44 數(shù)學歸納法（七大題型）

4．4數(shù)學歸納法【題型歸納目錄】題型一：對數(shù)學歸納法的理解題型二：數(shù)學歸納法中的增項問題題型三：證明恒等式題型四：證明不等式題型五：歸納—猜想—證明題型六：用數(shù)學歸納法證明整除性問題題型七：用數(shù)學歸納法證明幾何問題【知識點梳理】知識點一、數(shù)學歸納法的原理1、數(shù)學歸納法定義：對于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設(shè)當（，）時命題成立，證明當時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學歸納法知識點詮釋：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當時，命題成立，再假設(shè)當（，）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立．2、數(shù)學歸納法的原理：數(shù)學歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法．它的證明共分兩步：①證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)．但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的普遍性．在第一步中，考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數(shù)，即使命題對這幾個正整數(shù)都成立，也不能保證命題對其他正整數(shù)也成立；②證明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù)．但沒有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ)．只有把第一步和第二步結(jié)合在一起，才能獲得普遍性的結(jié)論．其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納基礎(chǔ)”（或稱特殊性），第二步是遞推的證據(jù)，解決的是延續(xù)性問題（又稱傳遞性問題）．例1．數(shù)學歸納法的功能和適用范圍（1）數(shù)學歸納法具有證明的功能，它將無窮的歸納過程根據(jù)歸納公理轉(zhuǎn)化為有限的特殊演繹（直接驗證和演繹推理相結(jié)合）過程．（2）數(shù)學歸納法一般被用于證明某些與正整數(shù)（取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學命題．但是，并不能簡單地說所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題都可使用數(shù)學歸納法證明．知識點二、運用數(shù)學歸納法的步驟與技巧1、用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：（1）證明：當取第一個值結(jié)論正確；（2）假設(shè)當（，）時結(jié)論正確，證明當時結(jié)論也正確由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)都正確2、用數(shù)學歸納法證題的注意事項（1）弄錯起始．不一定恒為1，也可能或3（即起點問題）．（2）對項數(shù)估算錯誤．特別是當尋找與的關(guān)系時，項數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤（即跨度問題）．（3）沒有利用歸納假設(shè)．歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個證明過程也就不正確了（即偽證問題）．（4）關(guān)鍵步驟含糊不清．“假設(shè)時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明時結(jié)論也成立”是數(shù)學歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性（即規(guī)范問題）．3、用數(shù)學歸納法證題的關(guān)鍵：運用數(shù)學歸納法由到的證明是證明的難點，突破難點的關(guān)鍵是掌握由到的推證方法．在運用歸納假設(shè)時，應(yīng)分析由到的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，或從時分離出時的式子，再進行局部調(diào)整；也可以考慮二者的結(jié)合點，以便順利過渡．知識點三、用數(shù)學歸納法證題的類型：1、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式；對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應(yīng)及時把結(jié)論和推導過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問題的證明有目的性．2、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的整除性問題；用數(shù)學歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學歸納法證明問題的一大技巧．3、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題；數(shù)學歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何、解析幾何等知識相結(jié)合來考查，對于此類問題解決的關(guān)鍵往往在于抓住對問題的所劃分標準，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個數(shù)與交點、交線間的關(guān)系等．4、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式．用數(shù)學歸納法證明一些與有關(guān)的不等式時，推導“”時成立，有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等．5、用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題．由有限個特殊事例進行歸納、猜想，從而得出一般性的結(jié)論，然后加以證明是科學研究的重要思想方法．在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題中，此思想方法尤其重要．【典型例題】題型一：對數(shù)學歸納法的理解例1．（2023·四川成都·高二校考階段練習）用數(shù)學歸納法證明“對任意的，都有，第一步應(yīng)該驗證的等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在等式中，當時，，故等式的左邊為，右邊為.所以第一步應(yīng)該驗證的等式是.故選：D例2．（2023·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明，“當為正奇數(shù)時，能被整除”時，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成（

