北師大版高數(shù)必修三第3講：用樣本估計總體

用樣本估計總體____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中,學(xué)會列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法.2.通過對樣本分析和總體估計的過程,感受數(shù)學(xué)對實際生活的需要,通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征,從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布,準(zhǔn)確地作出總體估計,認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識源于生活并指導(dǎo)生活的事實,體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.3.能利用頻率分布直方圖估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；能用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),并結(jié)合實際,對問題作出合理判斷,制定解決問題的有效方法；初步體會、領(lǐng)悟“用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計思想方法；通過對有關(guān)數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析、判斷，培養(yǎng)學(xué)生“實事求是”的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng).4.正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會計算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差）,并作出合理的解釋；會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識.1．分析數(shù)據(jù)的方法(1)借助于圖形．用圖將各個數(shù)據(jù)畫出來，作圖可以達(dá)到兩個目的，一是從數(shù)據(jù)中__________；二是利用圖形__________．(2)借助于表格．用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的______方式，為我們提供_____數(shù)據(jù)的新方式．提取信息傳遞信息構(gòu)成解釋2．頻率分布直方圖(1)繪制步驟：①求______，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差．②決定______與______．組距與組數(shù)的確定沒有具體的標(biāo)準(zhǔn)，一般來說，數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān)，樣本容量越大，所分組數(shù)越____．當(dāng)樣本容量不超過100時，按照數(shù)據(jù)的多少，常分為5～12組．③將數(shù)據(jù)______．④列出__________表．⑤畫出頻率分布直方圖．其中橫軸表示_____，縱軸表示_____________的比．(2)意義：頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積表示相應(yīng)組的______，所有小矩形的面積的總和等于____.(3)頻率分布的估計：頻率分布是指各個小組數(shù)據(jù)在容量中所占______的大小，可以用______的頻率分布估計總體的頻率分布，頻率分布表是反映樣本的頻率分布的表格．通過頻率分布直方圖和頻率分布表可以看到樣本的頻率分布．極差組距組數(shù)多分組頻率分布數(shù)據(jù)頻率與組距頻率1比例樣本3.頻率分布直方圖的特征：直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律；可以大致估計出總體的分布．但是從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．4．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)類似于頻數(shù)分布折線圖，連接頻率分布直方圖中各個小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．一般地，當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時，抽樣時樣本容量就不能太?。?，如果要抽樣調(diào)查一個省乃至全國的居民的月均用水量，那么樣本容量就應(yīng)比調(diào)查一個城市的時候大．可以想像，隨著樣本容量的增加．作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．頻率分布折線圖反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢．總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息．(2)估計方法：實際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但是在實際應(yīng)用中我們并不知道它的具體表達(dá)形式，需要用______來估計．由于樣本是隨機的，不同的樣本得到的頻率分布折線圖______；即使對于同一個樣本，不同的分組情況得到的頻率分布折線圖也不同．頻率分布折線圖是隨__________和分組情況的變化而變化的，因此不能用樣本的___________________得到準(zhǔn)確的總體密度曲線．樣本不同樣本容量頻率分布折線圖5．莖葉圖(1)制作方法：將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為_____，個位數(shù)字作為___，莖相同者共用一個莖，莖按從_________的順序從上向下列出，共莖的葉可以按從大到小(或從小到大)的順序同行列出(也可以沒有大小順序)．(2)優(yōu)缺點：在樣本數(shù)據(jù)_______時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好．它不但可以保留所有信息，而且可以隨時______，這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便．但是當(dāng)樣本數(shù)據(jù)______時，莖葉圖就顯得不太方便，因為每一個數(shù)據(jù)都要在圖中占據(jù)一個空間，如果數(shù)據(jù)很多，枝葉就會很長．莖葉小到大較少記錄較多6.莖葉圖的特征：統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示．但是莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩位以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩位數(shù)記錄那么直觀、清晰．7．規(guī)律總結(jié)[總結(jié)1]估計總體分布的步驟是：(1)選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒◤目傮w中抽取樣本，即收集數(shù)據(jù)．(2)利用樣本數(shù)據(jù)畫出統(tǒng)計圖或計算數(shù)字特征．(3)結(jié)合統(tǒng)計圖分析樣本取值的分布規(guī)律．(4)用樣本取值的分布規(guī)律估計總體分布，由于是用科學(xué)抽樣抽取的樣本，那么樣本與總體取值的分布規(guī)律近似，有時也可看成相同.(5)利用總體分布解決有關(guān)問題．