《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》單元課時教學設計

人教A版高中數(shù)學必修第一冊

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

一、單元內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具，在解決實際問題中

發(fā)揮重要作用.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的主線.

本單元的教學設計是圍繞著兩大基本初等函數(shù)展開，進一步理解函數(shù)模型是描述客觀世界

中變量關系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具.結合實際問題，體驗數(shù)學模型的文化內(nèi)涵，體會建

立數(shù)學模型的應用價值。通過多元化的評價，讓學生感受建立數(shù)學模型的魅力.

具體來看，本章包括五節(jié)內(nèi)容：4.1指數(shù)，4.2指數(shù)函數(shù)，4.3對數(shù)，4.4對數(shù)函數(shù)，4.5

函數(shù)的應用（二）.這一結構體系體現(xiàn)了研究一個數(shù)學對象及其應用的基本思路和方法.本單元

的知識結構圖如下：

本章教學約需13課時，大致分配如下：

（1）4.1指數(shù).本節(jié)含2課時：n次方根與分數(shù)指數(shù)幕；無理數(shù)指數(shù)累及其運算性質(zhì).

（2）4.2指數(shù)函數(shù).本節(jié)含2課時：指數(shù)函數(shù)的概念；指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).

（3）4.3對數(shù).本節(jié)含2課時：對數(shù)函數(shù)的概念；對數(shù)的運算.

（4）4.4對數(shù)函數(shù).本節(jié)含3個課時：對數(shù)函數(shù)的概念；對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；不同函

數(shù)增長的差異.

（5）4.5函數(shù)的應用（二）.本節(jié)含4個課時：函數(shù)的零點與方程的解；用二分法求方程

的近似解；函數(shù)模型應用（1）：用函數(shù)模型解決實際問題；函數(shù)模型的應用（2）：選擇函數(shù)

模型解決實際問題.

（6）小結.本節(jié)含2個課時：回顧4.1指數(shù)，4.2指數(shù)函數(shù)，4.3對數(shù)和4.4對數(shù)函數(shù)，

梳理其知識結構，對典型題型進一步的鞏固訓練；回顧4.5函數(shù)的應用(二)，梳理其知識結

構，對典型題型進一步的鞏固訓練.

2.內(nèi)容解析

(1)內(nèi)容的本質(zhì)：

(i)為研究指數(shù)函數(shù)，需要把整數(shù)指數(shù)累推廣到實數(shù)指數(shù)累，從而為研究指數(shù)函數(shù)和對

數(shù)函數(shù)奠定基礎.

(ii)指數(shù)函數(shù)是刻畫呈指數(shù)增長或衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型，是解決實際問題的重要工

具，同時，指數(shù)函數(shù)為今后學習對數(shù)函數(shù)以及等比數(shù)列的性質(zhì)做準備.

(iii)對數(shù)是指數(shù)基中指數(shù)的一種等價表示形式，利用指對數(shù)互換理解并推導對數(shù)的運算

性質(zhì).

(iv)將對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)建立聯(lián)系，體會從不同的函數(shù)模型理解同一變化規(guī)律的實際

問題，體會指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

(v)函數(shù)的內(nèi)部應用：結合函數(shù)零點的兩種理解思路，二分法求方程的近似解；函數(shù)的

外部應用：函數(shù)模型的實際應用，用函數(shù)建立數(shù)學模型解決實際問題的基本過程.

(2)蘊含的數(shù)學思想和方法：

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)都是學生在系統(tǒng)學習函數(shù)概念和掌握了函數(shù)性質(zhì)基礎上進行研究的，

是兩個很重要的基本初等函數(shù)之一，學生需要通過觀察、分析、探究等一系列的思維活動，由

具體的問題和圖象進行歸納、演繹，并通過抽象概括或推理得出其本質(zhì)，從而得到有關概念和

性質(zhì)，其中蘊涵著豐富的數(shù)學思想方法.

具體如下：

(i)4.1指數(shù)：指數(shù)累的推廣實質(zhì)是將指數(shù)的范圍進行逐步推廣，使其對任意的實數(shù)都有

意義，推廣的思想方法與數(shù)系擴充的思想基本一致，就是將優(yōu)的指數(shù)x的范圍逐步推廣到全體

實數(shù)，而在推廣過程中要使指數(shù)運算性質(zhì)得到保持.在推廣的過程中體現(xiàn)了由特殊到一般、由

具體到抽象、用有理數(shù)指數(shù)累逼近無理數(shù)指數(shù)基的極限思想，并從數(shù)和形兩個角度認識到無理

數(shù)指數(shù)累是一個確定的實數(shù)，進而理解無理數(shù)指數(shù)基.

(ii)4.2指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)是刻畫呈指數(shù)增長或衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型，其概念的

教學，應該在函數(shù)概念的基礎上，重點揭示指數(shù)增長或衰減的規(guī)律.應按“事實一概念”的路

徑，即學生要經(jīng)歷“背景一研究對象一對應關系的本質(zhì)一定義”的過程.學生在經(jīng)歷這個過程

而形成指數(shù)函數(shù)的概念.在了解指數(shù)函數(shù)的背景后，再描點作出指數(shù)函數(shù)的圖象，從而概括指

數(shù)函數(shù)的性質(zhì).在指數(shù)函數(shù)定義和性質(zhì)形成的過程中體現(xiàn)了抽象與概括、特殊與一般、數(shù)形結

合等思想.

(iii)4.3對數(shù)：對數(shù)是指數(shù)累中指數(shù)的一種等價表示形式，已知底數(shù)和幕，求指數(shù)，明

確引入對數(shù)的必要性，再通過指數(shù)基運算推導對數(shù)運算的性質(zhì).在研究對數(shù)的概念和對數(shù)的運

算性質(zhì)時，運用了指對數(shù)互換、對數(shù)運算是指數(shù)運算的一種逆運算，以及對數(shù)的運算性質(zhì)降低

了運算的級別，簡化了運算，體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的思想.

(iv)4.4對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)可以從不同的角度刻畫同一個問題的變化規(guī)律,

是基本初等函數(shù)的再拓廣，是研究函數(shù)路徑“背景一一概念一一圖象與性質(zhì)一一應用”的再

強化.在引入對數(shù)函數(shù)的概念上，運用了特殊到一般和數(shù)形結合的思想，從而邏輯推理出對數(shù)

函數(shù)的概念；在探究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，與指數(shù)函數(shù)類似，描點作圖，概括對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，

體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，并體會同底的指對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，進一步理解指對數(shù)運算的

互換和逆運算的思想.

（V）4.5函數(shù)的應用（二）：函數(shù)的內(nèi)部應用的研究路徑是“函數(shù)零點的概念一一函數(shù)

零點存在定理一一應用函數(shù)零點存在定理和函數(shù)性質(zhì)判定方程的解”，在函數(shù)的零點與方程的

解的轉(zhuǎn)換過程中，逐步滲透化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結合思想.在了解函數(shù)的零

點的兩種理解思路的基礎上，再探究用二分法求方程的近似解，即滲透了逼近的思想和算法思

想，又讓學生經(jīng)歷了觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括的過程，進一步強化函數(shù)與方程的思想.

