中心極限定理

中心極限定理HistogramofPrcpodionofHeads0航C45 050 0.55Qflfl0.65PropofliofOHeads本圖描繪了多次拋擲硬幣實驗中出現(xiàn)正面的平均比率，每次實驗均拋擲了大量硬幣。中心極限定理是概率論中討論隨機變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量之和近似服從正態(tài)分布的條件。歷史Tis 寫到：中心極限定理有著有趣的歷史。這個定理的第一版被法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，他在 年發(fā)表的卓越論文中使用正態(tài)分布去估計大量拋擲硬幣出現(xiàn)正面次數(shù)的分布。這個超越時代的成果險些被歷史遺忘，所幸著名法國數(shù)學家拉普拉斯在 年發(fā)表的巨著TheorieAnalytiquedesProbabilites中拯救了這個默默無名的理論拉普拉斯擴展了棣莫弗的理論，指出二項分布可用正態(tài)分布逼近。但同棣莫弗一樣，拉普拉斯的發(fā)現(xiàn)在當時并未引起很大反響。直到十九世紀末中心極限定理的重要性才被世人所知。年，俄國數(shù)學家里雅普諾夫用更普通的隨機變量定義中心極限定理并在數(shù)學上進行了精確的證明。如今，中心極限定理被認為是非正式地概率論中的首席定理。

棣莫佛一拉普拉斯定理用正態(tài)分布逼近二項分布棣莫佛一拉普拉斯（ ）定理是中心極限定理的最初版本，討論了服從三項分布的隨機變量序列。它指出，參數(shù)為的二項分布以為均值、 為方差的正態(tài)分布為極限。內(nèi)容若口是次伯努利實驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)， ，則對任意有限區(qū)間 ：k-npQW三 <b當一 及^一及時，一致地有P{—焉??5一當）.%時，一致地有

F"「②：其中OO<OO<T<OO)在高爾頓板問題上的應用FIG.7. FIGa. FI6a.FIG.7. FIGa. FI6a.高爾頓繪制的高爾頓板模型，其中的小球顯出鐘形曲線。棣莫佛一拉普拉斯定理指出二項分布的極限為正態(tài)分布。高爾頓板可以看作是伯努利試驗的實驗模型。如果我們把小球碰到釘子看作一次實驗，而把從右邊落下算是成功，從左邊落下看作失敗，就有了一次_1廣口的伯努利試驗。小球從頂端到底層共需要經(jīng)過排釘子，這就相當于一個次伯努利試驗。小球的高度曲線也就可以看作二項分布隨機變量的概率密度函數(shù)。因此，中心極限定理解釋了高密頓板小球累積高度曲線為什么是正態(tài)分布獨有的鐘形曲線。林德伯格一列維定理口目口目中心極限定理的動態(tài)展示，獨立同分布隨機變量之和趨近正態(tài)分布。林德伯格一列維（）定理，是棣莫佛一拉普拉斯定理林德伯格一列維（）定理，是棣莫佛一拉普拉斯定理的擴展，討論獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理。它表明，獨立同分布、且數(shù)學期望和方差有限的隨機變量序列的標準化和以標準正態(tài)分布為極限:內(nèi)容設隨機變量獨立同分布，且具有有限的設隨機變量獨立同分布，且具有有限的數(shù)學期望和方差_X一升，仃.二，則.y-其中①）是標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。證明

記-M的特征函數(shù)為爐㈤，則Z的特征函數(shù)為卜（而01由于=O故H（o）=o：，（。）=一，.因此中⑴=1-/沼+武巧所以由于E-祥/2是連續(xù)函數(shù)，它對應的分布函數(shù)為①）因此由逆極限定理知1mP&工？）T中⑶定理證畢。林德伯格費勒定理林德伯格一費勒定理，是中心極限定理的高級形式，是對林德伯格一列維定理的擴展，討論獨立，但不同分布的情況下的隨機變量和。它表明，滿足一定條件時，獨立，但不同分布的隨機變量序列的標準化和依然以標準正態(tài)分布為極限：內(nèi)容且有有限方記隨機變量序列（獨立但不一定同分布，且有有限方差）部分和為

i=l記J=Var（XOn幡=￡學=癡區(qū)）!=i如果對每個￡ ，序列滿足1也lim-￡m2；{|X|>^}]=0rbc jt4Un1=1則稱它滿足林德伯格（ ）條件。滿足此條件的序列趨向于正態(tài)分布，即冬自4v（o」）與之相關的是李雅普諾夫（ ）條件：1R列苞出<8.典當育工研智斗=0%1=1滿足李雅普諾夫條件的序列必滿足林德伯格條件。證明在此只對較強的李雅普諾夫條件給出證明。以下證明對每一實數(shù)，特征函數(shù)滿足中多1/外⑴一-1-/2n甲右⑴吟-n廠對端fc=l泰勒展開，上式可近似為nfc=lInfc=lI/|3n ±4n由李雅普諾夫條件，當口八時，第一項收斂于零。令""‘『管"尸’町廠，則由李