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文檔簡介
2020考研數(shù)學(xué)三真題及答案一、選擇題:1~8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.設(shè)limf(xa
,則limsinf(x)sina( )xa
xa
xa
xabsinabcosabsinf(a)bcosf(a)【答案】B【解析】limsinf(x)sinalimsinf(x)sinaf(x)acosf(x)
bbcosf(a)xa
xa
xa
f(x)a xa
xa設(shè)f(x)u,則limsinf(x)sina=lim
sinusinacosu
cosf(a)xa
f(x)
uf(a)
u
uf(a)limsinf(x)sinalimsinf(x)sinaf(x)alimsinf(x)sinalimf(x)a xa
xa
xa
f(x)a x
xa=bcos
f(x)a
xa
xaf(x)(A).1(B).2(C).3
1exex1ln1x(ex1)(x2)
,則第二類間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為()(D).4【答案】C【解析】本題考查的是第一類間斷點(diǎn)與第二類間斷點(diǎn)的定義,判斷間斷點(diǎn)及類型的一般步驟為:找出無定義的點(diǎn)(無意義的點(diǎn));2.求該點(diǎn)的左右極限;3.按照間斷點(diǎn)的定義判定。第二類間斷點(diǎn)的定義為f(x0),f(x0)至少有一個(gè)不存在,很顯然f(x)不存在的點(diǎn)為x1,x0,x1,x2。x1limx1
f(x),limx1
f(x);x0
limx0
f(x)limx0+
f(x)=1;2e1x1limex1
1,limex1,limf(x)0,limf(x);x1x2limx2
x1f(x),limx2+
f(x)+;
x1+所以,第二類間斷點(diǎn)為3個(gè)。對(duì)奇函數(shù)f(x)在(,)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則( )cosf(tf(t)dt是奇函數(shù)x00cosf(tf(t)dt是偶函數(shù)x00xcosf(tf(t)dt是奇函數(shù)00xcosf(tf(t)dt是偶函數(shù)00【答案】:A【解析】f(x)
為奇函數(shù),則其導(dǎo)數(shù)f(x)
為偶函數(shù),又cosx為偶函數(shù),則cosf(x)cosf(x)
,則cosf(x)為偶函數(shù),故cosf(x)f(x)
為偶函數(shù),以0為下限、被A;對(duì)于C和Df(x為偶函數(shù),則cosf(x)cosf(x)為偶函數(shù),f(x)為奇函數(shù),則cosf(x)f(x)
既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)。 (4).已知冪級(jí)數(shù)na(x2)n的收斂區(qū)間為(26),則a(x1)2n的收斂區(qū)間為nn1
nn1(A).(-2,6)(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【答案】Ba (x1)2n2 a【解析】由比值法可知,冪級(jí)數(shù)收斂時(shí),limn1 limn1(x1n a(x1)2n
na則要求a(x2)2n的收斂區(qū)間,只需要求出lim
n nanan1annn1
nn而條件告訴我們冪級(jí)數(shù)na(x2)n的收斂區(qū)間為(26)4nlimn
lim(n(n1)an1nan
n1
n1nn1n anan1ann4an1an則lim (x1)2n1(x1,即3xan1ann4所以本題選B。設(shè)4階矩陣A(ij)12的代數(shù)余子式1201,α2,3,α4為矩陣A的列向量組,為A的伴隨矩陣,則x0的通解為( )(A)xk2α2k3α3(C)xk2α3k3α4
(B)xk2α2k3α4(D)xk2α3k3α4【答案】(C)AaA0及rA4A0O且ααα線性無關(guān)(無ij 12 1 3 4關(guān)組的延長組仍無關(guān),故rA)3及r1x03A
AEOAx0xkαkαkα。11 23 34A3α1α2A的特征值1對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,α3A的特1 0 0征值1的特征向量。若存在可逆矩陣P,使得P1AP0 1 0,則P可為( )(A)α3,α2,α3)(C)α3,α3,α2)
0 0 1 (B)α2,α2,α3)(D)α2,α3,α2)【答案】(D)【解析】因?yàn)棣?α2A的特征值1對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,故α2α2仍為特征值1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量;因?yàn)棣?A的特征值1的特征向量,故α3仍為特征值1Pα2α3α2,1 0 0就有P1AP0 1 0。
0 0 1 PAPBPC1,PAB0,PACPBC14
,則A,B,C恰好發(fā)生一個(gè)的概率為( )3423(C).12(D).512【答案】(D)【解析】P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A
BUC)P(B
AUC)P(C
AUB)P(A)P(AB)P(AC)P(ABC)P(B)P(AB)P(BC)P(ABC)P(C)P(AC)P(BC)P(ABC)又ABCAB,P(ABC)P(AB)0114
114
11154 12 12 12.若二維隨機(jī)變量X,Y服從 1則下列服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且與X獨(dú)立的N2 2是( )(A).(B).(C).(D).
