第一課時組合與組合數(shù)公式

6．2.3&6.2.4組合組合數(shù)第一課時組合與組合數(shù)公式知識點一組合的定義(一)教材梳理填空1．組合的定義一般地，從

作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．n個不同元素中取出m(m≤n)個元素2．排列與組合的相同點與不同點(二)基本知能小試下列四個問題屬于組合問題的是

(

)A．從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從0,1,2,3,4這5個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字，組成一個三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)出席學(xué)校運動會開幕式D．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長和學(xué)習(xí)委員解析：A、B、D項均為排列問題，只有C項是組合問題．答案：C

知識點二組合數(shù)及組合數(shù)公式(一)教材梳理填空[微思考]

如何理解組合與組合數(shù)這兩個概念？提示：同“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念一樣，“組合”與“組合數(shù)”也是兩個不同的概念，“組合”是指“從n個不同元素中取m(m≤n)個元素作為一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)．題型一組合的有關(guān)概念

[學(xué)透用活]如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管它們的順序如何都是相同的組合，當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同(即使只有一個元素不同)時，就是不同的組合.例如，從a，b，c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合有3個，它們分別是ab，ac，bc.ba，ab是相同的組合，而ab，ac是不同的組合.[典例1]

(1)給出下列問題：①從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選法？②從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？③a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？④a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？⑤某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？⑥某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？在上述問題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？(2)已知A，B，C，D，E五個元素，寫出每次取出3個元素的所有組合．[解]

(1)①2名學(xué)生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題．②2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題．③單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題．④冠亞軍是有順序的，是排列問題．⑤命中的4槍均為2槍連中，為相同的元素，沒有順序，是組合問題．⑥命中的4槍中恰有3槍連中，即連中3槍和單中1槍，有順序，是排列問題．(2)法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序?qū)懗?，即所以所有組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.法二：畫出樹形圖，如圖所示．由此可以寫出所有的組合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.寫出有關(guān)問題的組合的方法(1)利用列舉的方法從n個不同元素中選出m個元素的所有組合，如“順序后移法”或“樹形圖法”，可直觀地寫出組合，做到不重復(fù)不遺漏．(2)由于組合與順序無關(guān)，故利用“順序后移法”時箭頭向后逐步推進，且寫出的一個組合不可交換位置．如寫出ab后，不必再交換位置為ba，因為它們是同一組合．畫“樹形圖”時，應(yīng)注意頂層及下枝的排列思路，防止重復(fù)或遺漏．

[對點練清]1．判斷下列問題是排列問題，還是組合問題．(1)從集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取兩個數(shù)相加，得到的和共有多少個？(2)從集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取兩個數(shù)相除，得到的商共有多少個？(3)四個人互發(fā)一個電子郵件，共寫了多少個電子郵件？解：(1)從集合A中取出兩個數(shù)后，改變兩個數(shù)的順序，其和不變．因此其和的值與元素的順序無關(guān)，是組合問題．(2)從集合A中取出兩個數(shù)相除，若改變其分子、分母的位置，其結(jié)果就不同，因此其商的值與元素的順序有關(guān)，是排列問題．(3)四人互發(fā)電子郵件，由于發(fā)信人與收信人是有區(qū)別的，與順序有關(guān)，故是排列問題．2．已知a，b，c，d這四個元素，寫出每次取出2個元素的所有組合．解：可按a→b→c→d順序?qū)懗?，即所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd.題型三簡單的組合應(yīng)用問題

[學(xué)透用活][典例3]現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有多少種不同的選法？(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？解簡單的組合應(yīng)用題的策略(1)解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān)．(2)要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用．[提醒]

在分類和分步時，一定注意有無重復(fù)或遺漏．

[對點練清]1．本例其他條件不變，問題變?yōu)閺闹羞x2名教師參加會議，則至少有1名男教師的選法有________種；最多有1名男教師的選法有________種．2．集合{0,1,2,3}中含有3個元素的子集個數(shù)是________．試分析甲、乙兩位同學(xué)的解題過程是否正確？原因何在？提示：甲同學(xué)錯誤，乙同學(xué)正確．甲同學(xué)錯誤的根本原因在于忽視了m的取值范圍，解決此類問題一定要明確組合數(shù)C的意義，特別注意0≤m≤n.二、應(yīng)用性——強調(diào)學(xué)以致用2．2022年春節(jié)期間，因新冠肺炎疫情防控工作需要，M，N兩社區(qū)需要招募義務(wù)宣傳員，現(xiàn)有A，B，C，D，E，F(xiàn)六位大學(xué)生和甲、乙、丙三位黨員教師志愿參加，現(xiàn)將他們分成兩個小組分別派往M，N兩社區(qū)開展疫情防控宣傳工作，要求每個社區(qū)都