北師大版八年級數學上冊第四章一次函數 教學設計（含教學反思）

第四章一次函數

4.1函數.................................................................-1-

4.2一次函數與正比例函數...............................................-6-

4.3一次函數的圖象.....................................................-12-

4.4一次函數的應用.....................................................-23-

4.1函數

教學目標

【知識與能力】

1.初步掌握函數概念，能判斷兩個變量間的關系是否可以看成函數；

2.根據兩個變量之間的關系式，給定其中一個量，相應的會求出另一個量的值；

3.了解函數的三種表示方法.

【過程與方法】

通過函數概念的學習，初步形成學生利用函數觀點認識現實世界的意識和能力

【情感態(tài)度價值觀】

在函數概念形成的過程中，培養(yǎng)學生聯系實際、善于觀察、樂于探索和勤于思考的精神

教學重難點

【教學重點】

掌握函數的概念以及表示方法

【教學難點】

對函數概念的理解

課前準備

教具：教材，課件，電腦

學具：教材，筆，練習本

教學過程

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境、導入新課

內容：

展示一些與學生實際生活有關一的圖片，如心電圖片，天氣隨時間的變化圖片，拋擲鉛球

球形成的軌跡，k線圖等，提請學生思考問題.

意圖：

承接上一學期變量關系的學習，讓學生感受到變量之間關系的是通過多種形式表現出來的,

感受研究函數的必要性.

效果：

生活實例，激發(fā)了學生的研究熱情，起到很好的導入效果.

第二環(huán)節(jié)：展現背景，提供概念抽象的素材

內容：

問題1.你去過游樂園嗎？你坐過摩天輪嗎？你能

描述一下坐摩天輪的感覺嗎？

當人坐在摩天輪上.時，人的高度隨時間在變

化，那么變化有規(guī)律嗎？

摩天輪上一點的高度h與旋轉時間t之間有

一定的關系，右圖就反映了時間t（分）與摩天輪上一點的高度h（米）之間的關系.你能從上圖

觀察出，有幾個變化的量嗎？當t分別取3,6,10時，相應的h是多少？給定一個t值，你

都能找到相應的h值嗎？

問題2.瓶子或罐頭盒等圓柱形的物體，常常如下圖這樣堆放.隨著層數的增加，物體的總數是

如何變化的？

填寫下表:

層數〃12345…

物體總數y…

問題3.一定質量的氣體在體積不變時，假若溫度降低到-273C,則氣體的壓強為零.因此，物

理學把-273℃作為熱力學溫度的零度.熱力學溫度T（K）與攝氏溫度t（℃）之間有如下數量關系:

T=t+273,T20.

（1）當t分別等于-43,-27,0,18時，相應的熱力學溫度T是多少？

（2）給定一個大于-273°C的t值，你能求出相應的T值嗎？

意圖：

通過上面三個問題的展示，使學生們初步感受到：現實生活中存在大量的變量間的關系，

并且一個變量是隨著另一個變量的變化而變化的；變量之間的關系表示方式是多樣的（圖象、

列表和解析式等）.

效果：

通過圖片展示和三個問題的探究，使學生感受生活中的確存在大量的兩個變量之間的關系,

并且這兩個變量之間的關系可以通過三種不同的方式表現，初步了解三種方式表示兩個變量之

間關系的各自特點.

第三環(huán)節(jié)：概念的抽象

.內容:

1.引導學生思考以上三個問題的共同點，進而揭示出函數的概念：

在上?面的問題中，都有兩個變量，給定其中一個變量（自變量）的值，相應的就確定了另

一個變量（因變量）的值.

一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y,如果給定一個x值，相應地就確定了一

個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量.

2.點明函數概念中的兩個關鍵詞：兩個變量，一個x值確定一個y值，它們是判斷函數關

系的關鍵.

3.再通過對上面3個情境的比較，引導學生思考三個情境呈現形式的不同（依次以圖像、

代數表達式、表格的形式反映兩個變量之間的關系），得出函數常用的三種表示方法：

（1）圖象法；（2）列表法；（3）解析法.

意圖：

通過比較異同點，揭示函數的本質概念和不同的表示方法.

效果：

教學過程中，由于有了七年級較好的鋪墊，學生都能順利地抽象出有關概念.

第四環(huán)節(jié)：概念辨析與鞏固

內容」

1.介紹常量與變量的概念

常量：在某一變化過程中,始終保持不變的量：

變.量：在某一變化過程中，可以取不同數值的量.

指出下列關系式中的變量與常量：

(1)球的表面積S(cm2)與球半徑R(cm)的關系式是S=4"R2

(2)以固定的速度V。(米/秒)向上拋一個球，小球的高度h(米)與小球運動的時間t(秒)

之間的關系式是h=Vot-4.9t

2.概念應用舉例

1.小明騎車從家到學校速度是15千米/時，你能表示出他走過的路程s與時間t之間的

變化關系嗎？S是t的函數嗎？路程s隨時間t的變化的圖像是什么？

略解:S=15t,是函數，圖像略.

2.如果A、B路程為200千米，一輛汽車從A地到B地行駛的速度v與行駛時間t是怎樣

的變化關系？V是t的函數嗎？速度v隨時間t的變化的圖像是什么？

200

略解：V=~T，是函數，圖像略.

3.若正方形的邊長為X,則面積y與邊長x之間的關系是什么？y是x的函數嗎？面積y

隨邊長x的變化的圖像是什么？

略解：s=x：是函數，圖像通過課件展示給同學們

意圖：

通過常量與變量的區(qū)別闡述，進一步理解函數的關鍵；通過三個例題，對函數概念進行更

深入的探討，再次揭示函數概念的本質特征.

效果：

通過對函數基本特征的反復比較與探究，學生能比較深刻地理解函數的概念：同時三個例

題涉及了初中階段將要學到一次函數、反比例函數和二.次函數，也為學生將來學習這三種函數

留下了一個初步的印象.

第五環(huán)節(jié)：課時小結

內容：請同學們針對本節(jié)的內容進行自我小結，學生之間相互補充后；最后教師總結.

