2024屆江蘇省南通市田家炳中學數(shù)學高二第二學期期末考試試題含解析

2024屆江蘇省南通市田家炳中學數(shù)學高二第二學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在去年的足球甲聯(lián)賽上，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1；二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年失球個數(shù)的標準差是0.4，你認為下列說法中正確的個數(shù)有（）①平均來說一隊比二隊防守技術好；②二隊比一隊防守技術水平更穩(wěn)定；③一隊防守有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；④二隊很少不失球.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．已知函數(shù)f(x)=ex(3x-1)-ax+a（a<1），若有且僅有兩個整數(shù)xi(i=1，A．[-2e，1） B．[73e2，13．全國高中聯(lián)賽設有數(shù)學、物理、化學、生物、信息5個學科，3名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學科參加競賽，則不同的報名種數(shù)是（）A． B． C． D．4．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的離心率為()A． B． C． D．5．點M的極坐標為（1，π），則它的直角坐標為（）A．（1，0） B．（，0） C．（0，1） D．（0，）6．已知在處有極值0，且函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則的最大值為（）A．-6 B．-9 C．-11 D．-47．下列集合中，表示空集的是（）A． B．C． D．8．設f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A．3 B．1 C．－1 D．－39．設復數(shù)z=1+i（i是虛數(shù)單位），則復數(shù)z+1A．12 B．12i C．10．將偶函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到的曲線的對稱中心為（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最大值點和一個最小值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作垂直于實軸的弦，若，則的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已雙曲線過點，其漸近線方程為，則雙曲線的焦距是_________；14．從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，則抽中的2人不全是女生的概率是____.15．函數(shù)在上的減區(qū)間為_____．16．若函數(shù)f(x)=-13x3+12三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線，，，其中與的交點為P.（1）求點P到直線的距離；（2）求過點P且與直線的夾角為的直線方程.18．（12分）如圖,在一個水平面內(nèi),河流的兩岸平行,河寬1(單位:千米)村莊A,B和供電站C恰位于一個邊長為2(單位:千米)的等邊三角形的三個頂點處,且A,C位于河流的兩岸,村莊A側的河岸所在直線恰經(jīng)過BC的中點D.現(xiàn)欲在河岸上A,D之間取一點E,分別修建電纜CE和EA,EB.設∠DCE=θ,記電纜總長度為f(θ)(單位:千米).(1)求f(θ)的解析式；(2)當∠DCE為多大時,電纜的總長度f(θ)最小,并求出最小值.19．（12分）如圖，三棱柱的各棱長均為2，側面底面，側棱與底面所成的角為．（Ⅰ）求直線與底面所成的角；（Ⅱ）在線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．20．（12分）已知.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的值.21．（12分）甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用ε表示甲隊的總得分.（Ⅰ）求隨機變量分布列；(Ⅱ)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB).22．（10分）已知函數(shù).（I）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當時，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】在（1）中，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，

∴平均說來一隊比二隊防守技術好，故（1）正確；

在（2）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊比一隊技術水平更穩(wěn)定，故（2）正確；

在（3）中，一隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1，二隊全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴一隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好，故（3）正確；

在（4）中，二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4，

∴二隊很少不失球，故（4）正確.故選：D．2、D【解題分析】

設g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，對g（x）求導，將問題轉化為存在2個整數(shù)xi使得g（xi）在直線h（x）=ax﹣a的下方，求導數(shù)可得函數(shù)的極值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）＜0，g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，求得a的取值范圍．【題目詳解】設g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，則g′（x）=ex（3x+2），∴x∈（﹣∞，﹣23），g′（x）＜0，g（xx∈（﹣23，+∞），g′（x）＞0，g（x∴x=﹣23，取最小值-∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，直線h（x）=ax﹣a恒過定點（1，0）且斜率為a，∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a＜0，∴a＜2eg（﹣2）=﹣7e由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得：a≥73故答案為[73故選D.【題目點撥】本題考查求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，涉及轉化的思想，屬于中檔題．對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù)．3、C【解題分析】分析：利用分布計數(shù)乘法原理解答即可.詳解：全國高中聯(lián)賽設有數(shù)學、物理、化學、生物、信息5個學科，3名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學科參加競賽，則每位同學都可以從5科中任選一科，由乘法原理，可得不同的報名種數(shù)是故選C.點睛：本題考查分布計數(shù)乘法原理，屬基礎題.4、D【解題分析】因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），故選D.考點：雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點睛】漸近線是雙曲線獨特的性質(zhì)，在解決有關雙曲線問題時，需結合漸近線從數(shù)形結合上找突破口.與漸近線有關的結論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設為；（2）若漸近線方程為，則可設為；（3）雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大小．另外解決不等式恒成立問題關鍵是等價轉化，其實質(zhì)是確定極端或極限位置.5、B【解題分析】

將極坐標代入極坐標與直角坐標之間的互化公式，即可得到直角坐標方程.【題目詳解】將極坐標代入互化公式得：，，所以直角坐標為：.故選B.【題目點撥】本題考查極坐標化為直角坐標的公式，注意特殊角三角函數(shù)值不要出錯.6、C【解題分析】

