小學(xué)應(yīng)用題解題方法之16-20

小學(xué)應(yīng)用題解題方法之16-20十六、倍比法解應(yīng)用題時(shí)，先求出題中兩個(gè)對(duì)應(yīng)的同類數(shù)量的倍數(shù)，再通過(guò)“倍數(shù)〞去求未知數(shù)，這種解題的方法稱為倍比法?！惨弧秤帽侗确ń鈿w一問題可以用倍比法解答的應(yīng)用題一般都可以用歸一法來(lái)解〔除不盡時(shí)，可以用分?jǐn)?shù)、小數(shù)來(lái)表示〕，但用倍比法解答要比用歸一法簡(jiǎn)便。實(shí)際上，倍比法是歸一法的特殊形式。為計(jì)算方便，在整數(shù)范圍內(nèi)，如果用歸一法除不盡時(shí)，可以考慮用倍比法來(lái)解。反之，運(yùn)用倍比法除不盡時(shí)，也可以考慮改用歸一法來(lái)解。要根據(jù)題目中的具體條件，選擇最正確解法。例1一臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地175畝。照這樣計(jì)算，這臺(tái)拖拉機(jī)15天可以耕地多少畝？〔適于三年級(jí)程度〕解：這道題實(shí)質(zhì)上是歸一問題。要求15天耕地多少畝，只要先求出每天耕地多少畝就行了。但175不能被3整除，所以在整數(shù)范圍內(nèi)此題不便用歸一法來(lái)解。因題目中的同一類數(shù)量〔兩個(gè)天數(shù)〕之間成倍數(shù)關(guān)系〔15天是3天的5倍〕，并且拖拉機(jī)的工作效率又相同，所以另一類量〔兩個(gè)耕地畝數(shù)〕之間也必然有相同的倍數(shù)關(guān)系〔15天耕地畝數(shù)也應(yīng)是3天耕地畝數(shù)的5倍〕。先求15天是3天的幾倍：15÷3=5〔倍〕再求175畝的5倍是多少畝：175×5=875〔畝〕綜合算式：

175×〔15÷3〕＝175×5＝875〔畝〕答：15天可以耕地875畝。例23臺(tái)拖拉機(jī)一天耕地40畝。要把160畝地在一天內(nèi)耕完，需要多少臺(tái)同樣的拖拉機(jī)？〔適于三年級(jí)程度〕解：先求出160畝是40畝的幾倍：160÷40=4〔倍〕再求耕160畝地需要多少臺(tái)同樣的拖拉機(jī)：3×4=12〔臺(tái)〕綜合算式：

3×〔160÷40〕=3×4=12〔臺(tái)〕答略。例3工廠運(yùn)來(lái)52噸煤，先用其中的13噸煉出9750千克焦炭。照這樣計(jì)算，剩下的煤可以煉出多少千克焦炭？〔適于四年級(jí)程度〕用歸一法解：先求出每噸煤可煉出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以煉多少千克焦炭：9750÷13×〔52-13〕=750×39=29250〔千克〕用倍比法解：先求出52噸里有幾個(gè)13噸，然后去掉已煉的一個(gè)13噸，得：

9750×〔52÷13-1〕=29250〔千克〕答略。例4某糧食加工廠，3臺(tái)磨粉機(jī)6小時(shí)磨小麥1620千克。照這樣計(jì)算，5臺(tái)磨粉機(jī)8小時(shí)可以磨小麥多少千克？〔適于五年級(jí)程度〕用歸一法解：

1620÷3÷6×5×8=540÷6×5×8=90×5×8=3600〔千克〕用倍比法解：把一臺(tái)磨粉機(jī)工作1小時(shí)看作一個(gè)新的量--1臺(tái)小時(shí)，3臺(tái)磨粉機(jī)工作6小時(shí)，就是3×6臺(tái)小時(shí)，5臺(tái)磨粉機(jī)工作8小時(shí)，就是5×8臺(tái)小時(shí)。只要求出5×8臺(tái)小時(shí)是3×6臺(tái)小時(shí)的幾倍，那么5臺(tái)磨粉機(jī)8小時(shí)磨的小麥就是1620千克小麥的幾倍。答略。例5甲、乙兩輛車分別從東、西兩城同時(shí)相對(duì)開出，4小時(shí)后相遇，相遇后甲車再經(jīng)過(guò)2小時(shí)到達(dá)西城。求乙車再經(jīng)過(guò)幾小時(shí)可以到達(dá)東城？〔適于五年級(jí)程度〕解：用圖16-1表示題中的數(shù)量關(guān)系?？磮D16-1中兩車相遇點(diǎn)右側(cè)的路程，甲、乙所走的路程一樣長(zhǎng)。但走這段路，甲用了2小時(shí)，乙卻用了4小時(shí)。就是說(shuō)，走同樣的路程時(shí)，乙用的時(shí)間是甲的4÷2=2倍。再看相遇點(diǎn)左側(cè)的路程，甲走這段路程用了4小時(shí)，因?yàn)樽咄瑯娱L(zhǎng)的路程時(shí)乙用的時(shí)間是甲的2倍，所以，乙由相遇點(diǎn)到達(dá)東城的時(shí)間是4小時(shí)的2倍。4×〔4÷2〕=8〔小時(shí)〕答：乙車再過(guò)8小時(shí)可以到達(dá)東城?！捕秤帽侗确ń夤こ虇栴}用倍比法解工程問題，不用設(shè)總工作量為“1〞，學(xué)生較易理解，尤其是解某些較復(fù)雜的工程問題，用倍比法解比擬簡(jiǎn)捷。例1一項(xiàng)工程，由甲工程隊(duì)修建，需要20天完成；由乙工程隊(duì)修建，需要30天完成。兩隊(duì)合修需要多少天完成？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)榧坠こ剃?duì)修建20天的工作量相當(dāng)于乙工程隊(duì)修建30天的工作在把乙隊(duì)30天的工作量看作總工作量時(shí)，乙隊(duì)一天修的工作量是1，那么

