高考數學真題分類匯編 專題03 函數概念與基本初等函數 文（含解析）-人教版高三數學試題

專題03函數概念與基本初等函數

歷年考題細目表題型年份考點試題位置單選題2019函數的單調性2019年北京文科03單選題2018函數模型2018年北京文科05單選題2017函數的周期性2017年北京文科05單選題2017對數函數2017年北京文科08單選題2016函數的單調性2016年北京文科04單選題2016函數模型2016年北京文科08單選題2015函數的奇偶性2015年北京文科03單選題2015函數模型2015年北京文科08單選題2014函數的單調性2014年北京文科02單選題2014函數零點存在定理2014年北京文科06單選題2014函數模型2014年北京文科08單選題2013函數的奇偶性2013年北京文科03單選題2012函數零點存在定理2012年北京文科05單選題2012函數的定義2012年北京文科08單選題2011對數函數2011年北京文科03單選題2010函數的單調性2010年北京文科06填空題2017函數的值域2017年北京文科11填空題2016函數的值域2016年北京文科10填空題2016函數模型2016年北京文科14填空題2015對數函數2015年北京文科10填空題2014函數模型2014年北京文科14填空題2013分段函數2013年北京文科13填空題2012對數函數2012年北京文科12填空題2012指數函數2012年北京文科14填空題2011分段函數2011年北京文科13填空題2011函數模型2011年北京文科14填空題2010分段函數2010年北京文科09填空題2010函數模型2010年北京文科14

歷年高考真題匯編1．【2019年北京文科03】下列函數中，在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝logx D．y【解答】解：在（0，+∞）上單調遞增，和在（0，+∞）上都是減函數．故選：A．

2．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻，十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為：．故選：D．

3．【2017年北京文科05】已知函數f（x）＝3x﹣（）x，則f（x）（）A．是偶函數，且在R上是增函數 B．是奇函數，且在R上是增函數 C．是偶函數，且在R上是減函數 D．是奇函數，且在R上是減函數【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函數f（x）為奇函數，又由函數y＝3x為增函數，y＝（）x為減函數，故函數f（x）＝3x﹣（）x為增函數，故選：B．

4．【2017年北京文科08】根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080，則下列各數中與最接近的是（）（參考數據：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【解答】解：由題意：M≈3361，N≈1080，根據對數性質有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故選：D．

5．【2016年北京文科04】下列函數中，在區(qū)間（﹣1，1）上為減函數的是（）A．y B．y＝cosx C．y＝ln（x+1） D．y＝2﹣x【解答】解：A．x增大時，﹣x減小，1﹣x減小，∴增大；∴函數在（﹣1，1）上為增函數，即該選項錯誤；B．y＝cosx在（﹣1，1）上沒有單調性，∴該選項錯誤；C．x增大時，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上為增函數，即該選項錯誤；D.；∴根據指數函數單調性知，該函數在（﹣1，1）上為減函數，∴該選項正確．故選：D．

6．【2016年北京文科08】某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段，表中為10名學生的預賽成績，其中有三個數據模糊．學生序號12345678910立定跳遠（單位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩（單位：次）63a7560637270a﹣1b65在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則（）A．2號學生進入30秒跳繩決賽 B．5號學生進入30秒跳繩決賽 C．8號學生進入30秒跳繩決賽 D．9號學生進入30秒跳繩決賽【解答】解：∵這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，故編號為1，2，3，4，5，6，7，8的學生進入立定跳遠決賽，又由同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則3，6，7號同學必進入30秒跳繩決賽，剩下1，2，4，5，8號同學的成績分別為：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人進入30秒跳繩決賽，故成績?yōu)?3的同學必進入30秒跳繩決賽，故選：B．

7．【2015年北京文科03】下列函數中為偶函數的是（）A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|lnx| D．y＝2﹣x【解答】解：對于A，（﹣x）2sin（﹣x）＝﹣x2sinx；是奇函數；對于B，（﹣x）2cos（﹣x）＝x2cosx；是偶函數；對于C，定義域為（0，+∞），是非奇非偶的函數；對于D，定義域為R，但是2﹣（﹣x）＝2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函數；故選：B．

8．【2015年北京文科08】某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為（）A．6升 B．8升 C．10升 D．12升【解答】解：由表格信息，得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，所以該車每100千米平均耗油量48÷6＝8；故選：B．

9．【2014年北京文科02】下列函數中，定義域是R且為增函數的是（）A．y＝e﹣x B．y＝x C．y＝lnx D．y＝|x|【解答】解：A．函數的定義域為R，但函數為減函數，不滿足條件．B．函數的定義域為R，函數增函數，滿足條件．C．函數的定義域為（0，+∞），函數為增函數，不滿足條件．D．函數的定義域為R，在（0，+∞）上函數是增函數，在（﹣∞，0）上是減函數，不滿足條件．故選：B．

