高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題匯編及答案解析

高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題匯編及答案解析

本套試卷精選全國(guó)各地重點(diǎn)中學(xué)期末測(cè)試題，共10份，每份附有詳細(xì)的答案解析。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是

符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分.

1.復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=-2i,則復(fù)數(shù)2為()

A.—1—zB.—I+/C.1—/D.l+i

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z(l+i)=-2i,方程的兩邊同乘l-i,

BPz(l+z)(l-z)=-2z(l-0)所以，2z=-2-2i,:.z=-\-i.

【答案】A

2.已知a,beR,貝lj“ab=0”是“/+從=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【解析】+〃=0=。=0且6=0,a6=0oa=0或6=0,

“ab=0”是“a2+b2=0”的必要不充分條件.

【答案】B

3.設(shè)we(0,l),若a=Igm,b=lgnT,c=(Igm?,貝?。?)

A.a>h>cB.b>c>aC.c>a>bD.ob>a

【解析】0<w<1,0<w2<zn<l,Igm2<Igm</gl=0,:.b<a<0,

又(Igm)2>0,c>0,:.c>a>b.

【答案】C

4.函數(shù)y=x"(x..O)和函數(shù)y=/(x.O)在同一坐標(biāo)系下的圖像可能是()

【解析】當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)歹=優(yōu)在［0,+00）上單調(diào)遞增，且過(guò)定點(diǎn)（0,1）（凹函數(shù)），幕

函數(shù)y=/在［0,+00）上單調(diào)遞增（凹函數(shù)）;

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)、="在［0,+8）上單調(diào)遞增，且過(guò)定點(diǎn)（0,1）（凹函數(shù)），幕函數(shù)

y=￡在［0,+8）上單調(diào)遞增（凸函數(shù)）；所以只有C選項(xiàng)滿足.

【答案】C

5.為預(yù)防新冠病毒感染，某學(xué)校每天定時(shí)對(duì)教室進(jìn)行噴灑消毒.教室內(nèi)每立方米空氣中的

含藥量y（單位：加g）隨時(shí)間x（單位：〃）的變化情況如圖所示：在藥物釋放過(guò)程中，y與

X成正比；藥物釋放完畢后，y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=（｝…（〃為常數(shù)），貝）

A.當(dāng)x>0.2時(shí)，y=(I)1'0-1

B.當(dāng)0?X.0.2時(shí)，y=5x

12

C.三小時(shí)后，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量可降低到0.25〃7g以下

D.■小時(shí)后，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量可降低到0.0625〃?g以下

【解析】X..0.2時(shí)，把（0.2,1）代入y=廣"，得（g產(chǎn)-"=］,。=o.2,A錯(cuò);

Q,X,0.2時(shí)，設(shè)n=京，1=0.2k?所以上二5,即有y=5x,B正確；

02fl2

令(1)-<0.25,《嚴(yán)-。2)<(1),3a-0.2)>2,x>,C正確；

時(shí)，《產(chǎn)<鏟"。2=針=5=00625,D正確.

【答案】BCD

....同是單位平面向量，若對(duì)任意的Li。,〃（”eN*）,都有［或＜；,

6.已知q,a2

則n的最大值為（)

A.3B.4C.5D.6

【解析】依題意,設(shè)單位向量7,I的夾角為。,

因?yàn)榈?〃/＜；,所以q.Q/=|cos。＜；,cos6＜；,所以。＜8,71,

根據(jù)題意，正整數(shù)〃的最大值為空-1=5.

n

3

【答案】C

7.如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半

圓的直徑分別為直角三角形/5C的斜邊8C、直角邊、AC,已知以直角邊ZC、4B為

直徑的半圓的面積之比為［，記N4BC=。，則sin'-2c°s0的值為()

4cos8+sin6

A.-1B.-2C.0D.1

【解析】以直角邊4C,為直徑的半圓的面積分別為:

1,/C、2TT-(AC)21,AB7T-(AB)2

—X7VX(——)=——-———X乃X(——K)2=--———

228228

由面積之比為！，得生[=1,即江=',

4(ABY4AB2

二一2

八AC1.sin0-2cos0tan0-271

在RtAABC中，tan0=tanZ.ABC=---=-,則mi-----------=--------=----=—I.