[總結(jié)2]頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖和莖葉圖的比較(1)四種圖表的區(qū)別與聯(lián)系名稱區(qū)別頻率分布表從數(shù)量上比較準(zhǔn)確地反映樣本的頻率分布規(guī)律頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布情況頻率分布折線圖直觀地反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢總體密度曲線雖客觀存在，但要準(zhǔn)確畫出難度較大，只能用樣本頻率分布估計．樣本容量越大，估計越準(zhǔn)確這四種圖表都是描述樣本數(shù)據(jù)分布情況，估計總體頻率分布規(guī)律的，其聯(lián)系如下：(2)四種圖表的優(yōu)缺比較優(yōu)點缺點頻率分布表表示數(shù)量較確切分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不方便頻率分布直方圖表示數(shù)據(jù)分布情況非常直觀原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉了頻率分布折線圖能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢不能顯示原有數(shù)據(jù)信息莖葉圖一是所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，不方便表示數(shù)據(jù)8．眾數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)______的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能______一個，也可能沒有，反映了該組數(shù)據(jù)的____________．[破疑點]眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其無法客觀地反映總體特征．最多不止集中趨勢9．中位數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于______位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是______的，反映了該組數(shù)據(jù)的______________．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積______．[破疑點]中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點．中間唯一集中趨勢相等10．平均數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)n＝_________________.(2)特征：平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的_____________．任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化，這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì)．所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的______，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中_________的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低．eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均水平信息極端值11．標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計算s＝__________________________.可以用計算器或計算機計算標(biāo)準(zhǔn)差．(2)特征：標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞______波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較______；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較______．eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])平均數(shù)大小12．方差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2＝________________________________________．(2)特征：與____________的作用相同，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大小．(3)取值范圍：___________．eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]標(biāo)準(zhǔn)差[0，＋∞)數(shù)據(jù)組x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)組ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b為常數(shù))的平均數(shù)為aeq\x\to(x)＋b，方差為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為as.6．用樣本估計總體現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往很多，總體的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差是不知道的，因此，通常用樣本的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差來估計．這與用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的．只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類：用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計總體標(biāo)準(zhǔn)差，樣本容量越大，估計就越精確．類型一繪制頻率分布直方圖例1：抽查100袋洗衣粉，測量它們的凈重如下(單位：g)：494498493505496492485483508511495494483485511493505488501491493509509512484509510495497498504498483510503497502511497500493509510493491497515503515518510514509499493499509492505489494501509498502500508491509509499495493509496509505499486491492496499508485498496495496505499505496501510496487511501496(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫頻率分布直方圖及頻率分布折線圖；(3)估計凈重在～g之間的頻率．[解析](1)在樣本數(shù)據(jù)中，最大值是518，最小值是483，所以極差為35.取組距為4g，由于eq\f(35,4)＝8eq\f(3,4)，故要分成9組．使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，且把第1組的起點稍微減小一點，得分組如下：[,，[，，[,，…，[,]．