意圖：

引導學生自己總結本節(jié)課的知識要點和數學學習方法，使學生從感性上升到理性，形成系

統(tǒng)的知識.

效果：

學生各抒己見，然后相互補充完善，最后師生共同完成了小結內容.當然，在學生發(fā)言時，教

師要注意學生的語言表述的準確性.

最終總結了下面的內容：

1.初步掌握函數的概念，并能判斷兩個變量之間的關系是否是函數的關系.

理解函數的概念應抓住以下三點：

(1)函數的概念由三句話組成：“兩個變量”，“X的每一個值”，“y有確定的值”；

(2)判斷兩個變量是否有函數關系不是看它們之間是否有關系是存在，更重要的是看對

于x的每一個確定的值，y是否有唯一確定的值與之對應；

(3)函數不是數，它是指在某一變化的過程中兩個變量之間的關系.

2.在一個函數關系式中，能識別自變量與因變量，并能由給定的自變量的值，相應的求

出函數的值.

3.函數的三種表達式：

(1)圖象法(用圖像來表示函數的方法)；

(2)列表法(把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表格來表示函數的方法)；

(3)解析法(用代數式來表示函數的方法，用來表示函數關系的式子叫做函數關系式，

函數關系式是等式，在書寫時有順序性，一般寫成："函數=函數自變量的代數式”的形式).

4.學會用辯證唯物主義的觀點看待一個問題.

5.本節(jié)課用到的基本思想是：通過觀察、分析、對比、.歸納等過程獲取數學知識.

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

習題4.1

教學設計反思

(-)突出重點、突破難點的策略

函數是研究現實世界變化規(guī)律的一個重要模型，對函數的學習一直以來都是中學階段的

一個重要的內容.函數的概念是學習后續(xù)“函數知識”的最重要的基礎內容，而函數的概念又

是一個比較抽象的，對它的理解一直是一個教學難點，學生對這些問題的探索以及研究思路都

是比較陌生的，因此，在教學過程中，注意通過對以前學過的“變量之間的關系”的回顧與思

考，力求提供生動有趣的問題情境，激發(fā)學生的學習興趣；并通過層層深入的問題設計，引導

學生進行觀察、操作、交流、歸納等數學活動，在活動中歸納、概括出函數的概念；并通過師

生交流、生生交流、辨析識別等加深學生對函數概念的理解.

(二)評價方式

根據新課標的評價理念，教師在課堂中應尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需求,

鼓勵學生探索方式、表達方式和解題方法的多樣化.在教學活動中教師要關注學生的參與程度

和表現出來的思維水平，應關注的是學生對概念的理解水平和學生的語言表達的能力，應關注

學生對概念理解的程度和是否能準確的判斷所給的問題是否是函數關系，關注學生能否用辯證

唯物主義的觀點看待事物，教學中又通過學生“議一議”、“想一想”等活動情況和學生對反饋

練習的完成情況，分析學生的認識狀況和列出函數關系的能力水平.另外，對于學生的回答教

師應給予恰當的評價和鼓勵，幫助學生認識自我，建立自信，發(fā)揮評價的教育功能.

4.2一次函數與正比例函數

教學目標

【知識與能力】

1.理解一次函數和正比例函數的概念；

2.能根據所給條件寫出簡單的一次函數表達式.

【過程與方法】

1.經歷一般規(guī)律的探索過程，發(fā)展學生的抽象思維能力；

2.經歷從實際問題中得到函數關系式這一過程，發(fā)展學生的數學應用能力.

【情感態(tài)度價值觀】

1.體驗生活中的數學的應用價值，感受數學與人類生活的密切聯系，激發(fā)學生學數學、用

數學的興趣.

2.在探索過程中體驗成功的喜悅，樹立學習的自信心.

教學重難點

【教學重點】

理解一次函數和正比例函數的概念.

【教學難點】

能根據所給條件寫出簡單的一次函數表達式,發(fā)展學生的抽象思維能力.

課前準備

教材，課件，電腦

教學過程

第一環(huán)節(jié)：復習引入

內容：復習上節(jié)課學習的函數，教師提出問題：

(1)什么是函數？

(2)函數有哪些表示方式？

(3)在現實生活中有許多問題都可以歸結為.函數問題,大家能不能舉一些例子呢？

意圖：為了激發(fā)學生的求知欲望,吸引同學們的注意力，這里采用了“復習舊知識,誘導新

內容”的引入方法.問題(1)(2)復習上節(jié)課的內容，問題(3)是讓學生把所學知.識運用于實際生

活，提高學生的運用意識.

效果：

問題(1)(2)學生都能快而準的回答，問題(3)是在一個開放的環(huán)境中回答,學生不能很準確

的表述出來,可讓學生互相補充,也可教師進行補充、完善.通過學生親身經歷了感受函數在生

活中的運用過程,初步形成數學建模的思想,感受成功的喜悅,充分體現了本節(jié)課的情感、態(tài)度

目標.

若課堂氣氛比較沉悶，也可由教師先舉例，讓學生來列函數表達式,激發(fā)學生的學習激情,

再讓學生舉例：(如可補充如下習題)

①假設某學生騎自行車的速度為lOkm/h,則他騎自行車用的時間t(h)和所走過的路程s之

間的關系是什么？

②上網費用是2元/小時,則上網t(小時)，費用y(元)的關系式是什么？

第二環(huán)節(jié)：新課講述

內容：

例1某彈簧的自然長度為3cm,在彈簧限度內，所掛物體的質量x每增加1kg,彈簧長度y

增加0.5cm.

(1)計算所掛物體的質量分別為1kg、2kg、3kg、4kg、5kg時的彈簧長度，并填入下表:

x/kg012345

y/cm

(2)你能寫出x與y之間的關系式嗎？

答案(1)3、3.5、4、4.5、5、5.5；(2)y=3+0.5x.

例2某輛汽車油箱有汽油100L,汽車每行駛50km耗油9L.

