2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題共6題，滿分24分）1．（4分）下列各組圖形中，一定相似的是A．兩個矩形 B．兩個菱形 C．兩個等腰三角形 D．兩個正方形2．（4分）如果，那么下列結(jié)論正確的是A． B． C．， D．，3．（4分）符號表示A．的正弦 B．的余弦 C．的正切 D．的余切4．（4分）已知，下列說法中，不正確的是A． B．與方向相同 C． D．5．（4分）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、的反向延長線上，下面比例式中，不能判斷的是A． B． C． D．6．（4分）如圖，四邊形是平行四邊形，的平分線交于，交于，交的延長線于．那么下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．二、填空題：（本大題共12小題，每題4分，滿分48分）7．（4分）在比例尺為的地圖上，某兩地圖距為3厘米，則這兩地的實(shí)際距離是千米．8．（4分）已知線段，是線段的黃金分割點(diǎn)，則．9．（4分）已知向量與單位向量方向相反，且，那么（用向量的式子表示）10．（4分）化簡：．11．（4分）如果兩個相似三角形的周長之比，那么它們的某一對對應(yīng)角的角平分線之比為．12．（4分）如圖，在中，點(diǎn)、分別在的兩邊、上，且，如果，，，那么線段的長是．13．（4分）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．如果，那么線段的長是．14．（4分）如圖，中，點(diǎn)在邊上，，，，那么．15．（4分）如圖，在中，，，，垂足為點(diǎn)，是邊上的中線，與相交于點(diǎn)，則的長為．16．（4分）如圖，梯形中，，，點(diǎn)在邊上，且，則的面積與四邊形的面積之比為．17．（4分）將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮谩?，如圖①，我們將這種變換記為，，如圖②，在中，，，，如果對作變換，得△，使點(diǎn)，，在同一直線上，且，那么．18．（4分）如圖，在矩形中，、、分別是邊、、上點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，若，則．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．已知，求的值．20．如圖，在梯形中，，，對角線、相交于點(diǎn)，設(shè)．（1）用的式子表示向量，，；（2）在圖中作出向量在方向上的分向量，并寫出結(jié)論．21．已知：如圖，梯形中，，，，，銳角的正弦值為．求：（1）對角線的長；（2）梯形的面積．22．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，．（1）求證：；（2）如果，，求的長．23．（12分）已知，在菱形中，，垂足為，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．24．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中、，線段與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）連接、、，求的面積；（3）點(diǎn)在軸上且在點(diǎn)的右側(cè)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)．25．如圖，中，，，，是邊上的一點(diǎn)，與、不重合）連接，作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求、的長；（2）設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）連接，當(dāng)與相似時，求的長．

2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，滿分24分）1．（4分）下列各組圖形中，一定相似的是A．兩個矩形 B．兩個菱形 C．兩個等腰三角形 D．兩個正方形解：、任意兩個矩形對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，不符合題意，、任意兩個菱形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；、任意兩個等腰三角形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；、任意兩個正方形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等，故一定相似，符合題意；故選：．2．（4分）如果，那么下列結(jié)論正確的是A． B． C．， D．，解：，，故選項(xiàng)正確．故選：．3．（4分）符號表示A．的正弦 B．的余弦 C．的正切 D．的余切解：符號表示的正切．故選：．4．（4分）已知，下列說法中，不正確的是A． B．與方向相同 C． D．解：，與方向相同，，，故、、正確，故選：．5．（4分）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、的反向延長線上，下面比例式中，不能判斷的是A． B． C． D．解：．當(dāng)時，能判斷；．當(dāng)時，能判斷；．當(dāng)時，不能判斷；．當(dāng)時，能判斷；故選：．6．（4分）如圖，四邊形是平行四邊形，的平分線交于，交于，交的延長線于．那么下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．解：四邊形是平行四邊形，，，，，，即．所以選項(xiàng)正確，故選：．二、填空題：（本大題共12小題，每題4分，滿分48分）7．（4分）在比例尺為的地圖上，某兩地圖距為3厘米，則這兩地的實(shí)際距離是15千米．解：設(shè)這兩地的實(shí)際距離是厘米，則：，解得．1500000厘米千米．故答案為15．8．（4分）已知線段，是線段的黃金分割點(diǎn)，則．解：是線段的黃金分割點(diǎn)，．故答案為．9．（4分）已知向量與單位向量方向相反，且，那么（用向量的式子表示）解：向量與單位向量方向相反，且，．故答案為：．10．（4分）化簡：．解：．故答案為：．11．（4分）如果兩個相似三角形的周長之比，那么它們的某一對對應(yīng)角的角平分線之比為．解：兩個相似三角形的周長之比，它們的相似比是，它們的某一對對應(yīng)角的角平分線之比為．故答案為：．12．（4分）如圖，在中，點(diǎn)、分別在的兩邊、上，且，如果，，，那么線段的長是9．解：，，，，，故答案為：9．13．（4分）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．如果，那么線段的長是8．解：，，，，解得：，故答案為：8．14．（4分）如圖，中，點(diǎn)在邊上，，，，那么12．解：、，，，即，，，，故答案為：1215．（4分）如圖，在中，，，，垂足為點(diǎn)，是邊上的中線，與相交于點(diǎn)，則的長為．解：，，，，，，是邊上的中線，點(diǎn)為的重心，，，，，故答案為：．16．（4分）如圖，梯形中，，，點(diǎn)在邊上，且，則的面積與四邊形的面積之比為．解：如圖，連接，設(shè)的面積為，，，，，，，四邊形的面積，的面積：四邊形的面積．故答案為：．17．（4分）將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋?，得△，如圖①，我們將這種變換記為，，如圖②，在中，，，，如果對作變換，得△，使點(diǎn)，，在同一直線上，且，那么．解：如圖，，，△，，且，，，，即，，則，設(shè)，在中，，即，整理得：，，，在和中，，，，在△中，，即，整理得：，代入中，解得：（負(fù)值舍去），故答案為：．18．（4分）如圖，在矩形中，、、分別是邊、、上點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，若，則．解：由題意得：，設(shè)，則，設(shè)，則，，且四邊形為矩形，，，，，，，，即，，，，，，，，，，由勾股定理得：，．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．已知，求的值．解：，，，．20．如圖，在梯形中，，，對角線、相交于點(diǎn)，設(shè)．（1）用的式子表示向量，，；（2）在圖中作出向量在方向上的分向量，并寫出結(jié)論．【解答】（1）解：取的中點(diǎn)，連接，，，，，，同向，，，，，，即，且，四邊形是平行四邊形，，，，與同向，，，，，故答案為：，，；（2）解：如圖所示：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則向量在、方向上的分向量為：向量，向量．21．已知：如圖，梯形中，，，，，銳角的正弦值為．求：（1）對角線的長；（2）梯形的面積．解：（1），，，，，，，；（2）過作于，則，銳角的正弦值為，，，，梯形的面積為．22．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，．（1）求證：；（2）如果，，求的長．【解答】（1）證明：，，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，．23．（12分）已知，在菱形中，，垂足為，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1）四邊形是菱形，，，，，，．（2）聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，則，，，垂足為，，，，，，，，，，．24．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中、，線段與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）連接、、，求的面積；（3）點(diǎn)在軸上且在點(diǎn)的右側(cè)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，則，則直線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)；設(shè)直線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，則，則直線解析式：，令，則，故點(diǎn)；（2）由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得：，，，則，則為直角三角形，則的面積；（3）由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，，而，則，，，則，則，則點(diǎn)