列出頻率分布表如下：分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率[,8[,3[,正正正17[,正正正正21[,正正14[,正9[,正正正19[,正6[,]3合計100(2)頻率分布直方圖及頻率分布折線圖如下圖：(3)凈重在～g之間的頻率為＋＋＝.練習(xí)1：為了解某中學(xué)高一年級男生的體重情況，抽取了同年級40名男生的體重，數(shù)據(jù)如下(單位：千克)：62605959595858575757575656565656565655555555545454545353525252525251515150504948列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖，并估計體重在58千克以上的男生比例．[答案](1)計算極差：62－48＝14.(2)決定組距與組數(shù)：取組距為2.又因為eq\f(極差,組距)＝eq\f(14,2)＝7，故共分成7組．(3)將數(shù)據(jù)分組：以組距為2將數(shù)據(jù)分組時，可以分成以下7組：[48,50)，[50,52)、[52,54)，[54,56)，[56,58)，[58,60)，[60,62]．(4)列出頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[48,50)2[50,52)5[52,54)7[54,56)8[56,58)11[58,60)5[60,62]2合計40(5)繪出頻率分布直方圖(如下圖所示)：從頻率分布表中可看出，樣本數(shù)據(jù)落在58以上的頻率為＋＝，由此可估計，體重在58千克以上的男生比例約為練習(xí)2：在2014年第十六屆亞運會中，各個國家和地區(qū)金牌獲得情況的條形統(tǒng)計圖，如圖所示．第十六屆亞運會各個國家和地區(qū)金牌獲得情況統(tǒng)計圖從圖中可以看出中國是亞洲第一體育強國，中國所獲得金牌數(shù)占全部金牌數(shù)的比例約是()A．% B．% C．% D．%[答案]D練習(xí)3：頻率分布直方圖中，各小矩形面積的和等于()A．0 \f(1,2) C．1 D．不確定[答案]C練習(xí)4：在畫頻率分布直方圖時，某組的頻數(shù)為10，樣本容量為50，總體容量為600，則該組的頻率是()\f(1,5) \f(1,6) \f(1,10) D．不確定[答案]A類型二莖葉圖的畫法及應(yīng)用例2：某中學(xué)甲、乙兩名同學(xué)最近幾次的數(shù)學(xué)考試成績情況如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.畫出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進(jìn)行比較．[解析][答案]甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖所示．從這個莖葉圖上可以看出，乙同學(xué)的得分情況是大致對稱的，大多集中在80～100之間，中位數(shù)是98分．甲同學(xué)的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，多集中在70～90之間，中位數(shù)是88分，但分?jǐn)?shù)分布相對于乙來說，趨向于低分階段．因此，乙同學(xué)發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學(xué)好．練習(xí)2：在某電腦雜志的一篇文章中，每個句子的字?jǐn)?shù)如下10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20，19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某報紙的一篇文章中，每個句子的字?jǐn)?shù)如下：27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35，12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.(1)畫出兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)比較分析兩組數(shù)據(jù)，能得出什么結(jié)論？[答案](1)依題意，畫出莖葉圖如下圖所示：(2)電腦雜志文章中每個句子的字?jǐn)?shù)集中在10～30之間，中位數(shù)為，而報紙文章中每個句子的字?jǐn)?shù)集中在20～40之間，中位數(shù)為.還可以看出，電腦雜志上每個句子的平均字?jǐn)?shù)比報紙上每個句子的平均字?jǐn)?shù)要少．這與電腦雜志作為科普讀物需要簡明、通俗易懂的要求相吻合．類型三莖葉圖與頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用例3：(2015·湖北武漢調(diào)研)某學(xué)校隨機抽取20個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)購經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時，所作的頻率分布直方圖是()[解析]借助已知莖葉圖得出各小組的頻數(shù)，再由頻率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量)求出各小組的頻率，進(jìn)一步求出eq\f(頻率,組距)并得出答案．方法一：由題意知樣本容量為20，組距為5.列表如下：分組頻數(shù)頻率eq\f(頻率,組距)[0,5)1eq\f(1,20)[5,10)1eq\f(1,20)[10,15)4eq\f(1,5)[15,20)2eq\f(1,10)[20,25)4eq\f(1,5)[25,30)3eq\f(3,20)[30,35)3eq\f(3,20)[35,40]2eq\f(1,10)合計201觀察各選擇項的頻率分布直方圖知選A.方法二：由莖葉圖知落在區(qū)間[0,5)與[5,10)上的頻數(shù)相等，故頻率、eq\f(頻率,組距)也分別相等．比較四個選項知A正確，故選A.[答案]A練習(xí)1：某學(xué)校為調(diào)查高三年級學(xué)生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取80名學(xué)生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖1和女生身高情況的頻率分布直方圖2.已知圖1中身高在170cm～175cm的人數(shù)為16.問：在抽取的學(xué)生中，男、女生各有多少人？[答案]因為身高在170cm～175cm的男生的頻率為×5＝，設(shè)男生的總?cè)藬?shù)為n1，則＝eq\f(16,n1)，解得n1＝40，即抽取的學(xué)生中，男生的人數(shù)為40，女生的人數(shù)為80－40＝40.練習(xí)2：沒有信息的損失，所有的原始數(shù)據(jù)都可以從圖中得到的統(tǒng)計圖是()A．總體密度曲線 B．莖葉圖C．頻率分布折線圖 D．頻率分布直方圖[答案]B類型四中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用例4:據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司的職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到1元)(3)你認(rèn)為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司職工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．[解析](1)平均數(shù)是eq\x\to(x)＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(2)平均數(shù)是eq\x\to(x)′＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的工資水平．