(1)完成下表：

汽車行駛路程x/km050100150200300

油箱剩余汽油量y/L

(2)你能寫出x與y之間的關系式嗎？

(3)汽車行駛的路程x可以無限增大嗎?有沒有一個取值范圍?剩余油量y呢?

答案(1)100、91、82、73、64、46；

(2)x與y之間的關系式為y=100-0.18x；

(3)汽車行駛路程x不可能無限增大,因為汽油只有100L,每行駛50km耗油9L,行駛

560km后，油箱就沒有油了，所以x不會超過560km.y代表油箱剩余油量,所以y應該小于100

但不能小于零.

通過觀察、探索、總結，歸納出一次函數與正比例函數的概念:

一般地，若兩個變量x.y間的關系式可以表示成丁="+b（左/為常數，氏W0）的形式,

則稱y是x的一次函數（x是自變量，y為因變量）.特別地，當b=（）時，則y是x的正比例函

數.

意圖：從生動有趣的問題情景（彈簧的長度、汽車油箱中的余油量）出發(fā)，通過對一般規(guī)律

的探索過程,從實際問題中抽象出一次函數和正比例函數的概念.

效果：

從兩個具體問題的函數表達式出發(fā)，互相討論,教師在教學上恰當地設疑立障,引導學生大

膽猜想，勇于探索，鼓勵學生積極思維，總結出一次函數的定義，提高學生的分析問題、解決問

題、總結歸納的能力.

主要從函數解析式這一角度去研究一次函數，這是學生第一次正式接觸函數的表達式，教

學中可根據學生狀況多加一些例子，讓學生逐步學會從函數表達式去認識函數，進一步掌握一

次函數的定義.

第三環(huán)節(jié)：鞏固練習

內容：

3,

1.在.函數（1.）y=—，（2）y=x-5,（3）y=-4x,（4）y=2x-3x,

x

⑸y=4x72（6）y=」一中是一次函數的是,是正比例函數的是.

x-2

2.若函數y=（6+3m）%+4n-4是一次函數,則，w,〃應滿足的條件是；若是正比例函數,

則他,"應滿足的條件是.

3.當左=時，函數y=（Z+3）x*-8-5是關于x，的一次函數.

意圖：對本節(jié)知識進行鞏固練習.

效果：學生基本能交好的獨立完成練習題，收到了較好的教學效果.

在第3題中，學生易忘記Z+3W0的條件,而錯誤的將答案寫成±3.

第四環(huán)節(jié)：知識提高

內容：

例3寫出下列各題中％與y之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數?是否為正比例

函數？

（1）汽車以60千米/時的速度勻速行駛,行駛路程y（千米）與行駛時間x（時）之間的關系;

（2）圓的面積y（厘米2）與它的半徑x（厘米）之間的關系；

（3）一棵樹現在高50厘米，每個月長高2厘米，x個月后這棵樹的高度為y（厘米），則y與

X的關系.

答案：(1)由路程=速度X時間，得y=6O.r,y是x的一次函數,也是％的正比例函數；

(2)由圓的面積公式，得y不是％的一次函數,也不是x的正比例函數；

(3)這棵樹每月長高2厘米，x個月長高了2x厘米，因而y=50+20x,y是x的

一次函數,但不是X的正比例函數.

例4某地區(qū)電話的月租費為25元,在此基礎上,可免費打50次市話(每次3分鐘)，超過50

次后,每次0.2元.

(1)寫出每月電話費y(元)與通話次數x(x>50)的函數關系式；

(2)求出月通話150次的電話費；

(3)如果某月通話費為53.6元,求該月通話的次數.

分析:解決此類問題首先要理解題意，然后找出相等關系.此題相等關系為:每月通話費=月

租費+超過50次后電話費.

答案：(1)根據題意得：y=25+(x-50)X02,即y=0.2x+15；

(2)當x=150時，y=0.2X150+15=45；

(3)因為53.6>25,可知通話次數大于50次，即當y=53.6時，求x的值.

53.6=0.2x+15,解得x=193.

意圖：通過豐富的現實背景的例題,進一步理解一次函數和正比例函數的概念,根據所給的

條件寫出簡單的一次函數的表達式，讓學生體會數學的廣泛應用，發(fā)展學生的抽象思維能力.

充分加強數學與現實的聯系，促進學生新的認知結構的建立和數學應用能力的發(fā)展.

效果：

根據已知條件寫出簡單的一次函數的表達式，教學時，學生會出現一定的差異,此時，要給

予學生足夠的思考.時間，必要的時候可組織學生交流討論,而不能是簡單的“告訴”.另外,在教

學上還必須注意培養(yǎng)學生的書面表達能力，這些都是邏輯思維訓練的一部分.

在例4中的(1)中，易錯解為y=25+0.2x.應讓學生仔細審題，找準等量關系：(2)、(3)

兩問是給定自變量的值,求函數數值，這類問題的實質就是解方程.

第五環(huán)節(jié)：反饋練習

內容：

1.下列語句中，具有正比例函數關系的是()

(A)長方形花壇的面積不變，長y與寬X之間的關系；

(B)正方形的周長不變,邊長比與面積S之間的關系；

(0三角形的一條邊不變,這條邊上的高力與面積S之間的關系；

(D)圓的面積為S,半徑為r,S與r之間的關系.

2.我國現行個人工資、薪金所得稅征收辦法規(guī)定：月收入低于1600元的部分不收稅；月

收入超過1600元但低于2100元的部分征收5%的所得稅……如果某人月收,入1960元.他應繳

納個人工資、薪金所得稅為(I960-1600)義5斷18(元).

(1)當月收入大于1600元而又小于2100元時，寫出應繳納所得稅y(元)與月收入尤

(元)之間的關系式.

(2)某人月收入為1760元，他應該繳納所得稅多少元？

(3)如果某人本月繳所得稅19.2元，那么此人本月工資、薪金是多少以元？

意圖：對本節(jié)知識進行鞏固練習.

效果：學生基本能較好地獨立完成練習題，收到了較好的教學效果.