）A．假設(shè)時正確，再推證正確B．假設(shè)時正確，再推證正確C．假設(shè)時正確，再推證正確D．假設(shè)時正確，再推證正確【答案】B【解析】因為命題為“當為正奇數(shù)時，能被整除”，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)時正確，再推證正確.故選：B.例3．（2023·上海青浦·高二上海市青浦高級中學?？计谀┯脭?shù)學歸納法證明“”，驗證成立時等式左邊計算所得項是（

）A．1 B．C． D．【答案】D【解析】表達式的左邊是從開始加到結(jié)束，所以驗證成立時等式左邊計算所得項是.故選：D變式1．（2023·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明（，，是正整數(shù)），在驗證時，左邊所得的項為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】當時，，在驗證時，左邊所得的項為.故選：C.變式2．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時等式成立，則還需利用假設(shè)再證（）A．時不等式成立 B．時不等式成立C．時不等式成立 D．時不等式成立【答案】B【解析】若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，所以還需要證明成立．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當時，命題成立，再假設(shè)當（，）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立．題型二：數(shù)學歸納法中的增項問題例4．（2023·高二課時練習）在用數(shù)學歸納法求證：，（為正整數(shù)）的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，左邊，當時，左邊，則.故選：D.例5．（2023·福建·高二福建師大附中?？计谀┯脭?shù)學歸納法證明時，假設(shè)時命題成立，則當時，左端增加的項為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，不等式左邊等于，當時，不等式左邊等于當時，不等式的左邊比時增加.故選：D例6．（2023·天津·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學歸納法證明等式，從到左端需要增乘的代數(shù)式為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，左邊.當時，左邊.所以要增乘的是.故選：D變式3．（2023·上海·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明，則從“到”，左邊所要添加的項是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當n＝k時，等式的左邊為，當n＝k+1時，等式的左邊為，故從“n＝k到n＝k+1”，左邊所要添加的項是．故選：D．變式4．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期中）用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時不等式左邊（

