計算機控制系統(tǒng)習(xí)題及部分習(xí)題解答

習(xí)題及部分習(xí)題解答

第1章習(xí)題

1-1舉例說明2?3個你熟悉的計算機控制系統(tǒng)，并說明與常規(guī)連續(xù)模擬控制系統(tǒng)相比的優(yōu)

點。

1-2利用計算機及接口技術(shù)的知識，提出一個用同一臺計算機控制多個被控參量的分時巡

回控制方案。

1-3題圖1-3是模擬式雷達天線俯仰角位置伺服控制系統(tǒng)原理示意圖，試把該系統(tǒng)改造為

計算機控制系統(tǒng)，畫出原理示意圖及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

題圖1-3模擬式雷達天線俯仰角位置伺機控制系統(tǒng)原理示意圖

1-4水位高度控制系統(tǒng)如題圖1-4所示。水箱水位高度指令由四電位計指令電壓如確定,

水位實際高度人由浮子測量，并轉(zhuǎn)換為電位計卬2的輸出電壓血。用水量為系統(tǒng)

干擾。當(dāng)指令高度給定后，系統(tǒng)保持給定水位，圳打開放水管路后，水位下降，系統(tǒng)

將控制電機，打開進水閥門，向水箱供水，最終保持水箱水位為指令水位。試把該系

d-1

1-5題圖1-5為一機械手控制系統(tǒng)示意圖。將其控制器改造為計算機實現(xiàn)，試畫出系統(tǒng)示

意圖及控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

題圖1-5機械手控制系統(tǒng)示意圖功率放大

1-6現(xiàn)代飛機普遍采用數(shù)字式自動駕駛儀穩(wěn)定飛機的俯仰角、滾轉(zhuǎn)角和航向角。連續(xù)模擬

式控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如題圖1-6所示。圖中所有傳感器、舵機及指令信號均為連續(xù)

模擬信號。試把該系統(tǒng)改造為計算機控制系統(tǒng)，畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

題圖1-6飛機連續(xù)模擬式姿態(tài)角控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

第2章習(xí)題

2-1下述信號被理想采樣開關(guān)采樣，采樣周期為T,試寫出采樣信號的表達式。

(1)/(?)=1(0(2)f(t)=te-a,⑶/(—n(m)

解：

⑴r?)=￡i(仃)叫一4)；

火=0

(2)/*?)=￡(b)

*=0

2-2已知人力的拉氏變換式F(s),試求采樣信號的拉氏變換式U(s)(寫成閉合形式)。

d-2

11

⑴尸(s)=⑵F(S)=

s(s+1)(s+l)(s+2)

解:

(1)首先進行拉氏反變換，得了⑺=l-eL

F飛)=Nf(kT)eTT，=￡(1一eW)e-",=￡ewe-kT(s+l)

A=0A=0k=Qk=G

因為^ekTs=l+e-Ts+e-2Ts+……=」元，k一[<1,(依等比級數(shù)公式)

k=o1-e

類似，￡”*"+次=—P(J+,,I<1,所以有

a—311

7r

F⑶=T77,

2-3試分別畫出及其采樣信號廣⑺的幅頻曲線(設(shè)采樣周期T=O.ls)。

解：連續(xù)函數(shù)/⑺=50-巾的頻率特性函數(shù)為：F(?=--—

10+jco

連續(xù)幅頻曲線可以用如下MATLAB程序繪圖:

step=0.1;

Wmax=100;

w2=-Wmax;

y2=5*abs(l/(10+w2*i));

W=[w2];Y=[y2];

forw="Wmax:stcp:Wmax

y=5*abs(l/(10+w*i));