在第2題,學生容易遺忘幾何的相關內容,在此教師可作適當的提醒,讓學生更順利地完成

習題.

第六環(huán)節(jié)：課堂小結

內容：

這節(jié)課我們學習了一類很有用的函數------次函數，只要解析式可以表示成丁=kx+b

(k,b為常數,左中0)的形式的函數則稱為一次函數.正比例函數是一次函數當匕=0時的特

殊情形.(方式：師生互相交流總結.)

目的：鼓勵學生結合本節(jié)課的學習內容,談談自己的收獲和感想,進一步鞏固本節(jié)課的知

識.

實際效果：學生暢所欲言自己對本節(jié)課的感受與收獲，都能準確的說出一次函數與正比例

函數的概念.但學生容易忽略一次函數與實際生活的聯系，教師應做適當補充.

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1.根據下表寫出之間的一個關系式.

X-10123

y

2..某電信公司手機的A類收費標準如下：不管通話時間多長，每部手機每月必須繳月租

費50元，另外，每通話1分鐘交費0.4元.

(1)寫出每月應繳費用y(元)與通話時間x(分)之間的關系式；

(2)某手機用戶這個月通話時間為152分，他應繳費多少元？

(3)如果該手機用戶本月預交了200元的話費，那么該用戶本月可通話多長時間？

3.某電信公司手機的B類收費標準如下：沒有月租費，但每通話1分鐘收費0.6元.按照

此類收費標準，分別完成第2題中的各小題.

4.根據上面第2,3題中的條件，完成下列各題：

(1)若每月平均通話時間為300分，你選擇哪類收費方式？

(2)每月通話多長時間時，按A,B兩類收費標準繳費，所交話費相等？.

四、教學設計反思

1.本課時在初中數學學習中的重要性

函數是初中階段數學學習的一個重要內容，學生又是第一次接觸函數，充分考慮學生的接

受能力，本節(jié)從生動有趣的問題情景出發(fā)，通過對一般規(guī)律的探索過程，從實際問題中抽象出

一次函數和正比例函數的概念.又通過具有豐富的現實背景的例題，進一步理解一次函數一和正

比例函數的概念，為下一步學習《一次函數圖象》奠定基礎，并形成用函數觀點認識現實世界

的能力與意識.

2.怎樣對學生進行引導

本節(jié)課的教學對.象是初二學生,他們的參與意識較強，思維活躍,對研究常量的計算問題已

掌握了一定的方法，但對函數、變量的變化規(guī)律的學習剛剛開始,抽象概括概念的能力尚顯不足,

為此，我力求以下三個方面對學生進行引導：

(1)從創(chuàng)設問題情景入手,通過知識再現,孕育教學過程；

(2)從學生活動出發(fā),通過以舊引新，順勢教學過程；

(3)借助探索,通過思維深入,領悟教學過程.

3.注意改進的方面

在討論之前，應該留給學生充分的獨立思考的時間，不要讓一些思維活躍的學生的回答代

替了其他學生的思考，掩蓋了其他學生的疑問.教師應對小組討論給予適當的指導，包括知識

的啟發(fā)引導、學生交流合作中注意的問題及對困難學生的幫助等，使小組合作學習更具實效性.

4.3一次函數的圖象

第1課時正比例函數的圖象和性質

教學目標

1.理解函數圖象的概念，掌握作函數圖象的一般步驟；（重點）

2.掌握正比例函數的圖象與性質，并能靈活運用解答有關問題.（難點）

教學重難點

【教學重點】

初步了解作函數圖象的一般步驟：列表、描點、連線.

【教學難點】

理解一次函數的代數表達式與圖象之間的一一對應關系.

教學過程

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境引入課題

內容:

一天，小明以80米/分的速度去上學，請問小明離家的距離S（米）與小明出發(fā)的時間t

（分）之間的函數關系式是怎樣的？它是一次函數嗎？它是正比例函數嗎？S=80t（t>0）

右面的圖象能表示上面問題中的S與t的關系嗎？）

我們說，右面的圖象是函數S=80t（t20）的圖象，這就是我們今80J

天要學習的主要內容:一次函數的圖象的特殊情況正比例函數的圖象.[/:Q（分）

目的：通過學生比較熟悉的生活情景，讓學生在寫函數關系式和°1

認識圖象的過程中，初步感受函數與圖象的聯系,激發(fā)其學習的欲望.

效果：學生通過對上述情景的分析，初步感受到函數與圖象的聯系，激發(fā)了學生的學習欲

望.

第二環(huán)節(jié)：畫正比例函數的圖象

內容：首先我們來學習什么是函數的圖象？

把一個函數的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標

系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象

（graph）?

例1請作出正比例函數y=2x的圖象.

的點.

連線：把這些點依次連結起來，得到y(tǒng)=2x的圖象.

由例1我們發(fā)現：作一個函數的圖象需要三個步驟：

列表，描點，連線.

目的：通過本環(huán)節(jié)的學習，讓學生明確作一個函數圖象的一般步驟，能做出一個函數的圖

象，同時感悟正比例函數.圖象是一條直線.

效果：學生通過學習，掌握了作一個函數圖象的一般方法，能作出一個函數的圖象，同時

感悟到正比例函數圖象是一條直線.

第三環(huán)節(jié)：動手操作，深化探索

內容：做一做

(1)作出正比例函數y=-3x的圖象.

(2)在所作的圖象上取兒個點，找出它們的橫坐標和縱坐標，并驗證它們是否都滿足關

系y=-3x.

請同學們以小組為單位，討論下面的問題，把得出的結論寫出來.

(1)滿足關系式y(tǒng)=-3x的x,y所對應的點(x,y)都在正比例函數y=-3x的圖象上嗎？

(2)正比例函數y=-3x的圖象上的點(x,y)都滿足關系式y(tǒng)=-3x嗎？

(3)正比例函數y=kx的圖象有什么特點？

明晰

由上面的討論我們知道：正比例函數的代數表達式與圖象是一一對應的，即滿足正比例函

數的代數表達式的x,y所對應的點(x,y)都在正比例函數的圖象上；正比例.函數的圖象上

的點(x,y)都滿足正比例函數的代數表達式.正比例函數y=kx的圖象是一條直線，以后可

以稱正比例函數y=kx的圖象為直線,y=kx..