=12〔天〕答略。例2一件工作單獨(dú)由一個(gè)人完成，甲要用8小時(shí)，乙要用12小時(shí)。假設(shè)甲先單獨(dú)做5小時(shí)，剩下的由乙單獨(dú)做完，那么乙需要做多少小時(shí)？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)榧?小時(shí)的工作量相當(dāng)于乙12小時(shí)的工作量，所以，甲1小時(shí)作量，剩下的便是乙單獨(dú)做完這項(xiàng)工作所需要的時(shí)間：在把甲8小時(shí)的工作量看作工作總量時(shí)，甲1小時(shí)的工作量是1，那么乙答略。例3某工程由甲、乙兩隊(duì)合做12天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合做4天后，余下的再由甲隊(duì)單獨(dú)做10天可以完成。問甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？〔適于六年級(jí)程度〕解：甲、乙兩隊(duì)合做4天后，再共同完成剩下的工作量，需要的天數(shù)是12-4=8〔天〕。這8天的工作量是甲、乙需合做8天才能完成的工作量。這8天的工作量，甲單獨(dú)做10天完成，就是說(shuō)，甲、乙合做1天的工作答略。例4一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做15天完成?，F(xiàn)在先由乙隊(duì)做假設(shè)干天后，甲再參加，4天就做完了。那么乙先單獨(dú)做了多少天？〔適于六年級(jí)程度〕解：因?yàn)檫@項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，而甲只做了4天，所以10-4=6〔天〕，這6天的工作量是由乙做的。而乙1天的工作量是甲1天工作量的答略。*例5甲、乙兩人同做一件工作，甲做4天的工作量，等于乙做3天的工作量，假設(shè)由甲單獨(dú)做這項(xiàng)工作需要12天完成?，F(xiàn)在甲、乙兩人合做4天后，剩下的工作由乙單獨(dú)做需要幾天完成？〔適于六年級(jí)程度〕把甲單獨(dú)做12天完成的工作量看作工作總量，從工作總量中減去甲、乙合做的工作量，剩下的就是乙單獨(dú)做的工作量。再把剩下的工作量除以乙1天的工作量，即得到剩下的工作由乙單獨(dú)做需要幾天完成。十七、逆推法小朋友在玩“迷宮〞游戲時(shí)，在縱橫交錯(cuò)的道路中常常找不到出口。有些聰明的小朋友，反其道而行之，從出口倒回去找入口，然后再沿著自己走過(guò)的路返回來(lái)。由于從出口返回時(shí)，途徑單一，很快就會(huì)找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宮〞自然就不難了。解應(yīng)用題也是這樣，有些應(yīng)用題用順向推理的方法很難解答，如果從問題的結(jié)果出發(fā)，從后往前逐步推理，問題就很容易得到解決了。這種從條件或問題反過(guò)去想而尋求解題途徑的方法，叫做逆推法。用逆推法解應(yīng)用題列算式時(shí)，經(jīng)常要根據(jù)加減互逆，乘除互逆的關(guān)系，把原題中的加用減算，減用加算；把原題中的乘用除算，除用乘算?！惨弧硰慕Y(jié)果出發(fā)逐步逆推例1一個(gè)數(shù)除以4，再乘以2，得16，求這個(gè)數(shù)?！策m于四年級(jí)程度〕解：由最后再乘以2得16，可看出，在沒乘以2之前的數(shù)是：16÷2=8在沒除以4之前的數(shù)是：8×4=32答：這個(gè)數(shù)是32。*例2糧庫(kù)存有一批大米，第一天運(yùn)走450千克，第二天運(yùn)進(jìn)720千克，第三天又運(yùn)走610千克，糧庫(kù)現(xiàn)有大米1500千克。問糧庫(kù)原來(lái)有大米多少千克？〔適于四年級(jí)程度〕解：由現(xiàn)有大米1500千克，第三天運(yùn)走610千克，可以看出，在沒運(yùn)走610千克之前，糧庫(kù)中有大米：1500+610=2110〔千克〕在沒運(yùn)進(jìn)720千克之前，糧庫(kù)里有大米：2110-720=1390〔千克〕在沒運(yùn)走450千克之前，糧庫(kù)里有大米：1390+450=1840〔千克〕答：糧庫(kù)里原來(lái)有大米1840千克。*例3某數(shù)加上9后，再乘以9，然后減去9，最后再除以9，得9。問這個(gè)數(shù)原來(lái)是多少？〔適于四年級(jí)程度〕解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的數(shù)是：9×9=81在減去9之前的數(shù)是：81+9=90在乘以9之前的數(shù)是：90÷9=10在加上9之前，原來(lái)的數(shù)是：10-9=1答：這個(gè)數(shù)原來(lái)是1。*例4解放軍某部進(jìn)行軍事訓(xùn)練，方案行軍498千米，頭4天每天行30千米，以后每天多行12千米。求還要行幾天？〔適于五年級(jí)程度〕解：從最后一個(gè)條件“以后每天多行12千米〞可求出，以后每天行的路程是：30+12=42〔千米〕從頭4天每天行30千米，可求出已行的路程是：30×4=120〔千米〕行完4天后剩下的路程是：498-120=378〔千米〕還要行的天數(shù)是：378÷42=9〔天〕綜合算式：

〔498-30×4〕÷〔30+12〕=378÷42=9〔天〕答略。*例5倉(cāng)庫(kù)里原有化肥假設(shè)干噸。第一次取出全部化肥的一半多30噸，第二次取出余下的一半少100噸，第三次取出150噸，最后剩下70噸。這批化肥原來(lái)是多少噸？〔適于五年級(jí)程度〕解：從“第三次取出150噸，最后剩下70噸〞可看出，在第三次取出之前倉(cāng)庫(kù)里有化肥：70+150=220〔噸〕假定第二次取出余下的一半，而不是少100噸，那么第二次取出后，倉(cāng)庫(kù)剩下化肥：220-100=120〔噸〕第二次取出之前，倉(cāng)庫(kù)中有化肥：120×2=240〔噸〕假定第一次正好取出一半，而不是多30噸，那么第一次取出一半后，倉(cāng)庫(kù)里剩下化肥：240+30=270〔噸〕倉(cāng)庫(kù)中原有化肥的噸數(shù)是：270×2=540〔噸〕綜合算式：

