2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國卷）專題09 計數(shù)原理與概率統(tǒng)計（原卷版）

2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國卷）專題09計數(shù)原理與概率統(tǒng)計目錄一覽①2023真題展現(xiàn)考向一統(tǒng)計考向二概率考向三隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望②真題考查解讀③近年真題對比考向一統(tǒng)計考向二概率考向三隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望④命題規(guī)律解密⑤名校模擬探源⑥易錯易混速記考向一統(tǒng)計一、解答題1．（2023·全國乙卷理數(shù)第17題）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）2．（2023·全國甲卷文數(shù)第19題）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

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40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

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16.5

18.0

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19.219.8

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21.6

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23.9

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32.3

36.5(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；(2)（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表對照組試驗組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635考向二概率一、單選題1．（2023·全國乙卷理數(shù)第5題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國乙卷文數(shù)第9題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國甲卷文數(shù)第4題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國甲卷理數(shù)第6題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）考向三隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望一、單選題1．（2023·全國乙卷理數(shù)第7題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.42．（2023·全國甲卷理數(shù)第9題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．203．（2023·全國甲卷理數(shù)第19題）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

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35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

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28.2

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36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【命題意圖】1．用樣本估計總體（1）了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.（2）理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.（3）能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理的解釋.（4）會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想.（5）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.2．統(tǒng)計案例了解下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能應(yīng)用這些方法解決一些實際問題.（1）獨立性檢驗了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.（2）回歸分析了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.3．古典概型（1）理解古典概型及其概率計算公式.（2）會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.4．隨機數(shù)與幾何概型（1）了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.（2）了解幾何概型的意義.5．隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.（2）理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用.（3）了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.（4）理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.（5）利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.【考查要點】本專題內(nèi)容主要考查排列組合，二項式定理，隨機抽樣，用樣本估計總體，變量的相關(guān)性，隨機事件的概率，古典概型，幾何概型，回歸分析，獨立性檢驗，離散型隨機變量的分布列、期望、方差、正態(tài)分布等內(nèi)容。用樣本估計總體，古典概型，離散型隨機變量的分布列、期望、方差是高考重點，考查的能力是應(yīng)用回歸分析與獨立性檢驗思想方法解決簡單實際問題的能力。高考試題強調(diào)應(yīng)用性，以實際問題為背景，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，突出考查統(tǒng)計與概率的思想和數(shù)據(jù)處理能力及應(yīng)用意識。在復(fù)習(xí)過程中，要立足課本基礎(chǔ)知識，在“變式”上下功夫，力求對教材內(nèi)容融會貫通，只有這樣，才能“以不變應(yīng)萬變”，達到事半功倍的效果。同時，本專題題目多以生產(chǎn)生活中的實際問題為背景，閱讀量大，首先根據(jù)文宇信息、圖表信息了解考查的知識點，再結(jié)合考查目標(biāo)，理解圖文的內(nèi)在含義，最后整合有效信息，明確數(shù)據(jù)關(guān)系。應(yīng)用題的考查，加大了對考生閱讀能力的要求，對題目的準(zhǔn)確理解，找到數(shù)學(xué)模型，是解答題目的關(guān)鍵．考生應(yīng)該把近幾年各地高考及模擬題歸類分析，強化訓(xùn)練?！镜梅忠c】高頻考點：隨機事件與概率，統(tǒng)計圖表，用樣本估計總體；中頻考點：兩個基本計數(shù)原理，排列組合，二項式定理，一元線性回歸模型，2×2列聯(lián)表，離散型隨機變量及其分布列；低頻考點：隨機事件的條件概率，正態(tài)分布，隨機抽樣，成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性，與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等其他知識的結(jié)合。考向一統(tǒng)計一、單選題1．（2022·全國乙卷文數(shù)第4題）分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B．乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8C．甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D．乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.62．（2022·全國甲卷理數(shù)第2題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3．（2021·全國甲卷文數(shù)第2題/理數(shù)第2題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（