AB2cosO+sin?l+tan。.I

L1H----

2

【答案】A

8.設(shè)函數(shù)y=/Xx)(x*0),對(duì)于任意正數(shù)x2(x,*x2),都曳￡2二立g2＞o.已知函

再一x?

數(shù)y=/(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱，若/(1)=1,則/⑸,/的解集為()

A.[-1,0)U(0，1]B.(-co,-l]kJ(O,1]

C.(—00,—,+oo)D.[-1,O)|J[1,+00)

【解析】函數(shù)y=/(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱，故函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

(0,0)成中心對(duì)稱，記y=/(x)是奇函數(shù),

、r/、f(x)/、/X-x)

記g(x)=q-,g(-x)=p-=g(x)所以g(x)是偶函數(shù),

對(duì)于任意正數(shù)不，x2(x^x2),都:/區(qū)—)>0,

占一芻

/(X,)f(X2)

、3V3

即$3/3x」-----<>0,所以g(X)在(0,+OO)單調(diào)遞增，

且g(1)=1,g(x)是偶函數(shù)，故g(x)在(-oo,0)單調(diào)遞減,且g(-l)=l,

當(dāng)X>0時(shí)，f(X),,x3og(x),l=g(1)=>0<A；,1.

當(dāng)x<0時(shí)，/(x),x，Og(x)..』=g(-l)=>x,-1,

故/(瓊,1的解集為(-8,-1]U(O,1].

【答案】B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知關(guān)于x的不等式亦2+bx+c>0的解集為{x|-3<x<2},下列說(shuō)法正確的是()

A.a<0

B.a+h+c>Q

C.不等式樂(lè)+c〉0的解集為{x|x>6}

D.不等式以*+bx+Q<0的解集為卜|一;<x<

a<0

【解析】根據(jù)已知條件可知-3+2=-2,可得b=a,°=-6〃，

a

-3x2=-

.a

所以。+Z?+c=—4。>0,故A,B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)bx+c>0,化簡(jiǎn)可得x<6,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)ex?+//+〃<0,化簡(jiǎn)可得6/一工一1<0,解得一』〈xv]，故D選項(xiàng)正確.

32

【答案】ABD

10.下列四個(gè)正方體圖形中，A,8為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,P分別為其所在棱的

中點(diǎn)，能得出力8//平面/NP的圖形是()

NA

【解析】正方體圖形中，A,8為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),

對(duì)于A,MN//AC,NP//BC,MNC\NP=N,ACO\BC=C,

平面MNP//平面48C,?.?/8匚平面工8。，；./8//平面仞7尸，故A正確:

對(duì)于B,如圖，ADIIMN,ACMNP,AD^AC=A,NM(^NP=N,

二.平面4CD//平面MNP,

???/8C平面ZCZ)=Z,.?./B與平面MVP相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,如圖，取正方體所在棱的中點(diǎn)C,連結(jié)PC,則PC///B,

?.?PCC平面A/NP=P,，4？與平面MNP相交，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,ABHPM,45仁平面MNP,PA/u平面MNP,

48//平面MNP,故D正確.

【答案】Ad

11.已知a,B是單位向量，且萬(wàn)+5=(1,-1),則()

A.m+b|=2B.1與B垂直

C.2與萬(wàn)一5的夾角為AD.\a-b\=\

【解析】因?yàn)椤?5=(1,-1),所以|1+月|=/+(-1)2=近,故A錯(cuò)誤;

(a+b)2=a2+b2+2a-b^2,因?yàn)镚,B是單位向量，

所以12=|殲=1,A2=|6|2=1>所以27=0,所以萬(wàn)_L$,故B正確;

|a-b\=y](a-b)2=-Ja2-2a-b+b2=y]a2+b2=^2,故D錯(cuò)誤；

a-(a-h)_1_72

因?yàn)檎?萬(wàn)-B)=萬(wàn)2-2?很=1,所以COS＜方a-h>=

\a\\a-b\~yf2~2

所以。與a-B的夾角為工，故c正確，D錯(cuò)誤.

