可知:當AB過雙曲線右

焦點時，HBl=24.綜上所述：[AB∣=24.

例3解析：(1)已知點A(2,1)在雙曲線C:

az-1

所以"?-1"7=1,整理得4Q2+4=0,解得〃=2,則〃=夜，

aza2-l

所以雙曲線方程為?一產(chǎn)=L

(2)由題可知若直線存在，則直線/的斜率存在，故設(shè)直線/的方程為y=攵ɑ-l)一[,

且設(shè)交點&尤1,yι),B(X2,”)，

(—―yf=1

貝必2，兩式相減得(加一12)(即+]2)=2。1—>2)。1+丁2).

信7=1

由于P(l,—會為AB中點，則X]+X2=2,γι+γ2=-1,

則左=紇左=—1.

×1-×2

即有直線/的方程y=—(x—1)—(即y=-x+1.

fy=~χ÷~

則根據(jù)=>2爐-4x+5=0.

(y-y2=ι

檢臉判別式為A=(-4)2-4X2X5=-24<0,方程無實根.

故不存在過點P(l,的直線/與該雙曲線相交于A,B兩點，且滿足尸是線段A8的

中點.

鞏固訓練3解析：(1)由焦點可知c=√5,

又一條漸近線方程為2χ-y=0,

所以P=2.

a

由/=層+62可得5=/+4〃2,解得々2=],?2=4,

故雙曲線C的標準方程為X2-￠-1.

(2)設(shè)A(X1,%),B(X2,”)，AB中點的坐標為(xo,4),

則好一*=1,①

×2--=1>②

4

②一①得①一螳=與

即k=把2=%=Xo,又k=tan—=-1,

Yo44

所以XO=-1,

所以直線/的方程為y—4=—(x+l),即x+y—3=0.

真題展臺——知道高考考什么？

I.解析：雙曲線C的一條漸近線與C沒有公共點，所以可令：=2,則e=Fe7≤

√1+4=次.又因為e>l,所以l<e≤V^.

答案：√5(滿足KeW遍皆可)

2.解析：由題意，得a—C?,0),點8在雙曲線的漸近線y=$上，所以8(X2,+2).由

b

直線KS的斜率為二，得???=]?,解得處=5，所以聯(lián)，?.因為IFBI=3|胡|,所以麗=

4ax??e4333Ja

3FA,所以G+c,m=3(xι+c,X),解得Xl=y=?即A(一稱,?.將點A的坐標

??aV193993

代入雙曲線的方程，得券一總=1，即警4=1，解得e=乎(負值已舍去)?

答案：平

4

3.解析：(I)VΛA(2,1)在雙曲線C：/痣=SI)上，.?.>W=1,解得〃

=2.

.?.雙曲線C的方程為?一>2=1.

顯然直線/的斜率存在，可設(shè)其方程為y=fcr+機

y=kx÷m,

聯(lián)立得方程組2C

Xv2A

-2----yJ=1.

消去y并整理，得(1—23)/—4癡x—2加2—2=0.

Δ=16k2m~+4(1—2?2)(2∕n2+2)=Sm2+8—16Λ2>0.

設(shè)尸(Xi,yι),0(x2,”)，

4km-2m2-2

則X?+X2=?XIX2=

l-2k2l-2k2

由ZAP+AAQ=O,得P二怖+?二三=°，

即(12-2)(丘1+〃?-l)+(x]-2)(te+w-1)=0.

整理，得2kxιxz+("?—1—24XXl+^2)—4(m—1)=0,

即1—2。段一4(,w—1)=0,

即(hH)(∕n+2%-I)=0.

：直線/不過點A,.?.A=-L

⑵設(shè)NB4Q=2a,0<?<^,則tan2α=2√∑,

...2tan；=2α解得tanα=3負值已舍去).

l-tanzα2

由(1)得Z=—1,則XIx2=2〃於+2>0,

：.p,Q只能同在雙曲線左支或同在右支.

當P,Q同在左支時，tana即為直線AP或4。的斜率.

設(shè)IiAP=號.

?.?當為雙曲線一條漸近線的斜率，

直線A尸與雙曲線只有一個交點，不成立.

當尸，。同在右支時，tanG-α)=焉即為直線AP或AQ的斜率.

設(shè)〃AP=?=/,則以°=一夜，

~2

直線AP的方程為y-?=√2(χ-2),

即y=√2χ-2√2+l.

y—Λ∕2X—2√2+1,

聯(lián)立得方程組2C

v2

-2-yJ=1.

消去y并整理，得3Λ2-(16-4√Σ)X+20-8√Σ=0,

則心.2=4詈，解得XP=Wg

...時加=12-嚀至罕

同理可得以一XQI=小箸

Vtan2