議一議

既然我們得出正比例函數y=kx的圖象是一條直線.那么在畫正比例函數圖象時有沒有什

么簡單的方法呢？

因為“兩點確定一條直線”，所以畫正比例函數y=kx的圖象時可以只描出兩個點就可以

了.因為正比例函數的圖象是一條過原點(0,0)的直線，所以只需再確定一個點就可以了，通常

過(0,0),(l,k)作直線.

例2在同一直角坐標系內作出y=x,y=3x,y=-—x,y=-4x的圖象.

2

解：列表

X01

y=x0,1

y=3x03

1

y=——x0

22

y=-4x0-4

過點（0,0）和（1,1）作直線，則這條直線就是y=x的圖象.

過點（0,0）和(1,3）作直線，則這條直線就是y=3x的圖象.

過點（0,0）和（1,-i）作直線，則這條直線就是丫=-1*的圖象.

22

過點（0,0）和（1,-4）作直線，則這條直線就是y=-4x的圖象.

目的：做一做'’作出這幾個正比例函數的圖象”，意在讓學生進一步熟悉如何作一個正比

例函數的圖象，同時要求學生通過這幾個函數的圖象，分析正比例函數圖象的性質，以及k的

絕對值大小與直線傾斜程度的關系.

效果：學生通過作出正比例函數的圖象，明確了作函數圖象的一般方法.在探究函數與圖

象的對應關系中加深了理解，并能很快地作出正比例函數的圖象.

議一議

上述四個函數中，隨著x的增大,y的值分別如何變化？

在正比例函數y=kx中，

當k>0時，圖象在第一、三象限，y的值隨著x值的增大而增大（即從左向右觀察圖象時，直

線是向上傾斜的）；當k<0時，圖象在第二、四象限，y的值隨著x值的增大而減?。磸淖笙?/p>

右觀察圖象.時,直線是向下傾斜的）.

請你進一步思考：

（1）正比例函數y=x和y=3x中，隨著x值的增大y的值都增加了，其中哪一個增加得更快？

你能說明其中的道理嗎？

（2）正比例函數y=-』x和y=-4x中，隨著x值的增大y的值都減小了，其中哪一個減小得更

2

快？你是如何判斷的？

我們發(fā)現：網越.大，直線越靠近y軸.

第四環(huán)節(jié)：.鞏固練習，深化理解

內容：

練習1：在同一直角坐標系中分別作出丫=，*與丫=-』*的圖象.

23

練習2：當x＞0時，y與x的函數解析式為y=2x,當時，y與x的函數解析式為

y=-2x,則在同一直角坐標系中的圖象大致為（）

ABC.D

練習3：對于函數y=的兩個確定的值修、看來說，當當＜X2時，

對應的函數值為與力的關系是（）

A.必＜y2B.y=y2C.弘＞y2D.無法確定

目的：這里的三個練習題，一是讓學生熟練正比例函數圖象的作法，二是明確正比例函數

圖象的性質，要注意自變量的取值范圍.

效果：學生通過練習，進一步熟練了正比例函數圖象的作法，對正比例函數和正比例函數

圖象的一般特征有了清楚的認識.

第五環(huán)節(jié)：課時小結

內容：本節(jié)課我們通過對正比例函數圖象的研究，掌握了以下內容：

(1)函數與圖象之間是一一對應的關系；

(2)正比例函數的圖象是一條經過原點的直線.

(3)作正比例函數圖象時，只取原點外的另一個點，就能很快作出.

目的：讓學生在回憶的過程中，進一步加深對正比例函數圖象的理解，同時對本節(jié)所學知

識有一個總結性的認識..

效果：學生通過對本節(jié)學習的回顧和小結，對所學知識更清楚，抓住了重點，明確了關鍵.

第六環(huán)節(jié)：拓展探究

內容：

如圖所示，你認為下列結論中正確的是()

A.kx<k2<&B.k2<kt<k?

C.k3<k}<k2D.ky<k3<k2

目的：對學有余力的學生，能進一步提高，讓他們的

學習活動深入下去，同時為以后學習正比例函數圖象的應

用奠定基礎.

效果：學生通過對上面問題的探究，對正比例函數圖象的認識更深入.

第七環(huán)節(jié)：作業(yè)布置

習題4.31、2,3、4題，5題選做.

教學設計反思

這節(jié)內容是學生利用數形結合的思想去研究正比例函數的圖象，對函數與圖象,的對應關系

有點陌生.在教學過程中教師應通過情境創(chuàng)設激發(fā)學生的學習興趣，對函數與圖象的對應關系

應讓學生動手去實踐，去發(fā)現，對正比例函數的圖象是一條直線應讓學生自己得出.在得出結

論之后，讓學生能運用“兩點確定一條直線”，很快作出正比例函數的圖象.在鞏固練習活動

中，鼓勵學生積極思考，提高學生解決實際問題的能力.

當然，根據學生狀況，教學設計也應做出相應的調整.如第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境引入課題，固

然可以激發(fā)學生興趣，但也可能容易讓學生關注代數表達式的尋求，甚至對部分學生形成一定

的認知障礙,，因此該環(huán)節(jié)也可以直接開門見山，直入主題，如提出問題：正比例函數的代數形

式是y=kx,那么，一個正比例函數對應的圖形具有什么特征呢？

第2課時一次函數的圖象和性質

教學目標

1.了解并掌握一次函數的圖象與性質；（重點）

2.能靈活運用一次函數的圖象與性質解答有關問題.（難點）

教學過程

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境

內容:展示一些與實際生活息息相關的圖片.說明在我們生活中，有許,許多多這樣的圖案,

這些圖象當中蘊含著某些規(guī)律，人們利用這些規(guī)律，能更合理地作出決策或預測.