4

【答案】BC

12.在AJ8C中，a,b,c分別為N4,ZB,NC的對(duì)邊，()

A.若_L=_2_,則A4BC為等腰三角形

sinBsinA

B.若，—=」一,則A48c為等腰三角形

cosBcosA

C.若a=6sinC+ccos8,則NC=—

4

D.tan+tan+tanC<0,則AJBC為鈍角三角形

【解析】對(duì)于A,若，_貝Ij?sin4=bsin8,由正弦定理可得/=/,即a=b,

sinBsinA

則A48c為等腰三角形，A正確，

對(duì)于B,若一--=—-—,則QCOSZ=bcos8,由正弦定理可得sin24=sin25,即4=8或

cosBcosA

4+8=工，則入45。為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤，

2

對(duì)于C,若a=bsinC+ccos8,則有sin5sinC+sinCcosB=sinJ，

在ZL48c中，sinA=sin(^-B-C)=sin(^+C),又sin(8+C)=sin8cosC+cos8sinC,

故sin8sinC+sinCcosB=sinBcosC+cos8sinC,則有sinBsinC=sinBcosC，

在A48c中，sinBwO,則sinC=cosC,HPtanC=l,又。￡(0,1)，則。=一，C正確，

對(duì)于D,若tanJ+tan+tanC<0,

則tanA+tanB+tanC=tan(J+B)(l—tanAtanB)+tanC

=-tanC+tanC+tanAtan5tanC=tanAtanBtanC<0,

必有tan/、tan8、tanC必有一個(gè)小于0,即/、B、C有一個(gè)是鈍角，A/13C為鈍三角

形，D正確.

【答案】ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)a=logs-則32"=.

【解析】a=log,4,3"=(3"f=(3'明4>=甲=16.

【答案】16

14.函數(shù)y=cos('+x)cosx-cos2x的最小正周期為.

【解析】由函數(shù)y=cos(y+x)cosx-cos2x=sinxcosx-cos2x=gsin2x—1+c；s2x

1.,1,16(應(yīng).0￡,、1y/2.冬1

=—sin2x—cos2x----=—(—sinzx------cs2x)------=—sin(2x——-4-----,

2222222242

二.函數(shù)y=cos(5+x)cosx-cos2x的最小正周期為T=~^~=71?

【答案】乃

15.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家構(gòu)造的一個(gè)幾何模型.如圖1,正方體的棱長(zhǎng)為2,用一

個(gè)底面直徑為2的圓柱去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的

公共部分即是一個(gè)牟合方蓋(如圖2).已知這個(gè)牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體積之比為4:兀，

則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為一.

2

Ml取

【解析】正方體的體積為23=8,

AA

其內(nèi)切球的體積為一萬(wàn).「二—萬(wàn)，

33

由條件可知牟合方蓋的體積為士乃x3=3，

3〃3

故正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為8--=-.

33

【答案】-

3

16.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系X。，中，動(dòng)點(diǎn)尸以每秒]的角速度從點(diǎn)4出發(fā)，沿半徑

為2的上半圓逆時(shí)針移動(dòng)到8,再以每秒工的角速度從點(diǎn)6沿半徑為1的下半圓逆時(shí)針移

3

動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)。，則上述過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間f的函數(shù)表達(dá)式為—.

【解析】當(dāng)尸在大圓上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZPOA=-t,Q.42,

2

由任意角的三角函數(shù)的定義，可得P的縱坐標(biāo)為y=2sin]f,0..4,2；

當(dāng)點(diǎn)P在小圓下半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZPOB=7r+^（t-2）,2</?5,

可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=sin[%+q（f-2）]=-sin[q（f-2）],2<f.5.

2sin—/,0..2

2

動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為y=?

yr

-sin[y(r-2)],2<t,5

2siny/,0?2

【答案】y=-

-sin[y(r-2)],2</.,5

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟所著《農(nóng)政全書》

中描繪了筒車的工作原理，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用.如圖，筒車的半徑

為4機(jī)，軸心。距離水面2機(jī)，筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒.已知該筒車按逆時(shí)針勻速旋

轉(zhuǎn)，2分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，且當(dāng)筒車上的某個(gè)盛水筒尸從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)用）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

(1)將點(diǎn)尸距離水面的距離Z(單位：M.在水面下，Z為負(fù)數(shù))表示為時(shí)間f(單位：

分鐘)的函數(shù)；

(2)已知盛水筒。與盛水筒尸相鄰，0位于尸的逆時(shí)針?lè)较蛞粋?cè).若盛水筒尸和。在水面

上方，且距離水面的高度相等，求時(shí)間r.

