河北省八所重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題含解析

河北省八所重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如果執(zhí)行右面的框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，．若，則的取值集合為（）A． B．C． D．3．已知，則比多了幾項(xiàng)（）A．1 B． C． D．4．設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，且、、成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．5．在邊長為1的等邊三角形ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．若，則（）A．-1 B． C．-1或 D．或7．已知圓C與直線和直線都相切，且圓心C在直線上，則圓C的方程是（）A． B．C． D．8．若，則下列不等式成立的是A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s的值為（）A． B． C． D．10．要得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個(gè)長度單位 B．向左平移個(gè)長度單位C．向右平移個(gè)長度單位 D．向左平移個(gè)長度單位二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在梯形中,，,設(shè),,則__________(用向量表示).12．函數(shù)的定義域?yàn)開___________.13．已知向量，，則與的夾角等于_______.14．在數(shù)列an中，a1=2,a15．382與1337的最大公約數(shù)是__________.16．設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線下分店，計(jì)劃在S市的A區(qū)開設(shè)分店，為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，y表示這個(gè)x個(gè)分店的年收入之和.(1)該公司已經(jīng)過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程(2)假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤z(單位:百萬元)與x，y之間的關(guān)系為，請結(jié)合(1)中的線性回歸方程，估算該公司應(yīng)在A區(qū)開設(shè)多少個(gè)分店時(shí)，才能使A區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤最大?(參考公式:，其中，)18．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和()，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)為，證明：19．已知直線l：x+3y﹣2＝1．（1）求與l垂直，且過點(diǎn)（1，1）直線方程；（2）求圓心為（4，1），且與直線l相切的圓的方程．20．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目．規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項(xiàng)目.2016年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎(chǔ)上增長．記2016年為第1年，為第1年至此后第年的累計(jì)利潤（注：含第年，累計(jì)利潤=累計(jì)凈收入﹣累計(jì)投入，單位：千萬元），且當(dāng)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利．（1）試求的表達(dá)式；（2）根據(jù)預(yù)測，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，該程序框圖所表示的算法功能為：，故選D.考點(diǎn)：程序框圖.2、D【解題分析】

首先根據(jù)即可得出，再根據(jù)前n項(xiàng)的公式計(jì)算出即可?！绢}目詳解】，選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于難題.等差數(shù)列的常用性質(zhì)有：（1）通項(xiàng)公式的推廣：

（2）若

為等差數(shù)列，

；（3）若是等差數(shù)列，公差為，

，則是公差

的等差數(shù)列；3、D【解題分析】

由寫出，比較兩個(gè)等式得多了幾項(xiàng).【題目詳解】由題意，則，那么：，又比多了項(xiàng).故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查對函數(shù)的理解和帶值計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)得出與的等量關(guān)系，即可計(jì)算出的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于、、成等比數(shù)列，則有，所以，，化簡得，因此，.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和中基本量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項(xiàng)與公差的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

由題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，得到，，以及直線的方程，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【題目詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L為1，所以，，，，則直線的方程為，整理得，因?yàn)镋為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，最大值為.即的取值范圍為.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，利用建立坐標(biāo)系的方法求解即可，屬于?？碱}型.6、C【解題分析】

將已知等式平方，可根據(jù)二倍角公式、誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系將等式化為，解方程可求得結(jié)果.【題目詳解】由得：即，解得：或本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)值的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平方運(yùn)算，將等式化簡為關(guān)于的方程，涉及到二倍角公式、誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用.7、B【解題分析】

設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離列出方程求解即可【題目詳解】∵圓心在直線上，∴可設(shè)圓心為，設(shè)所求圓的方程為，則由題意，解得∴所求圓的方程為．選B【題目點(diǎn)撥】直線與圓的問題絕大多數(shù)都是轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離公式進(jìn)行求解8、C【解題分析】

利用的單調(diào)性直接判斷即可?！绢}目詳解】因?yàn)樵谏线f增，又，所以成立。故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題。9、A【解題分析】

模擬程序運(yùn)行，觀察變量值，判斷循環(huán)條件可得結(jié)論．【題目詳解】運(yùn)行程序框圖，，；，；，，此時(shí)滿足條件，跳出循環(huán)，輸出的.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時(shí)只要模擬程序運(yùn)行即可得結(jié)論．10、D【解題分析】