）A．增加了B．增加了C．增加了，但減少了D．增加了，但減少了【答案】C【解析】當時，，當時，，故增加了，但減少了.故選：.變式5．（2023·四川成都·高二樹德中學?？茧A段練習）用數(shù)學歸納法證明“”時，由假設(shè)不等式成立，推證不等式成立時，不等式左邊應(yīng)增加的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用數(shù)學歸納法證明“”,當時，左邊，共項，當時，左邊，共項，所以，由假設(shè)不等式成立，推證不等式成立時，不等式左邊應(yīng)增加的項數(shù)為.故選：C.變式6．（2023·北京·高二北京八中?？计谥校┰谟脭?shù)學歸納法證明的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，左邊，當時，左邊，則.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】在利用歸納假設(shè)論證時等式也成立時，應(yīng)注意分析和時兩個等式的差別．題型三：證明恒等式例7．（2023·全國·高二隨堂練習）求的和.【解析】因為當時，；當時，；當時，；當時，；猜想：，下面利用數(shù)學歸納法證明：例8．當時，左邊，右邊，等式成立；例9．假設(shè)當時，等式成立，即，變式7．當時，左邊右邊，所以當時，等式成立；綜上所述：.變式8．（2023·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明（為正整數(shù)）．【解析】設(shè)．①當時，左邊，右邊，等式成立；②設(shè)當時等式成立，即，則當時，．由①②可知當時等式都成立．變式9．（2023·高二課時練習）是否存在常數(shù)、、，使等式對任何正整數(shù)都成立？證明你的結(jié)論．【解析】假設(shè)存在，使得所給等式成立．令代入等式得解得以下用數(shù)學歸納法證明等式對一切正整數(shù)都成立．①當時，由以上可知等式成立；②假設(shè)當時等式成立，即，當時，．即時等式成立．由①②知等式對于一切正整數(shù)都成立．故存在，使等式對一切正整數(shù)都成立.變式10．（2023·高二課時練習）是否存在常數(shù)、、，使等式對任何正整數(shù)都成立？【解析】若存在常數(shù)、、，使上述等式對任何正整數(shù)都成立，則當時，由等式成立，有，即；①當時，等式也成立，有，即；②當時，等式也成立，有，即；③聯(lián)立①②③，解關(guān)于、、的三元一次方程組得，，．故猜想等式對一切正整數(shù)都成立.下面用數(shù)學歸納法證明：1）當時，由上面的探求可知等式成立．2）假設(shè)時猜想成立，即．當時，．所以當時，等式也成立．由1）2）知猜想成立，即存在，，使命題成立．變式11．（2023·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明（為正整數(shù)）．【解析】當時，左側(cè)，右側(cè)，顯然成立，假設(shè)時，當時，，即當時，等式也成立，綜上可得，．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學歸納法證明等式的策略應(yīng)用數(shù)學歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結(jié)構(gòu)，即：（1）時，等式的結(jié)構(gòu)．（2）到時，兩個式子的結(jié)構(gòu)：時的代數(shù)式比時的代數(shù)式增加（或減少）的項．這時一定要弄清三點：①代數(shù)式從哪一項（哪一個數(shù)）開始，即第一項．②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律．③代數(shù)式中最后一項（最后一個數(shù)）與的關(guān)系．題型四：證明不等式例10．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考期末）觀察下列不等式：，，，，……．(1)根據(jù)這些不等式，歸納出一個關(guān)于正整數(shù)n的命題；(2)用數(shù)學歸納法證明（1）中得到的命題．【解析】（1）不等式可寫為：，，，，所以歸納得到命題：（n為正整數(shù)）．（2）證明：①當n＝1時，易知命題成立；②假設(shè)當時，命題成立，即．則當時，，即時，命題也成立．由①②可知，．例11．（2023·廣西玉林·高二校聯(lián)考期中）（1）請用分析法證明：；（2）用數(shù)學歸納法證明不等式：．【解析】證明：（1）要證：，只需證：，只需證：，即證：，即證：，也就是證：42>40，而42>40顯然成立，故原不等式得證．（2）證明：①當時，左邊，時成立②假設(shè)當時成立，即那么當時，左邊∴時也成立根據(jù)①②可得不等式對所有的n>1都成立．例12．（2023·高二課時練習）證明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．【解析】當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立．假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即，當n＝k＋1時，，所以當n＝k＋1時，不等式成立．綜上，原不等式對任意n∈N*都成立．變式12．（2023·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.【解析】（1）觀察不等式左邊最后一個數(shù)分母的特點：，，，，猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應(yīng)各式右端為，所以，不等式的一般結(jié)論為：（2）證明：①當時顯然成立；

②假設(shè)時結(jié)論成立，即：成立，

當時，即當時結(jié)論也成立.由①②可知對任意，結(jié)論都成立.變式13．（2023·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，求證：對任意的，不等式都成立．【解析】由，得，所以,用數(shù)學歸納法證明不等式成立，證明如下：①當時，左邊，右邊，因為，所以不等式成立．②假設(shè)當時不等式成立，即成立，則當時，左邊,,右邊．所以當時，不等式也成立．由①②可得不等式對任意的都成立，即原不等式成立．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵（1）驗證第一個的值時，要注意不一定為1，若（k為正整數(shù)），則．（2）證明不等式的第二步中，從到的推導過程中，一定要用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學歸納法，因為缺少歸納假設(shè)．（3）用數(shù)學歸納法證明與有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大?。畬Φ诙愋问酵葘θ∏皞€值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學歸納法證明．（4）用數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由時成立，得時成立，主要方法有比較法、放縮法等．題型五：歸納—猜想—證明例13．（2023·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列滿足，，(1)求，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；(2)利用數(shù)學歸納法證明上述猜想．【解析】（1）因為數(shù)列滿足，，，所以當時，，