解：(1)以。為原點(diǎn)，平行于水面向右作為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)尸(xj),則P距離水面的距離2=夕+2,}=sina,"為Ox為始邊，。尸為終邊的角，

r

由。到水面距離為2,半徑/?二心可得='

由該筒車逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，2分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，可知/［。?=葛*/=如，

則a=〃f-工，則y=rsina=4sin⑶-馬，故z=4sin(M-工)+2(/...0).

666

(2)筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒，所以/POQ='

設(shè)。%)，PW—=sin(?+—),y=4sin(^r/--+—)=4sin^/,

r6066

由P點(diǎn)縱坐標(biāo)y=4sin(R-工)，尸和。在水面上方，且距離水面的高度相等可得，

6

sin7rt=sin(7z7一7)，

jrjr7

則7tt=Tit——-+2k;r或；rZ=冗_(dá)m)+2%乃，解得Z=k+—(kGZ),

6612

由盛水筒P和0在水面上方，則4sin加>-2,即sin7tt>-;，

rr,7jr*7

故2%左一生<乃f<2%%+*(無(wú)wZ),則f=2/+三eZ),

7

由"0得，t=2k+—(k&N).

18.(12分)在A48c中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=?(sinC+cosC).

(1)求/；

(2)在(1)a=2,(2)B=~,(3)c=J為這三個(gè)條件中，選出其中的兩個(gè)條件，使得

3

A48C唯一確定.并解答之.若，，求A48c的面積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：(1),/b=a(sinC+cosC),

由正弦定理一^—二，一二——,得sin8=sin4(sinC+cosC),

sinAsinBsinC

又sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cos/sinC,

sinJcosC+cosAsinC=sin4sinC+sin%cosC，cosA=sinA，/.tanJ=1,

冗

0<A<7TA=—

t49

(2)方案一：選條件①和②.

.2x--

由正弦定理，一=—2_,得6=竺吧=—^=&.

sinAsinBsinAJ2

y

由余弦定理//+c?！?tzccos8,得，6=4+c2-2x2cx—,解得c=VJ+l,

2

\ABC的面積S=gacsinB=2(石+l)x-^~=盤".

方案二：選條件①和③.

由余弦定理/=/+c2—?ccos4，得4=〃+2〃_2/，

222

則從=4,所以b=2.:.c=2y/29:.a+b=cfA4BC為直角三角形,

的面積S」x2x2=2,

2

方案三：選條件②和③，A=-fB=-,則。=乃一工一工，

4343

,C.不冗、逐+近

..sinC=sin(—I—)=-----------,

434

由，一=上=，=3=2后，

sinJsin8sinCJ2

~2

b—2V2x=5/6，c—2V2x"+0=5/3+1,「.cwy/2b,

24

此時(shí)三角形不存在.

19.(12分)如圖，在A4BC中，已知CN=1,CB=2,NACB=60"

D

(1)求5；

（2）已知點(diǎn)。在“8邊上，7萬(wàn)=兀歷，點(diǎn)E在C8邊上，樂(lè)=2旅，是否存在非零實(shí)數(shù)/I,

使得在_L畫？若存在，求出4的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）根據(jù)題意，在&48C中，已知。=1,CB=2,NZC8=60。，

貝ijAB2=CA2+CB2-2CAxCBxcos60°=3,則N8=百，

nAB2+BC2-AC2石制n

cosB=-----------------------=—,W!jB=30°,

2ABxBC2

（2）根據(jù)題意，假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)/l,使得荏，而，

由（1）的結(jié)論，CA=l,CB=2,AB=6，

易得NC4B=90。，則有就?而=0,

AE=AB+BE=AB+2JC=AB+A（AC-AB）=（\-A）AB+AAC,

CD=AD-AC=AAB-AC,

若荏_L麗，貝lj萬(wàn)?麗=［（］_/1）荏+2%］＜2羽一刀）=2（1—4）而2-AAC2=0,

解可得：2=；或0（舍），

故存在非零實(shí)數(shù)2=2,符合題意.