函數(shù)的外部應用即函數(shù)模型的實際應用，引導學生認識“直線上升”“指數(shù)爆炸”“對數(shù)

增長”的差異，同時指導學生如何從實際情境中用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過分析問題、

構建模型、求解結論、驗證結果，以達到分析和解決問題的能力，體現(xiàn)了建立函數(shù)模型解決實

際問題的數(shù)學思想，即數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

（3）知識的上下位關系：

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是兩大基本初等函數(shù)之一，在高中數(shù)學課程中，《課標（2017年版）

2020年修訂》把指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的內(nèi)容安排在必修課程“主題二函數(shù)”中，把“函數(shù)的

概念與性質(zhì)”、“事函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)”“三角函數(shù)”“函數(shù)應用”視為一個整體.從

整體上看，在學習指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一章之前所學的是函數(shù)的概念與性質(zhì)，這樣集中安排函

數(shù)內(nèi)容學習有利于函數(shù)學習經(jīng)驗的運用、函數(shù)知識的系統(tǒng)構建；從章節(jié)內(nèi)部來看，教材是按照

“背景一概念一圖象和性質(zhì)一應用”的邏輯呈現(xiàn)，通過經(jīng)典的年增長率和碳14的年衰減率變

化進行引入，讓學生感知指數(shù)增長和指數(shù)衰減，以說明引入指數(shù)函數(shù)的必要性，在探究指數(shù)函

數(shù)的概念和圖象及性質(zhì)的基礎上，再結合指對數(shù)互換再探究對數(shù)函數(shù)的概念和圖象及性質(zhì)這是

“來龍”；將抽象的知識運用到實際生活中以解決指數(shù)爆炸和對數(shù)增長的問題，這是“去脈”，

同時指數(shù)函數(shù)也是后續(xù)研究數(shù)列問題的重要載體.

具體如下：

（i）4.1指數(shù)：學生在初中階段接觸過整數(shù)指數(shù)累及其運算性質(zhì)，為了研究實數(shù)指數(shù)累,

就要先定義n次方根的概念，從而得根式的性質(zhì)，進而引入分數(shù)指數(shù)幕及其運算性質(zhì)，合二

為一得有理數(shù)指數(shù)塞及其運算性質(zhì)；無理數(shù)指數(shù)塞及其運算性質(zhì)是上一節(jié)內(nèi)容的延伸，從而建

立實數(shù)指數(shù)幕，并研究其運算，為指數(shù)函數(shù)且arl）的學習奠定了基礎.

（ii）4.2指數(shù)函數(shù)：學生在初中階段已經(jīng)學習過增加量和增長率的相關概念，為了研究

指數(shù)增長和指數(shù)衰減模型，需先抽象概括指數(shù)函數(shù)的概念，在刻畫其本質(zhì)特征：在自變量增加

1個單位，即自變量從與變化到與+1時，相應的函數(shù)值之比冬季=。為常數(shù).了解指數(shù)函數(shù)

/Uo）

模型是刻畫增長率（衰減率）為定值這一變化規(guī)律的基本事實后，借助研究事函數(shù)的經(jīng)驗，研

究指數(shù)函數(shù)這一基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而強化指數(shù)描述的變化規(guī)律，進一步理解函數(shù)

的概念，并利用指數(shù)函數(shù)建立數(shù)學模型解決實際問題.為后續(xù)學習指對數(shù)互換，指數(shù)函數(shù)與對

數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)提供了理論基礎.

(iii)4.3對數(shù)：在器a，=N中，已知底數(shù)a和累N,求指數(shù)x,顯然這種運算與指數(shù)基的

值及底數(shù)的值緊密聯(lián)系，這就是要引入的對數(shù)，即指數(shù)運算的一種逆運算，從而說明引入對數(shù)

的必要性；結合指數(shù)表達與對數(shù)表達的互換，探究對數(shù)的性質(zhì)，再結合指數(shù)的運算性質(zhì)，探究

對數(shù)運算的性質(zhì).這為接下來要學習的對數(shù)函數(shù)打下基礎.

(iv)4.4對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)可以從不同角度刻畫同一問題的變化規(guī)律，進

一步強化理解指對數(shù)互換的應用；對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：與指數(shù)函數(shù)類似，用對數(shù)函數(shù)的圖

象探究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并用所得到的性質(zhì)進一步理解對數(shù)函數(shù)的圖象.在了解對數(shù)函數(shù)的圖

象和性質(zhì)后，結合指對數(shù)互換，并建立與指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的聯(lián)系，按照函數(shù)的三要素來

認識他們之間的關系，其中指數(shù)函數(shù)的定義域是對數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的值域是對數(shù)函數(shù)

的定義域，從而理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；不同函數(shù)增長的差異：對比增加量和增

長率的差異，理解“指數(shù)爆炸”的含義，并結合指對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，從而再理解“對數(shù)增

長”的含義，進而理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的增長差異.這部分的內(nèi)容也

為后續(xù)的數(shù)學建模積累了必要的數(shù)學模型，為解決簡單的實際問題做好準備.

(v)4.5函數(shù)的應用(二)：前面的第二章“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”已經(jīng)

初步建立了方程的根一方面可以理解為函數(shù)的零點，另一方面還可以理解為函數(shù)的圖象與x軸

交點的橫坐標，為函數(shù)的內(nèi)部應用，利用所學過的函數(shù)研究一般方程的解提供了類比學習的依

據(jù)；用二分法求方程的近似解是函數(shù)與方程的延續(xù)，加強了函數(shù)的應用，拓展了方程的思想方

法.同時前面的學習的第三章“函數(shù)的應用(一)”已經(jīng)初步了解了函數(shù)的實際應用(外部應

用)，結合本章學習的指對數(shù)函數(shù)，可以建立實際問題的函數(shù)模型，并通過函數(shù)模型反映實際

問題的變化規(guī)律，從而分析和解決實際問題，使學生進一步理解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，學會選

擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.這為后續(xù)的怎樣用函數(shù)構建數(shù)學模型解決實際

問題打好了基礎.

(4)育人價值：

(i)4.1指數(shù)：引入一種新的數(shù)，就要研究它的運算：定義一種運算，就要研究它的運算

律.定義運算是數(shù)系擴充中的核心問題，其基本原則是“使算術運算的運算律保持不變”，它

反映了數(shù)學推廣過程的一個重要特性：使得在原來的范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成

立.所以將整數(shù)指數(shù)幕推廣到實數(shù)指數(shù)幕的過程體現(xiàn)了數(shù)學思維的嚴謹性、數(shù)學思想方法的前

后一致性和邏輯的連貫性，以培育學生對數(shù)學學科的嚴謹性的育人價值.

(ii)4.2指數(shù)函數(shù)：在引入指數(shù)函數(shù)的概念時，充分關注與實際問題的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學

應用價值.從旅游人次的增長問題和碳14的衰減問題這兩個實例引入指數(shù)函數(shù)的概念，這兩

個問題，一個是增長問題，另一個是衰減問題，通過實例，有利于學生更好地感受指數(shù)函數(shù)模

型，促進學生了解中國文化、關心社會，通過實際問題滲透數(shù)學思想方法和彰顯人文價值，引

導學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界、數(shù)學的思維思考世界、數(shù)學的語言(指數(shù)增長、指數(shù)衰減)

表達世界.