因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司職工的工資水平．練習(xí)1：某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好反映乙群市民的年齡特征？[答案](1)甲群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(歲)，中位數(shù)為5歲，眾數(shù)為6歲．由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差．類型五標(biāo)準(zhǔn)差、方差的應(yīng)用從甲、乙兩種玉米的苗中各抽10株，分別測它們的株高如下：(單位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640問：(1)哪種玉米的苗長得高？(2)哪種玉米的苗長得齊？[解析]看哪種玉米的苗長得高，只要比較甲、乙兩種玉米的苗的均高即可；要比較哪種玉米的苗長得齊，只要看兩種玉米的苗高的方差即可，因為方差是體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)．(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq\f(1,10)×300＝30(cm)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝eq\f(1,10)×310＝31(cm)．所以eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝eq\f(1,10)(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝eq\f(1,10)×1042＝(cm2)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝eq\f(1,10)×1288＝(cm2)．所以seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙).[答案](1)乙種玉米的苗長得高，(2)甲種玉米的苗長得齊．練習(xí)1：甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚杭椎某煽儹h(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有()A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3 C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1[答案]B練習(xí)2：(2015·天津高一檢測)一次數(shù)學(xué)知識競賽中，兩組學(xué)生成績?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個組的平均分都是80分，請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識，進(jìn)一步判斷這兩個組這次競賽中成績誰優(yōu)誰次，并說明理由．[答案](1)甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝eq\f(1,50)×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,50)×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256.因為seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲組成績較乙組成績穩(wěn)定．(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績在80分以上(含80分)的有33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較好．(4)從成績統(tǒng)計表看，甲組成績大于或等于90分的人數(shù)為20人，乙組成績大于或等于90分的人數(shù)為24人，所以乙組成績在高分階段的人數(shù)多，同時，乙組得滿分的比甲組得滿分的多6人，從這一角度看，乙組成績較好．類型六頻率分布直方圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用例6：(1)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差(2)某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．①求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)．②求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)．③求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分．[解析](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(4＋5＋6＋7＋8)＝6，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(5×3＋6＋9)＝6，甲的中位數(shù)是6，乙的中位數(shù)是5.甲的成績的方差為eq\f(1,5)(22×2＋12×2)＝2，乙的成績的方差為eq\f(1,5)(12×3＋32×1)＝.甲的極差是4，乙的極差是4.所以A，B，D錯誤，C正確．(2)①由圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.②由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為，第四個矩形面積為,＋＞，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得＝(x－70)，所以x≈.③由圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為：eq\f(40＋50,2)××10＋eq\f(50＋60,2)××10＋eq\f(60＋70,2)××10＋eq\f(70＋80,2)××10＋eq\f(80＋90,2)××10＋eq\f(90＋100,2)××10＝72.[答案](1)C(2)見解析練習(xí)1：(2015·山東淄博高三模擬)參加市數(shù)學(xué)調(diào)研抽測的某校高三學(xué)生成績分布的莖葉圖1和頻率分布直方圖2均受到不同程度的破壞，但可見部分信息如下，據(jù)此解答如下問題：求參加數(shù)學(xué)抽測的人數(shù)n，抽測成績的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)分布在[80,90)，[90,100]內(nèi)的人數(shù)．[答案]分?jǐn)?shù)在[50,60)內(nèi)的頻率為2，由頻率分布直方圖可以看出，分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的同樣有2人．由eq\f(2,n)＝10×，得n＝25.由莖葉圖可知抽測成績的中位數(shù)為73.∴分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的人數(shù)為25－(2＋7＋10＋2)＝4.參加數(shù)學(xué)競賽人數(shù)n＝25，中位數(shù)為73，分?jǐn)?shù)在[80,90)，[90,100]內(nèi)的人數(shù)分別為4人，2人．1．在用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布的過程中，下列說法正確的是()A．總體的容量越大，估計越準(zhǔn)確B．總體的容量越小，估計越準(zhǔn)確C．樣本的容量越大，估計越準(zhǔn)確D．樣本的容量越小，估計越準(zhǔn)確[答案]C2．