2024屆福州七中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆福州七中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．方程的解集為（）A．B．C．D．2．若直線過兩點，，則的斜率為（）A． B． C．2 D．3．如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．4．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含5．如圖為A、B兩名運動員五次比賽成績的莖葉圖，則他們的平均成績和方差的關(guān)系是（）A．， B．，C．， D．，6．已知點均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．7．函數(shù)f（x）=log3（2﹣x）的定義域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]8．在中，角所對的邊分別為.若，，，則等于（）A． B． C． D．9．過點作拋物線的兩條切線，切點為，則的面積為（）A． B． C． D．10．一個三角形的三邊長成等比數(shù)列，公比為，則函數(shù)的值域為（）A．（，+∞） B．[，+∞） C．（，－1） D．[，－1）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)在的內(nèi)部，且，的面積與的面積之比為______．12．已知圓的圓心在直線，與y軸相切，且被直線截得的弦長為，則圓C的標準方程為________.13．在等差數(shù)列中，若，且它的前n項和有最大值，則當取得最小正值時，n的值為_______.14．等比數(shù)列前n項和為，若，則______.15．若函數(shù)的反函數(shù)的圖象過點，則________．16．已知，若，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標系中，已知圓的方程為，過點的直線與圓交于兩點，．（1）若，求直線的方程；（2）若直線與軸交于點，設(shè)，，，R，求的值．18．已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)是直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，證明：經(jīng)過，，三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標.19．(1)計算(2)已知,求的值20．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點．（1）求證：平面；（2）求證：．21．在等差數(shù)列中，（Ⅰ）求通項；（Ⅱ）求此數(shù)列前30項的絕對值的和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用反三角函數(shù)的定義以及正切函數(shù)的周期為，即可得到原方程的解.【題目詳解】由，根據(jù)正切函數(shù)圖像以及周期可知：，故選：C【題目點撥】本題考查了反三角函數(shù)的定義以及正切函數(shù)的性質(zhì)，需熟記正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

直接運用斜率計算公式求解.【題目詳解】因為直線過兩點，，所以直線的斜率，故本題選C.【題目點撥】本題考查了斜率的計算公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力、識記公式的能力.3、D【解題分析】連結(jié)，∵，

∴是異面直線與所成角（或所成角的補角），

∵在直三棱柱中，，，，

∴，，，，

∴，

∴異面直線與所成角的余弦值為，故選D.4、B【解題分析】

計算圓心距，判斷與半徑和差的關(guān)系得到位置關(guān)系.【題目詳解】圓心距相交故答案選B【題目點撥】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，判斷圓心距與半徑和差的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.5、D【解題分析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，直接計算出平均值與方差，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題中數(shù)據(jù)可得，，，所以；又，，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查平均數(shù)與方差的比較，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、A【解題分析】

設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．由此可計算球半徑．【題目詳解】如圖，設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【題目點撥】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定球心位置求出球的半徑．7、C【解題分析】試題分析：利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．解：函數(shù)f（x）=log3（1﹣x）的定義域滿足：1﹣x＞0，解得x＜1．∴函數(shù)f（x）=log3（1﹣x）的定義域是（﹣∞，1）．故選C．考點：對數(shù)函數(shù)的定義域．8、B【解題分析】

利用正弦定理可求.【題目詳解】由正弦定理得.故選B.【題目點撥】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于容易題.9、B【解題分析】設(shè)拋物線過點的切線方程為，即，將點代入可得，同理都滿足方程，即為直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，可得，點到直線的距離，則的面積為，故選B.【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及弦長公式與點到直線距離公式，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.10、D【解題分析】

由題意先設(shè)出三邊為則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，分公比大于與公式在小于兩類解出公比的取值范圍，此兩者的并集是函數(shù)的定義域，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的值域，選出正確選項.【題目詳解】解：設(shè)三邊：則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，即

（1）當時，，即，解得；

（2）當時，為最大邊，，即，解得，

綜合（1）（2）得：，

又的對稱軸是，故函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

由于時，與時，，

所以函數(shù)的值域為，故選：D.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的值域的求法，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，能利用它建立不等式解出公比的取值范圍得出函數(shù)的定義域，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)也很重要，由此類題可以看出，扎實的雙基，嫻熟的基礎(chǔ)知識與公式的記憶是解題的知識保障.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1:3【解題分析】