(iii)4.3對數(shù)：在數(shù)學發(fā)展歷史上，先有對數(shù)，然后才有指數(shù)累，后來，隨著數(shù)學公理

化體系的逐步完善，一般安排先學習指數(shù)幕，再學習對數(shù)，在指數(shù)幕概念及運算的基礎上，引

入對數(shù)的概念及其運算，這也符合學生的認知規(guī)律，也更比較自然.另外對于自然數(shù)e不僅是

數(shù)學史上，甚至是人類科學史上最偉大的兩個數(shù)(另一個是兀)，以e為底的指數(shù)函數(shù)可以描

述科技、經(jīng)濟以及社會生活中眾多增長或衰減的變化規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學學科的實際應用的價值.

(iv)4.4對數(shù)函數(shù)：為了讓學生在認識對數(shù)函數(shù)時也能感受到對數(shù)函數(shù)的實際背景，并

建立與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，我們從另一個角度繼續(xù)研究碳14衰減的問題，讓學生進一步感受其

中的函數(shù)模型.同時，還需關注與實際問題的聯(lián)系，通過具體的實際問題來體現(xiàn)數(shù)學思想方法

和價值，體現(xiàn)了數(shù)學應用的價值.同時也能充分發(fā)揮對數(shù)在培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、

數(shù)學運算和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的作用.

(v)4.5函數(shù)的應用(二)：函數(shù)的內(nèi)部應用，側(cè)重于函數(shù)與方程的互相關系，突出用

函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法(二分法)，幫助學生從函數(shù)的觀點認識方程，了解用二分

法求方程近似解的思路、步驟和算法，提升數(shù)學運算素養(yǎng)；函數(shù)的外部應用，側(cè)重于用函數(shù)構

建數(shù)學模型的基本過程，突出用“指數(shù)型”函數(shù)和“對數(shù)型”函數(shù)模型發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、

分析和解決問題的過程和方法，意在從現(xiàn)實背景體現(xiàn)函數(shù)的應用價值.

(5)教學重點：

(i)4.1指數(shù)：指數(shù)累的推廣，指數(shù)事的運算性質(zhì).

(ii)4.2指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)的概念的形成，指數(shù)函數(shù)描述的變化規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的圖

象和性質(zhì).

(iii)4.3對數(shù)：對數(shù)式與指數(shù)式的互換以及對數(shù)的性質(zhì)；對數(shù)的運算性質(zhì).

(iv)4.4對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

(v)4.5函數(shù)的應用(二)：函數(shù)的零點與方程的解、函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標之

間的聯(lián)系，函數(shù)零點存在定理以及用二分法求方程的近似解的思路與步驟；選擇合適的函數(shù)類

型構建數(shù)學模型，體會建立數(shù)學模型解決實際問題的一般過程.

(6)課時教學安排：

在單元教學設計中應注重局部范圍內(nèi)的知識系統(tǒng)化特征，在教學整體觀的指導下，將教學

諸要素有序化規(guī)劃，以優(yōu)化教學效果，并有利于學生構建條理清楚、層次分明的整體認知結構.

“4.1指數(shù)”一節(jié)，包含的內(nèi)容有：n次方根與分數(shù)指數(shù)累，無理數(shù)指數(shù)累及其運算性質(zhì).

其中n次方根與分數(shù)指數(shù)暴包括了n次方根的定義、根式的定義、根式的性質(zhì)、正數(shù)的分數(shù)指

數(shù)幕的意義及其運算性質(zhì)，無理數(shù)指數(shù)塞及其運算性質(zhì)包括了無理數(shù)指數(shù)累是一個確定的實數(shù)、

無理數(shù)指數(shù)的運算性質(zhì).這些內(nèi)容在教科書中呈現(xiàn)的順序是：n次方根的定義一根式的定義一

根式的性質(zhì)一例1—正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)事的意義一正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)易的意義一正數(shù)的分數(shù)

指數(shù)基的運算性質(zhì)一例2、例3、例4和練習一正數(shù)的無理數(shù)指數(shù)累是一個確定的實數(shù)一正數(shù)

的無理數(shù)指數(shù)累的運算性質(zhì)一練習.把這些內(nèi)容作為一個單位，可以得到如下框圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對單元內(nèi)容進行劃分，同時給出課時:

第一部分：n次方根與分數(shù)指數(shù)累（1課時）

第二部分：無理數(shù)指數(shù)幕及其運算性質(zhì)（1課時）

“4.2指數(shù)函數(shù)”一節(jié)，包含的內(nèi)容有：指數(shù)函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).這些

內(nèi)容在教科書中呈現(xiàn)的順序是：問題1（游客人次逐年增長問題）一指數(shù)增長（增長率為定值）

一問題2（碳14衰減問題和半衰期的概念）一指數(shù)衰減（衰減率為定值）一指數(shù)函數(shù)的概念

一例1、例2和練習一閱讀材料（倍增期的概念）一描點畫指數(shù)函數(shù)y=2、的圖象一探究畫指

數(shù)函數(shù)y的圖象一探究選取底數(shù)”（〃＞0且awl）的若干個不同的值的指數(shù)函數(shù)圖象一歸納

出指數(shù)函數(shù)y=/（a＞（）且awl）的圖象一概括出指數(shù)函數(shù)），=優(yōu)（。＞0且"1）的性質(zhì)一例3、例4

和練習一信息技術應用（探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）.把這些內(nèi)容作為一個單元，可以得到如下框

圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對單元內(nèi)容進行劃分，同時給出課時：

第一部分：指數(shù)函數(shù)的概念（1課時）

第二部分：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1課時）

“4.3對數(shù)”一節(jié)，包含的內(nèi)容有：對數(shù)的概念，對數(shù)的運算性質(zhì).這些內(nèi)容在教科書中

呈現(xiàn)的順序是：已知底數(shù)和嘉的值求指數(shù)一對數(shù)的概念一對數(shù)的符號一常用對數(shù)（自然對數(shù)）

一指對數(shù)互換一對數(shù)的性質(zhì)一例1、例2和練習一對數(shù)的運算性質(zhì)一例3、例4一換底公式一

例5和練習一閱讀與思考（對數(shù)的發(fā)明）.把這些內(nèi)容作為一個單元，可以得到如下框圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對單元內(nèi)容進行劃分，同時給出課時：

第一部分：對數(shù)的概念（1課時）

第二部分：對數(shù)的運算性質(zhì)（1課時）

“4.4對數(shù)函數(shù)”包含的內(nèi)容有：對數(shù)函數(shù)的概念，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).這些內(nèi)容在

