浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】集合，則.故選：C.2.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】A【解析】與定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故A正確；與定義域不同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；與定義域不同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；由解得或，則的定義域?yàn)榛颍汕业?，則的定義域，∴與定義域不同，不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴.故選：D.4.已知，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，若，則，則“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的定義域?yàn)椋?，∴奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故AC錯(cuò)誤；∵，故B錯(cuò)誤，∴D正確.故選：D.6.已知，且，則的最小值為（）A.1 B. C.9 D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：C．7.定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴在上單調(diào)遞減，且，∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∵，∴或，∴或，∴或，即，則不等式的解集是.故選：A.8.取整函數(shù)最早出現(xiàn)在著名科學(xué)家阿蘭?圖靈（AlanTuring）在20世紀(jì)30年代提出的圖靈機(jī)理論中.圖靈機(jī)是一種理論上的計(jì)算模型，其中操作包括整數(shù)運(yùn)算和簡(jiǎn)單邏輯判斷.由于圖靈機(jī)需要進(jìn)行整數(shù)計(jì)算，因此取整函數(shù)成為了必需的工具之一.現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，常用符號(hào)表示為不超過(guò)的最大整數(shù)，如，現(xiàn)有函數(shù)在區(qū)間上恰好有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】作出函數(shù)與的大致圖像：時(shí)，，從圖像可知，當(dāng)，即時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖像在上恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴所求范圍為．故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.我們常拿背誦圓周率來(lái)衡量某人的記憶水平，如果記圓周率小數(shù)點(diǎn)后第位數(shù)字為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是一個(gè)函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，C.D.【答案】ACD【解析】由題意可知，圓周率小數(shù)點(diǎn)后第位數(shù)字是唯一確定的，即任取一個(gè)正整數(shù)都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，因此是一個(gè)函數(shù)，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.10.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且時(shí)，則下列敘述正確的是（）A.當(dāng)時(shí)B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為【答案】BCD【解析】由題知，是奇函數(shù)，令，則，所以，故此時(shí)，A錯(cuò)；因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，B正確；由上述可知時(shí)，，，則，因?yàn)椋?，，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，D正確.故選：BCD.11.下列命題敘述正確的是（）A.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，B.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，C.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，D.且時(shí)，當(dāng)時(shí)，【答案】CD【解析】對(duì)于A，因?yàn)榍視r(shí)，當(dāng)時(shí)，取，所以，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)榍視r(shí)，當(dāng)時(shí)，取，所以，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榍視r(shí)，當(dāng)時(shí)，則，所以，則，故C正確；對(duì)于D，存在，，滿足，故D正確.故選：CD.12.若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間上單調(diào)遞增，且在上也單調(diào)遞增，則稱在上是“強(qiáng)增函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若函數(shù)，則存在使是“強(qiáng)增函數(shù)”B.若函數(shù)，則為定義在上“強(qiáng)增函數(shù)”C.若函數(shù)，則存在區(qū)間，使在上不是“強(qiáng)增函數(shù)”D.若函數(shù)在區(qū)間上是“強(qiáng)增函數(shù)”，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在上為增函數(shù)，而函數(shù)在上為增函數(shù)，所以存在使是“強(qiáng)增函數(shù)”，如，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)在上不增函數(shù)，所以不是定義在上的“強(qiáng)增函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，因?yàn)?，所以函?shù)在上不是增函數(shù)，故存在區(qū)間，使在上不是“強(qiáng)增函數(shù)”，如，故C正確；對(duì)于D，若函數(shù)在區(qū)間上是“強(qiáng)增函數(shù)，則函數(shù)在上都是增函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，得，解得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)得單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以，所以，故D正確故選：ACD三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）13.______.【答案】【解析】原式.故答案為：.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.【答案】（區(qū)間開(kāi)閉都符合）【解析】，由，解得，令，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，又在時(shí)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：（區(qū)間開(kāi)閉都符合）.15.函數(shù)當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，有，解得或（舍去），即，當(dāng)時(shí)，有即，因?yàn)?，此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)解，當(dāng)，有滿足題意，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，故實(shí)數(shù).故答案為：8.16.已知函數(shù)與函數(shù)，滿足，當(dāng)和在區(qū)間上單調(diào)性不同，則稱區(qū)間為函數(shù)的“異動(dòng)區(qū)間”.若區(qū)間是函數(shù)的“異動(dòng)區(qū)間”，則的取值范圍是______.【答案】【解析】，若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，滿足要求，若，畫(huà)出與的圖象，如下：可以看出兩函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，要想是函數(shù)的異動(dòng)區(qū)間，則，解得，滿足，當(dāng)時(shí)，，，畫(huà)出兩函數(shù)圖象，可以看出兩函數(shù)圖象在上單調(diào)性相同，不合要求，舍去，當(dāng)時(shí)，畫(huà)出兩函數(shù)圖象，可以看出兩函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，要想是函數(shù)的異動(dòng)區(qū)間，故，解得，滿足，綜上，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，集合，，或，.（2），，當(dāng)即時(shí)，，則，解得，；當(dāng)即時(shí)，，符合題意；當(dāng)即時(shí)，，則，解得，；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知二次函數(shù)（為實(shí)數(shù)，且）（1）若，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）不等式的解集是，求函數(shù)的解析式.解：（1），的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又根據(jù)條件“有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，列方程組：，（2）不等式，即的解集是，即方程有實(shí)數(shù)根，且，根據(jù)韋達(dá)定理：，.19.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)，求函數(shù)的值域；（2），求區(qū)間上的最小值.解：（1）時(shí)，，即，整理得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，解得，且，綜上，，則的值域是.（2）且，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，綜上所述：20.已知指數(shù)函數(shù)，且，定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求和的解析式；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：設(shè)且，，，；是定義在上的奇函數(shù)，，對(duì)恒成立，.（2）恒成立，恒成立，又，可知在上單調(diào)遞減，恒成立，恒成立，，.21.天氣漸冷，某電子設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)準(zhǔn)備投入生產(chǎn)“暖手寶”.預(yù)估生產(chǎn)線建設(shè)等固定成本投入為100萬(wàn)，每生產(chǎn)萬(wàn)個(gè)還需投入生產(chǎn)成本萬(wàn)元，且據(jù)測(cè)算若該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該款“暖手寶”萬(wàn)只，每只售價(jià)45元并能全部銷售完.（1）求出利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量萬(wàn)個(gè)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)產(chǎn)量至少為多少個(gè)時(shí)，該公司在該款“暖手寶”生產(chǎn)銷售中才能收回成本；（3）當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到多少萬(wàn)個(gè)時(shí)，該公司所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).解：（1）總銷售額：萬(wàn)元，總成本：固定成本萬(wàn)元，∴利潤(rùn)（2）時(shí)，取最小值即可，僅需萬(wàn)，取22472個(gè).（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上，當(dāng)萬(wàn)個(gè)時(shí)，利潤(rùn)最大為410萬(wàn).22.定義在的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：