[〔150+70-100〕×2+30]×2=[120×2+30]×2=270×2=540〔噸〕答略。共有多少本圖書？有科普讀物多少本？〔適于六年級(jí)程度〕解：最后一個(gè)條件是“少兒讀物是630本〞，由于科普讀物和文藝讀物答略?！捕辰柚€段圖逆推*例1有一堆煤，第一次運(yùn)走一半多10噸，第二次運(yùn)走余下的一半少3噸，還剩下25噸。問這堆煤原來(lái)是多少噸〔適于五年級(jí)程度〕解：作圖17-1〔見下頁(yè)〕。從圖17-1可看出，余下的一半是：25-3=22所以，余下的煤是：22×2=44〔噸〕全堆煤的一半是：44+10=54〔噸〕原來(lái)這堆煤是：54×2=108〔噸〕答略。*例2服裝廠第一車間的人數(shù)占全廠人數(shù)的25％，第二車間的人數(shù)比第全廠人數(shù)是：150÷25％=600〔人〕綜合算式：〔三〕借助思路圖逆推例1某工程隊(duì)原方案12天修公路2880米，由于改良了工作方法，8天就完成了任務(wù)。問實(shí)際比原方案每天多修多少米？〔適于四年級(jí)程度〕解：作思路圖〔圖17-3〕。求實(shí)際比原方案每天多修多少米，必須知道實(shí)際每天修多少米和原方案每天修多少米。求實(shí)際每天修多少米，就要知道公路的長(zhǎng)和實(shí)際修完的天數(shù)。實(shí)際每天修的米數(shù)是：2880÷8=360〔米〕求原方案每天修多少米，就要知道公路的長(zhǎng)和原方案要修的天數(shù)。原方案每天修的米數(shù)是：2880÷12=240〔米〕實(shí)際比原方案每天多修的米數(shù)是：360-240=120〔米〕答略。*例2某機(jī)床廠去年每月生產(chǎn)機(jī)床5臺(tái)，每月用去鋼材4000千克；今年每月生產(chǎn)的機(jī)床臺(tái)數(shù)是去年的4倍，平均每臺(tái)機(jī)床比去年少用鋼材200千克。今年每月用的鋼材是去年每月所用鋼材的幾倍？〔適于五年級(jí)程度〕解：作思路圖〔圖17-4〕。從圖17-4的下邊開始看，逐步往上推理?！?〕去年每臺(tái)用鋼材多少？4000÷5=800〔千克〕〔2〕今年每臺(tái)用多少鋼材？800-200=600〔千克〕〔3〕今年每月生產(chǎn)多少臺(tái)？5×4=20〔臺(tái)〕〔4〕今年每月用多少鋼材？600×20=12000〔千克〕〔5〕今年每月用的鋼材是去年每月所用鋼材的幾倍？12000÷4000=3〔倍〕綜合算式：

〔4000÷5-200〕×〔5×4〕÷4000=600×20÷4000=3〔倍〕答略?！菜摹辰柚侥嫱评?一個(gè)三角形的面積是780平方厘米，底是52厘米。問高是多少？〔適于五年級(jí)程度〕解：計(jì)算三角形面積的公式是：面積=底×高÷2，逆推這個(gè)公式得：高=面積×2÷底所以，這個(gè)三角形的高是：780×2÷52=30〔厘米〕答略。例2求圖17-5平行四邊形中CD邊的長(zhǎng)?！矄挝唬豪迕住场策m于五年級(jí)程度〕解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是：BC×AE=6×3=18平行四邊形的面積也是：CD×AF=5CD所以，5CD=18

CD=18÷5=3.6〔厘米〕答略。例3一個(gè)圓錐體的體積是84.78立方厘米，底面的直徑是6厘米。求它的高是多少?！策m于六年級(jí)程度〕解：底面圓的直徑是6厘米，那么半徑就是3厘米。由V=1/3πR2h逆推得：h=V×3÷π÷R2因此，它的高是：