W=[W,w];Y=[Y,y];

plot(W,Y);axis([-WmaxWmax00.6])

grid

結(jié)果如圖2-3-1所示。

圖2-3-1

d-3

該函數(shù)的采樣信號幅頻譜數(shù)學(xué)表達式為

="￡F（jco+jna）s）

*n=-a>

1產(chǎn),1

|尸（/g）卜7E（汝+加例）卜/Z|F（j0+/〃4）l

/“=-c?/n=-N

顯然，采用的項數(shù)N越大，則計算得到的值越逼近于實際值。這里采用N=9來進行

計算。采樣幅頻曲線可以用如下MATLAB程序繪圖：

T=0.1;%采樣周期

ws=2*pi/T;%采樣頻率

num=50;%每個采樣周期的計算點數(shù)

step=ws/num;%計算步長

Wmax=150;%畫圖顯示的頻率范圍

GW=4*Wmax;%計算的頻率范圍

g0=(l/T)*5*abs(I/(l+10*GW*i));G(X)=|gO];

g0=(l/T)*5*abs(l/(10+(GW+ws)*i));G1l=[gO];

gO=(l/T)*5*abs(l/(IO+(GW-ws)*i));G12=[g0];

g0=(l/T)*5*abs(l/(10+(GW+2*ws)*i));G21=[gO];

g0=(l/T)*5*abs(l/(10+(GW-2*ws)*i));G22=[g0];

gO=(l/T)*5*abs(l/(l0+(GW+3*ws)*i));G31=[gO];

g0=(I/T)*5*abs(l/(10+(GW-3*ws)*i));G32=|gO];

gO=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+4*ws)*i));G41=[g0];

g0=(l/T)*5*abs(l/(10+(GW-4*ws)*i));G42=[g0];

g0=(l/T)*5*abs(l/(10+(GW+5*ws)*i));G51=[gO];

gO=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-5*ws)*i));G52=[gO];

gO=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+6*ws)*i));G61=[gO];

gO=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-6*ws)*i));G62=[gOJ;

g0=(l/T)*5*abs(l/(10+(GW+7*ws)*i));G71=[g0];

g0=(l/T)*5*abs(l/(10+(GW-7*ws)*i));G72=[gOJ;

gO=(1/T)*5*abs(l/(10+(GW+8*ws)*i));G81=[gO];

g0=(l/T)*5*abs(l/(10+(GW-8*ws)*i));G82=[gO];

g0=(l/T)*5*abs(l/(10+(GW+9*ws)*i));G91=[g0];

gO=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-9*ws)*i));G92=[g0];

其余類似，最后可得，結(jié)果如圖2-3-2所示。

圖2-3-2

d-4

2-4若數(shù)字計算機的輸入信號為/⑺=5eT°',試根據(jù)采樣定理選擇合理的采樣周期T,設(shè)

信號中的最高頻率為CDm定義為|F（W"）|=0.1歸（0）|。

解：F（5）=^—；尸（汝）=―--；

5+10>+10

所以有)§=0.1.(0)|=奧9=0.05,

向而11io

0.052(0、+1。2)=25

由此可得可皿=99.5；

依采樣定理得:3,>2。1rax=199rad/So

2-5已知信號x=Acos（0Q,試畫出該信號的頻譜曲線以及它通過采樣器和理想濾波器以

后的信號頻譜。設(shè)采樣器的采樣頻率分別為4助，1.5劭，和劭這3種情況。解釋本

題結(jié)果。

解：cos（<wQ的頻譜為脈沖，如題圖2-5-1所示。

當(dāng)采樣頻率例=4例時，采樣頻譜如題圖2-5-1所示。由于滿足采樣定理，通過理想濾波

器后，可以不失真恢復(fù)原連續(xù)信號。（見題圖2-5-2）

**。幼(o(rad/s)

,(網(wǎng)

A.2T

廠（網(wǎng)

一例"例牡（（）

oradIsrfT：8,=4缶

3t(Ojl6)(rad/s)

1尸(W)|

：?￥

to,=1.5y

ti>(ratl/.v)

|r（a）|

<凡=

a)(rad/s)

題圖2-5-1題圖2-5-2

當(dāng)采樣頻率g=1.5例時，采樣頻譜如題圖2-5-1所示。山于不滿足采樣定理，采樣頻

d-5

率發(fā)生折疊，當(dāng)通過理想濾波器后，只保留了折疊后的低頻信號，其頻率為

1.52一例=0.52。（見題圖2-5-2）

當(dāng)采樣頻率色逆寸，采樣頻譜如題圖2-5-1所示。由于不滿足采樣定理，采樣頻率發(fā)