）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間二、解答題1．（2022·全國乙卷文數(shù)第19題/理數(shù)第19題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得．(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)．2．（2022·全國甲卷文數(shù)第17題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān)？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.6353．（2021·全國乙卷文數(shù)第17題/理數(shù)第17題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．4．（2021·全國甲卷文數(shù)第17題/理數(shù)第17題）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828考向二概率一、單選題1．（2022·全國乙卷理數(shù)第10題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大2．（2022·全國甲卷文數(shù)第6題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．3．（2021·全國乙卷文數(shù)第7題）在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（

）A． B． C． D．4．（2021·全國乙卷理數(shù)第8題）在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（

）A． B． C． D．5．（2021·全國甲卷文數(shù)第10題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.86．（2021·全國甲卷理數(shù)第10題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2022·全國乙卷文數(shù)第14題/理數(shù)第13題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．8．（2022·全國甲卷理數(shù)第15題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．考向三隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望一、單選題1．（2021·全國乙卷理數(shù)第6題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種二、解答題2．（2022·全國甲卷理數(shù)第19題）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．1.本部分內(nèi)容為高考熱點，一般以課程學(xué)習(xí)情境與生活實踐情境來考查，全國甲、乙卷難度較小，解答題的難度有所減少，重在考查考生的邏輯思維能力以及對事件進行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力。2.排列組合、二項式定理、抽樣方法、古典概型、用樣本估計總體等等主要以選擇題、填空題考查，解答題常利用排列組合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差、二項分布和正態(tài)分布等問題，注意概率和其他知識的綜合考查。3.常用公式法和排列組合知識處理小題，注意邏輯推理的靈活運用。4.邏輯思維能力，運算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力是本專題考查的關(guān)鍵能力。重點考查知識的應(yīng)用性與基礎(chǔ)性，考查的學(xué)科素養(yǎng)為理性思維，數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索。一、單選題1．（2023·陜西寶雞二模）Keep是一款具有社交屬性的健身APP，致力于提供健身教學(xué)、跑步、騎行、交友及健身飲食指導(dǎo)、裝備購買等一站式運動解決方案．Keep可以讓你隨時隨地進行鍛煉，記錄你每天的訓(xùn)練進程．不僅如此，它還可以根據(jù)不同人的體質(zhì)，制定不同的健身計劃．小張根據(jù)Keep記錄的2022年1月至2022年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列說法錯誤的是（

）

A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月C．月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)D．1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小2．（2023·廣東東莞三模）“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變更，最多相差一兩天.”中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現(xiàn)從五月、六月、七月的六個節(jié)氣中任選兩個節(jié)氣，則這兩個節(jié)氣不在同一個月的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·貴州遵義三模）下圖是2013-2020年國家財政性教育經(jīng)費（單位：萬元）和國家財政性教育經(jīng)費占總教育經(jīng)費占比的統(tǒng)計圖，下列說法正確的是（

）A．2019年國家財政性教育經(jīng)費和國家財政性教育經(jīng)費占總教育經(jīng)費占比均最低B．國家財政性教育經(jīng)費逐年增加C．國家財政性教育經(jīng)費占比逐年增加D．2020年國家財政性教育經(jīng)費是2014年的兩倍4．（2023·河南·襄城三模）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，方差是1.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘以2再加上1，得到一組新數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（

）A．8，6.4 B．5，6.4 C．11，3.2 D．11，6.45．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）南沿江高鐵即將開通，某小區(qū)居民前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過市區(qū)，路程較短但交通擁擠，經(jīng)測算所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布；路線②騎共享單車到地鐵站，乘地鐵前往，路程長，但意外阻塞較少，經(jīng)測算所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布.該小區(qū)的甲乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時到達車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別為（

）A．①?① B．①?② C．②?① D．②?②6．（2023·四川涼山·三模）樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為1，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差分別為（