5XY55XY53XY33XY3【答案】(C)【解析】X~N,Y~N(0,4)XY
12DX DYD(XY)DXDY2DX DY
3,XY~N
3XY~N(0,1)3DX DY又cov(X,XY)cov(X,X)cov(X,Y)DXXY DX DYX
3XY獨(dú)立3二、填空題:9~14小題,每小題4分,共24分.(0,π)zarctanxysin(xy),則dz .(0,π)(0,π)【答案】dz (π1)dxdy(0,π)【解析】dzdx
ycos(xy)1ysin(xy)
,dzdy
xcos(xy)1ysin(xy)
,將x0,yπ
帶入可知,(0,π)dz (π1)dxdy(0,π)xye2xy0,求曲線在點(diǎn)(0處的切線方程【答案】yx1xye2xy0x求導(dǎo)有dy+e2xy(2y2xdy0x0y1帶入dx dx可知dy1,所以切線方程為yx1dx設(shè)產(chǎn)量為QP,廠商成本函數(shù)為C(Q10013QQ(P求廠商取得最大利潤時(shí)的產(chǎn)量
800P
2,【答案】Q8【解析】由Q(P)
800P
2可知P
800Q
3,則利潤函數(shù)為L(Q)
800
, dL(Q)
1600
16,令dL(Q)0可得,Q8,此時(shí)Q
3
(10013Q)
dQ (Q2)2 dQ d2L(Q)dQ2
3200(Q
0,故取得最大利潤設(shè)平面區(qū)域D(x,y)xy 1 ,x,則求D繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積 2 1x2 【答案】π(ln21)311 2 3【解析】由題意列式得V 2πx 1 xdxπl(wèi)n(1x)1x
π(ln21)0 1x2
2 3 3 0a 0 1 1行列式0
1 11 1 a 01 1 0 a【答案】a2(a24).【解析】1 1 1 1 1 1 1 1
a 1 1
a 2 1原式=a0
a 1 1a0 a
1 1a
a1
a22
1a2(a24).1 1 a 0 0
a1
0 a
0 0 11 1 0
0 0 a a隨機(jī)XPXk解析
1k1,2,...,YX3EY2k0
3n
11n1
n18n3n1
7114n0
n028n 723n2
112n0EY011422
n048n 77 7 7 7三、解答題:15~23小題,共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)設(shè) 為常數(shù),且當(dāng) 時(shí), 與 為等價(jià)無窮小求 的值.【解析】①,由于 ,則 ,且①式 ,得 .(16)(10fxyx38y3xy的極值.【解析】,解得 , .且 , , .討論:①對(duì)于 ,求得 ,因 ,則 不為極值點(diǎn);②對(duì)于 求得 因 且 則 為小值點(diǎn),且極小值為.(17)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù) 滿足,且有 .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)設(shè) ,求.【解析】(Ⅰ)由得,解得 ,則 ,又由 得,則 .(Ⅱ),則 .(18)( 本 題 滿 分 10 分 ) 設(shè) 區(qū) 域 , ,計(jì)算 .【解析】設(shè) ,則,兩邊同取積分得.則 .(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù) Mmax f x0,2
fx02上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).