生折疊，折疊后的低頻信號位于6=0處，當(dāng)通過理想濾波器后，只保留了折疊后的低頻信

號，其頻率為3=0,即直流信號。（見題圖2-5-2）

2-6已知信號》=4??（0"）,通過采樣頻率。,=3外的采樣器以后.又由零階保持器恢復(fù)

成連續(xù)信號，試畫出恢復(fù)以后信號的頻域和時域曲線；當(dāng)4=10回時，情況又如何?

比較結(jié)果。

解：本題信號的頻譜為脈沖，如題圖2-6（a）所示。

\F<j<4

1_￡_

用0例（o[rad!s）

3、9。]11?19?[（o{radis）

Cel

題圖2-6

該信號通過采樣頻率以=3〃的采樣器，又由零階保持器恢復(fù)成連續(xù)信號，該恢復(fù)信號

的頻域頻譜如圖2-6（b）所示。

該信號通過采樣頻率4=102的采樣器，又由零階保持器恢復(fù)成連續(xù)信號，該恢復(fù)信號

的頻域頻譜如圖2-6（c）所示。

結(jié)果表明，當(dāng)采樣頻率較低時，零階保持器輸出階梯較大，高頻分量較大。

d-6

2-7已知信號工=$山⑺和y=sin(4f),若4=1,3,4,試求各采樣信號的及y(kT)，并說明

由此結(jié)果所得結(jié)論。

解：x(kT)=sin(^T)=sin(2或/a)s)；y(kT)=sin(4^T)=sin(8^/g)

CDS-\,x(kT)=sin(2點/g)=sin(2萬%)=0；y(kT)=sin(8放)=0

(DS=3,x(AT)=sin(2或/處)=sin(2i4/3)；

y(kT)=sin(4ZT)=sin(8;rk/4)=sin(8)k/3)=sin(2^+2^/3)=sin(2^/3)。

CDS=4,x(kT)=sin(212/%)=sin(2或/4)=sin(萬k/2)；

y(kT)=sin(4k7)=sin(8劃:/cos)=sin(8?k/4)=sin(2成)

結(jié)果表明，不滿足采樣定理，高頻信號將變?yōu)榈皖l信號。

2-8試證明ZOH傳遞函數(shù)G?(s)=匕/中的s=0不是G/,(s)的極點，而Y(s)=上=

SS

中，只有一個單極點s=0。

sT

葉叫「/、l-e-1—(1TT+(—ST)2/2+???TP

證明：G力(S)=------n----------------=T---+…?

ss2

\--ST

可見，ZOH傳遞函數(shù)G/s)=/e^中的5=0不是G,G)的極點，表明該傳遞函數(shù)