）A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，17．（2023·廣東深圳二模）現(xiàn)將5個代表團人員安排至甲?乙?丙三家賓館入住，要求同一個代表團人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個代表團入住.若這5個代表團中兩個代表團已經(jīng)入住甲賓館且不再安排其他代表團入住甲賓館，則不同的入住方案種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．188．（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)（

）A．2 B． C．1 D．9．（2023·北京海淀三模）現(xiàn)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選取兩人加入“數(shù)學(xué)興趣小組”，用A表示事件“抽到兩名同學(xué)性別相同”，表示事件“抽到兩名女同學(xué)”，則在已知A事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生的概率即（

）A． B． C． D．10．（2023·上海嘉定三模）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，下列四個命題：甲：；乙：；丙：；丁：如果有且只有一個是假命題，那么該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁11．（2023·河南·襄城三模）已知的展開式中的常數(shù)項是672，則（

）A． B． C．2 D．112．（2023·北京海淀三模）在的展開式中，常數(shù)項為（

）A．1 B．3 C．6 D．1213．（2023·山東省實驗中學(xué)二模）某調(diào)查機構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高條形圖．根據(jù)圖中（歲以上含歲）的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是（

）

A．男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)B．關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是歲以上C．歲以下的男性人數(shù)比歲以上的女性人數(shù)多D．歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高14．（2023·山東菏澤三模）2023年春節(jié)在北京工作的五個家庭，開車搭伴一起回老家過年，若五輛車分別為，五輛車隨機排成一排，則車與車相鄰，車與車不相鄰的排法有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種15．（2023·河南三模）某小學(xué)從2位語文教師，4位數(shù)學(xué)教師中安排3人到西部三個省支教，每個省各1人，且至少有1位語文教師入選，則不同安排方法有（

）種．A．16 B．20 C．96 D．12016．（2023·福建福州三模）廈門市博物館由廈門博物館主館、鄭成功紀(jì)念館、廈門經(jīng)濟特區(qū)紀(jì)念館、廈門市文化遺產(chǎn)保護中心、破獄斗爭陳列館、陳化成紀(jì)念館、陳勝元故居七個館區(qū)組成.甲、乙兩名同學(xué)各自選取一個館區(qū)參觀且所選館區(qū)互不相同，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭陳列館至少有一個被選，則不同的參觀方案有（

）A．22種 B．20種 C．12種 D．10種17．（2023·湖南益陽三模）某個單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（

）A．504種 B．960種 C．1008種 D．1200種18．（2023·四川瀘州三模）中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同學(xué)分別選取了其中一本不同的書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則名同學(xué)所有可能的選擇有（

）A．種 B．種 C．種 D．種19．（2023·河北衡水三模）第19屆亞運會將于2023年9月在杭州舉行，在杭州亞運會三館（杭州奧體中心主體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對外免費開放預(yù)約期間，甲、乙、丙、丁4人預(yù)約參觀，且每人預(yù)約了1個或2個館，則這4人中每個館恰有2人預(yù)約的不同方案有（

）A．76種 B．82種 C．86種 D．90種20．（2023·福建寧德二模）為了支援與促進邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個地方的概率為（

）A． B． C． D．二、填空題21．（2023·上海閔行三模）分別拋鄭3枚質(zhì)地均勻的硬幣，則等可能事件的樣本空間中樣本點的個數(shù)是．22．（2023·四川南充三模）一個高中研究性學(xué)習(xí)小組對本地區(qū)2020年至2022年菜鳥驛站發(fā)展情況進行了調(diào)查，制成了該地區(qū)菜鳥驛站站點個數(shù)情況的條形圖和菜鳥驛站各站點年快遞收發(fā)數(shù)量的平均數(shù)情況條形圖（如圖），根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)菜鳥驛站每年平均收發(fā)快遞萬件.23．（2023·新疆阿勒泰三模）從正方體的8個頂點中取出三個頂點構(gòu)成三角形，其中為直角三角形的概率為．24．（2023·廣東廣州三模）算盤是中國傳統(tǒng)的“珠算”工具．下圖是一把算盤，自右向左，分別是個位、十位、百位、，上面一粒珠（簡稱上珠）代表數(shù)字，下面一粒珠（簡稱下珠）代表數(shù)字，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤涣Ｉ现椋蠐芰Ｏ轮?，則算盤表示的數(shù)為質(zhì)數(shù)（除了和本身沒有其它的約數(shù)）的概率是.