目的：通過富有現實意義的圖片展示，引入生活中熟悉的圖片，使學生感受到圖象里蘊含

的某些規(guī)律可以使人們作出合理、科學的決策，激發(fā)學生的求知欲望，感受圖象的實用價值.

說明：通過欣賞這些生活中的圖象，學生感受到圖象中所蘊含的規(guī)律，激發(fā)了學生的好奇

心和求知欲.

第二環(huán)節(jié)：復習引入

內容：在前面，我們已經學會了繪制正比例函數圖象，明確了正比例函數圖像的有關性質，

那么一次函數圖象中又蘊含著什么規(guī)律，這節(jié)課我們就來研究一次函數圖象的性質.首先，我

們來復習一下上節(jié)課所學習的知識.

復習提問：（1）作函數圖象有幾個主要步驟？

（2）上節(jié)課中我們探究得到正比例函數圖象有什么特征？

目的：學生回顧上節(jié)課學習的內容，為進一步研究一次函數的圖象和性質做好鋪墊.在上

節(jié)課的探究中我們得到正比例函數圖象是過原點的一條直線.本節(jié)課主要內容是對一次函數

丁=丘+人中常數攵、方對圖象的影響進行探究.

本節(jié)課也可從第二環(huán)節(jié)復習引入開始，直接進入本課題的學習.

說明：學生通過知識回顧，再次明確正比例函數圖象的一些特征，為學習本節(jié)課在知識上

作好準備.

第三環(huán)節(jié)：活動探究

1、合作探究，發(fā)現規(guī)律

內容：觀察在同一直角坐標系內的下列一次函數的圖象.

(1)y=2x+6,y=5x,y=x—2

(2)y=-x+6,y=-2x,y=--x-3.

-2

得出結論：一次函數圖像是一條直線.因此作一次函數圖像時，只要確定兩個點，再過這

兩個點作直線就可以了.一次函數y=依+b的圖像也稱為直線y=kx+b.

議一議：

(1)觀察圖象，它們分別分布在哪些象限.

(2)觀察每組三個函數的圖象，隨著x值的變化，y的值在怎樣變化?

(3.)從以上觀察中，你發(fā)現了什么規(guī)律？

歸納出一次函數圖象的特點：

在一次函數y=履+〃中

當后>0時，y隨x的增大而增大，當方>0時，直線必過一、二、三象限；

.當b<0時，直線必過一、三、四象限；

當左<0時，y隨X的增大而減小，當6>0時，直線必過一、二、四象限；

.當6<0時，直線必過二、三、四象限.

目的：歸納出一次函數圖象中系數％,6對函數圖象的影響.

說明：

本節(jié)課主要是結合一次函數的圖象，探究一次函數的簡單性質，教學內容較多，為更好地

突出教學重點，提高課堂教學效率，建議在上一節(jié)課的家庭作業(yè)中，要求學生繪制上述兩組函

數圖象在作業(yè)本上.

本節(jié)課首先請學生展示作出的函數圖象,師生、生生互評，再讓學生結合自己繪制的函數

圖象來探究一次函數的性質.通過對問題的精心設計，引導學生對A,A兩個常數進行分類討論,

探索出久6值的變化對圖.象的影響和變化規(guī)律.在此過程中滲透分類討論的思.想方法,培養(yǎng)學

生數形結合的意識.

學生拿出課前已經做好的函數圖象.通過師生互動、生生互動進行批改,互評.讓學生再次

鞏固了已學知識，調動了學生學習的自主意識.在此基礎上學生進行觀察并分小組對一次函數

y=Ax+b中4,b的幾何意義作了初步的探索.本環(huán)節(jié)通過獨立思考和小組討論，培養(yǎng)學生的

識圖能力、探究能力和合作能力.初步感受到/一次函數的圖象及函數的性質由常數大6決定.

2觀察思考，深入探究

內容1：

右圖是某次110米欄比賽中兩名選手所跑的路程s(米)和

所用時間/(秒)的函數圖象.觀察圖象,你能看出誰跑得更快

嗎？

目的：學生通過對熟悉的實際問題的討論，體會不同函數圖象的傾斜程度不同，函數值的

增減速度也不同，為下面進一步探究一次函數圖象的性質作了鋪墊.

說明：通過具體的實例，學生在觀察討論中發(fā)現可以從圖象的傾斜程度看出誰跑得更快,

那么一次函數圖象的傾斜程度又由什么決定呢？再次激發(fā)學生的求知欲望，為課堂注入新的活

力.

內容2：

(1)作出一次函數y=y=2x和y=5x的圖象，觀察圖象，x從0開始逐漸增大,

哪個函數的值先到達6?直線y=y=2x和y=5x哪個與x軸正方向所成的銳角最大？

從中你能發(fā)現與x軸正方向所成的銳角的大小是由什么決定的？

(2)直線y=-x-2與y=-x+6的位置關系如何？

(3)直線y=2x+6與y=—2的位置關系如何？

引導學生結合函數圖象，回答以上的問題.

結合上面幾個例子，你認為平面內不重合的兩條直線的位置關系由什么決定？請和同桌交

流，看看對你有沒有啟發(fā).

從而希望學生總結出一次函數圖象的特點：

當后＞0時，力的值越大，直線與x軸的正方向所成的銳角越大.

同一平面內，不重合的兩條直線4：+4與4：y2=k2x+b2

當K=&時，《114；

當人片七時，4與4相交.

目的：問題(1)在教材中是放在一次函數圖象的第一節(jié)課，根據教學安排，我們把這個

內容調整到了本節(jié)課.經過自主探究、合作交流，力圖讓學生對兩直線的位置關系及左，6的兒

何意義作進一步的探討，感受在具體圖象中平行、相交等位置關系以及函數圖象中函數值的增

減速度與k值之間的聯系.

說明：學生通過討論，得出所觀察到的圖象的規(guī)律，在教師的引導下，逐步加深對一次函

數圖象及性質的認識.