利用函數(shù)在處有極值0，即則，解得，再利用函數(shù)的導數(shù)判斷單調(diào)性，在區(qū)間上存在最大值可得，從而可得的最大值．【題目詳解】由函數(shù)，則，因為在，處有極值0，則，即，解得或，當時，，此時，所以函數(shù)單調(diào)遞增無極值，與題意矛盾，舍去；當時，，此時，，則是函數(shù)的極值點，符合題意，所以；又因為函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，因為，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則極大值為，且，所以，解得，則的最大值為：.故選C．【題目點撥】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性以及函數(shù)單調(diào)性，求解參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結合思想的應用.7、C【解題分析】

沒有元素的集合是空集，逐一分析選項，得到答案.【題目詳解】A.不是空集，集合里有一個元素，數(shù)字0，故不正確；B.集合由滿足條件的上的點組成，不是空集，故不正確；C.，解得：或，都不是自然數(shù)，所以集合里沒有元素，是空集，故正確；D.滿足不等式的解為，所以集合表示，故不正確.故選：C【題目點撥】本題考查空集的判斷，關鍵是理解空集的概念，意在考查分析問題和解決問題的能力.8、D【解題分析】

∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=2x+2x+b（b為常數(shù)），∴f（0）=1+b=0，解得b=-1∴f（1）=2+2-1=1．∴f（-1）=-f（1）=-1．故選D．9、A【解題分析】由z=1+i，得z+1z=1+i+10、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)求出函數(shù)解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求對稱軸即可.【題目詳解】∵為偶函數(shù)，∴，∴．令，得．故選：D【題目點撥】本題主要考查了誘導公式和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.11、B【解題分析】

首先利用三角函數(shù)關系式的恒等變換，把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結果．【題目詳解】由題意，函數(shù)，令，所以，在區(qū)間上恰有一個最大值點和最小值點，則函數(shù)恰有一個最大值點和一個最小值點在區(qū)間，則，解答，即，故選B．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題型．12、C【解題分析】

由題意得到關于a,c的齊次式，然后求解雙曲線的離心率即可.【題目詳解】由雙曲線的通徑公式可得，由結合雙曲線的對稱性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)有：，即：，據(jù)此有：，，解得：，雙曲線中，故的離心率為.本題選擇C選項.【題目點撥】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由漸近線方程設出雙曲線方程為，代入已知點的坐標求出，化雙曲線方程為標準方程后可得，從而求得?！绢}目詳解】由題意設雙曲線方程為，又雙曲線過點，∴，∴雙曲線方程為，即，，，∴焦距為。故答案為：。【題目點撥】本題考查雙曲線的焦距，求雙曲線的標準方程。已知雙曲線的漸近線方程為，則可設雙曲線方程為，代入已知條件求得，即得雙曲線方程。而不需考慮焦點所在的軸。14、【解題分析】

基本事件總數(shù)n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數(shù)m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【題目詳解】解：從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數(shù)m＝＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．故答案為：．【題目點撥】本題考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．15、【解題分析】

利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為,結合正弦函數(shù)圖像,即可求得函數(shù)的減區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)根據(jù)正弦函數(shù)減區(qū)間可得:,解得:,故函數(shù)的減區(qū)間為:再由,可得函數(shù)的減區(qū)間為故答案為:【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關鍵,考查了計算能力,屬于基礎題.16、(-【解題分析】試題分析：f'(x)=-x2+x+2a=-f'(23)=2a+29考點：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解題分析】

（1）先解方程組得點P坐標，再根據(jù)點到直線距離得結果；（2）根據(jù)夾角公式求所求直線斜率，再根據(jù)點斜式得結果.【題目詳解】(1)由得點P到直線的距離為（2）設所求直線斜率為，所以或，因此所求直線方程為或即或【題目點撥】本題考查點到直線距離、直線交點以及直線夾角公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18、（1）f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3【解題分析】分析：易得CE=EB=1cosθ，ED=tanθ，AE=3-tanθ，f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3.(2)求導f'(θ)=-cos2詳解：(1)易得AD垂直平分BC，CD=BD=1則CE=EB=1cosθ，ED=于是f(θ)=1cosθ因為E在CD之間,所以0<θ<π故f(θ)=2-sinθ(2)f'(θ)=-cos2令f'(θ)=0,得sinθ=故當0<θ<π6，f'(θ)<0，當π6<θ<π3.,所以,當θ=π6時,f(θ)答:當∠DCE=π6時,f(θ)最小值為點睛：此題為三角函數(shù)的實際應用題，解題時要注意分析題目中的條件，常常跟正余弦定理，三角函數(shù)比值關系等幾何關系結合在一起考查，不難，但是綜合性強；第二問求最值如果不能轉化為三角函數(shù)求得最值，那就通過導數(shù)來分析.19、（1）；（2）．【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量和直線的斜向量，進而利用向量的夾角公式得到線面角的求解．（2）假設存在點滿足題意，然后利用向量的垂直關系，得到點的坐標．解：（1）作于，∵側面平面，則,,,,,∴,又底面的法向量設直線與底面所成的角為，則,∴所以，直線與底面所成的角為．（2）設在線段上存在點，設=，,則設平面的法向量令設平面的法向量令要使平面平面，則考點：本題主要是考查線面角的求解，以及面面垂直的探索性命題的運用．點評：解決該試題的關鍵是合理的建立空間直角坐標系，正確的表示點的坐標，得到平面的法向量和斜向量，進而結合數(shù)量積的知識來證明垂直