25．（2023·甘肅武威三模）為慶祝中國共產(chǎn)黨第二十次代表大會勝利閉幕，某高中學(xué)校在學(xué)生中開展了“學(xué)精神，悟思想，談收獲”的二十大精神宣講主題活動．為了解該校學(xué)生參加主題學(xué)習(xí)活動的具體情況，校團委利用分層抽樣的方法從三個年級中抽取了260人進行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了85人．已知該校高三年級共有720名學(xué)生，則該校共有學(xué)生人．26．（2023·廣東珠海三模）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運會志愿者到游泳?射擊?體操三個場地進行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有種.27．（2023·河南南陽三模）為了響應(yīng)全國創(chuàng)文明城活動，某單位計劃安排五名員工分別去三個小區(qū)參加志愿者服務(wù)，每個員工只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1人，員工甲不去小區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)共有種．28．（2023·上海嘉定考三模）4名志愿者全部分到3所學(xué)校支教，要求每所學(xué)校至少有1名志愿者，則不同的分法共有種.29．（2023·四川成都三模）從正六邊形的6個頂點中任取3個構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為．30．（2023·山東菏澤三模）已知某學(xué)校高三數(shù)學(xué)期末考試成績服從正態(tài)分布，已知成績落在的概率為0.4，數(shù)學(xué)考試滿分150分，該學(xué)校高三有學(xué)生800人，則考試成績140分以上的學(xué)生大約有人．31．（2023·福建寧德二模）若隨機變量，且，則．32．（2023·天津濱海三模）若的展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16，則展開式中的系數(shù)為.33．（2023·湖南長沙三模）每年高考結(jié)束后，各大高校會進入長沙的高中校園組織招生宣傳.某中學(xué)高三年級的3名男生、2名女生去參加A，B兩所高校的志愿填報咨詢會，每個學(xué)生只能去其中的一所學(xué)校，且要求每所學(xué)校都既有男生又有女生參加，則不同的安排方法數(shù)是．34．（2023·河北張家口三模）展開式中的系數(shù)是.35．（2023·福建寧德二模）若，且，則的展開式中的常數(shù)項為．36．（2023·安徽馬鞍山三模）甲、乙等6名同學(xué)報名參加4個社區(qū)的服務(wù)工作，每人只能選一個社區(qū)，則甲、乙選到同一個社區(qū)的概率為．37．（2023·江西師大附中三模）城市地鐵極大的方便了城市居民的出行，南昌地鐵號線是南昌市最早建成并成功運營的一條地鐵線．已知號地鐵線的每輛列車有節(jié)車廂，從月日起實行“夏季運行模式”，其中節(jié)車廂開啟強冷模式，節(jié)車廂開啟中冷模式，節(jié)車廂開啟弱冷模式．現(xiàn)在有甲、乙人同一時間同一地點乘坐同一趟地鐵列車，由于個人原因，甲不選擇強冷車廂，乙不選擇弱冷車廂，但他們都是獨立而隨機的選擇一節(jié)車廂乘坐，則甲、乙人不在同一節(jié)車廂的概率為．38．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個人到九嶷山?陽明山?云冰山?舜皇山4處景點旅游，每人只去一處景點，設(shè)事件為“4個人去的景點各不相同”，事件為“只有甲去了九嶷山”，則.39．（2023·廣東汕頭三模）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票中獎金額的均值是元.40．（2023·海南?？诙＃┡R近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈送方法種數(shù)為．三、解答題41．（2023·海南三模）實驗發(fā)現(xiàn)，猴痘病毒與天花病毒有共同抗原，兩者之間有很強的血清交叉反應(yīng)和交叉免疫，故猴痘流行的時候可接種牛痘疫苗預(yù)防.某醫(yī)學(xué)研究機構(gòu)對120個接種與未接種牛痘疫苗的密切接觸者進行醫(yī)學(xué)觀察后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種牛痘疫苗2030已接種牛痘疫苗1060(1)根據(jù)上表，分別估計在未接種牛痘疫苗和已接種牛痘疫苗的情況下，感染猴痘病毒的概率；(2)是否有的把握認(rèn)為密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗有關(guān)？附：.0.10.050.0102.7063.8416.63542．（2023·貴州黔東南模擬預(yù)測）二十四節(jié)氣起源于黃河流域，是古代中國勞動人民長期經(jīng)驗的積累和智慧的結(jié)晶.其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四節(jié)氣農(nóng)歷11月和12月的節(jié)氣口訣.某中學(xué)為調(diào)查本校學(xué)生對二十四節(jié)氣的了解情況，組織測試活動，按照性別分層抽樣抽取了150名學(xué)生進行答題，其中男生占，記錄其性別和是否全部答對的情況，得到如圖的等高條形圖.