內容3：比一比，看誰畫得快

一次函數y=x的圖象如圖所示，你能畫出函數y=x+4和

y=x—5的圖象嗎？

目的：學生作圖(學生可能按常規(guī)過兩點作直線，也可能利用兩直線的位置關系，過直線

外一點作已知直線的平行線).利用所學的知識反過來解決了作圖問題，再次強調了數形結合

的思想.

說明：通過探究，學生已經一了解了一次函數圖象的特點.根據一次函數圖象的特點，學生

能較容易的完成此題.

3歸納總結，認識規(guī)律

內容：歸納總結一次函數圖象的特點：

1.在一次函.數y=中

當攵〉0時，y隨x的增大而增大，當8>0時，直線必過一、二、三象限；

當6<0時，直線必過一、三、四象限；

當左<0時，y隨x的增大而減小，當方>0時，直線必過一、二、四象限；

當6<0時，直線必過二、三、四象限.

2.當%>()時，4的值越大，直線與x軸的正方向所成的銳角越大.

3.同一平面內，不重合的兩條直線4：y1=仁天+濟與，2：y2-k-,x+h2

當:=火2時，||，2；

當匕W七時，《與4相交.

目的：通過師生、生生互動，共同總結，使學生再次明確一次函數圖象的特點，為下個環(huán)

節(jié)的知識運用作好準備.

說明：通過教師的引導，學生之間的相互補充，完善，很容易歸納出一次函數圖象的特點.

第四環(huán)節(jié)：反饋練習*

內容:1.你能找出下列四個一次函數對應的圖象嗎？請說出你的理由:

(1)y=-2x+l；(2)y->/3x-l；

2

(3)y-x；(4)y=——x.

3

/朱f與

2.(1)判斷下列各組直線的位置關系:

(A)y=x與y=x-l；

(B)y=3x-L與y=-x-L

22

2

(2)已知直線y=：x+5與一條經過原點的直線/平行，則這條直線/的函數關系式為.

3.(1)一次函數y=x—1的圖象經過的象限是()

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限

(2)一次函數丁=〃a+〃-2的圖象如圖所示，則

機、〃的取值范圍是()

A.m>0,n<2B.m>(),n>2

C.m<0,n<2D.m<0,n>2

4.小明騎車從家到學校，假設途中他始終保持相同的速度前進，那么小明離家的距離與他

騎行時間的圖象是下圖中的；小明離學校的距離與他騎行時間的圖象是下圖中的.

(O

答案:

1.四個圖象對應的函數關系式分別為：⑶、(.1)、(2)、(4).

2.(1)平行，相交;

(2)y=-x.

3

3.(1)D；(2)D

4.B,A.

目的：四組練習，旨在檢測學生對一次函數的圖象和性質的掌握情況.可根據學生情況和

上課情況適當調.整?若學生在回答第1題時有困難，可先引導學生完成分層教學中基礎訓練1、

2題，若學生完成上述練習比較順利，可根據上課時間適當選擇分層教學中提高訓練或知識拓

展完成.

說明：四組練習注意了問題的梯度，由淺入深，一步步加深學生對一次函數圖象及性質的

認識.對同學的回答,教師給予點評，對回答問題暫時有困難的同學,教師應幫助他們樹立信心.

第五環(huán)節(jié)課時小結

內容：本節(jié)課我們結合一次函數的圖象對一次函數的一些簡單性質進行了探討，通過這節(jié)

課，我們學習了以下內容：

1.一次函數y=+b中，

當后>0時，y的值隨x的增大而增大，圖象經過一、三象限；

當％<0時，y的值隨x的增大而減小，圖象經過二、四象限.

2.同一平面內，不重合的兩條直線點x=Kx+4與y2=k2x+b2

當占=42時，4||，2；當匕力七時，4與4相交?

用到了以下的數學思想和基本方法：

1.本節(jié)課中用到的數學思想：數形結合、分類討論.

2.本節(jié)課中用到的基本方法：通過觀察、操作、猜想、推理、類比、歸納等過程獲取數

學知識.

目的：引導學生自己小結本節(jié)課的知識要點及數學思想、方法，教師再補充完善，使知識

系統(tǒng)化..

說明：學生暢所欲言，相互進行補充，能用自己的話進行歸納總結.

第六環(huán)節(jié)作業(yè)布置

習題4.4

課外探究

中大致圖象是()

教學設計反思

(1)突出重點、突破難點的策略

本節(jié)課是學生首次接觸利用數形結合的思想研究一次函數圖象和性質，對他們而言觀察對

象、探索思路、研究方法都是陌生的，因而在教學過程中教師應通過問題情境的創(chuàng)設，激發(fā)學

生的學習興趣，并注意通過有層次的問題串的精心設計，引導學生觀察一次函數的圖象，探討

一次函數的簡單性質，逐步加深學生對一次函數及性質的認識.在師生互動、生生互動的探索

實踐活動中，促成學生對一次函數知識結構的構建和完善；在鞏固議練活動中，提高學生解決

問題的能力.另外，針對于本節(jié)內容較多的情況，建議可以將歸納一次函數圖像是一條直線的

教學過程放到第1課時完成.

（2）評價方式

根據新課標的評價理念，教師在課堂教學中應尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需

要，鼓勵探索方式、表述方式和解題方法的多樣化.在教學活動中教師應關注學生的參與程度

和表現出來的思維水平，應關注的是學生對圖象的理解水平和解決過程中的表述水平，應關注

學生對基本知識技能的掌握情況和應用一次函數解決問題的意識的提高狀況.教學中可通過學

生對“議一議”、“想一想”的探究情況和學生對4組反饋練習的完成情況分析學生的認識狀況

和應用一次函數圖象、性質解決問題的意識和能力水平.對于學生的回答教師應給予恰當的評

價和鼓勵，幫助學生認識自我，建立自信，發(fā)揮評價的教育功能.

4.4一次函數的應用

第1課時確定一次函數的表達式

教學目標

1.會確定正比例函數的表達式；（重點）

2.會確定一次函數的表達式.（重點）

課前準備

課件.