當時，．

由此猜想數(shù)列的通項公式為．（2）證明：用數(shù)學歸納法證明如下：①當時，，成立；②假設(shè)當時，成立，即，則當時，，成立，由①②，得：．例14．（2023·高二課時練習）設(shè)數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且．記．如果對于所有的正整數(shù)均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通項公式，并加以證明．【解析】（1）因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因為，，所以舍去，同理可得：舍去，舍去，舍去，所以，，，，；（2）猜想：，證明過程如下：當時，顯然成立，假設(shè)當時成立，即，當時，，解得：，或，因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，顯然，所以，舍去，所以當時，成立，綜上所述：例15．（2023·高二課時練習）已知數(shù)列：，，，…，，…，設(shè)為該數(shù)列的前項和.計算，，，的值；根據(jù)計算的結(jié)果，猜想（為正整數(shù)）的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明.【解析】，，，，猜想（為正整數(shù)），下面用數(shù)學歸納法證明：①當時，，猜想成立；②假設(shè)當時，猜想成立，即，所以當時，，所以當時猜想成立.由①②得，得證.變式14．（2023·高二課時練習）函數(shù)對任意實數(shù)x，y都有．(1)求的值；(2)若，求，，的值，猜想時的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論．【解析】（1）在中，令，得，得.（2）若，在中，令，得，令，，得，令，得，猜想：當時，，證明：當時，，等式成立，假設(shè)當時，，那么當時，，即時，等式也成立，根據(jù)數(shù)學歸納法原理可知，當時，.變式15．（2023·陜西西安·高二?？计谥校┰跀?shù)列中，，．(1)寫出，，，，猜想這個數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論．【解析】（1）在數(shù)列中，，.當時，；當時，；當時，；所以，，，，猜測.（2）①當時，，，所以，所以時，等式成立；②假設(shè)當時，等式成立，即，則，所以時，等式成立.綜合①和②可知，對于任意的，均成立.變式16．（2023·陜西咸陽·高二校考階段練習）已知前n項和為的正項數(shù)列中，.(1)求，，并猜測數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.【解析】（1）當時，有，整理為，解得（舍去）或；當時，有，代入，整理為，解得（舍去）或，猜測數(shù)列的通項公式為；（2）當時，，猜想成立；假設(shè)當時，猜想成立，即；那么當時，，有，有，有，有，解得（舍去）或，故時猜想成立.綜上所述：數(shù)列的通項公式為.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”．（2）“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗—歸納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題．這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項公式．題型六：用數(shù)學歸納法證明整除性問題例16．（2023·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法證明：能被整除（）【解析】當時，，故能被整除，假設(shè)當時，結(jié)論成立，即能被整除，則當時，，由于和均能被整除，故能被整除，綜上：能被整除（）.例17．（2023·全國·高二隨堂練習）設(shè)，用數(shù)學歸納法證明：是64的倍數(shù)．【解析】（1）當時，能被64整除，命題成立．（2）假設(shè)當時，能夠被64整除．當時，能夠被64整除，能夠被64整除．即當時，命題也成立．由（1）（2）可知，能被64整除，即是64的倍數(shù)．例18．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學?？计谥校┳C明：當時，能被64整除．【解析】（1）當時，能被64整除．（2）假設(shè)當時，能被64整除，則當時，．故也能被64整除．綜合（1）（2）可知當時，能被64整除．變式17．（2023·高二課時練習）先猜想，再用數(shù)學歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？【解析】時，原式，時，原式，時，原式，時，原式，這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；證明：（1）當時，，命題顯然成立；（2）假設(shè)當時，能被6整除．當時，，其中兩個連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，由假設(shè)知能被6整除,故，，6分別能被6整除，所以當時，命題也成立．據(jù)（1）（2），可知可以被6整除．故能被自然數(shù)6,，1，2，3整除.變式18．（2023·高二課時練習）已知，存在自然數(shù)，使得對任意正整數(shù)，被整除，請猜測出的最大值，并用數(shù)學歸納法證明你的猜測是正確的．【解析】∵、，，∴，，均能被36整除，猜想的最大值為36．證明如下：當，2時，已得證；假設(shè)當時，能被36整除，則當時，，∴能被36整除．∵不能被大于36的數(shù)整除，∴的最大值為36．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學歸納法證明整除問題時，關(guān)鍵是把時的式子分成兩部分，其中一部分應(yīng)用歸納假設(shè)，另一部分經(jīng)過變形處理，確定其能被某數(shù)（某式）整除．題型七：用數(shù)學歸納法證明幾何問題例19．（2023·全國·高二課時練習）如圖，、、、是曲線上的個點，點在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標原點）．（1）寫出、、；（2）猜想點的橫坐標關(guān)于的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．【解析】（1）設(shè)，則依題意，可得，，代入，得，即，所以，，．（2）由（1）可猜想：．下面用數(shù)學歸納法證明：（ⅰ）當時，猜想顯然成立；（ⅱ）假設(shè)當時猜想成立，即有，則當時，由得，即，解得（不符合題意，舍去），即當時，猜想成立．由（?。áⅲ┲孪氤闪ⅲ矗?0．（2023·全國·高二課時練習）平面內(nèi)有個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，試證明這個圓把平面分成了個區(qū)域．【解析】當時，1個圓將平面分為2個區(qū)域，，顯然命題成立，假設(shè)當時，個圓將平面分為個區(qū)域，當時，第個圓與前k個圓交于2k個點，這2k個點把這個圓分為2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成兩部分，因此，這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎(chǔ)上又增加了2k個部分，即，即當時，命題成立根據(jù)數(shù)學歸納法可得：平面內(nèi)有個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，這個圓把平面分成了個區(qū)域.例21．（2023·全國·高二課時練習）平面內(nèi)有n(n≥2)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，記這n個圓的交點個數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．【解析】n＝2時，f（2）＝2＝1×2，n＝3時，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4時，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5時，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用數(shù)學歸納法給出證明：①當n＝2時，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假設(shè)當n＝k(k≥2，k∈N*)，時猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，則n＝k＋1時，其中圓O與其余k個圓各有兩個交點，而由假設(shè)知這k個圓有f(k)個交點，所以這k＋1個圓的交點個數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1時猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．變式19．（2023·上海·高三專題練習）試證明對任何自然數(shù)，每一個正方形都可分成個正方形.【解析】當時，由圖知結(jié)論成立.假設(shè)對于時結(jié)論成立，那么對于，我們可以先將正方形分成個正方形，再將這個正方形中的一個分成4個小正方形，從而得到個正方形，即時結(jié)論也成立.從而結(jié)論對任何自然數(shù)均成立.【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從個變成（）個時，所證的幾何量將增加多少．一般地，證明二步時，常用的方法是加1法，即在原來的基礎(chǔ)上，再增加1個，當然我們也可以從（）個中分出1個來，剩下的個利用假設(shè)．幾何問題的證明一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意要有必要的文字說明．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·上?！じ叨谥校┯脭?shù)學歸納法證明“當為正奇數(shù)時，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成（）A．假設(shè)正確，再推正確B．假設(shè)正確，再推正確C．假設(shè)正確，再推正確D．假設(shè)正確，再推正確【答案】B【解析】根據(jù)數(shù)學歸納法的證明步驟，注意為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)正確，再推正確；故選：B．2．（2023·上海·高二期末）用數(shù)學歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，左端＝，當時，左端＝，故左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：B．3．（2023·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明，“當為正奇數(shù)時，能被整除”時，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成（