記,，可得：為的重心，利用比例關(guān)系可得：，,，結(jié)合：即可得解.【題目詳解】記,則則為的重心，如下圖由三角形面積公式可得：，,又為的重心，所以，所以所以【題目點撥】本題主要考查了三角形重心的向量結(jié)論，還考查了轉(zhuǎn)化能力及三角形面積比例計算，屬于難題.12、或【解題分析】

由圓心在直線x﹣3y＝0上，設(shè)出圓心坐標，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，距離d，由圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．【題目詳解】設(shè)圓心為（3t，t），半徑為r＝|3t|，則圓心到直線y＝x的距離d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圓心是（3，1）或（-3，-1）故答案為或．【題目點撥】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式．根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．13、.【解題分析】試題分析：因為等差數(shù)列前項和有最大值，所以公差為負，所以由得，所以，＝，所以當時，取到最小正值．考點：1、等差數(shù)列性質(zhì)；2、等差數(shù)列的前項和公式．【方法點睛】求等差數(shù)列前項和的最值常用的方法有：(1)先求，再利用或求出其正負轉(zhuǎn)折項，最后利用單調(diào)性確定最值；(2)利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得前項和的最值；（3）利用等差數(shù)列的前項和(為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．14、【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比，從而列出關(guān)系式，又，接著用表示，代入到關(guān)系式中，可求出的值.【題目詳解】因為等比數(shù)列的前n項和為，則成等比，且，所以，又因為，即，所以，整理得.故答案為：.【題目點撥】本題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道基礎(chǔ)題。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比.15、【解題分析】

由反函數(shù)的性質(zhì)可得的圖象過，將代入，即可得結(jié)果.【題目詳解】的反函數(shù)的圖象過點，的圖象過，故答案為．【題目點撥】本題主要考查反函數(shù)的基本性質(zhì)，意在考查對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由條件利用正切函數(shù)的單調(diào)性直接求出的值．【題目詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，若，則，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查正切函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）設(shè)斜率為，則直線的方程為，利用圓的弦長公式，列出方程求得的值，即可得到直線的方程；（2）當直線的斜率不存在時，根據(jù)向量的運算，求得，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及向量的運算，求得，得到答案．【題目詳解】（1）當直線的斜率不存在時，，不符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線的方程為，所以圓心到直線的距離，因為，所以，解得，所以直線的方程為．.（2）當直線的斜率不存在時，不妨設(shè)，，，因為，，所以，，所以，，所以．當直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線的方程為：，因為直線與軸交于點，所以．直線與圓交于點，，設(shè)，，由得，，所以，；因為，，所以，，所以，，所以．綜上，．【題目點撥】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及向量的坐標運算，其中解答中熟記圓的弦長公式，以及聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量的運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．18、(1)圓：.(2)證明見解析；，.【解題分析】

（1）設(shè)出圓心坐標，利用點到直線距離公式以及圓的弦長列方程，解方程求得圓心坐標，進而求得圓的方程.（2）設(shè)出點坐標，根據(jù)過圓的切線的幾何性質(zhì)，得到過，，三點的圓是以為直徑的圓.設(shè)出圓上任意一點的坐標，利用，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算進行化簡，得到該圓對應(yīng)的方程，根據(jù)方程過的定點與無關(guān)列方程組，解方程組求得該圓所過定點.【題目詳解】解：（1）設(shè)圓心，則圓心到直線的距離.因為圓被直線截得的弦長為∴.解得或（舍），∴圓：.（2）已知，設(shè)，∵為切線，∴，∴過，，三點的圓是以為直徑的圓.設(shè)圓上任一點為，則.∵，，∴即.若過定點，即定點與無關(guān)令解得或，所以定點為，.【題目點撥】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查圓的弦長有關(guān)計算，考查曲線過定點問題的求解策略，考查向量數(shù)量積的坐標運算，屬于中檔題.19、(1)1+；（2）.【解題分析】

（1）利用對數(shù)的運算法則計算得解；（2）先化簡已知得,再把它代入化簡的式子即得解.【題目詳解】（1）原式=1+；（2）由題得，所以.【題目點撥】本題主要考查對數(shù)的運算，考查誘導(dǎo)公式化簡求值和同角的三角函數(shù)關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

(1)連接與與交于點，在利用中位線證明平行.(2)首先證明平面，由于平面，證明得到結(jié)論.【題目詳解】證明：（1）連接與交于點，連接因為底面為菱形