84.78×3÷3.14÷32=254.34÷3.14÷32=9〔厘米〕答略。〔五〕借助假設(shè)法逆推解：假設(shè)取出存款后沒有買書櫥，那么150元是取出的錢的：取出的錢是：150×3=450〔元〕老張?jiān)械拇婵钍牵?50×4=1800〔元〕答略。例2供銷社分配給甲、乙、丙三個(gè)鄉(xiāng)假設(shè)干噸化肥。甲鄉(xiāng)分得總數(shù)的一半少2噸，乙鄉(xiāng)分得剩下的一半又多半噸，最后剩下的8噸分給丙鄉(xiāng)。問原來(lái)共有化肥多少噸？〔適于六年級(jí)程度〕解：假設(shè)乙鄉(xiāng)分得剩下一半，而不是又多半噸，那么乙鄉(xiāng)分走后剩下的化肥是：乙鄉(xiāng)分走前的化肥是：假設(shè)甲鄉(xiāng)分得總數(shù)的一半，而不是少2噸，那么甲鄉(xiāng)分走化肥：17-2=15〔噸〕這15噸正好是原有化肥噸數(shù)的一半，所以原來(lái)共有化肥：15×2=30〔噸〕綜合算式：答略?！擦辰柚鷮?duì)應(yīng)法逆推答略。25+3=28〔畝〕28畝所對(duì)應(yīng)的分率是：綜合算式：十八、圖解法圖形是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，也是數(shù)學(xué)思維和表達(dá)的工具。在解容許用題時(shí)，如果用圖形把題意表達(dá)出來(lái)，題中的數(shù)量關(guān)系就會(huì)具體而形象。圖形可起到啟發(fā)思維、支持思維、喚起記憶的作用，有利于盡快找到解題思路。有時(shí)，作出了圖形，答案便在圖形中?！惨弧呈疽鈭D示意圖是為了說(shuō)明事物的原理或具體輪廓而繪成的略圖。小學(xué)數(shù)學(xué)中的示意圖簡(jiǎn)單、直觀、形象，使人容易理解圖中的數(shù)量關(guān)系。例1媽媽給兄弟二人每人10個(gè)蘋果，哥哥吃了8個(gè)，弟弟吃了5個(gè)。誰(shuí)剩下的蘋果多？多幾個(gè)？〔適于四年級(jí)程度〕解：作圖18-1。哥哥吃了8個(gè)后，剩下蘋果：10-8=2〔個(gè)〕弟弟吃了5個(gè)后，剩下蘋果：10-5=5〔個(gè)〕弟弟剩下的蘋果比哥哥的多：5-2=3〔個(gè)〕答：弟弟剩下的蘋果多，比哥哥的多3個(gè)。例2一桶煤油，倒出40％，還剩18升。這桶煤油原來(lái)是多少升？〔適于六年級(jí)程度〕解：作圖18-2。從圖中可看出，倒出40％后，還剩：1-40％=60％這60％是18升所對(duì)應(yīng)的百分率，所以這桶油原來(lái)的升數(shù)是：18÷60％=30〔升〕答略。例3把2米長(zhǎng)的竹竿直立在地面上，量得它的影長(zhǎng)是1.8米，同時(shí)量得電線桿的影長(zhǎng)是5.4米。這根電線桿地面以上局部高多少米？〔適于六年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意畫出如圖18-3〔見下頁(yè)〕的示意圖。同一時(shí)間，桿長(zhǎng)和影長(zhǎng)成正比例。設(shè)電線桿地面以上局部的高是x米，得：1.8∶5.4=2∶x答略?！捕尘€段圖線段圖是以線段的長(zhǎng)短表示數(shù)量的大小，以線段間的關(guān)系反映數(shù)量間關(guān)系的一種圖形。在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中線段圖是使用最多、最方便的一種圖形。例1王明有15塊糖，李平的糖是王明的3倍。問李平的糖比王明的糖多多少塊？〔適于三年級(jí)程度〕解：作圖18-4〔見下頁(yè)〕。從圖18-4可看出，把王明的15塊糖看作1份數(shù)，那么李平的糖就是3份數(shù)。李平比王明多的份數(shù)是：3-1=2〔份〕李平的糖比王明的糖多：15×2=30〔塊〕綜合算式：

15×〔3-1〕=15×2=30〔塊〕答略。例2托爾斯泰是俄羅斯偉大作家，享年82歲。他在19世紀(jì)中度過(guò)的時(shí)間比在20世紀(jì)中度過(guò)的時(shí)間多62年。問托爾斯泰生于哪一年？去世于哪一年？〔適于四年級(jí)程度〕解：作圖18-5。從圖18-5可看出，他在20世紀(jì)度過(guò)的時(shí)間是：

〔82-62〕÷2＝20÷2=10〔年〕由此看出，他死于1910年。他出生的時(shí)間是：1910-82=1828〔年〕答略。答略。〔三〕思路圖小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多應(yīng)用題，需要用綜合法或分析法分析解答。如果把思維的過(guò)程用文字圖形表示出來(lái)，就有助于正確選擇數(shù)量，提出中間問題，理清數(shù)量關(guān)系，從而順利解題。這種表示思維過(guò)程的圖形就是思路圖。例題參見前面的分析法和綜合法。〔四〕正方形圖借助正方形圖解應(yīng)用題，就是以正方形的邊長(zhǎng)、面積表示應(yīng)用題中的數(shù)量，使應(yīng)用題數(shù)量之間的關(guān)系具體而明顯地呈現(xiàn)出來(lái)，從而到達(dá)便于解題的目的。例1農(nóng)民張成良，把自己承包的土地的一半種了玉承包了多少公頃土地？〔適于四年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意作圖18-7。所以，他承包的土地是：2×8=16〔公頃〕答略。例2有大小兩個(gè)正方形，其中大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形的邊長(zhǎng)多4厘米，面積比小正方形的面積大96平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？〔適于六年級(jí)程度〕解：求大、小正方形的面積，應(yīng)知道大、小正方形的邊長(zhǎng)，但題中沒有說(shuō)，也不好直接求出來(lái)。借助畫圖形的方法可輕易解決這個(gè)問題。根據(jù)題意作圖18-8。