3

20.(12分)已知/(log?x)=or?-2x+1-a,aeR.

(1)求/(x)的解析式；

(2)解關(guān)于x的方程/(x)=m-l>4".

解：(1)令log^x=即x=2L則/(1)=a-(2')2-2-2，+l—a,

即/(x)=q-22，-2-2'+l-a,x&R.

(2)由〃x)=(a-l)4得：a-22x-2-2x+\-a=(a-l)-4x,

化簡(jiǎn)得，2"—2?2*+1—a=0,即(2*—l)?=a,

當(dāng)。＜0時(shí)，方程無(wú)解;

當(dāng)a..O時(shí)，解得2*=1土五，所以若Q,則x=k?g2（l土瓜），

若a.1,則x=k）g2（l+五）?

21.（12分）如圖，在等腰梯形/8C。中，AB=2g,CD=g,=1,在等腰梯形CO）

中，EF=2y/2,DE=下,將等腰梯形CDEF沿CO所在的直線翻折，使得E,尸在平面

/8C。上的射影恰好與4,8重合.

（1）求證：平面NDEd.平面N8C。；

（2）求直線8E與平面NDE所成角的正弦值.

（1）證明：在平面4BCO上的射影為/,

AEABCDx又4Eu平面4DE,

平面ADE1平面ABCD.

（2）解：由（1）知平面平面NBCD.

分別延長(zhǎng)8c交于點(diǎn)G,連接EG,???/8=2夜，CD=五,AD=\,

過(guò)C,O分別作8/的垂線，可彳導(dǎo)MN=CD=6,

?.?等腰梯形48C￡)中，.?.4W=8N=也，又,.?40=1,

2

ZBAD=45°,/.ABC=45°,:.ZAGB=90°,：.ADVBC.

平面/DEC平面/BCZ)=4。，8G_L平面ZZ)E,

所以直線8￡1與平面力OE所成角為N8EG,?;BG=2BE=26,sinZ5EG=—

故直線BE與平面ADE所成角的正弦值為正.

3

22.(12分)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：sinx=x-—+—-—+其中〃！=1X2X3X...X〃.利用該

3!5!7!

公式可以得到：當(dāng)xw(O,g時(shí)，sinx<x,sinx>x-^-+^-；...,

(1)證明：當(dāng)工￡(0,工)時(shí)，

2x2

(2)設(shè)/(x)=msinx,當(dāng)/(x)的定義域?yàn)榭冢?時(shí),，值域也為［a,b］,則稱口，6］為/(x)

的“和諧區(qū)間”.當(dāng)〃?=-2時(shí)，"X)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出/(x)的所有“和

諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)證明：由已知當(dāng)x￡(0,馬時(shí)，sinx>x--,

23!

2(~)2、［

得啖「一「》"/所以當(dāng)xe(O二)時(shí)，—>-；

2x2

(2)解：加=-2時(shí)，假設(shè)存在，則由2知-2,2,

若a,b..O,則由［a,句u［0,王)，知/(瓊，0,與值域是［a,Z>］c［0,萬(wàn))矛盾,

故不存在和諧區(qū)間，同理，a,A0時(shí)，也不存在,

下面討論出,0?b,

若b...g則[0,y]c[a,々，故/(x)最小值為-2,于是。=-2,

所以[?]，,b],所以最大值為2,故6=2,

此時(shí)/(x)的定義域?yàn)閇-2,2],值域?yàn)閇-2,2],符合題意.

若b〈生,當(dāng)以一生時(shí)，同理可得a=-2,b=2,舍去，

22

當(dāng)a>-工時(shí)，/(x)在[a,6]上單調(diào)遞減，所以Jf"-2S，*nh?,于是a+6=-2(sin“+sin〃),

2[Z?=-2sina

若6>—ci即a+Z>>0,則sinb>sin(—a),故sinb+sina>0,—2(sina+sin/>)<0,

與Q+6=-2(sintz+sinh)矛盾；

若6<-a,同理，矛盾，所以6>-a,即g=sinb,由(1)知當(dāng)工￡(0,])時(shí)，sinx>,

因?yàn)閎w[O,1),所以6=0,從而，Q=0,從而a=6,矛盾，

綜上所述，/(x)有唯一的和諧區(qū)間[-2,2].

