等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)

劉俊斌模板之5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)平羅中學(xué)劉俊斌ljb1004@126.com憶一憶知識(shí)要點(diǎn)從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一常數(shù)(不為零)

公比

q憶一憶知識(shí)要點(diǎn)課前練習(xí)A.任意一項(xiàng)都不為0D.可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0C.至多有有限項(xiàng)為0B.必有一項(xiàng)為0DD等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)一：這個(gè)形式和等比數(shù)列等價(jià)嗎？類似結(jié)論：相反數(shù)合作探究形成規(guī)律我們知道，等差數(shù)列有這樣的性質(zhì)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)二：那么，在等比數(shù)列重，也有類似的性質(zhì)嗎？怎么證明？推導(dǎo)過(guò)程:等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)三：推導(dǎo)過(guò)程:怎么證明？等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)四：(資料P31:性質(zhì)5）數(shù)列與函數(shù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的圖象：例題講解系數(shù)和常數(shù)互為相反數(shù)提示：變式練習(xí)解：解：3、任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X、Y、Z，則下列等式中恒成立的是（）DA．X＋Z＝2YC．Y2＝XZB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)D．Y(Y－X)＝X(Z－X)260變式訓(xùn)練4、書(shū)上第58頁(yè)，第2題。21080解：5、已知一個(gè)等比數(shù)列其首項(xiàng)是1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)和是85，所有偶數(shù)項(xiàng)和是170，求此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)？變式訓(xùn)練提示：小結(jié)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①②③④課后作業(yè)課本第62頁(yè)，習(xí)題2.5B組，第2題、第5題。

已知等差數(shù)列{an}，a2＝9，a5＝21.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；1、課后練習(xí)：(2)求{an}的前項(xiàng)和Sn.變式訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn＞0，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．2、已知{an}為等比數(shù)列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通項(xiàng)公式.

根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及性質(zhì)建立首項(xiàng),公比的方程組.

解

方法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0，

a2=a4=a3q=2q，

∴+2q=

解得q1=，q2=3.①當(dāng)q=時(shí)，a1=18，∴an=18×（）n-1==2×33-n.②當(dāng)q=3時(shí)，a1=，∴an=×3n-1=2×3n-3.綜上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，則a2，a4為方程x2-x+4=0的兩根，a2=a2=6a4=6a4=解得或.①當(dāng)a2=時(shí),q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②當(dāng)a2=6時(shí)，q=,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n.

例3、（2009·全國(guó)Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,

已知a1=1，Sn+1=4an+2.

（1）設(shè)bn=an+1-2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（1）證明由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.

又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,

于是an+2-2an+1=2(an+1-2an)，即bn+1=2bn.

因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.(2)解由（1）知等比數(shù)列{bn}中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=3×2n-1,于是因此數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以an=(3n-1)·2n-2.4、在等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且

=2,求a3.

（1）由已知條件可得a1與公比q的方程組，解出a1、q，再利用通項(xiàng)公式即可得a3.

（2）也可利用性質(zhì)=a1·a5=a2·a4直接求得a3.

解方法一設(shè)公比為q,顯然q≠1,∵{an}是等比數(shù)列，∴也是等比數(shù)列，公比為.思維啟迪∴=（a1q2）2=4，∴a3=±2.方法二由已知得∴=4.∴a3=±2.由已知條件得變式練習(xí)已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11=4a7，數(shù)列{bn}是等