圖中大正方形ABCD的面積比小正方形的面積大96平方厘米。這96平方厘米的面積是由兩個(gè)長(zhǎng)方形a及比長(zhǎng)方形還小的正方形c構(gòu)成。從96平方厘米減去正方形c的面積，再除以2就可求出長(zhǎng)方形a的面積。〔96-4×4〕÷2=40〔平方厘米〕因?yàn)殚L(zhǎng)方形a的寬是4厘米，所以長(zhǎng)方形a的長(zhǎng)是：40÷4=10〔厘米〕因?yàn)?0厘米也是小正方形的邊長(zhǎng)，所以小正方形的面積是：10×10=100〔平方厘米〕大正方形的邊長(zhǎng)是：4+10=14〔厘米〕大正方形的面積是：14×14=196〔平方厘米〕答略?！参濉抽L(zhǎng)方形圖借助長(zhǎng)方形圖解應(yīng)用題，是以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示一種數(shù)量，以長(zhǎng)方形的寬表示另一種數(shù)量，以長(zhǎng)方形的面積表示這兩種數(shù)量的積。它能把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體形象的面積來(lái)計(jì)算問題。*例1甲、乙兩名工人做機(jī)器零件，每天甲比乙多做10個(gè)?，F(xiàn)在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500個(gè)零件。問甲、乙兩人每天各做多少個(gè)零件？〔適于五年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意作圖18-9〔見下頁(yè)〕。圖18-9中，以左邊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示甲工作15天，以左邊長(zhǎng)方形的寬表示甲每天做多少個(gè)；以右邊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示乙工作12天，以右邊長(zhǎng)方形的寬表示乙每天做多少個(gè)。圖中右上角那個(gè)長(zhǎng)方形的寬表示甲每天比乙多做10個(gè)，所以，乙在12天中比甲少做零件：10×12=120〔個(gè)〕圖中全部陰影局部的面積表示甲、乙共做的零件1500個(gè)。從圖18-9可以看出，整個(gè)大長(zhǎng)方形面積所表示的零件的個(gè)數(shù)是：1500+120=1620〔個(gè)〕這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示甲、乙共同工作的天數(shù)：15+12=27〔天〕因?yàn)榇箝L(zhǎng)方形的寬表示甲每天做零件的個(gè)數(shù)，所以甲每天做零件的個(gè)數(shù)是：1620÷27=60〔個(gè)〕乙每天做零件的個(gè)數(shù)是：60-10=50〔個(gè)〕答略。*例2某商店賣出蘋果、鴨梨和桔子共25筐，其中鴨梨的筐數(shù)是桔子筐數(shù)的2倍。蘋果每筐賣90元，鴨梨每筐賣72元，桔子每筐賣60元，共賣得1854元。問賣出蘋果、鴨梨和桔子各多少筐？〔適于六年級(jí)程度〕解：根據(jù)題意作圖18-10。圖18-10中陰影局部表示，如果25筐都是蘋果，那么所造成的差價(jià)是：90×25-1854=396〔元〕每賣出1筐桔子、2筐鴨梨、3筐蘋果的差價(jià)是：

〔90-72〕×2+〔90-60〕=36+30=66〔元〕因此，桔子的筐數(shù)是：396÷66=6〔筐〕鴨梨的筐數(shù)是：6×2=12〔筐〕蘋果的筐數(shù)是：25-6-12=7〔筐〕答略?！擦硹l形圖條形圖是把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)畫得比擬長(zhǎng)，把長(zhǎng)方形的寬畫得比擬短的一種圖形。條形圖一般以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示數(shù)量。條形圖可以畫成豎的，也可以畫成橫的。題中不同的數(shù)量可用不同的陰影線或不同的顏色表示。題中的數(shù)量可寫在長(zhǎng)方形內(nèi)，也可寫在長(zhǎng)方形外面。條形圖比線段圖更直觀一些，在用來(lái)解某些應(yīng)用題時(shí)效果要比線段圖好。噸后，兩場(chǎng)所剩煤的數(shù)量相等。甲、乙兩個(gè)煤場(chǎng)原來(lái)各存煤多少噸？〔適于六年級(jí)程度〕解：作圖18-11。從圖中可看出，從875噸中減去75噸后，甲煤場(chǎng)的煤就相當(dāng)于乙煤場(chǎng)煤的3倍，兩個(gè)煤場(chǎng)所存煤共分為4份。其中一份是：

〔875-75〕÷〔3+1〕＝800÷4=200〔噸〕乙煤場(chǎng)原來(lái)的存煤噸數(shù)是：200+75=275〔噸〕甲煤場(chǎng)原來(lái)存煤的噸數(shù)是：200×3=600〔噸〕答略。但是，實(shí)際上是運(yùn)出125噸。這140噸比實(shí)際運(yùn)出的多：140-125=15〔噸〕所以15噸所對(duì)應(yīng)的分率是：甲庫(kù)原來(lái)的存糧噸數(shù)是：420-180=240〔噸〕答略。*例3一組割草人要把大、小兩塊草地的草割掉，其中大塊草地的面積是小塊草地面積的2倍。全體組員用半天的時(shí)間割大塊草地的草。下午一半的組員仍停留在大塊草地上割，另一半到小塊草地上割。到黃昏時(shí)，大塊草地的草全部割完，而小塊草地還剩下一小塊。這剩下的一小塊，第二天一個(gè)人用一天的時(shí)間就割完了。這組割草的一共有多少人？〔適于六年級(jí)程度〕

全體組員割一個(gè)上午后，一半的組員又割一個(gè)下午就把大塊地的草割完，這就是說(shuō)，要是用一半的組員單獨(dú)割大塊草地的草，就要用3個(gè)半天，而在答略?！财摺硤A形圖借助圓形圖解應(yīng)用題，是以圓的面積或周長(zhǎng)表示題中的數(shù)量，并在圓周內(nèi)、外標(biāo)上數(shù)字、符號(hào)，從而到達(dá)便于分析數(shù)量關(guān)系的目的。例1甲、乙兩個(gè)學(xué)生同時(shí)從同一起點(diǎn)沿著一個(gè)環(huán)形跑道相背而跑。甲每秒鐘跑8米，乙每秒鐘跑7米，經(jīng)過(guò)20秒鐘兩人相遇。求環(huán)形跑道的周長(zhǎng)?！策m于五年級(jí)程度〕解：作圖18-14。

從圖中可看出，甲、乙兩人跑的路程的總和就是圓的周長(zhǎng)。根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=相遇路程〞，可求出環(huán)形跑道的周長(zhǎng)：〔7+8〕×20=300〔米〕答略。

