湖南省湖南師大附中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖南省湖南師大附中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進(jìn)行義務(wù)巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種2．某公司從甲、乙、丙、丁四名員工中安排了一名員工出國研學(xué).有人詢問了四名員工，甲說：“好像是乙或丙去了.”乙說：“甲、丙都沒去.”丙說：“是丁去了.”丁說：“丙說的不對.”若四名員工中只有一個人說的對，則出國研學(xué)的員工是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．下列隨機(jī)試驗的結(jié)果，不能用離散型隨機(jī)變量表示的是()A．將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點數(shù)之和B．某籃球運動員6次罰球中投進(jìn)的球數(shù)C．電視機(jī)的使用壽命D．從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)4．已知D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，則xy的取值范圍是A． B． C． D．5．函數(shù)f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．6．某研究機(jī)構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個變量和進(jìn)行統(tǒng)計分析時，得到如表數(shù)據(jù)．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點中任取一點，該點落在回歸直線下方的概率為（）468101212356A． B． C． D．7．在中，角的對邊分別是，若，則的值為（）A．1 B． C． D．8．證明等式時，某學(xué)生的證明過程如下（1）當(dāng)n=1時，，等式成立；（2）假設(shè)時，等式成立，即，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過程全都正確 B．當(dāng)n=1時驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確9．設(shè)，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件10．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，則的最小值為()A． B． C． D．11．若函數(shù)，則（）A． B． C． D．12．給出以下命題，其中真命題的個數(shù)是若“或”是假命題，則“且”是真命題命題“若，則或”為真命題已知空間任意一點和不共線的三點，若，則四點共面；直線與雙曲線交于兩點，若，則這樣的直線有3條；A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將集合的元素分成互不相交的三個子集：，其中,，，且，，則滿足條件的集合有__________個．14．在的二項展開式中，常數(shù)項的值為__________15．5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為______.16．乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是,甲贏得比賽的概率是,則的最大值為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．18．（12分）求證：19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點P(2,6)，且傾斜角為34π，在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度，以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線C與直線l交于點A,B，求|PA|+|PB|．20．（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線交于點，求的最小值及相應(yīng)的值.21．（12分）極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，求弦長|AB|．22．（10分）已知，定義.（1）求的值；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，根據(jù)排列組合進(jìn)行計算即可．【題目詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.【題目點撥】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配，屬于?？碱}型.2、A【解題分析】

逐一假設(shè)成立，分析，可推出。【題目詳解】若乙去，則甲、乙、丁都說的對，不符合題意；若丙去，則甲、丁都說的對，不符合題意；若丁去，則乙、丙都說的對，不符合題意；若甲去，則甲、乙、丙都說的不對，丁說的對，符合題意.故選A.【題目點撥】本題考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題。3、C【解題分析】分析：直接利用離散型隨機(jī)變量的定義逐一判斷即可.詳解：隨機(jī)取值的變量就是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量兩種，隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量，有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機(jī)變量稱為“離散型隨機(jī)變量”，題目中都屬于離散型隨機(jī)變量，而電視機(jī)的使用壽命屬于連續(xù)型隨機(jī)變量，故選C.點睛：隨機(jī)取值的變量就是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量兩種（變量分為定性和定量兩類，其中定性變量又分為分類變量和有序變量；定量變量分為離散型和連續(xù)型），隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量，本題考的離散型隨機(jī)變量.4、D【解題分析】

利用已知條件推出x+y＝1，然后利用x，y的范圍，利用基本不等式求解xy的最值．【題目詳解】解：D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，可得，x，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，并且，函數(shù)的開口向下，對稱軸為：，當(dāng)或時，取最小值，xy的最小值為：．則xy的取值范圍是：故選D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．5、C【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為有兩個不同的實數(shù)根即可求解.【題目詳解】因為f(x)=x3-x2+mx+1，所以，又因為函數(shù)f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的單調(diào)函數(shù),所以有兩個不同的實數(shù)解，可得，即實數(shù)m的取值范圍是，故選：C.【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為方程問題是解題的關(guān)鍵6、A【解題分析】分析：求出樣本點的中心，求出的值，得到回歸方程得到5個點中落在回歸直線下方的有（，共2個，求出概率即可．詳解：故，解得：，