在頻率分布表中，下列說法正確的是()A．起始點不同，不影響分組數(shù)B．分組數(shù)越多，就越能反映總體的情況C．各組頻率之和一定是1D．不同起始點的頻率分布表，各組頻率一定不同[答案]C3．下列關(guān)于莖葉圖的敘述正確的是()A．莖葉圖可以展示未分組的原始數(shù)據(jù)，它與頻率分布表以及頻率分布直方圖的處理方式不同B．對于重復(fù)的數(shù)據(jù)，只算一個C．莖葉圖中的葉是“莖”十進(jìn)制的上一級單位D．制作莖葉圖的程序是：第1步畫出莖；第2步畫出葉；第3步將“葉子”任意排列[答案]A4．(2014·高考山東卷)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組，下圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A．6 B．8 C．12 D．18[答案]C5．甲、乙兩中學(xué)生在一年里學(xué)科平均分相等，但他們的方差不相等，正確評價他們的學(xué)習(xí)情況是()A．因為他們平均分相等，所以學(xué)習(xí)水平一樣B．成績平均分雖然一樣，方差較大的，說明潛力大，學(xué)習(xí)態(tài)度端正C．表面上看這兩個學(xué)生平均成績一樣，但方差小的成績穩(wěn)定D．平均分相等，方差不等，說明學(xué)習(xí)不一樣，方差較小的同學(xué)，學(xué)習(xí)成績不穩(wěn)定，忽高忽低[答案]C6．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88，若樣本B數(shù)據(jù)恰好是樣本A都加上2后所得數(shù)據(jù)，則A、B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是()A．眾數(shù) B．平均數(shù)C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差[答案]D7．如圖，是某籃球運動員在一個賽季的30場比賽中得分的莖葉圖，則得分的中位數(shù)與眾數(shù)分別為()A．3與3 B．23與3C．3與23 D．23與23[答案]D8．(2015·沈陽鐵路實驗中學(xué)期末考試)已知樣本9,10,11，x，y的平均數(shù)是10，方差是2，則xy＝()A．98 B．88C．76 D．96[答案]D9．某籃球運動員在2014賽季各場比賽得分情況如下：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.制作莖葉圖，并分析這個運動員的整體水平及發(fā)揮的穩(wěn)定程度．[解析]該運動員得分莖葉圖如下：從這張圖中可以粗略地看出，該運動員得分大多能在20分到40分之間，且分布較為對稱，集中程度高，說明其發(fā)揮比較穩(wěn)定．10．從某校參加數(shù)學(xué)競賽的試卷中抽取一個樣本，考查競賽的成績分布，將樣本分成6組，得到頻率分布直方圖如圖，從左到右各小組的小長方形的高的比為113642，最右邊的一組的頻數(shù)是8.請結(jié)合直方圖的信息，解答下列問題：(1)樣本容量是多少？(2)成績落在哪個范圍的人數(shù)最多？并求出該小組的頻數(shù)和頻率．(3)估計這次數(shù)學(xué)競賽成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．[解析](1)從左到右各小組的頻率分別為eq\f(1,17)，eq\f(1,17)，eq\f(3,17)，eq\f(6,17)，eq\f(4,17)，eq\f(2,17)，樣本容量為eq\f(8,\f(2,17))＝68.(2)成績落在70～80之間的人數(shù)最多；頻率為eq\f(6,17)；頻數(shù)為68×eq\f(6,17)＝24.(3)眾數(shù)的估計值是75，中位數(shù)的估計值是70＋eq\f(\f(1,2)－\f(1,17)－\f(1,17)－\f(3,17),\f(6,17))×10＝eq\f(455,6)≈.平均數(shù)的估計值是eq\f(1,17)×45＋eq\f(1,17)×55＋eq\f(3,17)×65＋eq\f(6,17)×75＋eq\f(4,17)×85＋eq\f(2,17)×95＝75.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固（1）基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列關(guān)于頻率分布直方圖的說法正確的是()A．直方圖的高表示取某數(shù)的頻率B．直方圖的高表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率C．直方圖的高表示取某組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)與組距的比值D．直方圖的高表示取該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值[答案]D[解析]要注意頻率直方圖的特點．在直方圖中，縱軸(矩形的高)表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組距上的矩形的面積．[點評]注意區(qū)別直方圖與條形圖．2．下列說法正確的是()A．對于樣本數(shù)據(jù)增加時，頻率分布表不能增加變化B．對于樣本數(shù)據(jù)增加時，莖葉圖不能增加變化C．對于樣本數(shù)據(jù)增加時，頻率折線圖不會跟著變化D．對于樣本數(shù)據(jù)增加時，頻率分布直方圖變化不太大[答案]D3．一個容量為80的樣本中數(shù)據(jù)的最大值是140，最小值是51，組距是10，則應(yīng)將樣本數(shù)據(jù)分為()A．10組 B．9組C．8組 D．7組[答案]B[解析]根據(jù)列頻率分布表的步驟，eq\f(極差,組距)＝eq\f(140－51,10)＝.所以分為9組較為恰當(dāng)．4．(2013·福建卷)某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計，該模塊測度成績不低于60分的學(xué)生人數(shù)為()A．588 B．480C．450 D．120[答案]B[解析]本題考查頻率分布直方圖及頻數(shù)的求法．成績在[40,60)的頻率P1＝＋×10＝，則成績不少于60分的頻率P2＝1－＝，所以可估計成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為600×＝480，故選B.5．(2013·重慶高考)如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺)的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22,30)內(nèi)的頻率為()A． B．C． D．[答案]B[解析]利用頻率及莖葉圖的知識直接運算求解．由題意知，這10個數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22,30)內(nèi)的有22、22、27、29，共4個，所以其頻率為eq\f(4,10)＝，故選B.6．(2015·河北省唐山一中月考)某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績的頻率分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為20，則a的估計值是()A．130 B．140C．133 D．137[答案]C[解析]本題考查頻率分布直方圖．由已知可以判斷a∈(130,140)，所以[(140－a)×＋×10]×100＝20，解得a≈133，故選C.二、填空題7．