S

實際上不存在積分環(huán)節(jié)。

類同的方法可以證明y(s)="二只有一個5=0極點。

S

2-9若已知加)=cos(M)的采樣信號拉氏變換尸(s)=—l-cos(W)「,試問

\-2cos(coT)e+e

例=包例=4。時，F(xiàn)*(s)=?,并就所得結(jié)果進行說明。

2-10若尸(s)=l/s,試由此證明，s=±力“4均為尸(s)的極點⑺為正整數(shù))，并說明尸⑶

的零點與F(s)零點的關(guān)系。

2-11若飛機俯仰角速度信號磔測試得到的頻譜如題圖2-11所示，若采樣周期T=0.0125s,

試畫出采樣信號COz*的頻譜圖形，由此可得什么結(jié)論。

d-7

M，s)|

2-12若連續(xù)信號的頻譜如題圖2-12所示，若采樣頻率分別為4>2牡,4=2牡，4<2々

時，試畫出采樣信號的頻譜。

題圖2-12連續(xù)信號的頻譜

2-13若信號/(f)=cosqf被理想采樣開關(guān)采樣，并通過零階保持器，試畫出零階保持器輸

出信號的頻譜。假定例分別大于和小于奈奎斯特頻率必。

2-14若/⑺=5sin3f加到采樣-零階保持器上，采樣周期7=7/6。

(1)該保持器在s3rad/s處有一輸出分量，試求它的幅值與相位；

(2)對al5rad/s、赤27rad/s,重復(fù)上述計算。

2-15己知采樣周期T=0.5s,試問在系統(tǒng)截止頻率@=2rad/s處，零階保持器所產(chǎn)生的相移為

多少？若使零階保持器所產(chǎn)生的相移為-5°,試問應(yīng)取多大的采樣周期。

2-16已知連續(xù)信號x(，)=sin(劭f),@,=4劭，試畫出題圖2-16上A、B、C點的波形圖。

ZOH

圖2-16采樣——保持示意圖

2-17已知連續(xù)信號〃f)=cos(50f),采樣頻率例=50md/s,試說明該信號采樣后又通過

零階保持器后，恢復(fù)為一直流信號。

2-18一階保持器在數(shù)學(xué)仿真中常有應(yīng)用，試推導(dǎo)一階保持器的傳遞函數(shù)。

第3章習(xí)題

3-1求下列各連續(xù)函數(shù)的采樣信號的拉普拉斯變換式(寫成閉合形式)。

d-8

(l)/(r)=K?)⑵/⑺="

產(chǎn)一iJTs

<rsgA1

解：⑴尸(s)=￡l-eS=1+"〃+e+????=-~~—=>75_.J|<

A=O1-ee—1

ooiTs

TTs2T2TsTTs

⑵F(i)=Z[a']=t產(chǎn)泮'=1+ae-+ae-+-■-=—J=,\ae-I<1

金\-aTe-TseTs-aT11

3-2根據(jù)z變換定義，求3-1題各函數(shù)的z變換，并與3-1題的結(jié)果相比較。

⑴尸(z)=￡l-z"‘=1+Z-I+Z~2+----=11=-^-,|z~'|<l；

k=o1-ZZ—1

(2)F(z)=VaArz**=l+arz*'+a2Tz"2+???="—=~^r,|aTz-l|<l

Ml-azz-a11

3-3試用z變換定義求下列脈沖序列的z變換。

(1)/⑹=0,>0,1,-⑵/⑹=1,—1,1,—1廣?

解：(1)F(z)=Yf(kT)z-k=z-1+z-3+z-5+???=^2-<2i-,)==-^―

k=04=1\-Z-Z-1

3-4利用z變換性質(zhì)求下列函數(shù)的Z變換。

(1)/(/)=/⑵/⑺=7(5)⑶/。)=產(chǎn)(4)/(/)="

解：(1)2用=2小1(。]=2伙7]=￡"尸=￡"2*吆=￡(—7)；(2一人火

太=0*=0k=0dz

f-喂囪V)

A=O呢azt=o

依微分定理，進一步可得

Tz

z

⑺一+“gr曙一囁骨)r擊("I)?

Z|r-l(r-T)]=-Tz4-(z-，zTz

⑵(z-1)=(z-l)2

az

⑶Z[t2j=￡kTz-k=1吃(一1)二叱)=-T?二比y

*=ohodzjt=o

-T2Z—[^-^]=T2Z{Z+^

dz(z-1)2(z-1)3

3-5利用不同方法求卜列函數(shù)的z反變換。

Z(1-e")zz

(l)F(z)=(2)F(z)=------J(3)F(z)=----------?

z-0.5(zT)(z—e)(12)(zT廠

d-9

解：(1)查表，/(A)=OS,/*(f)=￡o.5*S(f-kT)

k=0

(3)11

4(711)”士,查表可得

z-1a-i)2

f(kT)=2k-l-k,r⑺=￡⑵-1—k)3(t-kT)

A=0

3-6試確定下列函數(shù)的初值及終值。

⑴E(z)=⑵七⑵二

(z—0.5)(z—1)a-o.8)u-o.i)

