高二年級(jí)數(shù)學(xué)橢圓的第二定義

./高二數(shù)學(xué)橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系知識(shí)精講一.本周教學(xué)內(nèi)容：橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系［知識(shí)點(diǎn)］1.第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)橢圓的準(zhǔn)線,常數(shù)e是橢圓的離心率。注意：②e的幾何意義：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比。2.焦半徑及焦半徑公式：橢圓上一個(gè)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做橢圓上這個(gè)點(diǎn)的焦半徑。3.橢圓參數(shù)方程問(wèn)題：如圖以原點(diǎn)為圓心,分別以a、b〔a>b>0為半徑作兩個(gè)圓,點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AN⊥Ox,垂足為N,過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AN,垂足為M,求當(dāng)半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。解：參數(shù)。說(shuō)明：<1>對(duì)上述方程〔1消參即<2>由以上消參過(guò)程可知將橢圓的普通方程進(jìn)行三角變形即得參數(shù)方程。4.補(bǔ)充5.直線與橢圓位置關(guān)系：〔1相離②求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P〔x,y到直線距離的最大值和最小值,〔法一,參數(shù)方程法；法二,數(shù)形結(jié)合,求平行線間距離,作l'∥l且l'與橢圓相切③關(guān)于直線的對(duì)稱橢圓。〔2相切①弦長(zhǎng)公式：例1.|MA|＋2|MF|取最小值時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo)。分析：這里|MP|、|AP|分別表示點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離和點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離。解：例2.時(shí),點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_______________。〔20XX全國(guó)高考題分析：可先求∠F1PF2＝90°時(shí),P點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解：法一法二小結(jié)：本題考查橢圓的方程、焦半徑公式,三角函數(shù),解不等式知識(shí)及推理、計(jì)算能力。例3.弦所在的直線方程。分析：本例的實(shí)質(zhì)是求出直線的斜率,在所給已知條件下求直線的斜率方法較多,故本例解法較多,可作進(jìn)一步的研究。解：法一法二法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A〔x,y,由于中點(diǎn)為M〔2,1,法四例4.的距離最小并求出距離的最小值〔或最大值？解：法一法二例5.〔2若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4,求四邊形ABCD的最大面積。分析：題〔1解題思路比較多。法一：可從橢圓方程中求出y2代入x2+y2,轉(zhuǎn)化為值,解題時(shí)可結(jié)合圖形思考。得最大值為25,最小值為16。題〔2可將四邊形ABCD的面積分為兩個(gè)三角形的面積求解,由于AC是定線段,故長(zhǎng)度已定,則當(dāng)點(diǎn)B、點(diǎn)D到AC所在直線距離最大時(shí),兩個(gè)三角形的面積最大,此時(shí)解：〔2由題意得A〔5,0,C〔0,4,則直線AC方程為：4x＋5y－20例6.分線與x軸相交于點(diǎn)P〔x0,0?！?992年全國(guó)高考題分析：證明：法一法二法三這種解題方法通常叫做"端點(diǎn)參數(shù)法"或叫做"設(shè)而不求"。例7.解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為解法二：小結(jié)：橢圓的參數(shù)方程是解決橢圓問(wèn)題的一個(gè)工具,但不是所有與橢圓有關(guān)的問(wèn)題必須用參數(shù)方程來(lái)解決。[模擬試題]1.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是是橢圓上的任一點(diǎn),求證：率。2.在橢圓上求一點(diǎn)P,使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍。3.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是___________。4.橢圓,離心率,焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為,求橢圓的方程。5.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F〔1,1,與它相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線是,離心率為,求橢圓的方程。6.已知點(diǎn)P在橢圓上,為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),求的取值范圍。7.在橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A〔2,1,過(guò)點(diǎn)A的直線l的斜率為－1,且與橢圓交于B、C兩點(diǎn),線段BC的中點(diǎn)恰好是A,試求橢圓方程。8.已知橢圓,在橢圓上求一點(diǎn)M,使它到兩焦點(diǎn)距離之積為16。9.如圖,已知曲線,點(diǎn)A在曲線上移動(dòng),點(diǎn)C〔6,4,以AC為對(duì)角線作矩形ABCD,使AB∥x軸,AD∥y軸,求矩形ABCD的面積最小時(shí)點(diǎn)A坐標(biāo)。[參考答案]1.證明：的兩焦點(diǎn),相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是?！邫E圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個(gè)橢圓的離心率,∴?；?jiǎn)得。點(diǎn)評(píng)：都是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,習(xí)慣稱作焦半徑,稱作焦半徑公式,結(jié)合這兩個(gè)公式,顯然到焦點(diǎn)距離最遠(yuǎn)〔近點(diǎn)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)。2.解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為〔x,y,F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)?！邫E圓的準(zhǔn)線方程為,∴∵因此,P點(diǎn)的坐標(biāo)為。點(diǎn)評(píng)：解決橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離〔焦半徑問(wèn)題,常利用橢圓的第二定義或焦半徑公式。如果利用焦半徑公式,應(yīng)先利用第二定義證明焦半徑公式。3.解析：橢圓的方程可寫(xiě)成,∴①一個(gè)焦點(diǎn)是〔－1,1,相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程是,②由①、②得。4.解：∵橢圓的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最短,∴又,∴橢圓的方程為5.解：設(shè)P〔x,y為橢圓上任意一點(diǎn),∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F〔1,1,與它相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線是,離心率為,∴∴,即為所求。6.解：設(shè)P,橢圓的準(zhǔn)線方程為,不妨設(shè)F1、F2分別為下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn)則∵,∴當(dāng)時(shí),當(dāng)因此,的取值范圍是7.