今年5月海淀區(qū)教育網(wǎng)開通了網(wǎng)上教學(xué)，某校高一年級(8)班班主任為了了解學(xué)生上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間，對本班40名學(xué)生某天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)(取整數(shù))整理后，繪制出如圖所示頻率分布直方圖，已知從左到右各個小組的頻率分別是,，，,，則根據(jù)直方圖所提供的信息，這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間在100～119分鐘之間的學(xué)生人數(shù)是________人，如果只用這40名學(xué)生這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生該天的上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間，這樣推斷是否合理？________(填“合理”或“不合理”)[答案]14不合理[解析]由頻數(shù)＝樣本容量×頻率＝40×＝14(人)因為該樣本的選取只在高一(8)班，不具有代表性，所以這樣推斷不合理．8.青年歌手大獎賽共有10名選手參賽，并請了7名評委．如圖所示的莖葉圖是7名評委給參加最后決賽的兩位選手甲、乙評定的成績，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙選手剩余數(shù)據(jù)的平均成績分別為________、________.[答案]分85分[解析]甲的成績?nèi)サ粢粋€最高分92分和一個最低分75分后，甲的剩余數(shù)據(jù)的平均成績?yōu)榉?；乙的成績?nèi)サ粢粋€最高分93分和一個最低分79分后，乙的剩余數(shù)據(jù)的平均成績?yōu)?5分．三、解答題9．有關(guān)部門從甲、乙兩個城市所有的自動售貨機中隨機抽取了16臺，記錄了上午800～1100之間各自的銷售情況(單位：元)甲：18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41；乙：22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.試用兩種不同的方式分別表示上面的數(shù)據(jù)，并簡要說明各自的優(yōu)點．[解析]方法一：從題目中的數(shù)不易直接看出各自的分布情況，為此，我們將以上數(shù)據(jù)用條形統(tǒng)計圖表示．如圖：方法二：莖葉圖如圖，兩豎線中間的數(shù)字表示甲、乙銷售額的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示甲、乙銷售額的個位數(shù)．從方法一可以看出條形統(tǒng)計圖能直觀地反映數(shù)據(jù)分布的大致情況，并且能夠清晰地表示出各個區(qū)間的具體數(shù)目；從方法二可以看出，用莖葉圖表示有關(guān)數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便．10．(2015·合肥高二檢測)為了調(diào)查甲、乙兩個網(wǎng)站受歡迎的程度，隨機選取了14天，統(tǒng)計上午800～1000間各自的點擊量，得如圖所示的莖葉圖，根據(jù)莖葉圖回答下列問題．(1)甲、乙兩個網(wǎng)站點擊量的極差分別是多少？(2)甲網(wǎng)站點擊量在[10,40]間的頻率是多少？(3)甲、乙兩網(wǎng)站哪個更受歡迎？并說明理由．[解析](1)甲網(wǎng)站的極差為：73－8＝65，乙網(wǎng)站的極差為：71－5＝66.(2)eq\f(4,14)＝eq\f(2,7)≈.(3)甲網(wǎng)站的點擊量集中在莖葉圖的下方，而乙網(wǎng)站的點擊量集中在莖葉圖的上方，從數(shù)據(jù)的分布情況來看，甲網(wǎng)站更受歡迎．基礎(chǔ)鞏固（2）一、選擇題1．對于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值都不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的值相等．其中正確的結(jié)論的個數(shù)()A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]在這11個數(shù)據(jù)中，數(shù)據(jù)3出現(xiàn)了6次，概率最高，故眾數(shù)是3；將這11個數(shù)據(jù)按從小到大排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中間數(shù)據(jù)是3，故中位數(shù)是3；而平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4.2．(2015·安徽卷)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，……，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為()A．8 B．15C．16 D．32[答案]C[解析]樣本數(shù)據(jù)x1，x2，……，x10，其標(biāo)準(zhǔn)差eq\r(Dx)＝8，則Dx＝64，而樣本數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，……，2x10－1的方差D(2x－1)＝22Dx＝22×64，其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(22×64)＝16.故選C.3．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如下圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為mO，平均值為eq\x\to(x)，則()A．me＝mO＝eq\x\to(x) B．me＝mO<eq\x\to(x)C．me<mO<eq\x\to(x) D．mO<me<eq\x\to(x)[答案]D[解析]由圖可知，30名學(xué)生的得分情況依次為：2個人得3分，3個人得4分，10個人得5分，6個人得6分，3個人得7分，2個人得8分，2個人得9分，2個人得10分．中位數(shù)為第15,16個數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù)，即me＝,5出現(xiàn)次數(shù)最多，故mO＝5，eq\x\to(x)＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)＝.于是mO<me<eq\x\to(x).故選D.4．為了穩(wěn)定市場，確保農(nóng)民增收，某農(nóng)產(chǎn)品7個月份的每月市場收購價格與其前三個月的市場收購價格有關(guān)，并使其與前三個月的市場收購價格之差的平方和最小，下表列出的是該產(chǎn)品今年前6個月的市場收購價格：月份123456價格(元/擔(dān))687867717270則前7個月該產(chǎn)品的市場收購價格的方差為()\f(75,7) \f(76,7)C．11 \f(78,7)[答案]B[解析]設(shè)7月份的市場收購價格為x，則y＝(x－71)2＋(x－72)2＋(x－70)2＝3x2－426x＋15125，則當(dāng)x＝71時，7月份的市場收購價格與前三個月的市場收購價格之差的平方和最小，則7月份的市場收購價格為71.則計算得前7個月該產(chǎn)品的市場收購價格的平均數(shù)是71，方差是eq\f(76,7).5．(2013·安徽)某班級有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生．隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是()A．這種抽樣方法是一種分層抽樣B．這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D．該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)[答案]C[分析]根據(jù)抽樣方法的概念可判斷選項A，B；分別把數(shù)據(jù)代入方差和平均數(shù)的公式可判斷選項C，D.