教科書中呈現(xiàn)的順序是：思考（死亡時間x是否為碳14含量y的函數(shù)）一邏輯推理出對數(shù)式

x=log"、“『y,yG（0,l］滿足函數(shù)的定義一對數(shù)函數(shù)的概念一例1（概念應用）、例2（模型應用）

€

一練習（強化概念，理解模型）一描點畫對數(shù)函數(shù)y=bg2x的圖象一探究畫對數(shù)函數(shù)>

的圖象一探究選取底數(shù)。（a>0且af1）的若干個不同的值的對數(shù)函數(shù)圖象一歸納出對數(shù)函數(shù)

y=k）g“x（a>0且awl）的圖象一概括出對數(shù)函數(shù)y=log“>。且。WD的性質(zhì)一例3、例4一指對

數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)一練習一探究與發(fā)現(xiàn)（互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關系）一指數(shù)函數(shù)與

線性函數(shù)增長差異一對數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)的增長差異一“直線上升"''對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”

的含義一練習.把這些內(nèi)容作為一個單元，可以得到如下框圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對單元內(nèi)容進行劃分，同時給出課時:

第一部分：對數(shù)函數(shù)的概念（1課時）

第二部分：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1課時）

第三部分：不同函數(shù)增長的差異（1課時）

“4.5函數(shù)的應用（二）”包含的內(nèi)容有：函數(shù)的零點與方程的解，用二分法求方程的近

似解，函數(shù)模型的應用.這些內(nèi)容在教科書中呈現(xiàn)的順序是：函數(shù)的零點一函數(shù)零點存在定理

一例1、練習一二分法求方程的近似解一例2、練習一閱讀與理解（中外歷史上的方程求解）

一例3（指數(shù)增長模型）一例4（指數(shù)衰減模型）一練習（指數(shù)與對數(shù)互換）一例5、例6（對

數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸）一練習.把這些內(nèi)容作為一個單元，可以得到如下框圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對單元內(nèi)容進行劃分，同時給出課時：

第一部分：函數(shù)的零點與方程的解（1課時）

第二部分：用二分法求方程的近似解（1課時）

第三部分：函數(shù)模型的應用（二）（1）：用函數(shù)模型解決實際問題（1課時）

第四部分：函數(shù)模型的應用（二）（2）：選擇函數(shù)模型解決實際問題（1課時）

二、單元目標和目標解析

1.目標

第1課時：〃次方根與分數(shù)指數(shù)幕

（1）理解〃次方根與根式的概念；掌握分數(shù)指數(shù)罐和根式之間的互化；

（2）掌握分數(shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)；

第2課時：無理數(shù)指數(shù)累及其運算性質(zhì)

（1）通過“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”求得無理數(shù)的近似值；

（2）掌握運用實數(shù)指數(shù)基運算性質(zhì)進行化簡計算的方法.

第3課時：指數(shù)函數(shù)的概念

（1）通過實際問題提煉出指數(shù)函數(shù)的概念；

（2）理解指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的取值范圍；

第4課時：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）運用描點法畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，運用圖象來研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

（2）能通過數(shù)形結合，解決定點、單調(diào)性等問題；

第5課時：對數(shù)的概念

（1）理解對數(shù)的概念，了解對數(shù)運算與指數(shù)運算的互逆關系，及常用對數(shù)與自然對數(shù)；

（2）掌握對數(shù)式和指數(shù)式的互化，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).

第6課時：對數(shù)的運算

（1）通過指數(shù)愚的運算性質(zhì)推導出對數(shù)的運算性質(zhì)；

（2）掌握對數(shù)換底公式，能夠用換底公式化簡問題；

第7課時：對數(shù)函數(shù)的概念

（1）理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系；

（2）能通過指數(shù)函數(shù)底數(shù)取值范圍的要求，歸納出對數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍.

第8課時：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）經(jīng)歷用類比的方法畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，歸納出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

（2）掌握對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，初步學會用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的問題；理解反

函數(shù)的概念.

第9課時：不同函數(shù)增長的差異

（1）結合具體的函數(shù)圖象，總結一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長差異.

（2）通過圖象，了解“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義.

第10課時：函數(shù)的零點與方程的解

（1）了解函數(shù)零點的概念；能夠結合具體的方程（如一元二次方程），說明方程的根、

函數(shù)零點、函數(shù)圖象與x軸的交點三著之間的關系；

（2）理解函數(shù)零點存在定理；了解函數(shù)圖象連續(xù)不斷的意義及作用，知道函數(shù)零點存在

定理只是函數(shù)存在零點的一個充分條件，了解函數(shù)零點可能不止一個；

（3）能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點的個數(shù)，及所在區(qū)間.

第11課時：用二分法求方程的近似解

（1）通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用

方法；

（2）能借助計算工具、信息技術用二分法求方程的近似解，從中體會函數(shù)與方程之間的

聯(lián)系及其在實際問題中的應用；

（3）通過讓學生概括二分法的思想和步驟，培養(yǎng)學生的歸納概括能力，培養(yǎng)學生探究問

題的能力、嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和創(chuàng)新能力.

第12課時：函數(shù)模型的應用（二）（1）：用函數(shù)模型解決實際問題

（1）會通過具體的函數(shù)模型分析實際問題；

（2）能夠?qū)栴}進行分析，建立合適的數(shù)學模型，并對不同數(shù)學模型的契合度進行比較，

擇優(yōu)選擇。

第13課時：函數(shù)模型的應用（二）（2）：選擇函數(shù)模型解決實際問題

（1）能將具體的實際問題化歸為函數(shù)問題；

（2）能通過分析函數(shù)圖象及表格數(shù)據(jù)了解相應的對數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的變化

差異，正確選擇合適的函數(shù)模型解決實際問題，提升數(shù)學抽象、數(shù)學建模等素養(yǎng).

2.目標解析

4.1指數(shù)(〃次方根與分數(shù)指數(shù)累，無理數(shù)指數(shù)累及其運算性質(zhì))

達成上述目標的標志是：

(1)理解〃次方根的概念及其性質(zhì)；通過探究得到質(zhì)的性質(zhì)；理解〃次方根與分數(shù)指

數(shù)毒的關系；掌握有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)；通過“用有理數(shù)指數(shù)幕逼近無理數(shù)指數(shù)幕”思想

了解無理數(shù)指數(shù)累，體會其中的極限思想；

(2)通過具體的實例的歸納，由具體到抽象，由特殊到一般，理解分數(shù)指數(shù)事與〃次方

根的關系：分數(shù)指數(shù)幕是n次方根的一種表示形式，兩者是統(tǒng)一的.通過根式與分數(shù)指數(shù)累的

互化，鞏固、加深對于根式和分數(shù)指數(shù)募的理解；

(3)通過類比教材中的模式，觀察5夜的不足近似值和過剩近似值，進一步鞏固無理數(shù)指

數(shù)塞的概念，提升學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；

4.2指數(shù)函數(shù)(指數(shù)函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì))

達成上述目標的標志是：

(1)能結合教科書中游客增長的問題1和碳14衰減的問題2,通過運算發(fā)現(xiàn)其中具體的

增長或衰減的規(guī)律，并從中體會實際問題中的變量間的關系.在了解指數(shù)函數(shù)的實際意義的基

礎上，知道指數(shù)函數(shù)的含義和表示，清楚其定義域和底數(shù)。的取值范圍；

(2)能根據(jù)函數(shù)解析式或利用計算工具計算出指數(shù)函數(shù)的兩個變量的一些對應值并列表,

然后描點或利用信息技術畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，或能根據(jù)函數(shù)解析式直接利用信息技術畫出指

數(shù)函數(shù)的圖象；結合函數(shù)圖象，歸納這些圖象的共同特征，探索并總結指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特

殊點，并結合函數(shù)解析式驗證所總結的函數(shù)單調(diào)性和特殊點；

(3)結合指數(shù)函數(shù)的教學，體會"概念-圖象-性質(zhì)”的研究具體函數(shù)的一般思路；在由

具體實例抽象為具體函數(shù)、再由具體函數(shù)概括為指數(shù)函數(shù)的過程，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)；結合由

函數(shù)圖象直觀認識函數(shù)性質(zhì)的過程，體會數(shù)形結合的思想方法，提升直觀想象素養(yǎng).