(1)若該校有3000人，試估計該校對二十四節(jié)氣的測試活動全部答對的學(xué)生人數(shù)；(2)完成下面的列聯(lián)表，判斷能否有的把握認(rèn)為“是否全部答對”與性別有關(guān)？完全答對部分答對合計男女合計附：，其中.0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.87943．（2023·四川成都三模）全國中學(xué)生生物學(xué)競賽隆重舉行.為做好考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計這名學(xué)生成績的中位數(shù)；(2)在這名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取2人，求這2人成績都不在的概率.44．（2023·河南開封三模）2022年國際籃聯(lián)女籃世界杯在澳大利亞悉尼落下帷幕，中國女籃團結(jié)一心、頑強拼搏獲得亞軍.這屆世界杯，中國女籃為國人留下了許多精彩瞬間和美好回憶，尤其是半決賽絕殺東道主澳大利亞堪稱經(jīng)典一幕.為了了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，某體育臺隨機抽取100名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表.男女合計喜愛30不喜愛40合計50100(1)將列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜愛籃球運動與性別有關(guān)？(2)在不喜愛籃球運動的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加一臺訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.82845．（2023·河南·襄城三模）某公司是一家集無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)，產(chǎn)品主要應(yīng)用于森林消防、物流運輸、航空測繪、軍事偵察等領(lǐng)域，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．該公司分別收集了甲、乙兩種類型無人運輸機在5個不同的地點測試的某項指標(biāo)數(shù)，，數(shù)據(jù)如下表所示：地點1地點2地點3地點4地點5甲型無人運輸機指標(biāo)數(shù)x24568乙型無人運輸機指標(biāo)數(shù)y34445(1)試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則線性相關(guān)程度很高）(2)從這5個地點中任抽2個地點，求抽到的這2個地點，甲型無人運輸機指標(biāo)數(shù)均高于乙型無人運輸機指標(biāo)數(shù)的概率．附：相關(guān)公式及數(shù)據(jù)：，．46．（2023·北京海淀三模）人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過，它所涉及的數(shù)學(xué)知識并非都是遙不可及的高深理論.為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語料庫，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計“一”與其后面一個字（或標(biāo)點）的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：“一”與其后面一個字（或標(biāo)點）的搭配情況頻數(shù)“一個”6“一些”4“一窮”2“一條”2其他假設(shè)用頻率估計概率.(1)求的值，并估計甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；(2)在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，其中搭配“一個”出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列和期望；(3)另外隨機選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語料庫進行統(tǒng)計，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時，“一個”和“一格”誰在前面更合適？（結(jié)論不要求證明）47．（2023·黑龍江哈爾濱三模）哈六中舉行數(shù)學(xué)競賽，競賽分為初賽和決賽兩階段進行.初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個學(xué)年派出兩名同學(xué)，且每名同學(xué)都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學(xué)才具備參與決賽的資格.高三學(xué)年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學(xué)所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.(1)若高三學(xué)年獲得決賽資格的同學(xué)個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學(xué)在兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.甲先從箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.48．（2023·山東德州·三模）某學(xué)校組織“一帶一路”答題闖關(guān)活動，每位參賽選手需要回答三個問題，對于前兩個問題，每個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第三個問題回答正確得20分，回答錯誤扣10分，規(guī)定每位參賽選手回答這三個問題的總分不低于30分就算闖關(guān)成功．選手小明回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率是，且各題回答正確與否相互獨立．(1)求小明回答正確至少兩個問題的概率；(2)求小明回答這三個問題的總得分的分布列，并求數(shù)學(xué)期望和闖關(guān)成功的概率．49．（2023·山東濰坊·三模）某品牌中性筆研發(fā)部門從流水線上隨機抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）