根據(jù)的圖像變換規(guī)律求解即可【題目詳解】設(shè)平移量為，則由，滿足：，故由向左平移個(gè)長度單位可得到故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖像變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)向量減法運(yùn)算得結(jié)果.【題目詳解】利用向量的三角形法則，可得，，又，，則，.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量表示，考查基本化解能力12、【解題分析】

先將和分別解出來，然后求交集即可【題目詳解】要使，則有且由得由得因?yàn)樗栽瘮?shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸绢}目點(diǎn)撥】解三角不等式的方法：1.在單位圓中利用三角函數(shù)線，2.利用三角函數(shù)的圖像13、【解題分析】

由已知向量的坐標(biāo)求得兩向量的模及數(shù)量積，代入數(shù)量積求夾角公式得答案．【題目詳解】∵（﹣1，），（，﹣1），∴，，則cos，∴與的夾角等于．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了由數(shù)量積求向量的夾角，是基礎(chǔ)題．14、2+【解題分析】

因?yàn)閍1∴a∴=(=2+ln15、191【解題分析】

利用輾轉(zhuǎn)相除法，求382與1337的最大公約數(shù).【題目詳解】因?yàn)椋?，所?82與1337的最大公約數(shù)為191，故填：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)，屬于容易題.16、【解題分析】令三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)該公司應(yīng)開設(shè)4個(gè)分店時(shí)，在該區(qū)的每個(gè)分店的平均利潤最大【解題分析】

（1）由表中數(shù)據(jù)先求得.再結(jié)合公式分別求得,即可得y關(guān)于x的線性回歸方程.（2）將（1）中所得結(jié)果代入中,進(jìn)而表示出每個(gè)分店的平均利潤,結(jié)合基本不等式即可求得最值及取最值時(shí)自變量的值.【題目詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得:,,因而可得,,再代入公式計(jì)算可知,∴,∴.（2）由題意,可知總收入的預(yù)報(bào)值與x之間的關(guān)系為:,設(shè)該區(qū)每個(gè)分店的平均利潤為t,則,故t的預(yù)報(bào)值與x之間的關(guān)系為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,即或（舍）則當(dāng)時(shí),取到最大值,故該公司應(yīng)開設(shè)4個(gè)分店時(shí),在該區(qū)的每個(gè)分店的平均利潤最大.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程的求法,基本不等式求函數(shù)的最值及等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程組，可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)；（2）化簡，再利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的和，化簡整理，即可證得．【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差是，由，，得解得，，∴.（2）由（1）知，，∴，，因?yàn)椋瑒t成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，也考查了裂項(xiàng)相消求和求數(shù)列的和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19、(1)3x﹣y﹣2＝1；(2)（x﹣4）2+（y﹣1）2．【解題分析】

（1）根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)，設(shè)出所求直線的方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，由此求得所求直線方程.（2）利用圓心到直線的距離求得圓的半徑，由此求得圓的方程.【題目詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)要求直線的方程為3x﹣y﹣m＝1，又由要求直線經(jīng)過點(diǎn)（1，1），則有3﹣1﹣m＝1，解可得m＝2；即要求直線的方程為3x﹣y﹣2＝1；（2）根據(jù)題意，設(shè)要求圓的半徑為r，若直線l與圓相切，則有r＝d，則要求圓的方程為（x﹣4）2+（y﹣1）2．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查兩條直線垂直的知識，考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差表示，解方程組可求得基本量的值，從而確定通項(xiàng)公式；（2）首先化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合特點(diǎn)采用分組求和法求解試題解析：（1）∵數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，.∴，解得，∴.（2）∵，考點(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)公式及數(shù)列求和21、(1)；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由題意知，第一年至此后第年的累計(jì)投入為（千萬元），第年至此后第年的累計(jì)凈收入為，利用等比數(shù)列數(shù)列的求和公式可得；（2）由，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.試題解析：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)凈收入為+×+×+…+×=（千萬元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千萬元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，∴當(dāng)n≤3時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＜1，故當(dāng)n≤2時(shí)，f（n）遞減；當(dāng)n≥2時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＞1，故當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）遞增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣2