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河北省永年縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.542.已知復(fù)數(shù),,則()A. B. C. D.3.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.134.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,則A.3 B.4 C.5 D.66.已知平面向量滿(mǎn)足,且,則所夾的銳角為()A. B. C. D.07.在中,點(diǎn)為中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與,所在直線(xiàn)分別交于點(diǎn),,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為點(diǎn),延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),若為等腰三角形,則橢圓的離心率A. B.C. D.9.已知函數(shù),則的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.202010.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象,并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C.2 D.11.在等腰直角三角形中,,為的中點(diǎn),將它沿翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.12.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)為奇函數(shù),則_______.14.已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)A,B,AB=42,球心為O,若球面上的動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足二面角C-AB-O的大小為60°15.我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》提出了“三斜求積術(shù)”.他把三角形的三條邊分別稱(chēng)為小斜、中斜和大斜.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相減后余數(shù)的一半,自乘而得一個(gè)數(shù),小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個(gè)數(shù),相減后余數(shù)被4除,所得的數(shù)作為“實(shí)”,1作為“隅”,開(kāi)平方后即得面積.所謂“實(shí)”、“隅”指的是在方程中,p為“隅”,q為“實(shí)”.即若的大斜、中斜、小斜分別為a,b,c,則.已知點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn),,,,,則的面積為_(kāi)_______.16.已知,若,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)已知存在實(shí)數(shù)使得恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形,求的值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)和直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;(2)已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)、相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn),若的極徑分別為,求的值.20.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)已知點(diǎn)在棱上且,求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.21.(12分)設(shè)函數(shù),.(1)解不等式;(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解關(guān)于的不等式;(2)若對(duì)任意,都存在,使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,解得或(舍),,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問(wèn)題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項(xiàng)和的關(guān)系.2、B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時(shí)乘以,化簡(jiǎn)整理得詳解:,故選B點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的??紗?wèn)題,屬于得分題,主要考查的方面有:復(fù)數(shù)的分類(lèi)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,在運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的正、負(fù)問(wèn)題.3、D【解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、A【解析】
利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問(wèn)題,代入特殊點(diǎn),采用排除法求解是解決這類(lèi)問(wèn)題的一種常用方法,屬于中檔題.5、C【解析】
方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因?yàn)椋?,則.故選C.6、B【解析】
根據(jù)題意可得,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因?yàn)榧炊詩(shī)A角為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角,需掌握向量數(shù)量積的定義求法,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由,,三點(diǎn)共線(xiàn),可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn),所以,又因?yàn)椋?,所以.因?yàn)椋?,三點(diǎn)共線(xiàn),所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為1.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)共線(xiàn)的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
設(shè),則,,因?yàn)?,所以.若,則,所以,所以,不符合題意,所以,則,所以,所以,,設(shè),則,在中,易得,所以,解得(負(fù)值舍去),所以橢圓的離心率.故選B.9、C【解析】
首先,根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,根據(jù)所求函數(shù)的周期性,得到其周期為4,然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可.【詳解】解:.,,的周期為,,,,,..故選:C【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí),掌握輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.10、C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,可得時(shí),取得最大值,即,,,當(dāng)時(shí),解得,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題;據(jù)平移變換“左加右減,上加下減”的規(guī)律求解出,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時(shí),取得最大值,求解可得實(shí)數(shù)的值.11、D【解析】
如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線(xiàn)中點(diǎn),這樣根據(jù)幾何關(guān)系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設(shè)外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線(xiàn)中點(diǎn),設(shè)幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計(jì)算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時(shí),一般可以用補(bǔ)形法,因正方體,長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.12、C【解析】
利用對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解析】
由是定義在上的奇函數(shù),可知對(duì)任意的,都成立,代入函數(shù)式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域?yàn)?,是奇函數(shù),則,即對(duì)任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、4【解析】
設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點(diǎn)為D,連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角,可求出OD,?O1D及OO1,然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線(xiàn)OO1上,在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點(diǎn)為D,連接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即為二面角∠ODO因?yàn)镺A=OB=4,?AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60o=O1D因?yàn)镺1到A、B、C三的距離相等,所以,四面體OABC外接球的球心E在直線(xiàn)OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題,考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力,屬于中檔題.15、.【解析】
利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】,所以,由余弦定理可知,得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和計(jì)算整理能力,難度較易.16、1【解析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結(jié)論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點(diǎn),通過(guò)給二項(xiàng)式的賦值,求展開(kāi)式的系數(shù)和,可以簡(jiǎn)便的求出答案,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)4【解析】
(1)分類(lèi)討論,求解x的范圍,取并集,得到絕對(duì)值不等式的解集,即得解;(2)轉(zhuǎn)化原不等式為:,利用均值不等式即得解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)不等式可化為當(dāng)時(shí),不等式可化為;當(dāng)時(shí),不等式可化為;綜上不等式的解集為.(2)由(1)有,,,,即而當(dāng)且僅當(dāng):,即,即時(shí)等號(hào)成立∴,綜上實(shí)數(shù)最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解與不等式的恒成立問(wèn)題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,由可得,(所以,解得,所以不等式的解集為.(2)由題可得,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形,所以,解得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn),不符合題意;當(dāng)時(shí),,函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形,符合題意.綜上,可得.19、(1),.(2)【解析】
(1)先將曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,即可代入公式化為極坐標(biāo);根據(jù)直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程,求得傾斜角,即可得極坐標(biāo)方程.(2)將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程代入曲線(xiàn)、可得,進(jìn)而代入可得的值.【詳解】(1)曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去得,把,代入得,從而得的極坐標(biāo)方程為,∵直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為,其傾斜角為,∴直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(2)將代入曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程分別得到,則.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法,直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法,極坐標(biāo)的幾何意義,屬于中檔題.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)由平面幾何知識(shí)可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標(biāo)系,可求得面PAB的法向量,再運(yùn)用線(xiàn)面角的向量求法,可求得直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.【詳解】(1),,又,,,而、分別是、的中點(diǎn),,故面,又且,故四邊形是平行四邊形,面,又,是面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),故面面.(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建系如圖所示,則,,,,設(shè)是平面PAB的法向量,,令,則,,直線(xiàn)NE與平面所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間的面面平行的判定,以及線(xiàn)面角的空間向量的求解方法,屬于中檔題.21、(1);(2)【解析】試題分析:(1)將絕對(duì)值不等式兩邊平方,化為二次不等式求解.(2)將問(wèn)題化為分段函數(shù)問(wèn)題,通過(guò)分類(lèi)討論并根據(jù)恒成立問(wèn)題的解法求解即可.試題解析:整理得解得①②解得③,且無(wú)限趨近于4,綜上的取值范圍是22、(1);(2).【解析】
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