答略。例3有三堆棋子，這三堆棋子所含棋子的個(gè)數(shù)一樣多，且都只有黑、白兩色棋子。第一堆里的黑子與第二堆的白子一樣多，第

棋子的幾分之幾？〔適于六年級(jí)程度〕解：作圖18-16。

從圖中可看出，把第一堆里的黑子與第二堆里的白子交換，那么第一堆全是白子，第二堆全是黑子。因?yàn)榈谝欢雅c第二堆的棋子數(shù)相同，所以第一堆的白子數(shù)與第二堆的黑所以，白子占全部棋子的：*例4甲、乙兩人同時(shí)從環(huán)形路的同一點(diǎn)出發(fā)，同向環(huán)行。甲每分鐘走70米，乙每分鐘走46米。環(huán)形路的長(zhǎng)是300米。他們出發(fā)后，在1小時(shí)20分里相會(huì)幾次？到1小時(shí)20分時(shí)兩人的最近距離是多少米？〔適于五年級(jí)程度〕解：作圖18-17。甲、乙二人1分鐘的速度差是：70-46=24〔米〕由二人出發(fā)到第一次相會(huì)所需的時(shí)間是：300÷24=12.5〔分〕1小時(shí)20分鐘即為80分鐘。80分鐘內(nèi)包含幾個(gè)12.5分鐘，二人即相會(huì)幾次。80分鐘內(nèi)包括6個(gè)12.5分鐘，還多5分鐘，即二人相會(huì)6次。由于第六次相會(huì)后還走5分鐘，所以甲乙之間相隔：24×5=120〔米〕此時(shí)，甲、乙之間還有一個(gè)距離是：300-120=180〔米〕180＞120米答：在1小時(shí)20分鐘里兩人相會(huì)6次；到1小時(shí)20分鐘時(shí)，兩人的最近距離是120米?！舶恕橙旧珗D在圖中用不同的顏色表示不同的內(nèi)容或不同的數(shù)量，以利于解題的圖形叫染色圖。染色圖是解決數(shù)學(xué)題和智力題常用的一種圖形。*例1圖18-18是某湖泊的平面圖，圖中的所有曲線都表示湖岸。某人從岸邊A點(diǎn)到B點(diǎn)至少要趟幾次水？B點(diǎn)是在水中還是在岸上？〔適于高年級(jí)程度〕解：這個(gè)問題好似很難解答。但我們按“圖中所有曲線都是表示湖岸〞的條件，將湖面染上色，湖岸局部就顯示出來(lái)了，答案也就一目了然了〔圖18-19〕。答：他至少要趟3次水才能到達(dá)B處，B點(diǎn)在湖岸上。*例2如圖18-20，某展覽館有36個(gè)展室，每?jī)蓚€(gè)相鄰展室之間均有門相通。問你能否從圖中入口進(jìn)去，不重復(fù)地參觀完每個(gè)展室后，再?gòu)某隹谔幊鰜?lái)？〔適于高年級(jí)程度〕解：作圖18-21。把圖中36個(gè)方格相間地染上黑色。因入口處是白格，參觀時(shí)假設(shè)依順序?qū)⒄故揖幪?hào)，那么進(jìn)入第奇數(shù)號(hào)展室時(shí)，應(yīng)是白格位置；進(jìn)第偶數(shù)號(hào)展室應(yīng)是黑格。即應(yīng)按白→黑→白→黑→……順序交替參觀。參觀者最后離開的是第36號(hào)展室，它是偶數(shù)，按上面的分析它應(yīng)是黑格，但圖中實(shí)際為白色方格。這說(shuō)明題中要求的參觀方式是不可能實(shí)現(xiàn)的。答略。*例3將圖18-22矩形ABCD的一邊AD分成6小段，其中線段1+線段3+線段5=線段2+線段4+線段6。連結(jié)對(duì)角線BD，用紅〔圖中用橫線表示〕、藍(lán)〔圖中用堅(jiān)線表示〕兩色將圖形分別染色。問圖中染紅色局部面積與染藍(lán)色局部面積哪個(gè)大？〔適于高年級(jí)程度〕解：此題利用三角形、梯形面積公式可算出結(jié)果，但較麻煩。用染色的方法解此題比擬簡(jiǎn)捷。先將圖中BD線左下面的空白處染上黑色，用S紅、S藍(lán)、S黑分別表示染紅、藍(lán)、黑三種顏色圖形的面積〔圖18-23〕。從圖18-23很容易看到：另外，S藍(lán)+S黑等于3個(gè)小矩形面積的和，而它恰好等于矩形ABCD面積的一半，即：這就是說(shuō)：S紅+S黑=S藍(lán)+S黑從上面算式的兩邊同時(shí)減去S黑，得：S紅=S藍(lán)答：圖中染紅色局部的面積與染藍(lán)色局部的面積一樣大。*例4圖18-24的圖形是從4×4的正方形紙上剪去兩個(gè)1×1的小方紙片后得到的。它們的面積都是14。假設(shè)把它們剪成1×2的小矩形，最多能剪幾個(gè)？為什么？〔適于高年級(jí)程度〕解：圖18-24的三個(gè)圖形除了〔1〕可以剪出7個(gè)1×2的小矩形外，〔2〕、〔3〕不管怎么剪，至多都只能剪出6個(gè)來(lái)。原因是：分別用黑白兩色對(duì)圖形〔1〕、〔2〕、〔3〕相間地涂色〔圖18-25〕。從它們上面剪下來(lái)的每一個(gè)小矩形都由兩個(gè)相鄰的小方格組成，這兩個(gè)小方格上涂有不同的顏色，如圖18-25中〔4〕。既然每個(gè)1×2的小矩形都由一個(gè)白色格和一個(gè)黑色格組成〔因?yàn)槿齻€(gè)圖形的面積都是14個(gè)方格，把它們剪成1×2的小矩形，照面積來(lái)算，似乎都應(yīng)剪出7個(gè)來(lái)〕，要想剪出7個(gè)小矩形，當(dāng)然得有7個(gè)白格和7個(gè)黑格，但在圖18-25中，只有圖形〔1〕是這樣的，圖形〔2〕、〔3〕都有8個(gè)白格和6個(gè)黑格。故它們只能剪出6個(gè)小矩形。十九、對(duì)應(yīng)法解應(yīng)用題時(shí)要找出題中數(shù)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如解平均數(shù)應(yīng)用題需找出“總數(shù)量〞所對(duì)應(yīng)的“總份數(shù)〞；解倍數(shù)應(yīng)用題需找出具體數(shù)量和倍數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題需找出數(shù)量與分率的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，找出題中“對(duì)應(yīng)〞的數(shù)量關(guān)系，是解容許用題的根本方法之一。用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用題數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)對(duì)應(yīng)數(shù)量求未知數(shù)的解題方法，稱為對(duì)應(yīng)法。解答復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，關(guān)鍵就在于找出具體數(shù)量與分率的對(duì)應(yīng)關(guān)系。〔一〕解平均數(shù)應(yīng)用題在應(yīng)用題里，幾個(gè)不相等的數(shù)及份數(shù)，要求出總平均的數(shù)值，稱為求平均數(shù)應(yīng)用題。解平均數(shù)應(yīng)用題，要找準(zhǔn)總數(shù)量與總份數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后再按照公式例1同學(xué)們參加麥?zhǔn)談趧?dòng)。第一天收麥16畝，第二天上午收麥8畝，下午收麥12畝。平均每天收麥多少畝？〔適于三年級(jí)程度〕解：此題的總份數(shù)是2天〔注意：總份數(shù)不是3天〕，2天所對(duì)應(yīng)的總數(shù)量是〔16+8+12〕畝。所以，平均每天收麥畝數(shù)是：