[解析]若抽樣方法是分層抽樣，男生、女生應(yīng)分別抽取6人、4人，所以A錯；由題目看不出是系統(tǒng)抽樣，所以B錯；這五名男生成績的平均數(shù)eq\x\to(x)1＝eq\f(86＋94＋88＋92＋90,5)＝90，這五名女生成績的平均數(shù)eq\x\to(x)2＝eq\f(88＋93＋93＋88＋93,5)＝91，故這五名男生成績的方差為eq\f(1,5)[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，這五名女生成績的方差為eq\f(1,5)[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差，但該班男生成績的平均數(shù)不一定小于女生成績的平均數(shù)，所以D錯．6．(2015·山東臨沂高一月考)某市要對兩千多名出租車司機的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20,45)歲之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數(shù)大約是()A．31,6歲 B．歲C．歲 D．歲[答案]C[解析]根據(jù)所給的信息可知，在區(qū)間[25,30)上的數(shù)據(jù)的頻率為1－＋＋＋×5＝.故中位數(shù)在第3組，且中位數(shù)的估計為30＋(35－30)×eq\f(5,3)＝(歲)．二、填空題7．由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為________．(從小到大排列)[答案]1,1,3,3[解析]不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4，得：x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8?x1＋x4＝4，s2＝1?(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4?①如果有一個數(shù)為0或4；則其余數(shù)為2，不合題意；②只能取|x1－2|＝1；得：這組數(shù)據(jù)為1,1,3,3.8．階段考試以后，班長算出了全班40個人數(shù)學(xué)成績的平均分為M，如果把M當(dāng)成一個同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來的40個分?jǐn)?shù)一起，算出這41個分?jǐn)?shù)的平均分為N，那么MN為________．[答案]1[解析]M＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40,40)，N＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40＋M,41)＝eq\f(40M＋M,41)＝M，故MN＝1.三、解答題9．(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h)．試驗的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．63．52．3服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21．42．7(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)繪制莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？[解析](1)設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(y).由觀測結(jié)果可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)×＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝，eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)×＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝.由以上計算結(jié)果可得eq\x\to(x)＞eq\x\to(y)，因此可看出A藥的療效更好．(2)由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖2,3上，而B藥療效的試驗結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖0,1上，由此可看出A藥的療效更好．[名師點睛]從平均數(shù)上分析，甲、乙中平均數(shù)大的效果較好；從莖葉圖上分析，要看甲、乙的葉在哪些莖上分布的比率大．如果甲的葉在某莖上分布的比率大，且該莖所對應(yīng)的數(shù)據(jù)較大，那么甲的效果就較好．10．某學(xué)校高一(1)班和高一(2)班各有49名學(xué)生，兩班在一次數(shù)學(xué)測驗中的成績統(tǒng)計如下：班級平均分眾數(shù)中位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差(1)班797087(2)班797079(1)請你對下面的一段話給予簡要分析：高一(1)班的小剛回家對媽媽說：“昨天的數(shù)學(xué)測驗，全班平均分為79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！”(2)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，對這兩個班的數(shù)學(xué)測驗情況進(jìn)行簡要分析，并提出建議．[分析](1)根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)所反映的情況來分析；(2)結(jié)合方差的意義來提出建議．[解析](1)由于(1)班49名學(xué)生數(shù)學(xué)測驗成績的中位數(shù)是87，則85分排在全班第25名之后，所以從位次上看，不能說85分是上游，成績應(yīng)該屬于中游．但也不能以位次來判斷學(xué)習(xí)的好壞，小剛得了85分，說明他對這段的學(xué)習(xí)內(nèi)容掌握得較好，從掌握學(xué)習(xí)的內(nèi)容上講，也可以說屬于上游．(2)①班成績的中位數(shù)是87分，說明高于87分(含87)的人數(shù)占一半以上，而平均分為79分，標(biāo)準(zhǔn)差又很大，說明低分也多，兩極分化嚴(yán)重，建議加強對學(xué)習(xí)困難的學(xué)生的幫助．②班的中位數(shù)和平均數(shù)都是79分，標(biāo)準(zhǔn)差又小，說明學(xué)生之間差別較小，學(xué)習(xí)很差的學(xué)生少，但學(xué)習(xí)優(yōu)異的也很少，建議采取措施提高優(yōu)秀率．能力提升（1）一、選擇題1．一個樣本的容量為72，分成5組，已知第一、五組的頻數(shù)都為8，第二、四組的頻率都為eq\f(2,9)，則第三組的頻數(shù)為()A．16 B．20C．24 D．36[答案]C[解析]因為頻率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量)，所以第二、四組的頻數(shù)都為72×eq\f(2,9)＝16.所以第三組的頻數(shù)為72－2×8－2×16＝24.2．某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測，下圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100g的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98g并且小于104g的產(chǎn)品的個數(shù)是A．90 B．75C．60 D．45[答案]A[解析]由頻率分布直方圖可知，產(chǎn)品凈重小于100g的頻率是×2十×2＝，所以樣本中產(chǎn)品的個數(shù)為eq\f(36,＝120.