）A．假設(shè)時正確，再推證正確B．假設(shè)時正確，再推證正確C．假設(shè)時正確，再推證正確D．假設(shè)時正確，再推證正確【答案】B【解析】因為命題為“當為正奇數(shù)時，能被整除”，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)時正確，再推證正確.故選：B.4．（2023·遼寧大連·高二校聯(lián)考期中）用數(shù)學歸納法證明“”的過程中，從到時，左邊增加的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】時，可得：時，可得：，故增加了項.故選：A5．（2023·陜西商洛·高二?？计谥校┯脭?shù)學歸納法證明時，從到，不等式左邊需添加的項是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式左邊需添加的項是.故選：B6．（2023·北京·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，.給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列每一項都滿足；②數(shù)列是遞減數(shù)列；③數(shù)列的前項和；④數(shù)列每一項都滿足成立.其中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③C．①②③ D．①②④【答案】D【解析】對①：，，則，當時，，且，故，故，正確；對②：，故數(shù)列是遞減數(shù)列，正確；對③：，，，，，錯誤；對④：當時，成立，假設(shè)時成立，即，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故時成立.綜上所述：數(shù)列每一項都滿足成立，正確.故選：D.7．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）意大利數(shù)學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結(jié)構(gòu)”、化學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2020項的和為（

