27.1.2 第2課時 垂徑定理 華師版九年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)案

27.2圓的對稱性2.圓的對稱性第2課時垂徑定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.（重點）2.靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.（難點）自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1.圓是_____對稱圖形，它的對稱軸是____________________________.2.如圖，OA=_______,△OAB是_____三角形；若OD⊥AB，則AE=______,∠AOD=______,∴=_______.二、新知預(yù)習(xí)（預(yù)習(xí)課本P39-40）填空并完成練習(xí)：(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑______弦，并且______弦所對的兩條弧.(2)平分弦(不是直徑)的直徑______弦，并且_________弦所對的弧.(3)平分弧的直徑__________這條弧所對的弦.練習(xí)：如圖，⊙O中，若OD⊥AB于點C，OB=13，AB=24，則BC的長為，OC的長為.如圖，⊙O中，若C為AB的中點，OC=5，OB=13，則BC的長為，AB的長為.如圖，⊙O中，若D為弧AB的中點，AB=24，OC=5，則OB的長為.合作探究要點探究探究點1：垂徑定理及其推論做一做1.剪一張圓紙片，任意畫一條直徑CD后，再畫一條垂直于CD的弦AB，垂足為E.將紙片沿著直徑CD對折，對比AE和BE，和，和，你有什么發(fā)現(xiàn)？請證明你的結(jié)論.【要點歸納】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.推導(dǎo)格式：∵CD是直徑，CD⊥AB，∴AE=BE，，.想一想下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？（2）（3）（4）歸納總結(jié)：垂徑定理的幾個基本圖形【典例精析】例1如圖，OE⊥AB于點E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=cm.【針對訓(xùn)練】如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于點D，DC＝2cm，求半徑OC的長.【方法歸納】運用垂徑定理求線段長度時，常用做輔助線的方法如下：①連結(jié)半徑；②過圓心作弦的弦心距；③作垂直于弦的直徑，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.思考探索如果把垂徑定理結(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎？命題1如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.(1)CD⊥AB嗎？為什么？(2)與相等嗎？與相等嗎？為什么?【要點歸納】垂徑定理的推論——平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.命題2如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使D為的中點.(1)CD⊥AB嗎？請說明理由；(2)AE=BE嗎？請說明理由.【要點歸納】垂徑定理的推論——平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦.【典例精析】例2已知：⊙O中弦AB∥CD，求證：.方法一：證明：作直徑MN⊥AB.方法二：證明：取的中點M，連結(jié)OM.探究點2：垂徑定理的實際應(yīng)用例3如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱橋的半徑．【針對訓(xùn)練】如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，CD=10，EM=25．求⊙O的半徑．【方法歸納】在圓中涉及弦長a，半徑r，弦心距(圓心到弦的距離)d，弓形高h(yuǎn)的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.二、課堂小結(jié)垂徑定理內(nèi)容垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.推論一條直線滿足：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦(不是直徑)；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其他三個結(jié)論(“知二推三”).輔助線兩條輔助線：半徑，弦心距.基本圖形及變式圖形構(gòu)造直角三角形利用勾股定理直接計算或建立方程求解.當(dāng)堂檢測如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC=5cm，CD=8cm，則OE=____cm.第1題圖第2題圖第3題圖2.如圖，在⊙O中，弦AB為8mm，圓心O到AB的距離為3mm，則⊙O的半徑等于_____mm.3.如圖，⊙O的弦AB=8，半徑ON交AB于點M，M是AB的中點，且OM=3，則MN的長為________.4.如圖，AB、BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，垂足為D，若⊙O的直徑為5，BC=4，求AB的長.5.如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB上一點，且點P是弦CD的中點．

（1）依題意畫出弦CD，并說明畫圖的依據(jù)；（不寫畫法，保留畫圖痕跡）

（2）若AP=2，CD=8，求⊙O的半徑.6.如圖是輸水管的切面，陰影部分是有水部分，其中水面AB寬10cm，水最深3cm，求輸水管的半徑．參考答案自主學(xué)習(xí)知識鏈接1.軸直徑所在的直線2.OB等腰BE∠BOD二、新知預(yù)習(xí)（1）平分平分（2）垂直于平分（3）垂直平分練習(xí)：（1）125（2）1224（3）13合作探究一、要點探究探究點1：垂徑定理及其推論做一做：1.AE=BE，，證明如下：∵OA=OB，OD⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD，∴.∵，∴，∴.想一想：解：（1）是.(2)不是，因為沒有垂直.(3)是.（4）不是，因為CD沒有過圓心.【典例精析】例116【針對訓(xùn)練】解:連結(jié)OA，∵CE⊥AB于點D，∴設(shè)OC=x，則OD=x-2，根據(jù)勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5cm.即半徑OC的長為5cm.思考探索命題1解：（1）CD⊥AB.連結(jié)AO、BO，則AO=BO，又AE=BE，OE=OE,∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂徑定理可得=，=.命題2解：（1）CD⊥AB，理由如下：∵D為的中點，∴，∴∠AOB=∠BOD.即OD平分∠AOB.∵OA=OB，∴OD⊥AB，即CD⊥AB.（2）AE=BE.理由如下：由（1）知OA=OB，OD⊥AB，則AE=BE.【典例精析】例2方法一：證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則（垂直平分弦的直徑平分弦所對的?。唷?方法二：證明：取的中點M，連結(jié)OM.∴OM⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴，∴∴.探究點2：垂徑定理的實際應(yīng)用【典例精析】例3解：根據(jù)垂徑定理的推論，知此圓的圓心在CD所在的直線上，設(shè)圓心是O，連結(jié)OA、OD．根據(jù)垂徑定理，得AD=6，設(shè)圓的半徑是r，則OD=r-4.根據(jù)勾股定理，得r2=36+（r-4）2，解得r=6.5，

答：拱橋的半徑是6.5米．【針對訓(xùn)練】解：連結(jié)OC，∵M(jìn)是弦CD的中點，EM過圓心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，

∴CM=5．設(shè)OC=x，則OM=25-x，在Rt△COM中，根據(jù)勾股定理，得52+（25-x）2=x2．

解得

x=13．∴⊙O的半徑為13．當(dāng)堂檢測32.53.24.解：連結(jié)OB，∵AO⊥BC，垂足為D，BC=4，∴BD=CD=2，∠BDO=90°.

由勾股定理得OD=，∴AD=OA+OD=4.在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=5.解：（1）畫出弦CD，如圖．依據(jù)：垂直于弦的直徑平分弦．

（2）如圖，連結(jié)OD，∵OA⊥CD于點P，AB是⊙O的直徑，∴PD=CD.∵CD=8，∴PD=4．設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r，OP=OA-AP=r-2，在Rt△ODP中，OD2=