f0
f20,證:(1)存在02(2)x02
fMfxM,則M0.證明:(1)M0f(x)0,顯然成立.M0時(shí),不妨設(shè)在點(diǎn)c((0,2))處取得最大值|f(c)|M.f(c)f(0)c0由拉格朗日中值定理得,存在(0,cf(c)f(0)c0
=M;存在2(c,2),使得|f(2
1f(2)f(cf(2)f(c)2c
1 cM;2c所以M
M)(
M)
2(c1)2
?0,即
M與
之間,從而有c 2c c(2c) c 2c|ff(2)|,結(jié)論得證.(Ⅱ)當(dāng)c1時(shí),采用反證法,假設(shè)M0.則|f(1)|>M或|f(2)|>M,與已知矛盾,假設(shè)不成立.當(dāng)c1時(shí),此時(shí)|f(1)|M,易知f(1)0.設(shè)G(x)
f(xMx
1;則有G(x)
f(x)
0,從而G(x)單調(diào)遞減.又G(0)0,從而G(x)0f(x)Mxx1.因此f(1)M,從而M0.綜上所述,最終M0(20)(本題滿分11分)二次型f(x,x)x24xx4x2經(jīng)正交變換x1Qy1化為二次型1 2 1 12
x ygyyay24yyby2。求:
2 21 2 1 12 2ab的值;正交矩陣Q
4 3【答案】(I)a4b1;(II)Q
5 5. 3 4【解析】(I)xyA
5 52,B
2
xTAx,gyTBy。x y 2 4 2 b2 2 因?yàn)閤Qy,故fyTQTAQy,所以BQTAQ,其中Q為正交矩陣。所以,B相似,故特征值相同,故tr()tr(B)知,ab5
,故a4,b1。AB ab40(II)
A120,tr(A)125,知A,B的特征值均為15,20。解齊次線性方程組EAx0及EBx0,求特征向量并直接單位化,對(duì)5,由5EA4 22 1知,α
11;2 1 0 1 2 1 0
1 52 對(duì)0,由0EA1 21 2知,α
12;2 2 4 0 0
2 51 B的屬于特征值5β
12,51 1 5B的屬于特征值0的特征向量為β
11. 記Qαα
211 2,
2(β,β)
5212 1,就有1 1
52 1
2 1
5
2 QTAQ
QT
5 0,0 BQQTAQQT0
1 1 2 2 21 12
4 3QT
11 2
2 1
5 5,12 52 1
5
2 3 4
5 5則BQTAQf(xxxQygyy。1 2 1 2(21)(本題滿分11分)設(shè)A為2階矩陣,P(α,Aα),α是非零向量且不是A的特征向量。P可逆;A2αAα6α0P1APA是否相似于對(duì)角矩陣。【解析】(I)設(shè)k1αk2Aα0k20,則由α0知0;②若k0,則Aαk1α,所以α是A的屬于特征值k1的特征向量,與已知條件產(chǎn)生 kk2kk2 2矛盾。所以,k1k20,向量組α,Aα線性無關(guān),故矩陣P可逆。(II)因?yàn)锳2α6αAα,所以,(Aα,A2α)(Aα,6αAα)(α,Aα)0 6,1 1 記B0 6,因此,1 1 A(α,Aα)(α,Aα)0 6,1 1 即APPB,由P可逆知B相似且P1APB0 6。1 1 由EB 6(2)(0知,矩陣B的特征值均為2,
3,1 1 1 2因?yàn)樘卣髦祷ゲ幌嗤示仃嘇相似于對(duì)角矩陣2 0。0 3 (22)(本題滿分11分)二維隨機(jī)變量X,Y在區(qū)域Dx,y0y
1x2上服從均勻分布,且0,XY012Z1,X0,XY012
1,XY0 XY, 01 2 1 求(1)二維隨機(jī)變量ZZ1 2 1 【解析】(1)
x,
,x,y2,x,yD
,所以可計(jì)算11PZPZ11
0,0,
0PXY0,
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