）A．1346 B．673 C．1347 D．1348【答案】C【解析】由題意可得：若，等價于為偶數(shù)，若，等價于為奇數(shù)，則，猜想：，當時，成立；假設(shè)當時，成立，則為奇數(shù)，為偶數(shù)；當時，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故符合猜想；得證，則連續(xù)三項之和為2，故數(shù)列的前2020項的和為.故選：C.8．（2023·高二課時練習）利用數(shù)學歸納法證明不等式（，且）的過程，由到時，左邊增加了（

）A．項 B．項 C．k項 D．1項【答案】A【解析】由題意，時，不等式左邊，最后一項為，時，不等式左邊，最后一項為，由變到時，左邊增加了項,故選：A．二、多選題9．（2023·高二單元測試）以下四個命題，其中滿足“假設(shè)當時命題成立，則當時命題也成立”，但不滿足“當（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的是（

）A．B．C．凸n邊形的內(nèi)角和為D．凸n邊形的對角線條數(shù)【答案】BC【解析】A：，顯然時有，故當n為給定的初始值時命題成立，故不滿足要求；B：假設(shè)當時命題成立，即，當時有，故當時命題也成立，當時，等號左邊為2，右邊為，，所以當時命題不成立，故滿足要求；C：假設(shè)當時命題成立，即，當時有，故當時命題也成立，當時內(nèi)角和為命題不成立，故滿足要求；D：假設(shè)當時命題成立，即，當時有，故不滿足要求.故選：BC.10．（2023·高二課時練習）設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當成立時，總有成立.則下列命題總成立的是（

）A．若成立，則成立B．若成立，則當時，均有成立C．若成立，則成立D．若成立，則當時，均有成立【答案】AD【解析】對于A：當成立時，總有成立.則逆否命題：當成立時，總有成立.若成立，則成立，故A正確；對于B：若成立，則當時，均有成立，故B錯誤；對于C：當成立時，總有成立.則逆否命題：當成立時，總有成立.故若成立，則成立，所以C錯誤；對于D：根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結(jié)合，所以當時，均有成立，故D正確.故選：AD11．（2023·高二單元測試）某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當時命題成立，則可得當時命題也成立，若已知當時命題不成立，則下列說法正確的是（

）A．當時，命題不成立B．當時，命題可能成立C．當時，命題不成立D．當時，命題可能成立也可能不成立，但若當時命題成立，則對任意，命題都成立【答案】AD【解析】如果當時命題成立，則當時命題也成立，與題設(shè)矛盾，即當時，命題不成立，A正確；如果當時命題成立，則當時命題成立，繼續(xù)推導可得當時命題成立，與題設(shè)矛盾，B不正確；當時，該命題可能成立也可能不成立，如果當時命題成立，則當時命題也成立，繼續(xù)推導可得對任意，命題都成立，C不正確，D正確.故選：AD12．（2023·高二課時練習）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的為（

）A．B．C．對任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立D．【答案】ABCD【解析】對于A，，若，則，又