產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合兒童使用（簡稱A類產(chǎn)品），在的適合少年使用（簡稱B類產(chǎn)品），在的適合青年使用（簡稱C類產(chǎn)品），三類產(chǎn)品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）．以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率．(1)該公司為了解年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷費用和年銷售量的數(shù)據(jù)做了初步處理，得到散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值（如下表）．16.3024.870.411.64表中．根據(jù)散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關(guān)于年營銷費用（萬元）的回歸方程，求關(guān)于的回歸方程；（取）(2)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；并用所求的回歸方程估計該公司應(yīng)投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大？（收益=銷售利潤-營銷費用）參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．50．（2023·安徽蚌埠三模）某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團.為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男、女同學(xué)各100名進行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計男生40女生30合計(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？(2)社團指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點球射門.已知這兩名男生進球的概率均為，這名女生進球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨立，求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82851．（2023·湖南長沙三模）盲盒是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機屬性.某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X．為避免盲目購買與黃牛囤積，每人每天只能購買1件盲盒套餐，開售第二日，銷售門店對80名購買了套餐的消費者進行了問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：A款盲盒套餐B款盲盒套餐年齡低于30歲1830年齡不低于30歲2210(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為A、B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)聯(lián)？(2)甲、乙、丙三人每人購買1件B款盲盒套餐，記隨機變量為其中隱藏款X的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)某消費者在開售首日與次日分別購買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，求該隱藏款來自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82852．（2023·福建福州三模）廈門思明區(qū)沙坡尾某網(wǎng)紅店推出A、B兩種不同風(fēng)味的飲品.為了研究消費者性別和飲品偏好的關(guān)聯(lián)性，店主調(diào)查了首次到店的消費者，整理得到如下列聯(lián)表:表1單位:人性別種類合計A飲品B飲品女性6040100男性4060100合計100100200(1)請畫出列聯(lián)表的等高堆積條形圖，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷首次到店消費者的性別與飲品風(fēng)味偏好是否有關(guān)聯(lián).如果結(jié)論是性別與飲品風(fēng)味偏好有關(guān)聯(lián)，請解釋它們之間如何相互影響.

(2)店主進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn):女性消費者若前一次選擇A飲品，則下一次選擇A、B兩種飲品的概率分別為、；若前一次選擇B飲品，則下一次選擇A、B兩種飲品的概率分別為、；如此循環(huán)下去，求女性消費者前三次選擇A、B兩種飲品的數(shù)學(xué)期望，并解釋其實際含義.附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.82853．（2023·北京密云三模）為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機抽樣的方式，從該地區(qū)隨機調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：