10．【2014年北京文科06】已知函數f（x）log2x，在下列區(qū)間中，包含f（x）零點的區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵f（x）log2x，∴f（2）＝2＞0，f（4）0，滿足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在區(qū)間（2，4）內必有零點，故選：C．

11．【2014年北京文科08】加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數關系p＝at2+bt+c（a，b，c是常數），如圖記錄了三次實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為（）A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘【解答】解：將（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分別代入p＝at2+bt+c，可得，解得a＝﹣0.2，b＝1.5，c＝﹣2，∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，對稱軸為t3.75．故選：B．

12．【2013年北京文科03】下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減的是（）A． B．y＝e﹣x C．y＝lg|x| D．y＝﹣x2+1【解答】解：A中，y為奇函數，故排除A；B中，y＝e﹣x為非奇非偶函數，故排除B；C中，y＝lg|x|為偶函數，在x∈（0，1）時，單調遞減，在x∈（1，+∞）時，單調遞增，所以y＝lg|x|在（0，+∞）上不單調，故排除C；D中，y＝﹣x2+1的圖象關于y軸對稱，故為偶函數，且在（0，+∞）上單調遞減，故選：D．

13．【2012年北京文科05】函數f（x）（）x的零點個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函數f（x）的定義域為[0，+∞）∵y在定義域上為增函數，y在定義域上為增函數∴函數f（x）在定義域上為增函數而f（0）＝﹣1＜0，f（1）0故函數f（x）的零點個數為1個故選：B．

14．【2012年北京文科08】某棵果樹前n年的總產量Sn與n之間的關系如圖所示．從目前記錄的結果看，前m年的年平均產量最高，則m的值為（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：若果樹前n年的總產量S與n在圖中對應P（S，n）點則前n年的年平均產量即為直線OP的斜率由圖易得當n＝9時，直線OP的斜率最大即前9年的年平均產量最高，故選：C．

15．【2011年北京文科03】如果xy＜0，那么（）A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：不等式可化為：又∵函數的底數01故函數為減函數∴x＞y＞1故選：D．

16．【2010年北京文科06】給定函數①，②，③y＝|x﹣1|，④y＝2x+1，其中在區(qū)間（0，1）上單調遞減的函數序號是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【解答】解：①是冪函數，其在（0，+∞）上即第一象限內為增函數，故此項不符合要求；②中的函數是由函數向左平移1個單位長度得到的，因為原函數在（0，+∞）內為減函數，故此項符合要求；③中的函數圖象是由函數y＝x﹣1的圖象保留x軸上方，下方圖象翻折到x軸上方而得到的，故由其圖象可知該項符合要求；④中的函數圖象為指數函數，因其底數大于1，故其在R上單調遞增，不合題意．故選：B．

17．【2017年北京文科11】已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，則x2+y2的取值范圍是．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，則x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，則令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函數的對稱軸為：x，開口向上，所以函數的最小值為：f（）．最大值為：f（1）＝2﹣2+1＝1．則x2+y2的取值范圍是：[，1]．故答案為：[，1]．

18．【2016年北京文科10】函數f（x）（x≥2）的最大值為．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上單調遞減；∴x＝2時，f（x）取最大值2．故答案為：2．

19．【2016年北京文科14】某網店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網店①第一天售出但第二天未售出的商品有種；②這三天售出的商品最少有種．【解答】解：①設第一天售出商品的種類集為A，第二天售出商品的種類集為B，第三天售出商品的種類集為C，如圖，則第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16種；②由①知，前兩天售出的商品種類為19+13﹣3＝29種，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14種，當這14種商品第一天售出但第二天未售出的16種商品中時，即第三天沒有售出前兩天的商品時，這三天售出的商品種類最少為29種．故答案為：①16；②29．

20．【2015年北京文科10】2﹣3，，log25三個數中最大數的是．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，12，log25＞log24＝2，則三個數中最大的數為log25．故答案為：log25．

21．【2014年北京文科14】顧客請一位工藝師把A，B兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項任務，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由師傅進行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：工序時間原料粗加工精加工原料A915原料B621則最短交貨期為個工作日．【解答】解：由題意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由師傅利用21天完成精加工，與此同時，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由師傅利用15天完成精加工，故最短交貨期為6+21+15＝42個工作日．故答案為：42．

22．【2013年北京文科13】函數f（x）的值域為．【解答】解：當x≥1時，f（x）；當x＜1時，0＜f（x）＝2x＜21＝2．所以函數的值域為（﹣∞，2）．故答案為（﹣∞，2）．