解：

--z2

(1)初值e(O)=limE(z)=lim------------=1

一gzf8a_o.5)(z-1)

2

終值e(a>)=lim(z-l)￡(z)=lim(z-1)------------=2

zfzri(z-0.5)(z-l)

3-7用z變換法求解下列差分方程。

(l)c(k+1)-bc(k)=r(k),已知輸入信號r(k)=a”,初始條件c(0)=0。

(2)c(k+2)+4c(k+1)+3c(&)=2k,已知初始條件c(0)=c(l)=0。

(3)c(k+2)+5c(k+1)+6c(k)=0,已知初始條件c(0)=0,c(l)=1?

求C(A)o

解：

(1)對差分方程進行z變換，得

(z-b)C(z)=—,所以，C(z)=-----------=—^―(―-----—)-

Z-a(z-a)(z-6)(a-b)z-az-b

z反變換，得c(k)=」一(/-〃)

a-b

(2)對差分方程進行z變換，得

a』z+3)C⑵=內(nèi)助=言'C(z)=d"+3),

C(z)2ABCD

----■--------------------------卜------卜-----+------

z(z—l)~(z+l)(z+3)(z—1)~(z-1)(z+1)(z+3)

A=[im—[^-^——]=—3/16；8=lim(z—1尸^^=1/4；

edzz+4z+3-Iz

2?

C=-----,-----1^=174；D=------%--------|__=-1/16O

(Z-1)2(Z+3)J(z-l)2(z+l產(chǎn)Z3

d-10

1z3z1z1z

C(z)=--------z------------1--------------------

4(z-l)216(z-l)4(z+l)16(z+3)

z反變換，c(k)=-[4k-3+4(-1/-(-3)*]

3-8已知以下離散系統(tǒng)的差分方程，求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

(1)c(k)+0.5c(Z-1)-c(k-2)+0.5c(k-3)=4r(k)一r(k-2)-0.6r(k-3)；

(2)c(k+3)+01c(2+2)+a3c(k)=b^r(k+3)+b2r(k+l)+b3r(k)且初始條件為零。

解：

(1)對差分方程進行z變換，得

(1+0.5z-'-不+0&一)C(z)=(4-z-2-0&-3次⑵

23

?、C(z)(4-Z--0.6Z-)

G(z)=----=---------：----彳-------z-

R(z)(1+0.5/-1+0&7)

3-9試列出題圖3-9所示計算機控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。圖中

-l2

D(z)=(1+0.5z)/(l+0.2z~'),G0(s)=10(5+5)/S,T=0.1s。

r(f)

題圖3-9題3-9系統(tǒng)框圖

解：(1)被控對象離散化：

G(z)=z[—"10(s：5八=io(i-+57^1^6)

ss(z-l)(-I/(Z-D2

依串行法寫狀態(tài)方程:

1.25(z-0.6)

G(z)=

(z-1)(z-1)

再(4+1)=X](4)+1.25〃(攵)

x2(k+V)=x2(k)+玉(k+1)-0.6玉(k)

-x2(k)+[xx(k)+l.25u(k)]-0.6x,(k)=0.4再(k)+x2(k)+l.25u(k)

%(k+1)10%伏)+1.25

〃(k)

x2(k+1)0.41x2(k)1.25

y(k)=x2(k)

d-11

(2)控制器離散化

~、Z+0.5,0.3

O(z)=------=1+-------

z+0.2z+0.2

狀態(tài)方程為￡伏+1)=-0.2W也)+0.36/)

u(k)=x.3(k)+e(k)

e(k)=r(k)-義k)

(3)閉環(huán)系統(tǒng)方程

王(k+1)=斗(k)+1.25.q(k)+1.25r⑹-1.25x2(k)

x2(k+l)=0.4m(左)+z(/)+1.251伏)+1.25r伏)-1.25x2/)

x3(k+1)=-0.2X3(Zc)+0.3r(/c)-0.3x,(k)

-1.25

-0.25

-0.3

%(k)

y(%)=[010]x2(k)