4.3對數(shù)(對數(shù)的概念，對數(shù)的運算)

達成上述目標的標志是：

(1)通過與指數(shù)式比較，掌握對數(shù)概念及其性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學生歸納能力，提升數(shù)學

抽象核心素養(yǎng)；

(2)探究對數(shù)運算性質(zhì)，體會“歸納-猜想-證明”是數(shù)學中發(fā)現(xiàn)結論、證明結論的完整

思維方法，讓學生體會回到最原始(定義)的地方是解決數(shù)學問題的有效策略.能通過例題與

習題的解答，鞏固所學的對數(shù)運算性質(zhì)，通過運算能力，體會對數(shù)的實際運用，提升數(shù)學運算

素養(yǎng).

4.4對數(shù)函數(shù)（對數(shù)函數(shù)的概念，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不同函數(shù)增長的差異）

達成上述目標的標志是：

（1）從另一個角度繼續(xù)研究教科書中碳14衰減的問題，不僅得到對數(shù)函數(shù)的概念，還能

通過與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系更好地理解對數(shù)函數(shù)；

（2）學生類比研究指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的過程和方法，探究對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；將

對數(shù)函數(shù)y=分為。＞1和0＜。＜1兩類進行歸納，體會數(shù)形結合的思想方法；

（3）學生能知道同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，了解二者的定義域與值域的關

系；

（4）通過探究指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長的差異，對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異，理

解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義.

4.5函數(shù)的應用（二）（函數(shù)的零點與方程的解，用二分法求方程的近似解，函數(shù)模型的

應用）

達成上述目標的標志是：

（1）理解函數(shù)零點的概念；通過“探究”觀察對應的二次函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值

之積的特點，導出連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法.能通過例1的教學，引導學生

借助函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)在某個區(qū)間是否存在零點,理解函數(shù)零點存在定理；能通過例2的教學

繼續(xù)探索用二分法求方程近似解的思路,體會用二分法求方程近似解的一般過程與思想方法；

（2）能明確教科書例3、4中的數(shù)量關系，能利用已知函數(shù)模型進行計算求解，從而解

決實際問題；能明確教科書例5中的數(shù)量關系，指出每個方案的函數(shù)模型，為將實際問題抽象

為數(shù)學問題并化歸為函數(shù)模型作準備；

（3）能從教科書中的例題條件出發(fā)，根據(jù)“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的

含義，數(shù)形結合地辨別三種函數(shù)的增長差異，從而選擇不同的函數(shù)模型；

（4）在選擇或建立函數(shù)模型解決實際問題的過程中，圍繞“是什么數(shù)學問題”“選什

么函數(shù)模型”“為什么要選某個函數(shù)模型”“怎么解答實際問題”，提升學生的數(shù)學抽象和數(shù)

學建模素養(yǎng).

三、單元教學問題診斷分析

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本函數(shù).在第三章“函數(shù)的概念和性質(zhì)”中研究函數(shù)

的一般方法的指引下，本大單元讓學生借助研究基函數(shù)的經(jīng)驗，學習這兩類新的重要的基本初

等函數(shù)一一指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，認識它們的變化規(guī)律，進一步理解函數(shù)的概念，并利用這兩

類函數(shù)建立數(shù)學模型解決實際問題.以下針對本大單元的教學問題診斷的分析做具體地闡述:

1.問題診斷

（1）4.1指數(shù)

學生在初中階段經(jīng)歷了從正整數(shù)指數(shù)幕到整數(shù)指數(shù)幕的推廣過程，已經(jīng)學習了整數(shù)指數(shù)幕

及其運算性質(zhì)，積累了一定的數(shù)系擴充經(jīng)驗，為本單元的學習奠定了一定的基礎.但學生往往

把注意力集中在具體運算上，對數(shù)系擴充的原則、指數(shù)幕的含義和運算性質(zhì)等缺乏必要的關注，

而本單元的內(nèi)容主要是“定規(guī)則”，著力點在指數(shù)事優(yōu)指數(shù)x的范圍擴充后的意義，不僅抽象

而且邏輯性強，所以存在較大困難.

首先，學生不清楚從整數(shù)指數(shù)毒到有理數(shù)指數(shù)哥推廣的整體架構，這樣他們對從哪里入手

推廣、按怎樣的邏輯順序展開，每個環(huán)節(jié)如何實施才能做到邏輯嚴謹?shù)榷紩容^茫然.也就是

說，學生對該做什么和如何做都不太清楚，從而造成被動學習.為了解決這個困難，教學中要

引導學生回顧從有理數(shù)到實數(shù)（主要是平方根和立方根）、正整數(shù)指數(shù)累到整數(shù)指數(shù)易的推廣

過程，通過適當?shù)闹v解，為學生搭建適當?shù)哪_手架，使他們在適當?shù)念惐葘ο笙抡归_學習，從

而增強學習的主動性.

其次，從根式的意義到有理數(shù)指數(shù)幕的含義的理解，其中涉及數(shù)學符號表達方式的轉(zhuǎn)換，

轉(zhuǎn)換要滿足等價性，其抽象性、邏輯性都很強，需要較強的代數(shù)思維和邏輯推理能力，這對學

生具有挑戰(zhàn)性.教學中要注意通過類比數(shù)系的擴充過程（特別是從整數(shù)到分數(shù)的擴充過程，先

引入分數(shù)單位，再定義分數(shù)的意義，然后研究分數(shù)的性質(zhì)和運算等過程），通過具體實例引導

學生理解定義/二舊7的合理性，并按照教學定義的完備性要求，給出完整的有理數(shù)指數(shù)幕

的定義，從而建立起理解有理數(shù)指數(shù)辱含義的基礎.

第三，因為學生的運算技能、代數(shù)思維等方面的欠缺，他們在進行根式，有理數(shù)指數(shù)累的

運算等過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)錯誤.教學中要注意發(fā)揮這個內(nèi)容在提升學生數(shù)學運算素養(yǎng)上的作

用，讓學生充分經(jīng)歷從具體實例到運算法則的歸納過程，使他們在理解根式的意義、有理數(shù)指

數(shù)幕的含義基礎上，通過適當?shù)膹母降椒謹?shù)指數(shù)幕的解題訓練，形成較好的運算技能.