23．【2012年北京文科12】已知函數f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，則f（a2）+f（b2）＝．【解答】解：∵函數f（x）＝lgx，f（ab）＝lg（ab）＝1，f（a2）+f（b2）＝lga2+lgb2＝lg（ab）2＝2lg（ab）＝2．故答案為：2．

24．【2012年北京文科14】已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2．若?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，則m的取值范圍是．【解答】解：∵g（x）＝2x﹣2，當x≥1時，g（x）≥0，又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴此時f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1時恒成立則由二次函數的性質可知開口只能向下，且二次函數與x軸交點都在（1，0）的左面則∴﹣4＜m＜0故答案為：（﹣4，0）

25．【2011年北京文科13】已知函數若關于x的方程f（x）＝k有兩個不同的實根，則數k的取值范圍是．【解答】解：函數的圖象如下圖所示：由函數圖象可得當k∈（0，1）時方程f（x）＝k有兩個不同的實根，故答案為：（0，1）

26．【2011年北京文科14】設A（0，0），B（4，0），C（t+4，3），D（t，3）（t∈R）．記N（t）為平行四邊形ABCD內部（不含邊界）的整點的個數，其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點，則N（0）＝，N（t）的所有可能取值為．【解答】解：當t＝0時，平行四邊形ABCD內部的整點有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共6個點，所以N（0）＝6作出平行四邊形ABCD將邊OD，BC變動起來，結合圖象得到N（t）的所有可能取值為6，7，8故答案為：6；6，7，8

27．【2010年北京文科09】已知函數y，如圖表示的是給定x的值，求其對應的函數值y的程序框圖，①處應填寫；②處應填寫．【解答】解：由題目可知：該程序的作用是計算分段函數y的值，由于分段函數的分類標準是x是否大于2，而滿足條件時執(zhí)行的語句為y＝2﹣x，易得條件語句中的條件為x＜2不滿足條件時②中的語句為y＝log2x故答案為：x＜2，y＝log2x．

28．【2010年北京文科14】（北京卷理14）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動．設頂點P（x，y）的軌跡方程是y＝f（x），則f（x）的最小正周期為；y＝f（x）在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為說明：“正方形PABC沿X軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動．沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續(xù)．類似地，正方形PABC可以沿x軸負方向滾動．【解答】解：不難想象，從某一個頂點（比如A）落在x軸上的時候開始計算，到下一次A點落在x軸上，這個過程中四個頂點依次落在了x軸上，而每兩個頂點間距離為正方形的邊長1，因此該函數的周期為4．下面考察P點的運動軌跡，不妨考察正方形向右滾動，P點從x軸上開始運動的時候，首先是圍繞A點運動個圓，該圓半徑為1，然后以B點為中心，滾動到C點落地，其間是以BP為半徑，旋轉90°，然后以C為圓心，再旋轉90°，這時候以CP為半徑，因此最終構成圖象如下：故其與x軸所圍成的圖形面積為．故答案為：4，π+1．

考題分析與復習建議本專題考查的知識點為：函數，函數的單調性與最值，函數的奇偶性與周期性，冪函數與二次函數，指數函數，對數函數，分段函數，函數的圖象，函數與方程等.歷年考題主要以選擇填空題型出現，重點考查的知識點為：函數的單調性與最值，函數的奇偶性與周期性，指數函數，對數函數，分段函數，函數的圖象，函數與方程等.預測明年本考點題目會比較穩(wěn)定，備考方向以知識點函數的單調性與最值，函數的奇偶性與周期性，指數函數，對數函數，分段函數，函數的圖象，函數與方程等為重點較佳.最新高考模擬試題