_尤3伏)

3-10試用C(z)表示題圖3-10所列系統(tǒng)的輸出，指出哪些系統(tǒng)可以寫出輸出對輸入的脈沖

傳遞函數(shù)，哪些不能寫出。

(e)(f)

題圖3-10習(xí)題3-10所示系統(tǒng)

解：

(a)不能，C(z)=RG(z)；

(b)能(輸出加虛擬開關(guān)),C(z)=R(z)G(z)；

(c)能(輸出加虛擬開關(guān))，Qz)=』(z)G(z)“；

1+G”⑵

d-12

RG(z)

(d)不能,C(z)=

l+GH(z)

R⑶G(z)

(e)能,C(z)=

1+G(z)”(z)

7?G(Z)G2(Z)

⑴不能,

1+G/G(z)

3-11試分別求如題圖3-11所示的兩個系統(tǒng)的階躍響應(yīng)采樣序列，并比較其結(jié)果可得什么結(jié)

論(設(shè)7=1秒)。

、(什I)

題圖3-11系統(tǒng)方塊圖

解：(a)G(z)=ZR(z)=

s(s+l)_|(z-l)(z-e')'

「，、G(z)…0.632z2

C(z)---------R(z)---------z-----------------；

1+G(z)(z-l)(z2-0.735z+0.368)

235

通過長除法，得C(z)=0.632^-,+1.096z-+1.205Z-++1.104z-+0.98z力+???

心?、r1-e"'0.368z+0.264

(b)G(z)=Z-------=------------------；

?(5+l)J(z-l)(z-0.368)

~、G(z)0,、(0.368^+0.264)2

C(z)=--------R(z)=--------5------------

1+G(z)(Z-1)(Z2-Z+0.632)

通過長除法,得C⑵=0.368/+l.Oz'2+1.41+14/+1.147z-5+0.894%"+…

比較可見，加入零階保持器后，系統(tǒng)響應(yīng)升起較慢，振蕩性加強，穩(wěn)定性差。

3-12熱蒸汽加熱系統(tǒng)如題圖3-12(a)所示。進氣閥門開度由線圈控制的鐵心帶動。水箱內(nèi)水

溫由熱電偶檢測。系統(tǒng)方塊圖如題圖3-12(b)所示。若。(z)=l,T=0.2秒，試求閉環(huán)

傳遞函數(shù)、單位階躍響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)值。

d-13

水箱

熱汽排出

(b)

題圖3-12習(xí)題3-12加熱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

l--Ts1.28

解：G(z)=Z—e—1.25x0.8

s-Z-0.936

?、G⑵。(z)1.28

①(z)=------------------------=--------------

l+O.O4G(z)0(z)z-0.885

1287

c(a))=lim(z-l)-----------------=11.1

z旬z-0.885z-1

3-13題圖3?13(a)是以太陽能作動力的“逗留者號”火星漫游車，山地球上發(fā)出的路徑控制

信號”/)對該裝置實施搖控，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖(b)所示，其中〃“)為干擾(如巖石)

信號?？刂葡到y(tǒng)的主要任務(wù)就是保證漫游車對斜坡輸入信號-?)=￡(f>0)具有較好的

動態(tài)跟蹤性能，并對干擾信號具有較好的抑制能力。若令數(shù)字控制器。(Z)=l和增益

K=2,試求輸出對輸入信號及干擾信號〃的輸出表達式(設(shè)7=0.1秒)。

d-14

(a)

干擾Ms)

t>0

(b)

題圖3-13火星漫游車控制系統(tǒng)

11x3

解：G(z)=(l-z-1)Z

35(5+0(5+3)

3zz10.004125(z+l)

=0.333(—7)J

2(z-e")2(z-e-37)J-(z-0.74)(z-0.905)

z-l

K0(z)G(z)___________2xO.OO4125(z+(___________0.00825。+1)

"'-1+KD⑺G⑵一(z-0.74)(z-0.905)+2x0.004125(z+1)-z2-1.640z+0.678

GG(z)