第四，無理數(shù)指數(shù)惠的含義涉及數(shù)列的極限，具有構造性，也是本單元的一個學習難點.教

學時要注意借鑒初中階段用有理數(shù)夾逼無理數(shù)的經(jīng)驗，通過信息技術手段提供直觀理解的支持,

幫助學生更好地體驗無理數(shù)指數(shù)基的唯一確定性.

（2）4.2指數(shù)函數(shù)

由具體實例抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，不僅要能想到將問題1游客人次的變化用圖象直觀表

示，還要能結合圖象對已知數(shù)據(jù)進行運算后發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，并能根據(jù)問題1和問題2得到的兩

個解析式概括出統(tǒng)一的函數(shù)關系式丫=。'（。＞0且awl）.這些對學生思維能力的要求較高.教學

中，要給學生探索和發(fā)現(xiàn)的機會，并給予學生恰當?shù)闹笇?在學生不能從問題1的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)

游客人次的變化規(guī)律時，要多引導學生先根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出圖象進行觀察，然后啟發(fā)學生對已

知數(shù)據(jù)進行運算，通過運算得到每年與上年旅游人次的比例為常數(shù)，從而結合圖象發(fā)現(xiàn)變化規(guī)

律的本質(zhì).這里，對數(shù)據(jù)進行哪些運算才有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是學生已有知識經(jīng)驗中缺乏的，教

學中多引導學生注意“增加量”“增長率”的作用的強調(diào).再引導學生分析問題2的碳14衰

減問題，進而引導學生發(fā)現(xiàn)概括出指數(shù)函數(shù)的概念，體會概念形成的過程.概念形成后，先讓

學生觀察其定義域的范圍；再拋出問題，引導學生結合定義域分析對底數(shù)。有何要求，最后通

過習題來強化學生對指數(shù)函數(shù)概念的理解.

在指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的學習過程中，盡管學生已經(jīng)經(jīng)歷過暴函數(shù)性質(zhì)的學習，但那是在給定的

五個具體的函數(shù)基礎上進行不完整、不系統(tǒng)的歸納，而且嘉函數(shù)性質(zhì)的學習自行選擇具體的函

數(shù)，必要時教師可引導學生利用信息技術進行探索，通過畫出底數(shù)。取大量不同值時的圖象,

發(fā)現(xiàn)并歸納函數(shù)的單調(diào)性；在探索的基礎上將大量所做的圖象分為增長和衰減兩類，利用信息

技術分別研究兩類圖象函數(shù)值的變化，從而歸納?！?時函數(shù)單調(diào)增，0＜。＜1時函數(shù)單調(diào)減.

(3)4.3對數(shù)

首先，學生難以理解對數(shù)與指數(shù)符號之間的關系，在應用對數(shù)概念進行運算時，會出現(xiàn)符

號混亂的現(xiàn)象.這就要求教師在教學時首先要讓學生清楚指數(shù)式中哪個是指數(shù)，哪個是底數(shù),

再思考對數(shù)式中真數(shù)是指數(shù)式中的哪部分，避免當題目換成其它字母時，學生就不清楚該如何

進行指對互化，其次對于對數(shù)的性質(zhì)及零和負數(shù)沒有對數(shù)的理解，教師要引導學生思考，引導

學生與指數(shù)式進行聯(lián)系，并加以證明.

其次，熟悉對數(shù)運算法則，可以先類比指數(shù)運算法則對照記憶，然后再強化法則使用的條

件，提醒學生注意對數(shù)式中每個字母的取值范圍，最后還要讓學生認清對數(shù)運算法則可使高一

級的運算轉(zhuǎn)化為低一級的運算，從而簡化計算方法，加快運算速度，顯示對數(shù)計算的優(yōu)越性.

(4)4.4對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)是高中階段學生學習的第三個基本初等函數(shù)，學生已經(jīng)具備了較好的函數(shù)認知基

礎，且對函數(shù)的認識已達到抽象概括階段(高中及以后)，能脫離具體和直觀對象，進行抽象

化、符號化的概括與操作，即“集合對應說”.為幫助學生理解對數(shù)函數(shù)的概念，可從具體的

指數(shù)函數(shù)模型出發(fā)，例如，在碳14衰減問題中，由指數(shù)和對數(shù)的關系，容易根據(jù)死亡生物體

內(nèi)碳14殘留量y經(jīng)運算推理得到生物死亡時間x的關系式，但是反過來考慮，生物死亡時間x

是否為死亡生物體內(nèi)碳14殘留量y的一個函數(shù)呢？從而引出函數(shù)的三要素，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)

集AB的取值集合.為了說明函數(shù)的“集合對應說”，可引導學生畫函數(shù)

y=J-,xe［0,+8)的圖象，利用信息技術中的PPT的動態(tài)演示，一方面說明動直線y=%

取滿了"?0，1］，另一方面說明圖象與動直線始終有唯一交點.由動態(tài)圖展示讓學生很容易理

解》=108曲,)，,》?0,1］是滿足函數(shù)定義的任意性和唯一性這兩個關鍵要求.

V2

為了突破對數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，同指數(shù)函數(shù)一樣，通過信息技術輔助畫出底數(shù)〃取大量不

同值時的圖象，發(fā)現(xiàn)并歸納函數(shù)的單調(diào)性；在探索的基礎上將大量所做的圖象分為對數(shù)增長和

對數(shù)減小兩類，利用信息技術分別研究兩類圖象函數(shù)值的變化，從而歸納。＞1時函數(shù)單調(diào)增，

0＜4＜1時函數(shù)單調(diào)減.

另外為了讓學生形象直觀的感受“指數(shù)爆炸”“直線上升”“對數(shù)增長”這些術語的含

義，可各個擊破，具體操作如下：先將指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長作差異對比，借助信息技術

的作圖軟件，逐步調(diào)節(jié)單位1的長度，學生直觀感受這兩個函數(shù)的增長差異越來越明顯，這正

說明了指數(shù)函數(shù)的增長由慢變快且越來越快的爆炸性增長的特點；再將對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的

增長作差異對比，同樣地，借助信息技術的作圖軟件，逐步調(diào)節(jié)單位1的長度，學生亦能直觀

感受這兩個函數(shù)的增長差異越來越明顯，這也正說明了對數(shù)函數(shù)的增長由快變慢且越來越慢的

對數(shù)增長的特點.

