《等比數(shù)列的前n項和》教學設(shè)計

HPM教學課例《等比數(shù)列的前項和》1.1史料收集與分析人類很早就發(fā)現(xiàn)了等比數(shù)列及其求和問題，萊茵德紙草書上的問題79，塞琉斯時期（約公元前300年）的泥版AO6484上記載有兩個特殊等比數(shù)列求和，古希臘數(shù)學家埃拉托色尼甚至發(fā)明了一種機械工具來推導等比數(shù)列的求和，而歐幾里得在《幾何原本》中給出了等比數(shù)列求和的全新推導方法：比例法。這充分說明古人通過歸納猜想、類比推理和遞推迭代等方案已經(jīng)能解決等比數(shù)列求和問題。18世紀，歐拉在其《代數(shù)學基礎(chǔ)》中使用了我們今天熟知的錯位相減法，19世紀開始該法統(tǒng)治了代數(shù)教科書并延續(xù)至今。但即使如此，19世紀中仍舊出現(xiàn)了拉克洛瓦的“掐頭去尾法”，并被多位數(shù)學家沿用。分析以上材料我們可以看出，等比數(shù)列在人類的文明史上出現(xiàn)的很早。這說明其基礎(chǔ)性、自然性和實用性，也說明學生對等比數(shù)列的概念、通項公式和性質(zhì)的學習不會存在太大困難。而等比數(shù)列求和的方法多樣，思維各異，有些方法極具創(chuàng)造性，當我們等來錯位相消法時文明史已經(jīng)走過了兩千多年，又告誡我們不要妄圖在短短40分鐘內(nèi)就能“畢其功于一役”。錯位相消法作為等比數(shù)列求和這一課的重點和難點，重點在于技巧性和操作性，難點在于思想性和聯(lián)系性。1.2教學設(shè)計與實錄片段引入：上一節(jié)課，我們學習了等比數(shù)列的相關(guān)知識（ppt展示），今天我們要來學習等比數(shù)列的求和。早在公元前，故人們就已經(jīng)嘗試各種方法來求等比數(shù)列的和。比如在公元前300年塞琉斯時期的泥版AO6484上，就有這樣的記載。當時的祭司們發(fā)現(xiàn)：。可以想象，祭司們應(yīng)該是通過觀察和歸納得出來的：進而也就可以得到：。這種方法具有一般性嗎？生：試過了，不成立，應(yīng)該有類似的結(jié)構(gòu)，但我猜不出來。師：確實，猜測的難度有點大，適用性不廣。所以祭司們也在嘗試別的方案，比如萊茵德紙草書上有這么一個問題：，祭司們發(fā)現(xiàn)：，同學們，我們能站在“祭司的肩膀上”，找到等比數(shù)列的和嗎？生：因為，所以。師：那么對于一般等比數(shù)列呢？討論后，生：，所以。師：非常好，雖然沒有考慮是一個小小的缺憾，但瑕不掩瑜。到此，我們可以給出等比數(shù)列的求和公式了：。雖然我們不清楚祭司最后有沒有給出完整的公式，但他們通曉遞推關(guān)系是肯定的了，考慮到當時也不需要超大數(shù)據(jù)和抽象數(shù)學，做到這里顯然已經(jīng)很好了。但是，人類對等比數(shù)列求和方法的探索并沒有止步。對于，歐幾里得打算從等比數(shù)列的定義，也就是上做點文章。同學們能在這個定義式中，找到嗎？生：，后面的和前面的方法一樣。師：很好，當然歐幾里得處理的更巧妙一點：即。師：歐幾里得把這個方法寫在了他的巨著《幾何原本》里，時間就這樣走過了1500多年，一直到18世紀，大數(shù)學家歐拉為我們帶來了新方法。觀察歐拉的推導過程，應(yīng)該也是從祭司的遞推關(guān)系式里得到的靈感，對于：，歐拉沒有像祭司那樣對右邊提出，而是選擇兩邊同時乘以，這就有了：，觀察這兩個式子，你能做些什么？生：兩式一減，后面的操作就又和前面一樣了。師：正確。我們已經(jīng)學習了多種推導等比數(shù)列求和公式的方法了，你最喜歡哪一種，為什么？在討論后，大多數(shù)學生表示歐拉的方法最好，理由是步驟簡單，好理解，好操作，能“一次成功”。師：確實，19世紀以后的大多數(shù)代數(shù)教科書作者都采用了歐拉的方法，我們稱之為“錯位相消法”，這個名字起的也很棒，把兩個核心操作都概括進去了。尤其是“相消”這個想法，把一個無限式減成了一個有限式。從“相消”這個角度出發(fā)，法國數(shù)學家拉克洛瓦另辟蹊徑，給出了“掐頭去尾”法，頭指的是，掐頭指的是，同學們能猜測剩下的部分嗎？在這種較為明顯的提示下，大部分同學順利完成了掐頭去尾法的學習。由（1）（2）可知：即：師：同學們，今天我們沿著歷史的軌跡，學習了數(shù)學史上多種對于等比數(shù)列求和的思考和方法。事實上，早在古希臘，還有一位數(shù)學家埃拉托色尼用一種機械工具完成了等比數(shù)列求和公式的推導。可以說是“神乎其技”，限于時間，大家可以課后學習。我們本課要掌握的，不僅是公式本身，更應(yīng)該是公式背后的思考方式。下面，我們利用公式，來解決一些歷史上的名題。（后略）3課后反思根據(jù)以往的教學經(jīng)驗，直接講授錯位相消法，其教學難度是巨大的。學生既驚嘆于其技巧性，又局限于其機械操作性。教師也往往把重點放在訓練學生掌握錯位相消法的算法特征。這是另一種形式上的“一個定義，三項注意”，而對于這個方法背后的思想性的教學投入是不夠的。借助hpm，能讓學生廣泛而深入的聯(lián)系等比數(shù)列的定義，有助于學生對概念的理解，此之謂“知識之諧”。對比古今方法有助于解釋今天學生的學習困難，為學生提供探究的機會，更能進一步確立現(xiàn)代方法的價值所在，此之謂“方法之美”。而經(jīng)歷了上千年幾十代數(shù)學家的努力才得到的這個成果，更能讓學生明白數(shù)學結(jié)論并不只是教科書上冰冷的文字，而是努力與創(chuàng)造的結(jié)果。此之謂“文化之魅”。從HPM課型的分類來看，本課屬于復制和順應(yīng)，操作要求相對較簡單，而難度更高的重構(gòu)式則需要教師有更高的理論修養(yǎng)，更豐富的數(shù)學史材料積累，以及對數(shù)學更深刻的理解。這就需要教師個人在做HPM研究時能坐得住冷板凳，唯有厚積，才能薄發(fā)。也因此，HPM研究在良性發(fā)展的同時，成本高，難度大，范式少，同道缺等現(xiàn)狀也客觀存在，HPM領(lǐng)域的“高評價，低應(yīng)用”仍舊是一個不爭的事實。汪曉勤教授認為