1+KD⑺G⑶

------------------=0.33—------------+——

s(s+l)(s+3)」[z-12(z—e")2(z—"附)

0.004125(z+l)z

(z-0.74)(z-0.905)(z-l)

9=GN⑺0.004125(z+Dz

'l+KO(z)G(z)(Z2-1.640Z+0.678)(Z-1)

3-14氣體成分控制系統(tǒng)如題圖3-14(a)所示。其中閥門開度山線圈控制的鐵心位移控制。培

育室內(nèi)二氧化碳含量由氣體分析儀測定，氣體分析儀是一個時滯環(huán)節(jié)。系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)

圖如題圖3-14(b)所示。若采樣周期T=45s,試求閉環(huán)傳遞函數(shù)。令k=l,。⑵=1。

d-15

題圖3-14習(xí)題3-14氣體成分控制系統(tǒng)

Ts

l-e-30ZI_1、30Tz307

解:G(z)=Z--------二(—)-~-j

ss(z-1)(z-D

\--Ts30,,「30

GH(z)=Ze—e-r,=(l-z-')Z苧-

sss

Ts1Ts=307

其中Z^-e-=Zr^-e-J=Z[30z(f-T)]=302-'(t)2

的I”nu(\(\-i\307307

所以，GH(z)=(l-z)-----7=-------

(Z-D2z(z-l)

中⑵=。⑵G⑵=30Tz

l+O(z)G，(z)2(2-1)+307

若采樣周期T=45s,則有中(z)=,—

Z2-Z+1350

3-15車床進給伺服系統(tǒng)如題圖3-15(a)所示。電動機通過齒輪減速機構(gòu)帶動絲杠轉(zhuǎn)動，進而

使工作臺面實現(xiàn)直線運動。該系統(tǒng)為了改善系統(tǒng)性能，利用測速電機實現(xiàn)測速反饋。

試將該系統(tǒng)改造為計算機控制系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如題圖3-15(b)所示。若

D(5)=1>試求數(shù)字閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)。令T=0.1s,K\=KX=\,K2=0.1,K,"=40,4=2。

d-16

機床工作臺

(b)

題圖3-15習(xí)題3-15車床進給伺服系統(tǒng)

解：在控制器之后加入D/A變換器，在轉(zhuǎn)角及測速傳感器之后加入A/D變換器，輸入信號

可以認為是數(shù)字信號。

1-"作4040

G(z)=Z=d)z

ss(s+2)7(7+2)

2…異喜"二舒晶

因為H(s)=(0.1s+l),所以有

1-e"'40(0.Is+1)(s+10)

GH(z)=Z=4(1”

ss(s+2)S2(5+2)

該式的z變換，在?般z變換表難于查到，但稍做處理即可求得:

i=ZO5z(l-eR)Tz0.5(1-e-2r)z

+))2

5-(S+2)J|_S(S+2)S'(S+2)(z-ly+-(z-1)(z-l)U-e-2r)

57z2z?2z

(z-l)2-(z-l)+(z-e-2r)

所以

G/7(z)=4(l-z-')[-^-2z2z0.544(z-0.33)

I(z-l)+(z-e-2T)"(z-l)(z-0.818)

(zT)

d-17

。⑶G(z)0.2(z+0.92)

①(z)=

l+O(z)GH(z)z2-1.274z+0.638

3-16采用部分分式展開法求以下函數(shù)的z變換。

a-b5

⑴尸(s)=⑵F(s)=

(s+a)(s+b)52(s+l)

3-17序列A口的z變換為尸(z)=------------

(z-l)(z+l)

(1)用終值定理求式k)的終值；

(2)通過求尸(z)的反變換檢驗上述結(jié)果。

3-18已知采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

M

G(z)=-^=^——N>M

R⑶/方

k=O

試證明C伏)=￡工&k-N+k)T)~￡&，((％-N+k)T)

k=0k=0

并用該式求取出=+l的C(k)值。

R⑵Z2-Z+1

21_-sT

3-19已知連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)=——-——，試求取G(z)=ZLeJG(S)，并討論其零