1．已知是定義域為[a，a+1]的偶函數，則＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵f（x）在[a，a+1]上是偶函數，∴﹣a＝a+1?a，所以f（x）的定義域為[，]，故：f（x）x2﹣bx+1，∵f（x）在區(qū)間[，]上是偶函數，有f（）＝f（），代入解析式可解得：b＝0；∴．故選：B．2．已知函數的定義域為,為偶函數,且對,滿足.若,則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為對,滿足，所以當時，是單調遞減函數，又因為為偶函數，所以關于對稱，所以函數當時，是增函數，又因為，所以有，當時，即當時，當時，即當時，，綜上所述：不等式的解集為，故本題選A.3．函數的單調減區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數,所以或，所以函數的定義域為或，當時，函數是單調遞減，而，所以函數的單調減區(qū)間為，故本題選A。4．已如定義在上的函數的周期為6．且，則（）A．11 B． C．7 D．【答案】A【解析】根據的周期是6，故，，所以,故選A.5．下列函數中，既是偶函數又在（0，+∞）單調遞增的函數是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據題意，依次分析選項：對于A，y=x3為冪函數，是奇函數，不符合題意，對于B，y=|x-1|，不是奇函數，不符合題意；對于C，y=|x|-1，既是偶函數又在（0，+∞）單調遞增的函數，符合題意；對于D，y=，為指數函數，不是偶函數，不符合題意；故選：C．6．設函數則下列結論中正確的是()A．對任意實數，函數的最小值為B．對任意實數，函數的最小值都不是C．當且僅當時，函數的最小值為D．當且僅當時，函數的最小值為【答案】D【解析】因為，所以，當時，單調遞增，此時；當時，；（1）若，則，此時值域為，無最小值；（2）若，則，此時的值域為；此時，最小值為.故選D7．已知是偶函數，在上單調遞減，，則的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是偶函數，所以關于直線對稱；因此，由得；又在上單調遞減，則在上單調遞增；所以，當即時，由得，所以，解得；當即時，由得，所以，解得；因此，的解集是.8．設函數，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數，則，所以，故選C.9．已知函數的圖象關于直線對稱，則函數的值域為()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵函數的圖象關于直線對稱∴，即，∴，整理得恒成立，∴，∴，定義域為．又，∵時，，∴，∴函數的值域為．故選D．10．已知函數是上的偶函數，且對任意的有，當時，，則（）A．11 B．5 C．-9 D．-1【答案】C【解析】；；的周期為6；又是偶函數，且時，；（8）（2）．故選：．11．已知函數，若對任意，總存在，使，則實數a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對任意，則，即函數的值域為，若對任意，總存在，使，設函數的值域為A，則滿足，即可，當時，函數為減函數，則此時，當時，，①當時，（紅色曲線），即時，滿足條件，②當時，此時，要使成立，則此時，此時滿足（藍色曲線），即，得，綜上或，故選：C．12．已知函數，若方程f（x）＝a有四個不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，則的取值范圍為（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）【答案】B【解析】作函數f（x）的圖象如圖所示，∵方程f（x）＝a有四個不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2關于x＝﹣1對稱，即x1+x2＝﹣2，0＜x3＜1＜x4，則|log2x3|＝|log2x4|，即﹣log2x3＝log2x4，則log2x3+log2x4＝0，即log2x3x4＝0，則x3x4＝1；當|log2x|＝1得x＝2或，則1＜x4≤2；≤x3＜1；故；則函數y＝﹣2x3+，在≤x3＜1上為減函數，則故當x3＝取得y取最大值y＝1，當x3＝1時，函數值y=﹣1．即函數取值范圍是（﹣1，1]．故選：B．13．已知定義在實數集上的函數的圖象經過點，且滿足，當時不等式恒成立，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】,所以函數f(x)是偶函數，因為時不等式恒成立，所以函數f(x)在（0，+）上是增函數，在（-上是減函數，因為，所以.故選：A14．已知，則是（）A．偶函數，且在是增函數 B．奇函數，且在是增函數C．偶函數，且在是減函數 D．奇函數，且在是減函數【答案】C【解析】由，得，故函數的定義域為，關于原點對稱，又，故函數為偶函數，而，因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，故函數在上單調遞減，故選C.15．已知與函數關于點(，0)對稱，與函數關于直線對稱，若對任意，存在使成立，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意得：，，設，，，所以在單調遞增，所以，故原題等價于存在使得，，，故只需，而在上單調遞減，而，所以，故選.16．函數的定義域都為，且是奇函數，是偶函數，設，則下列結論中正確的是（）A．的圖象關于對稱 B．的圖象關于對稱C．的圖象關于對稱 D．的圖象關于對稱【答案】D【解析】首先考查函數，其定義域為，且，則函數為偶函數，其圖像關于軸對稱，將的圖像向左平移一個單位可得函數的圖像，據此可知的圖象關于對稱.故選：D.17．偶函數在上遞增，且，，大小為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，又在上遞增，所以，選C.18．設函數，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出的圖象，可得的最小值為，令，考慮的解，考慮與的圖像的交點情況，如圖所示故，下面考慮的解，如圖所示，可得或．故選D.19．設函數，則使成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據題意，函數，則，即函數為偶函數，又，當時，有，即函數在上為增函數，，解得或，即的取值范圍為；故選D．20．已知函數的定義域為，對于定義域內任意，，則函數的零點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據題意，對任意的，都有，又由是定義在上的單調函數，則為定值，設，則，又由，∴，所以，所以，所以，因為，所以零點所在的區(qū)間為（3，4）.21．已知函數是奇函數，當時，，則的值為______【答案】【解析】=，，函數是奇函數，所以的值為。22．設函數，若，則_______．【答案】【解析】當時，，而，故舍去；當時，，所以.23．函數圖象的對稱中心為_____【答案】【解析】由題意設對稱中心的坐標為，則有對任意均成立，代入函數解析式得，整理得到：，整理得到對任意