第二課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

第二課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用題型一數(shù)字排列組數(shù)問題

[學(xué)透用活][典例1]用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字，(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(2)可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的電話號碼？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？[解]

(1)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種排法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100個(gè)．(2)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125個(gè)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12種排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18種排法．因而有12＋18＝30種排法，即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．解決組數(shù)問題的方法(1)對于組數(shù)問題，一般按特殊位置(一般是末位和首位)優(yōu)先的方法分類或分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．(2)解決組數(shù)問題，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時(shí)，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則．[提醒]

數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．

[對點(diǎn)練清]1．[變設(shè)問]在本例條件下，可以排成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解：完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1,3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個(gè)還有3個(gè)可任取一個(gè)，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36個(gè)．2．[變設(shè)問]在本例條件下，可以排成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)？解：一個(gè)四位數(shù)能被3整除，必須各位上數(shù)字之和能被3整除，故組成四位數(shù)的四個(gè)數(shù)字只能是0,1,2,3或0,2,3,4兩類．所以滿足題設(shè)的四位數(shù)共有2×3×3×2×1＝36個(gè)．題型二選(抽)取與分配問題

[學(xué)透用活][典例2]在7名學(xué)生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？[解]法一.分四類：第1類，從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有選法3×2＝6(種)；第2類，從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有選法3×2＝6(種)；第3類，從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，同時(shí)從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，有選法2×2＝4(種)；第4類，從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中各選1名分別參加象棋比賽和圍棋比賽，有選法2×1＝2(種)．故不同的選法共有6＋6＋4＋2＝18(種)．法二.分兩類：第1類，從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，這時(shí)7人中還有4人會下圍棋，從中選1名參加圍棋比賽．有選法3×4＝12(種)．第2類，從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選一名參加象棋比賽，這時(shí)7人中還有3人會下圍棋，從中選1名參加圍棋比賽．有選法2×3＝6(種)．故不同的選法共有12＋6＝18(種)．解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．

[對點(diǎn)練清]1．某班有9名運(yùn)動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，現(xiàn)從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有

(

)A．28種 B．30種C．27種

D．29種解析：有9名運(yùn)動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，則有2人既會踢足球又會打籃球，有3人只會打籃球，有4人只會踢足球，所以選派的方案有四類：選派兩種球都會的運(yùn)動員有2種方案；選派兩種球都會的運(yùn)動員中一名踢足球，只會打籃球的運(yùn)動員打籃球，有2×3＝6(種)方案；選派兩種球都會的運(yùn)動員中一名打籃球，只會踢足球的運(yùn)動員踢足球，有2×4＝8(種)方案；選派只會打籃球和踢足球的運(yùn)動員分別打籃球和踢足球，有3×4＝12(種)方案．綜上可知，共有2＋6＋8＋12＝28(種)方案，故選A.答案：A

2．高二年級的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，去哪個(gè)工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有

(

)A．16種 B．18種C．37種

D．48種解析：根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個(gè)班級都有4種選擇，共有4×4×4＝64種情況，其中甲工廠沒有班級去，即每個(gè)班都選擇了其他三個(gè)工廠，此時(shí)每個(gè)班級都有3種選擇，共有3×3×3＝27種方案；則符合條件的有64－27＝37種．答案：C

題型三涂色問題

[學(xué)透用活][典例3]用3種不同顏色填涂圖中A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？[解]涂A區(qū)域有3種涂法，B，C，D區(qū)域各有2種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理將A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色共有3×2×2×2＝24(種)不同方案．ABCD求解涂色問題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析；(3)根據(jù)不同要求，涂色問題可以采用分類法，也可以采用分步法，有時(shí)分類中又有分步，或者一個(gè)步驟中又有分類，這時(shí)要處理好“類中有步”“步中有類”的關(guān)系，為避免出錯(cuò)，在解題時(shí)一定要按照類別分開列式．[對點(diǎn)練清]1．在本例中，若恰好用3種不同顏色涂A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，那么哪些區(qū)域必同色？把四個(gè)區(qū)域涂色，共有多少種不同的涂色方案？解：恰用3種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域，則A，C區(qū)域，或A，D區(qū)域，或B，D區(qū)域必同色．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得恰用3種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(種)不同的方案．2．在本例中，若恰好用2種不同顏色涂完四個(gè)區(qū)域，則哪些區(qū)域必同色？共有多少種不同的涂色方案？解：若恰好用2種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域，則A，C區(qū)域必同色，且B，D區(qū)域必同色．先從3種不同顏色中任取兩種顏色，共3種不同的取法，然后用所取的2種顏色涂四個(gè)區(qū)域共2種不同的涂法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得恰好用2種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域共有3×2＝6(種)不同的涂色方案．[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會貫通1．從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

(

)A．24

B．18C．12 D．6解析：分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個(gè))；第2類，偶奇奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個(gè))．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個(gè))．答案：B二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2.如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種植1種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有________種(用數(shù)字作答)．解析：根據(jù)題意：當(dāng)1,3相同時(shí)，分為2,4相同或不同兩類，有5×4×(1＋3)＝80(種)，當(dāng)1,3不相同時(shí)，分為2,4相同或不同兩類，有5×4×3×(1＋2)＝180(種)，所以不同的種植方案共有80＋180＝260(種)．答案：2603．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、兔、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有

(

)A．50種 B．60種C．70種

D．90種解析：根據(jù)題意，分2種情況討論：如果同學(xué)甲選牛，那么同學(xué)乙只能選兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種中任意選，所以選法有3×10＝30(種)；如果同學(xué)甲選馬，那么同學(xué)乙能選牛、兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種中任意選，所以選法有4×10＝40(種)．綜上，不同的選法共有30＋40＝70(種)，故選C.答案：C

三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維4．定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有

(

)A．18個(gè) B．