教學過程

第一環(huán)節(jié)復習引入

內容：提問：（1）什么是一次函數？

（2）一次函數的圖象是什么？

（3）一次函數具有什么性質？

目的：學生回顧一次函數相關知識，溫故而知新.

第二環(huán)節(jié)初步探究

內容1：

展示實際情境

提供兩個問題情境，供老師選用.

實際情境一：某物體沿一個斜坡下滑，它的速度P（米/秒）

與其下滑時間t（秒）的關系如圖所示.

⑴寫出『與t之間的關系式；

(2)下滑3秒時物體的速度是多少？

分析：要求/與t之間的關系式，首先應觀察圖象，確定函數的類型，然后根據函數的類

型設它對應的.解析式，再把已知點的坐標代入解析式求出待定系數即可.

實際情境二：假定甲、乙二人在一項賽跑中路程y與時間x

的關系如圖所示.

(1)這是一次多少米的賽跑？

(2)甲、乙二人誰先到達終點？

(3)甲、乙二人的速度分一別是多少？

(4)求甲、乙二人y與x的函數關系式.

目的：利用函數圖象提供的信息可以確定正比例函數的表達式，一

方面讓學生初步掌握確定函數表達式的方法一，即待定系數法，另一方面

讓學生通過實踐感受到確定正比例函數只需一個條件.情景一、二可根據學生情況進行選取,

情景二幾個問題有一定的梯度，學生可能更易寫出函數關系式.

教學注.意事項：學生可能會用圖象所反映的實際意義來求函數表達式，如先求出速度，再

寫表達式，教師應給予肯定，但要注意比較兩種方法異同，并突出待定系數法.

內容2：

想一想：確定正比例函數的表達式需要幾個條件？確定一次函數的表達式呢？

目的：在實踐的基礎上學生加以歸納總結。這個問題涉及到數學對象的一個本質概念一一

基本量.由于一次函數有兩個基本量攵、b,所以需要兩個條件來確定.

第三環(huán)節(jié)深入探究

內容1：

例1在彈性限度內，彈簧的長度y(厘米)是所掛物體的質量x(千克)的一次函數，一根

彈簧不掛物體時長14.5cm；當所掛物體的質量為3kg時，彈簧長16cm。寫出y與*之間的關

系式，并求所掛物體的質量為4kg時彈簧的長度.

解：設丁=履+6,根據題意，得

14.5=b,①

16=3k+b,②

將之=14.5代入②,得％=0.5.

所以在彈性限度內，y=0.5x+14.5.

當x=4時，y=0.5x4+14.5=16.5（厘米）.

即物體的質量為4千克時，彈簧長度為16.5厘米.

目的：

引例中設置的是利用函數圖象求函數表達式，這個例子選取的是彈簧的一個物理現象，目

的在于讓學生從不同的情景中獲取信息求一次函數表達式，進一步體會函數表達式是刻畫現實

世界的一個很好的數學模型.這道例題關鍵在于求一次函數表達式，在求出一般情況后，第二

個問題就是求函數值的問題可迎刃而解.

教學注意事項：

學生除了從函數的觀點來考慮這個問題之外，還有學生是用推理的方式：掛3千克伸長了

1.5厘米，則每千克伸長了0.5厘米，同樣可以得到y(tǒng)與x間的關系式.對此，教師應給予肯

定，并指出兩種方法考慮的角度和采用的方法有所不同.

內容2：

想一想：大家思考一下，在上面的兩個題中，有哪些步驟是相同的，你能否總結出求一次

函數表達式的步驟.

求函數表達式的步驟有：1.設一次函數表達式.

2.根據已知條件列出有關方程.

3.解方程.

4.把求出的4,6值代回到表達式中即可.

目的：對求一次函數表達式方法的歸納和提升。在此基礎上，教師可指出這種先將表達式

中未知系數用字母表示出來，再根據條件求出這個未知系數，這種方法稱為待定系數法.

第四環(huán)節(jié)反饋練習

內容：

1.如圖，直線/是一次函數y=的圖象，求它的

表達式.

2.若一次函數y=2x+b的圖象經過A(―1,1),則6=,該函數圖象經過點B(1,)

和點C(,0).

3.如圖，直線/是一次函數y=Lx+〃的圖象,

填空：

(1)b=,k=；

(2)當x=30時，y=；

(3)當y=30時，x=.

4.已知直線/與直線y=—2x平行，且與y軸交于點（0,2）,求直線/的表達式.

答案：

1.y=-3x

2

3,（1）b=2,k=――；

3

（2）-18；

（3）-42.

4.y--2x+2.

目的：

四個練習旨在對學生求一次函數表達式的掌握情況進行反饋，以便及時調整教學進程.

效果：

四個不同類型的問題由淺入深，學生能從不同角度掌握求一次函數的方法.對于問題4,

教師可引導學生分析，并教學生要學會畫圖，利用圖象分析問題，體會數形結合方法的重要

性.學生若出現解題格式不規(guī)范的情況，教師應糾正并給予示范，訓練學生規(guī)范答題的習慣.

第五環(huán)節(jié)課時小結

.內容：

總結本課知識與方法

1.本節(jié)課主要學習了怎樣確定一次函數的表達式，在確定一次函數的表達式時可以用待

定系數法，即先設出解析式，再根據題目條件（根據圖象、表格或具體問題）求出攵，。的值，

從而確定函數解析式。其步驟如下：（1）設函數表達式；（2）根據已知條件列出有關上6的

方程；（3）解方程，求在，b；4.把上6代回表達式中，寫.出表達式.

2.本節(jié)課用到的主要的數學思想方法：數形結合、方程的思想.

目的：

引導學生小結本課的知識及數學方法，使知識系統(tǒng)化.

第六環(huán)節(jié)作業(yè)布置

習題.4.5：1.,2,3,4

目的：進一步鞏固當天所學知識。教師也可根據學生情況適當增減，但難度不應過大.

第2課時單個一次函數圖象的應用

教學目標

1.掌握單個一次函數圖象的應用；