(5)4.5函數(shù)的應用(二)

函數(shù)的內(nèi)部應用，函數(shù)的零點的定義直接類比二次函數(shù)零點的定義，沒有必要作多余的解

釋，結合具體的函數(shù)，推導出一般函數(shù)零點的概念并得到相應結論.對于函數(shù)零點存在定理的

導出，可結合具體的二次函數(shù)的零點(變號零點)附近處，結合數(shù)形結合發(fā)現(xiàn)有下面結論：/(x)

穿過x軸=/(a)/(b)<0,然后要求學生利用這一結論盡可能多地畫出函數(shù)/(x)的圖象，不妨令

/⑷<0,/俗)>0時，畫/(x)的圖象，結合學生的作圖情況可以發(fā)現(xiàn)此時/(X)有零點(可以不止

一個)，從而形成函數(shù)零點存在定理.接下來，就是理解定理了，引導學生充分抓住定理中的

關鍵信息：“連續(xù)”、和“至少有一個”，對于前兩個關鍵詞，教師需要求學

生自己親自動手嘗試畫出“不連續(xù)”、"/(.)/b)>0”的圖象情況，從而了解到零點存在定理

是函數(shù)有零點的充分條件，而非必要條件.對于最后一個關鍵詞，可以結合前面定理的導出時，

學生的作圖情況以及教師適當?shù)难a充，充分理解函數(shù)零點存在定理無法準確判斷零點的個數(shù)問

題.對于零點的個數(shù)問題，教師需利用好“例1”的教學，引導學生的發(fā)現(xiàn)單調(diào)性的加入可以

間接判斷函數(shù)零點的個數(shù)，從而形成零點存在且唯一定理.值得注意的是，同樣地，函數(shù)零點

存在且唯一定理也是函數(shù)有唯一零點的充分條件，而非必要條件.

用二分法求方程的近似解的難點是二分法的原理和思路，以及算法思想.為突破二分法的

原理，可引導學生作圖，直觀感受“穿根”和“不穿根”在圖象上的區(qū)別，進而轉(zhuǎn)化為數(shù)學語

言，即代數(shù)式上的差異，明確“穿根”才可以使用二分法.對于二分法思路的突破，可按照“求

方程近似解一一求函數(shù)的零點一一縮小區(qū)間逼近零點一一二分法”的過程展開，重中之中就是

如何縮小區(qū)間，反復檢驗端點的函數(shù)值是否異號，如此一來，自然會涉及到算法的優(yōu)化，所以

需要程序化來體現(xiàn)算法思想，讓學生通過二分法的學習，體會按照明確步驟解決問題的重要性.

函數(shù)的外部應用，首先，學生在此之前已經(jīng)結合實例學習了幾類函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，

并應用它們解決學科內(nèi)的一些問題和一些簡單的實際問題.但是面對較復雜的實際問題，如何

將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，特別是如何選擇函數(shù)模型來刻畫實際問題，大多數(shù)學生既缺乏這方面的

經(jīng)驗，也缺乏數(shù)學抽象的能力，以及對不同函數(shù)模型增長差異的深刻認識.教學時可以多從以

下兩方面幫助學生克服困難：一是根據(jù)實際問題的條件建立等量關系，從而將實際問題抽象為

數(shù)學問題；二是從數(shù)和形出發(fā)，定性和定量地分析實際問題的變化規(guī)律，從而選擇合適的函數(shù)

模型；其次，在利用函數(shù)模型解決問題的過程中，大多數(shù)學生還沒有養(yǎng)成利用信息技術根據(jù)函

數(shù)模型進行運算求解的良好習慣.在教學中，可以鼓勵學生使用信息技術進行復雜的運算求解,

畫圖列表，多元聯(lián)系地表示數(shù)學對象并分析問題，從而逐步形成利用信息技術研究實際問題的

意識.

2.教學難點

(1)4.1指數(shù)：建立指數(shù)累的推廣的整體架構；根式性質(zhì)的理解；分數(shù)指數(shù)幕的理解、

有理數(shù)指數(shù)募的運算性質(zhì)及用有理數(shù)指數(shù)幕逼近無理數(shù)指數(shù)毒.

(2)4.2指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)概念的形成過程，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型；描點法畫指

數(shù)函數(shù)圖象，并抽象概括出指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

(3)4.3對數(shù)：對數(shù)概念的理解，指對數(shù)互換；利用指數(shù)的運算性質(zhì)推導出對數(shù)的運算

性質(zhì)和換底公式.

(4)4.4對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)概念形成的邏輯推理；對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納；對“指數(shù)爆

炸”“直線上升”“對數(shù)增長”的理解

(5)4.5函數(shù)的應用(二)：函數(shù)的內(nèi)部應用，函數(shù)零點存在定理的導出和定理中的關

鍵詞的理解，用二分法求方程的近似解的思路和算法；函數(shù)的外部應用，用函數(shù)建立數(shù)學模型

解決實際問題的基本過程.

四、教學支持條件分析

(1)4.1指數(shù)：

通過計算工具計算、展示及,5無等的不足近似值和過剩近似值夾逼血,50的過程，并利

用幾何畫板在數(shù)軸上進行動態(tài)演示“不足近似值”和“過剩近似值”的對應點，發(fā)現(xiàn)這些點逼

近一個確定的點，其對應的數(shù)就是這個無理數(shù)指數(shù)基.由此讓學生學會其中的極限思想，并從

數(shù)和形兩個角度認識到5&是一個確定的實數(shù)，進而理解無理數(shù)指數(shù)累.

(2)4.2指數(shù)函數(shù)：

利用信息技術中的Excle、函數(shù)作圖等軟件工具進行計算、列表和作圖，以便于多元聯(lián)系

地表示指數(shù)函數(shù)，幫助學生克服學習中可能遇到的困難，更好地理解指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).

在指數(shù)函數(shù)的概念的教學中，利用信息技術可以很方便地將問題1中表格的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖象，

由圖象直觀地發(fā)現(xiàn)旅游人次的整體變化情況；然后利用信息技術對這些數(shù)據(jù)進行計算，通過計

算揭示圖象蘊含的變化規(guī)律的本質(zhì).在指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的教學中，利用信息技術可以進行

多種方式的研究，比如任意作出大量需要的函數(shù)圖象，通過觀察圖象歸納出不同圖象的共同特

征，進而抽象出函數(shù)的性質(zhì)；又如建立函數(shù)的圖象和數(shù)表的聯(lián)系，通過跟蹤圖象上的點，數(shù)形

結合地發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象特征和性質(zhì).

(3)4.3對數(shù):

在說明自然對數(shù)e的時候，可以利用信息技術中Excle計算當?=1,2,3,10,100,1000,10000,

100000,…時，對應的+的值，從而發(fā)現(xiàn)其數(shù)值增長越來越慢.同時結合信息技術中幾何

畫板作出函數(shù)y=圖象，直觀感受這一變化規(guī)律，同時還發(fā)現(xiàn)當+8時，fl+4'

-＞定值，從而引入自然對數(shù)e.

(4)4.4對數(shù)函數(shù):

在說明x=log^y,ye(0,l]是滿足x是關于y的一個函數(shù)時，應當充分利用信息技術中的

PPT的動態(tài)演示功能，在畫出函數(shù)y=[0,yo)的圖象后,一方面要說明動直線

取滿了乂另一方面還要說明圖象始終與動直線有唯一交點.由動態(tài)圖展示讓學生很容

易理解X=10gs“而是滿足函數(shù)定義的任意性和唯一性這兩個關鍵要求.