〔16+8+12〕÷2=36÷2=18〔畝〕答略。例2服裝廠一、二月份共生產(chǎn)13356套服裝，三月份生產(chǎn)12030套服裝。第一季度平均每月生產(chǎn)多少套服裝？〔適于三年級(jí)程度〕解：此題的總份數(shù)是3個(gè)月〔注意：不是2個(gè)月〕，與3相對(duì)應(yīng)的總數(shù)是〔13356+12030〕套。所以，平均每個(gè)月生產(chǎn)服裝的套數(shù)是：

〔13356+12030〕÷3=25386÷3=8462〔套〕答略。例3河南鄉(xiāng)有兩塊稻谷實(shí)驗(yàn)田。第一塊8畝，平均畝產(chǎn)稻谷550千克；第二塊6畝，共產(chǎn)稻谷2880千克。這兩塊試驗(yàn)田平均畝產(chǎn)稻谷多少千克？〔適于四年級(jí)程度〕解：求平均畝產(chǎn)量，總份數(shù)就是總畝數(shù)〔8+6〕畝，和總份數(shù)對(duì)應(yīng)的總數(shù)量就是總產(chǎn)量〔550×8+2880〕千克。所以，這兩塊試驗(yàn)田平均畝產(chǎn)稻谷的數(shù)量是：

〔550×8+2880〕÷〔8+6〕=7280÷14=520〔千克〕答略。例4甲、乙兩地相距10.5千米。某人從甲地到乙地每小時(shí)走5千米，從乙地返回甲地每小時(shí)走3千米。求他往返的平均速度?！策m于五年級(jí)程度〕解：有的同學(xué)以〔5+3〕÷2=4〔千米/小時(shí)〕這種方法解答此題。這個(gè)算式里沒有某人走的總路程和與總路程所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，所以這種算法是錯(cuò)誤的。此題的總路程是10.5×2千米，與總路程相對(duì)應(yīng)的總時(shí)間是〔10.5÷5+10.5+3〕小時(shí)。所以他往返的平均速度是：

10.5×2÷〔10.5÷5+10.5÷3〕=21÷5.6=3.75〔千米/小時(shí)〕答略?！捕辰獗稊?shù)應(yīng)用題兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系以及它們的和，求這兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題，稱為和倍應(yīng)用題；兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系以及它們的差，求這兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題，稱為差倍應(yīng)用題?？偲饋?lái)講，各數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系和其他條件，求各個(gè)數(shù)量大小的這類應(yīng)用題，就叫做倍數(shù)應(yīng)用題。在解倍數(shù)應(yīng)用題時(shí)，要找準(zhǔn)具體數(shù)量和倍數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。然后，利用下面的公式求出1倍數(shù)，使問題得到解決。例1甲、乙兩筐中有重量相同的蘋果。由甲筐賣出75千克，由乙筐賣出97千克后，甲筐剩下蘋果的重量是乙筐剩下蘋果重量的3倍。乙筐現(xiàn)在有蘋果多少千克？〔適于四年級(jí)程度〕解：根據(jù)“由甲筐賣出75千克，由乙筐賣出97千克后，甲筐剩下蘋果的重量是乙筐剩下蘋果重量的3倍〞，可看出：由甲筐賣出的少，由乙筐賣出的多，甲筐剩下的多，乙筐剩下的少；乙筐剩下的蘋果是1倍數(shù)，甲筐剩下的蘋果是3倍數(shù)。甲筐剩下的蘋果比乙筐剩下的蘋果多：3-1=2〔倍〕這2倍數(shù)所對(duì)應(yīng)的數(shù)量是：97-75=22〔千克〕因?yàn)橐铱鹗Ｏ碌奶O果是1倍數(shù)，所以乙筐現(xiàn)在有蘋果：22÷2=11〔千克〕答略。例2甲、乙兩個(gè)糧庫(kù)共存糧食107噸。甲庫(kù)運(yùn)出23噸糧食后，乙?guī)焖婕Z是甲庫(kù)的3倍。甲糧庫(kù)原來(lái)存糧多少噸？〔適于五年級(jí)程度〕解：由題意“甲庫(kù)運(yùn)出23噸糧食后，乙?guī)焖婕Z食是甲庫(kù)的3倍〞可看出，甲庫(kù)運(yùn)出23噸糧食后，甲、乙兩庫(kù)共剩糧食：107-23=84〔噸〕甲庫(kù)存糧是1倍數(shù)，乙?guī)齑婕Z是3倍數(shù)，84噸所對(duì)應(yīng)的倍數(shù)是〔1+3〕倍。所以，甲庫(kù)現(xiàn)在存糧食：84÷〔1+3〕=21〔噸〕甲庫(kù)原來(lái)存糧食：21+23=44〔噸〕答略。例3春光農(nóng)場(chǎng)兩組工人收桔子。第一組收的桔子是第二組所收桔子的3倍少50千克，比第二組多收3150千克。兩組各收桔子多少千克？〔適于五年級(jí)程度〕解：因?yàn)榈谝唤M收的桔子比第二組多3150千克，是第二組的3倍少50千克，所以，第二組收的是1倍數(shù)。如果在3150千克之上增加50千克，那么第一組收的就是第二組的3倍。3150+50=3200〔千克〕這3200千克所對(duì)應(yīng)的倍數(shù)是：3-1=2〔倍〕第二組所收的桔子是：3200÷2=1600〔千克〕第一組所收的桔子是：