(s+1)($+2)[_s

點隨采樣周期的變化情況。

3-20已連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)="1-s),如采用零階保持器時，試求取其脈沖傳遞函數(shù),

(s+3)(5+2)

并確定當(dāng)采樣周期為多大時，其零點均在單位園內(nèi)。

3-21通常，直流電動機可用下述連續(xù)傳遞函數(shù)或狀態(tài)空間模型描述

G(s)0=—L

U(6)s(7>+l)

式中。為電機轉(zhuǎn)角，。為電機控制電壓。若令⑥試確定

(1)通過零階保持器采樣時，系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型；

⑵脈沖傳遞函數(shù)：

(3)輸入與輸出的差分方程；

d-18

（4）脈沖傳遞函數(shù)極點與零點隨采樣周期變化的關(guān)系。

3-22已知G（s）=Le"',試求其脈沖傳遞函數(shù)，并分析采樣系統(tǒng)的極點和零點。

S

3-23試用級數(shù)展開法求題圖3-23系統(tǒng)離散狀態(tài)方程，并畫出結(jié)構(gòu)圖。

T---------j----T

---/ZOH----....--/——

M）5心+1）.1<*）

題圖3-23系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

3-24試推導(dǎo)下述連續(xù)系統(tǒng)相對應(yīng)的具有零階保持器的離散狀態(tài)方程。（T=ls）

3-25很多物理系統(tǒng)可以用下述方程描述

式中a、b、c、d是非負數(shù)，試求采用零階保持器時采樣系統(tǒng)的方程。（注：首先應(yīng)證

明系統(tǒng)極點為實極點）

第4章習(xí)題

4-1s平面上有3對極點，分別為.2=-1±jl.5,S3.4=—I±J8.5,S5,=-1±J1L5,

4=10,試求在z平面上相應(yīng)極點的位置，并繪出示意圖。

解：（1）對％=-1±兒5,有：

zl2=個±65",T=2萬/g=0.628;

/?12=e4628=0.534;。=±1.5x0.628=±0.942rad=土54";；

zu=0.53Z±54°

⑵Z3.4='"±*6）X0.628=053/±306。=0.53Z±54°

⑶Z56=e（T±JU5）'0.628=053/±414。=0.53Z±54°

由上面的計算結(jié)果可見，這三對s平面的極點都映射到z平面的同一對極點的位置上。

4-2已知s平面上實軸平行線上點的位置（A、&C）如題圖4-2（a）和（b）所示，試

分別畫出映射到z平面上點的位置。

d-19

sR+j/iS

〃=0,土l.±2.…

題圖4-2習(xí)題4-2圖

解：依據(jù)z=即±""=進行判斷。

(1)題圖4-2-1(a)：

4各點均映射在z平面單位園內(nèi)正實軸上同一點。

5各點均映射在z平面單位園內(nèi)正實軸上同一點，但更靠近z=l點。

G各點均映射在z平面單位園外正實軸上同一點。

(2)題圖4-2-1(b)：

A：各點均映射在z平面單位園內(nèi)負實軸上同一點。

Bi各點均映射在z平面單位園內(nèi)負實軸上同一點，但更靠近z=-l點。

G各點均映射在z平面單位園外負實軸上同一點。

(a)(b)

題圖4-2-1

4-3已知z平面上的點力2=-0.5土式).5,試求其映射至s平面上的位置，設(shè)采樣周期

T=0.l.vo畫出s平面極點位置示意圖。

解：因為z=e9±，3"=一()5±J0.5,所以有R==0.5夜，=|ln0.5&=-3.47

0=a)T=135°(tg0=-0.5/0.5),所以有o=}/135/57.3=23.6rnd/s

s=-3.47±jQ3.6+k①),0),=2兀/T=62.8rad/s

4-4已知s平面上封閉曲線如題圖4?4所示(①一②③一④一⑤一①)，試畫出映射至z

平面的封閉曲線。

d-2