在描點畫對數(shù)函數(shù)圖象時，為了便于概括對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可以結合信息技術中的幾何畫

板來處理.一方面，計算函數(shù)y=k)g2x的自變量取值及其對應的函數(shù)值并列表，然后將所得有

序?qū)崝?shù)對描點并畫出函數(shù)的圖象，同理，作出函數(shù)y=log,x的圖象，跟蹤函數(shù)y=log2X圖象上

2

的點，觀察這些點關于X對稱的點，發(fā)現(xiàn)所有的對稱點均在函數(shù)y=log〃的圖象上，并由相互

對稱的點的坐標關系分析函數(shù)y=1。82工與y=log,x的關系；另一方面，在同一平面直角坐標系

2

內(nèi)畫出。取任意值時函數(shù)y=log〃x的大量圖象，可以設置。的取值，然后通過控制。的連續(xù)變

化展示對應函數(shù)圖象的分布情況；還可以逐個地取。的值，然后分別作出對應函數(shù)的圖象.

對于同底的指對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的教學，同樣可以結合幾何畫板來處理，在同一直角坐

標系中，畫出指數(shù)函數(shù)y=2*和對數(shù)函數(shù)y=log2X,跟蹤函數(shù)y=2,圖象上的點，觀察這些點關

于y=x對稱的點，發(fā)現(xiàn)所有的對稱點均在函數(shù)y=1。心》的圖象上；同理，再選取底數(shù)為3、4

等的指對數(shù)函數(shù)，仍發(fā)現(xiàn)有同樣的結論.由此歸納出指數(shù)函數(shù)y=a'和對數(shù)函數(shù)y=log“x關于

y=x對稱，即互為反函數(shù)，最后再通過控制a的連續(xù)變化檢驗這兩個函數(shù)圖象的對稱情況.

在不同函數(shù)增長的差異一節(jié)中，信息技術起到至關重要的作用，可考慮從數(shù)和形這兩個不

同的角度分別體會函數(shù)的增長差異.通過Excel中表格的數(shù)據(jù)和作圖功能的圖象，以數(shù)形相結

合體現(xiàn)各個具體函數(shù)之間增長變化的差異.另外，還可以設置a,b,z的取值，利用幾何畫板中的

控制按鈕控制的連續(xù)變化展示對應函數(shù))，=優(yōu),丫=1物2=丘的圖象的增長變化情況，以

說明參數(shù)的大小不影響函數(shù)間的增長速度的快慢，從而準確地理解“指數(shù)爆炸”“直線上升”

“對數(shù)增長”術語的含義.

(5)4.5函數(shù)的應用(二)

函數(shù)的內(nèi)部應用，研究函數(shù)的零點問題的一種主要的思想方法就是數(shù)形結合，探究途徑是

特殊到一般，在教學過程中需要利用GeoGebra,Excel,圖形計算器等統(tǒng)計軟件來處理數(shù)據(jù)，畫

出函數(shù)圖象.在二分法的教學中，可融入信息技術，突出它的作用：一是利用信息技術作出函

數(shù)圖象，幫助學生直觀地確定函數(shù)零點所在區(qū)間；二是信息技術為學習二分法提供了快速計算

的工具，有助于提高運算的效率，減少人為重復的運算；三是信息技術為學習二分法提供了驗

證的工具，有助于檢驗結論的正確性.

函數(shù)的外部應用，為了幫助學生克服選擇實際問題的函數(shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解決

問題的困難，教學時應用充分利用信息技術的計算、作圖、列表等功能，處理實際數(shù)據(jù)、便捷

地求解，讓學生將主要精力投入到定性和定量地分析問題上，針對不同函數(shù)模型動態(tài)地研究其

變化規(guī)律.

五、課時教學設計

第1課時

1.課時教學內(nèi)容

4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)累

2.課時教學目標

（1）理解〃次方根與根式的概念，掌握分數(shù)指數(shù)累和根式之間的互化；

（2）掌握分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì).

3.教學重點與難點

重點：根式的概念；分數(shù)指數(shù)易的概念；掌握并運用分數(shù)指數(shù)暴運算性質(zhì)；

難點：建立指數(shù)幕的推廣的整體架構；根式性質(zhì)的理解；有理數(shù)指數(shù)事的運算性質(zhì).

4.教學設計

教教學內(nèi)容師生互動設計意圖

學

環(huán)

節(jié)

引1、71次方根式教師通過

入【溫故】我們知道，如果尤2=%那么尤叫做a的平方根.例如，±2就引導學生復習方

新是4的平方根.如果/=a＞那么x叫做a的立方根.如2就是8的立方根.類比平方根，導出

課類似地，由于（土2尸=16,我們把±2叫做16的4次方根.根、立方本節(jié)課的

【知新】一般地，如果/=a，那么％叫做a的幾次方根，其中，n根的概研究對

>1,且11￡1^*念，自主象，使學

得出n次生明確學

方根的概習目標，

念并利用之

前學習形

成的思維

習慣，引

導學生進

一步觀

察、研究

新2、ri次方根的性質(zhì)類比通過

課（1）當n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是平方根和熟悉的特

探一個負數(shù).這時，a的n次方根用符號版表示.立方根從例，加強

究例如牛32=2,V-32=-2,Va6=az.n為偶數(shù)對根式的

和n為奇理解，引

（2）當n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).數(shù)兩個方導形成根

這時，正數(shù)a的n次方根用孤表示，負的n次方根用-班表面討論n式的相關

示.兩者也可以合并成土質(zhì).次方根的性質(zhì).

例如16的4次方根有兩個，分別是:石=2和—V訪=一2.性質(zhì).

（3）負數(shù)沒有偶次方根.

（4）0的任何次方根都是0,記作9=0.

3、根式

式子班叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

【思考】觀察（詼）”和

府，你認為他們所代表的的含義是等價的嗎？為什么？

（Va）?l=a如：（石＞=5,（V4）6=4

（次/=2,（g）5=-3

nr-a..fa,n為奇數(shù)

1一珥n為偶數(shù)

如：V?=2,^（-3）5=-3,海=0

濘=2,,（-3）6=3,海=0

通過

例1求下列各式的值：從具分n為奇

⑴〃一8尸；(2)J(—10)2;體的例子數(shù)和偶數(shù)

(3)V(3-7i)4；(4)J(a—b)2總結府兩種情況

和（眄然討論，進

的本質(zhì)，一步理解

從而得出n次方根

辨析結果的概念，

4、分數(shù)指數(shù)黑結論形成嚴謹

【探究】根據(jù)〃次方根的定義和運算，我們知道Wa1°=）（。2）5=。2=的分類思

aJ(a>0)想，提升

邏輯推理

Va12=^/(a3)4=a3=a~^(a>0)

學生的核心素

即當根式的被開方數(shù)(看成寡的形式)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式

自主完成養(yǎng)

可以表示成分數(shù)指數(shù)寨的形式.

后老師請

【思考】當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也能表示為分

學生口述

數(shù)指數(shù)箱的形式？

解題過程

事實上，任何一個根式都可以表示為分數(shù)指數(shù)呆的形式，例如：

or2__14/5通過練

Va2=a3(a>0),4b=成(b>0),Vc^=cl(c>0).

___m習，鞏固

一般地，冒布