試卷二

一、填空題（每空3分，共39分）

1.已知點(diǎn)/(1,0),8(3,0),向量配=(-4,-3),則向量前=.

【解析】?.?點(diǎn)/(1,0)，8(3,0),.,.在=(2,0),

BC=JC-1B=(-A,-3)-(2,0)=(-6,-3).

【答案】(-6,-3)

2.已知復(fù)數(shù)z=則|(l-z厲|=.

【解析】vz=-1-/,z=-\+i,(1-z)z=(2+z)(-l+z)=-3+z,

zR|=^(-3)2+l2=Vio.

【答案】Vio

3.若d=(2,-1),6=(-3,4),則萬(wàn)在B方向上的數(shù)量投影是-2_.

【解析】向量2=(2,—1),分=(-3,4),所以萬(wàn)石=2x(-3)+(-l)x4=-10,

所以〃在1方向上的數(shù)量投影為|碼cos?=4，=/=-2.

叫7(-3)2+42

【答案】-2

4.在正方體N8CO-44GA中，棱8片與平面nrg所成角的余弦值為

【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,

則函=(0,0,1),設(shè)萬(wàn)=(x,y,z),平面48=(1,0,-1),1^=(1,-1,0),

X=1

私福=0x—z=0_

則_.=y=i所以歷=(1,1,1),

x-y=0

n?4G=oZ=1

棱BB｝與平面48G所成角為0，

所以sin。=|cos〈88i,n)|=|萬(wàn)|=-4==—,則cos0=.

I網(wǎng)I?四百33

【答案】逅

3

5.設(shè)x為虛數(shù)，若x+：=-l,則/期一擊=一.

【解析】x4—=—1,x2+x+1=0,

X

(x-l)(x2+x+1)=0,BPx3-1=0,/.x3=1,

./。22=/⑹4=1,./。22_J_=1_1=0.

【答案】0

6.在四面體中，若棱NC與80所成角為60。，且ZC=8O=4,則連接45,BC,

CD,四條棱的中點(diǎn)所得四邊形的面積為一.

【解析】如圖，空間四邊形/8CO中，

棱4C與8。所成角為60。，SLAC=BD=4,

分別取ZB,BC,CD,D4的中點(diǎn)E,F,G,H,連接E尸，F(xiàn)G,GH,HE,

則EF//GH///C,S.EF=GH=-AC=2,

2

EH//GF////BD,且EH=GF=LBD=2,

2

:"HEF=60°,或/〃￡產(chǎn)=120。，不妨取/〃￡戶=60。，

連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積SEFCH=2x2xsin60。=2百.

【答案】26

7.在復(fù)平面上，四個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，其中三個(gè)復(fù)數(shù)分別

是l+2i,-2+i,-1-2/,則第四個(gè)復(fù)數(shù)是—.

【解析】設(shè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為方=l+2i,0B=-2+i,0C=-\-2i,

設(shè)01)=(〃，b)(a,bwR),

vAB=OB-OA=-3-i,BC=OC-OB=l-3i,

???1x(-3)+(-1)x(-3)=0,/.ABLBC,

_f_2—6=—1[a=2

AB=DCf即一3-i=(—l—2i)-(4+bi),z.\,解得<,

1—1—a=-3[b=—1

，歷=(2,-1),即第四個(gè)復(fù)數(shù)是2-i.

【答案】2-i

8.已知a、6都是非零向量，且萬(wàn)+3在與7,-5彼垂直，。-4不與73-2$垂直，則G與5的

夾角為.

【解析】2+3$與72-55垂直，

(a+3^)-(75-5私=7尸-15戶+16。石=0①

又：a-4b與Ta-2b垂直，

(a-4A).(7a-26)=7a2+8戶-305萬(wàn)=0②

由①②得a?=b2=2a-b,

又由cosd=db_,,易得：cos0=—,則。=60。.

\a\-\b\2

【答案】60°

9.已知方程/+2x+〃?=0伽eR)的兩根tz,/滿足|a-夕|=4,則加=.