1600×3-50=4800-50=4750〔千克〕答略。〔三〕解行程應(yīng)用題在距離、速度、時(shí)間三個(gè)量中，其中兩個(gè)量而求另一個(gè)量的應(yīng)用題叫做行程應(yīng)用題。它可以分為一般行程應(yīng)用題、相向運(yùn)動(dòng)應(yīng)用題、同向運(yùn)動(dòng)應(yīng)用題〔追及應(yīng)用題〕三類。在解行程應(yīng)用題時(shí)，要找準(zhǔn)速度、時(shí)間和距離之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后再按照公式“速度×?xí)r間=距離〞、“速度和×相遇所需對(duì)間=原來(lái)相隔距離〞、“速度差×追及所需時(shí)間=追及距離〞來(lái)計(jì)算。答略。*例2一段路，客車行完要用12小時(shí)，貨車行完要用15小時(shí)?，F(xiàn)在兩車同時(shí)從兩地相向而行，相遇時(shí)客車行了150千米。求貨車行了多少千米。〔適于六年級(jí)程度〕解：作圖19-1。貨車行的路程是：270-150=120〔千米〕答略?！菜摹辰夥?jǐn)?shù)應(yīng)用題用分?jǐn)?shù)計(jì)算來(lái)解答的應(yīng)用題，叫做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。答略。

答略?！参濉辰夤こ虘?yīng)用題工程應(yīng)用題，是表達(dá)有關(guān)共同工作的問題。解答這類問題，是把全工程作為“1〞。用工作的時(shí)間去除全工程“1〞，可求單位時(shí)間的工作量；用單位時(shí)間的工作量去除全工程“1〞，可求出完成工程所用的時(shí)間。在解工程問題時(shí)，要找準(zhǔn)工作效率、工作時(shí)間和工作量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后再按照公式“工作效率×工作時(shí)間=工作量〞及其變形公式計(jì)算。例1甲、乙兩人合做一批機(jī)器零件。甲單獨(dú)做需要10小時(shí)完成，乙單獨(dú)做需要15小時(shí)完成。兩人合做5小時(shí)后，這批零件還剩30只。這批零件一共是多少只？〔適于六年級(jí)程度〕解：把這批零件的只數(shù)看作單位“1〞。甲單獨(dú)做需要10小時(shí)完成，甲答略。例2一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做12天可以完成，甲隊(duì)做了8天后，剩余的工程由乙隊(duì)做了5天完成。問乙隊(duì)單獨(dú)做每天可以完成這項(xiàng)工程的幾分之幾？〔適于六年級(jí)程度〕答略。二十、集合法我們?cè)谘芯恳恍﹩栴}時(shí)，可以把某一確定范圍內(nèi)的事物的全體看作是一個(gè)集合。例如，所有自然數(shù)就可以看作是一個(gè)集合。在小學(xué)一般用畫圖的方式表示集合，這種圖叫作韋恩圖〔韋恩是英國(guó)數(shù)學(xué)家〕。運(yùn)用集合的思想，利用韋恩圖進(jìn)行解題的方法叫做集合法。例1五年級(jí)一班有48人。在午后自習(xí)時(shí)，做完語(yǔ)文作業(yè)的有37人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？〔適于三年級(jí)程度〕解：由題意可知，做完語(yǔ)文作業(yè)的37人中有一局部只做完語(yǔ)文作業(yè)，另一局部既做完語(yǔ)文作業(yè)又做完數(shù)學(xué)作業(yè)。做完數(shù)學(xué)作業(yè)的42人中也是有一局部只做完數(shù)學(xué)作業(yè)，另一局部既做完數(shù)學(xué)作業(yè)又做完語(yǔ)文作業(yè)。所以，如果我們用A圓圈表示做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)，用B圓圈表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，那么兩個(gè)圓圈相交的陰影局部就表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)〔如圖20-1〕。從圖中可以看出，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)等于A圓圈的人數(shù)加上B圓圈的人數(shù)減去全班的總?cè)藬?shù)。37+42-48=31〔人〕答：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有31人。例2有110名學(xué)生參加書法和繪畫比賽，參加書法比賽的有72人，既參加書法比賽又參加繪畫比賽的有24人。參加繪畫比賽的有多少人？〔適于三年級(jí)程度〕解：可通過(guò)畫如圖20-2的韋恩圖來(lái)分析題意。A圓圈表示參加書法比賽的人數(shù)，B圓圈表示參加繪畫比賽的人數(shù)，兩圓圈相交的陰影局部表示既參加書法比賽又參加繪畫比賽的人數(shù)。由圖可知，參加繪畫比賽的人數(shù)應(yīng)等于總?cè)藬?shù)減去只參加書法比賽的人數(shù)。而只參加書法比賽的人數(shù)等于A圓圈的人數(shù)減去相交陰影局部的人數(shù)。只參加書法比賽的人數(shù)：72-24=48〔人〕參加繪畫比賽的人數(shù)：110-48=62〔人〕答略?！策m于六年級(jí)程度〕解：參加徑賽的有：根據(jù)題意作圖20-3從圖中可以看出，只參加田賽的人數(shù)是：276-230=46〔人〕兩種活動(dòng)都參加的人數(shù)是：184-46=138〔人〕答