產(chǎn)品凈重大于或等于104g的頻率為×2＝.所以產(chǎn)品凈重大于或等丁98g而小于104g的頻率為1－－＝.則凈重在此范圍內(nèi)的產(chǎn)品個數(shù)為120×＝3．為了解電視對生活的影響，一個社會調(diào)查機構(gòu)就平均每天看電視的時間對某地居民調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，為了分析該地居民平均每天看電視的時間與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人做進(jìn)一步調(diào)查．則在[,3]h時間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是()A．25 B．30C．50 D．75[答案]A[解析]抽出的100人中平均每天看電視的時間在[,3](h)時間內(nèi)的頻率是×＝，所以這10000人中平均每天看電視的時間在[,3](11)時間內(nèi)的人數(shù)是10000×＝2500，抽樣比是eq\f(100,10000)＝eq\f(1,10)，則在[,3](h)時間內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是2500×eq\f(1,100)＝25.4．下圖是根據(jù)《山東統(tǒng)計年鑒2009》中的資料作成的1999年至2008年山東省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖，圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個位數(shù)字，從圖中可以得到1999年至2008年山東省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為()A． B．C． D．[答案]B[解析]自1999年至2008年百戶家庭人口數(shù)分別為291,291,295,298,302,306,310,312,314,317，則平均數(shù)為eq\f(1,10)(291＋291＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋317)＝.二、填空題5．某校開展“愛我海西，愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委給參賽作品A打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時，發(fā)現(xiàn)一個數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清．若記分員計算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是________．[答案]1[解析]若x≤4，則由平均分為91知總分應(yīng)為91×7＝637.故637＝89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x，得x＝1；若x>4,637≠89＋89＋92＋93＋92＋91＋94＝640不合題意．6．圖1是某工廠2010年9月份10個車間產(chǎn)量統(tǒng)計條形圖，條形圖從左到右表示各車間的產(chǎn)量依次記為A1，A2，…，A10(如A3表示3號車間的產(chǎn)量為950件)．圖2是統(tǒng)計圖1中產(chǎn)量在一定范圍內(nèi)車間個數(shù)的一個算法流程圖．那么運行該算法流程后輸出的結(jié)果是________．[答案]4[解析]通過算法流程圖可知，它的功能是統(tǒng)計產(chǎn)量超過950件的車間數(shù)，所以通過條形統(tǒng)計圖可知產(chǎn)量超過950件的車間數(shù)為4個，所以最后輸出的結(jié)果是4.三、解答題7．某市2010年4月1日～461,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45，(1)完成頻率分布表；(2)作出頻率分布直方圖；(3)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時，為良；在101～150之間時，為輕微污染；在151～200之間時，為輕度污染．請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價．[解析](1)頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[41,51)2eq\f(2,30)[51,61)1eq\f(1,30)[61,71)4eq\f(4,30)[71,81)6eq\f(6,30)[81,91)10eq\f(10,30)[91,101)5eq\f(5,30)[101,111)2eq\f(2,30)(2)頻率分布直方圖，如圖所示．(3)答對下述兩條中的一條即可：①該市一個月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當(dāng)月天數(shù)的eq\f(1,15)，有26天處于良的水平，占當(dāng)月天數(shù)的eq\f(13,15)，處于優(yōu)或良的天數(shù)共有28天，占當(dāng)月天數(shù)的eq\f(14,15).說明該市空氣質(zhì)量基本良好．②輕微污染有2天，占當(dāng)月天數(shù)的eq\f(1,15).污染指數(shù)在80以上的接近輕微污染的天數(shù)有15天，加上處于輕微污染的天數(shù)，共有17天，占當(dāng)月天數(shù)的eq\f(17,30)，超過50%，說明該市空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善．8．某電視臺為宣傳本省，隨機對本省內(nèi)15～65歲的人群抽取了n人，回答問題“本省內(nèi)著名旅游景點有哪些”統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示.組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組[15,25)a第2組[25,35)18x第3組[35,45)b第4組[45,55)9第5組[55,65]3y(1)分別求出a、b、x、y的值；(2)從第2、3、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2、3、4組每組各抽取多少人？[解析](1)由頻率表中第4組數(shù)據(jù)可知，第4組總?cè)藬?shù)為eq\f(9,＝25，再結(jié)合頻率分布直方圖可知n＝eq\f(25,×10)＝100，∴a＝100××10×＝5，b＝100××10×＝27，x＝eq\f(18,20)＝，y＝eq\f(3,15)＝.(2)第2、3、4組回答正確的共有54人．∴利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數(shù)為：第2組：eq\f(18,54)×6＝2(人)；第3組：eq\f(27,54)×6＝3(人)；第4組：eq\f(9,54)×6＝1(人)．能力提升（2）一、選擇題1．某校高一、高二年級各有7個班參加歌詠比賽，他們的得分的莖葉圖如圖所示，對這組數(shù)據(jù)分析正確的是()A．高一的中位數(shù)大，高二的平均數(shù)大B．高一的平均數(shù)大，高二的中位數(shù)大C．高一的平均數(shù)、中位數(shù)都大D．高二的平均數(shù)、中位數(shù)都大[答案]A[解析]由莖葉圖可以看出，高一的中位數(shù)為93，高二的中位數(shù)為89，所以高一的中位數(shù)大．由計算得，高一的平均數(shù)為91，高二的平均數(shù)為92eq\f(3,7)，所以高二的平均數(shù)大．2．(2013·重慶)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則x，y的值分別為()A．2,5 B．5,5C．5,8 D．8,8[答案]C[分析]觀察莖葉圖，由中位數(shù)的概念可