【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得，a+/3=-2,a13=m,

a-4|=\l(a+p'y-4a/3=j4-4m=4,/.4-4/?=16.m=-3.

【答案】-3

10.正四面體的棱長(zhǎng)為2,則所有與N,B,C,。距離相等的平面截這個(gè)四面體

所得截面的面積之和為一.

【解析】設(shè)E、F、G分別為/8、AC,力。的中點(diǎn)，連結(jié)E尸、FG、GE,

則\EFG是三棱錐A-BCD的中截面，

可得平面EFG//平面BCD,點(diǎn)A到平面EFG的距離等于平面EFG與平面8co之間的距

離，

:.A,B、C、。到平面EFG的距離相等，即平面EFG是到四面體N8CO四個(gè)頂點(diǎn)距離相

等的一個(gè)平面；

正四面體ABC。中，象△EFG這樣的三角形截面共有4個(gè).

?.?正四面體Z8C。的棱長(zhǎng)為2,可得EF=FG=GE=1,

.?.AfFG是邊長(zhǎng)為1的正三角形，可得?尸G?sin60°=/；

取8、8c的中點(diǎn)，、1,連結(jié)G〃、HI、IE,

EI、GH分別是\ABC、^ADC的中位線，

//1//1〃

:.EI=-ACGH=-AC,得E/=G",.?.四邊形EG"/為平行四邊形；

292

u1n1

又且力C_L8O,EI=-AC,HI=-BD,:.EI=HI且EUHI,

22

.??四邊形EG”/為正方形，其邊長(zhǎng)為1/8=1,

2

由此可得正方形EGHI的面積SEGH,=1；

???8C的中點(diǎn)/在平面EGHI內(nèi)，8、C兩點(diǎn)到平面EGHI的距離相等;

同理可得。、C兩點(diǎn)到平面EG/〃的距離相等，且4、8兩點(diǎn)到平面EG4Z的距離相等;

;./、B、C、。到平面EG”/的距離相等,

平面EGH1是到四面體ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的一個(gè)平面,

且正四面體ABCD中，象四邊形EGHI這樣的正方形截面共有3個(gè)，

因此，所有滿足條件的正四面體的截面面積之和等于4sM.c+3$印印=4*也+3x1+3?

【答案】6+3

11.已知Z為虛數(shù)，且4==是實(shí)數(shù)，Z2=三—也是實(shí)數(shù)，則z3的值為

1+z221+Z

【解析】設(shè)2=%+加(其中X,yeR,且ywO),則實(shí)數(shù)

_x+W_x+yi_(x+yz)[(l+x2-y2)-2x)i]_x(]+x+.)+Ml-x7)i,

22222222222

1]+(X+M)2(1+X2-y)+2xyi(1+x-y)+4xy(1+x-y)+4xy

：.y(l-x2-y2)=0(j^0),x2+y2=1,

1

x=——

對(duì)于實(shí)數(shù)Zj同理求得f+/=_2x,聯(lián)立解得2,

k=±T

z=——+^-i,：.z3=1.

22

【答案】1

12.已知向量力與歷的夾角為0,|次|=2,|赤|=1,OP=tOA,而=礪，\PQ\

在0時(shí)取得最小值，當(dāng)0<"<1時(shí)，cos。的取值范圍為_(kāi)___.

6

【解析】由題意可得刀?麗=2xl+cos。，PQ^OQ-OP=(l-t)OB-tOA,

2

:.\而/=(1-f)21礪『+f2|次『_2?(1-r)04.05=(1-?)+4r-4z(l-/)COS0

=(5+4cos。)/+(-2-4cos0)f+1,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，上式取得最小值時(shí)，叱陋吧。,

5+4cos6

1

O<<.l+2cos。1

6-0<--------<-，

5+4cos66

v5+4cos0>O,一-<cos0<一一，即cos。的取值范圍為(-一.

2828

【答案】（-,,-1）?