則

故5個點中落在回歸直線下方的有，共2個，

故所求概率是，

故選A．點睛：本題考查了回歸方程問題，考查概率的計算以及樣本點的中心，是一道基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依據(jù)余弦定理列出關(guān)于角的關(guān)系式，化簡即得．【題目詳解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故選C.【題目點撥】本題主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等變換．8、A【解題分析】分析：由題意結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明方法考查所給的證明過程是否存在錯誤即可.詳解：考查所給的證明過程：當(dāng)時驗證是正確的，歸納假設(shè)是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過程中不存在任何的問題.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9、C【解題分析】試題分析：當(dāng)時，，當(dāng)一正一負(fù)時，，當(dāng)時，，所以，故選C．考點：充分必要條件．10、A【解題分析】分析：由，且，變形可得利用導(dǎo)數(shù)求其最值；詳解：，且a＋b＝1，∴．

令，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞增；令，解得此時函數(shù)單調(diào)遞減．

∴當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)取得極小值即最小值，點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬中檔題.11、A【解題分析】

首先計算，然后再計算的值.【題目詳解】,.故選A.【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)求值，屬于計算題型.12、C【解題分析】(1)若“或”是假命題，則是假命題p是真命題，是假命題是真命題，故且真命題,選項正確.(2)命題“若，則或”的逆否命題是若a=2,且b=3,則a+b=5.這個命題是真命題，故原命題也是真命題.（3）∵++=1，∴P，A，B，C四點共面，故（3）正確，（4）由雙曲線方程得a=2，c=3，即直線l：y=k（x﹣3）過雙曲線的右焦點，∵雙曲線的兩個頂點之間的距離是2a=4，a+c=2+3=5，∴當(dāng)直線與雙曲線左右兩支各有一個交點時，當(dāng)k=0時2a=4，則滿足|AB|=5的直線有2條，當(dāng)直線與實軸垂直時，當(dāng)x=c=3時，得，即=，即則y=±，此時通徑長為5，若|AB|=5，則此時直線AB的斜率不存在，故不滿足條件．綜上可知有2條直線滿足|AB|=5，故（4）錯誤，故答案為C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

分析：由可得，令，則，，，然后列舉出的值，從而可得結(jié)果.詳解：，所以，令，根據(jù)合理安排性，集合的最大一個元素，必定為：，則，又，，①當(dāng)時，同理可得.②當(dāng)時，同理可得或，綜上，一共有種，故答案為.點睛：本題考查主要考查集合與元素的關(guān)系，意在考查抽象思維能力，轉(zhuǎn)化與劃歸思想，分類討論思想應(yīng)用，屬于難題.解得本題的關(guān)鍵是首項確定，從而得到，由此打開突破點.14、15【解題分析】

寫出二項展開式通項，通過得到，從而求得常數(shù)項.【題目詳解】二項展開式通項為：當(dāng)時，常數(shù)項為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、240.【解題分析】

先把5本書取出兩本看做一個元素，這一元素和其他的三個元素分給四個同學(xué)，相當(dāng)于在四個位置全排列，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)果.【題目詳解】從5本書中取出兩本看做一個元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個元素分給四個同學(xué)共有種不同的分法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的分法.故答案為：240【題目點撥】本題主要考查了排列組合的綜合應(yīng)用，分步乘法計數(shù)原理，屬于中檔題.16、【解題分析】分析：采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：甲凈勝二局，前二局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝，由此能求出甲勝概率；進(jìn)而求得的最大值.詳解：采用三局兩勝制，

則甲在下列兩種情況下獲勝：（甲凈勝二局），（前二局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝）．因為與互斥，所以甲勝概率為則設(shè)即答案為.，注意到，則函數(shù)在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，最大值為即答案為.點睛：本題考查概率的求法和應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2），最小值為?1．【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通項公式；（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得Sn=n2-8n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得Sn的最小值.【題目詳解】（I）設(shè)的公差為d，由題意得．由得d=2．所以的通項公式為．（II）由（I）得．所以當(dāng)n=4時，取得最小值，最小值為?1．【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項的和公式，考查了等差數(shù)列前n項和的最值問題；求等差數(shù)列前n項和的最值有兩種方法：①函數(shù)法，②鄰項變號法.18、證明見解析．【解題分析】試題分析：此題證明可用分析法，尋找結(jié)論成立的條件，由于不等式兩邊均為正，因此只要證，化簡后再一次平方可尋找到?jīng)]有根號，易知顯然成立的式子，從而得證．試題解析：證明：因為都是正數(shù)，所以為了證明只需證明展開得即因為成立，所以成立即證明了【題目點撥】(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證.19、（1）x=2-22ty=6+2【解題分析】試題分析：（1）將代入直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程x=x0+tcosθy=y0+tsinθ，便可求得參數(shù)方程，利用二倍角公式對試題解析：（1）因為直線l過點P(2,6)，且傾斜角為3π4所以直線l的參數(shù)方程為x=2-22t由ρ=20sin(π所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得(-3-22t)Δ=82