(1)記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2戶居民，求他們月均用電量都不低于的概率；(2)從該地區(qū)居民中隨機抽取3戶，設(shè)月均用電量在之間的用戶數(shù)為，以頻率估計概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于的居民用戶每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書，且發(fā)放倡議書的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計應(yīng)定為多少合適？（只需寫出結(jié)論）.54．（2023·江蘇·金陵三模）一只不透朋的袋中裝有10個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0~9，先后從袋中隨機取兩只小球.用事件A表示“第二次取出小球的標(biāo)號是2”，事件B表示“兩次取出小球的標(biāo)號之和是m”.(1)若用不放回的方式取球，求；(2)若用有放回的方式取球，求證：事件A與事件B相互獨立的充要條件是.55．（2023·上海長寧三模）由于X病毒正在傳染蔓延，對人的身體健康造成危害，某校擬對學(xué)生被感染病毒的情況進行摸底調(diào)查，首先從兩個班共100名學(xué)生中隨機抽取20人，并對這20人進行逐個抽血化驗，化驗結(jié)果如下：.已知指數(shù)不超過8表示血液中不含病毒；指數(shù)超過8表示血液中含病毒且該生已感染病毒.(1)從已獲取的20份血樣中任取2份血樣混合，求該混合血樣含病毒的概率；(2)已知該校共有1020人，現(xiàn)在學(xué)校想從還未抽血化驗的1000人中，把已感染病毒的學(xué)生全找出.方案A：逐個抽血化驗；方案B：按40人分組，并把同組的40人血樣分成兩份，把其中的一份血樣混合一起化驗，若發(fā)現(xiàn)混合血液含病毒，再分別對該組的40人的另一份血樣逐份化驗；方案C：將方案中的40人一組改為4人一組，其他步驟與方案相同.如果用樣本頻率估計總體頻率，且每次化驗需要不少的費用.試通過計算回答：選用哪一種方案更合算？（可供參考數(shù)據(jù)：）56．（2023·人大附中三模）每年8月8日為我國的全民健身日,倡導(dǎo)大家健康、文明、快樂的生活方式．為了激發(fā)學(xué)生的體育運動興趣,助力全面健康成長,某中學(xué)組織全體學(xué)生開展以體育鍛煉為主題的實踐活動．為了解該校學(xué)生參與活動的情況,隨機抽取100名學(xué)生作為樣本,統(tǒng)計他們參加體育鍛煉活動時間(單位:分鐘),得到下表：(1)從該校隨機抽取1名學(xué)生,若已知抽到的是女生,估計該學(xué)生參加體育鍛煉活動時間在的概率；(2)從參加體育鍛煉活動時間在和的學(xué)生中各隨機抽取1人,其中初中學(xué)生的人數(shù)記為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替,樣本中的100名學(xué)生參加體育鍛煉活動時間的平均數(shù)記為,初中、高中學(xué)生參加體育鍛煉活動時間的平均數(shù)分別記為．寫出一個m的值,使得(結(jié)論不要求證明)57．（2023·云南三模）某商場在周年慶活動期間為回饋新老顧客，采用抽獎的形式領(lǐng)取購物卡.該商場在一個紙箱里放15個小球（除顏色外其余均相同）：3個紅球、5個黃球和7個白球，每個顧客不放回地從中拿3次，每次拿1個球，每拿到一個紅球獲得一張類購物卡，每拿到一個黃球獲得一張類購物卡，每拿到一個白球獲得一張類購物卡.(1)已知某顧客在3次中只有1次抽到白球的條件下，求至多有1次抽到紅球的概率；(2)設(shè)拿到紅球的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.58．（2023·浙江溫州二模）為了了解學(xué)生的運動情況，某中學(xué)對高中三個年級的學(xué)生運動情況進行了分層抽樣調(diào)查.調(diào)查的樣本中高一年級有的學(xué)生每周運動總時間超過5小時，高二年級有的學(xué)生每周運動總時間超過5小時，高三年級有的學(xué)生每周運動總時間超過5小時，且三個年級的學(xué)生人數(shù)之比為，用樣本的頻率估計總體的概率.(1)從該校三個年級中隨機抽取1名學(xué)生，估計該學(xué)生每周運動總時間超過5小時的概率；(2)假設(shè)該校每名學(xué)生每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且.現(xiàn)從這三個年級中隨機抽取5名學(xué)生，設(shè)這5名學(xué)生中每周運動總時間為5至6小時的人數(shù)為，求隨機變量的期望.