28

13.中，ABAC+2BABC=3CACB,則sinC的最大值為

-----------A24-c2—Cl2-----a2+c2—/?2-----a2+Z?2—c2

【解析】vAB*AC=becosA=----------,BABC=-----;...—CACB=--—,

222

b“+C?一礦22>2\3(a,+6'—C")2O2

---------+3+c-/?)=------------,即Hna2+2b-=3c2,

.??COsc/+b-2+**+2〃)

上+2.2l-—=①

2ab2ab3b6a73b6a3

當(dāng)且僅當(dāng)2=包即b=6a時(shí)取等號(hào),

3bGa

sinC=小-cosP,,YZ.

3

【答案】—

3

二、選擇題(每題4分，共16分)

14.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，a,夕，y是三個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中，其中

正確的是()

A.若〃?ua,nIla>則m//〃

B.若a//￡,￡///,mLa,則加_Ly

C.若a。)夕=〃，m/tn,則機(jī)//(?且機(jī)//￡

D.若a_Ly,/?///,則a//￡

【解析】對(duì)于A,若〃?ua,n//a,則〃?//〃或加與〃異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a//夕，mYa,則加_L￡,由/?///,則機(jī)_Ly,故B正確；

對(duì)于C,若00]￡="，mlIn,mlla,則w///或mu/?,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a_Ly,￡//y,則a_L￡,故D錯(cuò)誤.

【答案】B

15.若非零不共線的向量方，很滿足|&+B|=|B|,貝1()

A.125|>|2a+S|B.\2a|<|2a+b\C.\2b\>\a+2b\D.12b|<|a+2b\

[^1v\a+2b\=]a+b+b\?\a+b\+\b\=2\b\,

a,B是非零向量，，必有2+分*在，上式中等號(hào)不成立，，2|B|>|G+2B|.

【答案】C

16.正八邊形在生活中是很常見(jiàn)的對(duì)稱圖形，如圖1中的正八邊形的U盤，圖2中的正八

邊形窗花.在圖3的正八邊形4444次444中，4%+方=幾44，則2=()

D.&

【解析】如圖：連接44，44，A2A7,44與44相交于8,

在44上取一點(diǎn)c,使得麗=京，則而=“，

=m

設(shè)|BA3|=m,則|441=144l+血m+〃？=(2+,

---**----.----ni+A/2/W./—

由圖可知，A.A,+AA.=A.A.+AC=24,5=2x——=>J2AA,,

7(2+V2)w'1

2=A/2.

【答案】D

17.在等腰三角形A48c中，ABVAC,BC=2,〃為8C中點(diǎn)，N為/C中點(diǎn)，D為BC

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A48。沿4。翻折至△48'。使8Z)_LOC,點(diǎn)4在面B'8上的投影為點(diǎn)

O,當(dāng)點(diǎn)。在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.線段M9為定長(zhǎng)

B.|CO|e[l,V2)

C.存在。的某個(gè)位置使得4Mo+4〃)8'>180。

D.存在。的某個(gè)位置使得ZCJ.8'。

【解析】如圖所示，

對(duì)于A,A/10C為直角三角形，CW為斜邊/C上的中線，.?.ON='/C=也為定長(zhǎng)，故A

22

正確；

對(duì)于B,。為A/時(shí)，AO=\,CO=l,.-.|C0|e[l,&),故B正確；

對(duì)于D,B'D1DC,ACLB'D,ACp\DC=C,8'。_L平面力。C,

,/AMu平面ADC,/.AC_LB'D,

夕力JL平面/DC,4^<=平面］。(7,B'D1AM,

二當(dāng)。與M重合時(shí)，滿足NC_L87),故D正確；

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)"右邊時(shí)，乙4同。<90。，且9<90。,

故不滿足NAMO+ZADB'>180°,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)“左邊時(shí)，二面角/-CO-9的平面角為。，

則ZAMO+N/D8'=180°-9+AADB',

?/9>ZADB',AAMO+AADB'<\^0°,故C錯(cuò)誤.

【答案】C

三、解答題(本大題共6題，共48分，解答各題必須寫出必要的步驟)

18.(6分)復(fù)數(shù)z=(l+z>?-(8+i)加+15-6i(〃?eA),求實(shí)數(shù)胴的取值范圍使得：

(1)z為純虛數(shù)；

(2)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

解：,/z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6z=(w2-8/M+15)+(??2-m-6)z,

(1)z為純虛數(shù)，需滿足-8,”