專題14 角平分線問題【無答案】

專題14角平分線問題1.角的平分線定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.2.作角平分線角平分線的作法（尺規(guī)作圖）①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點；②分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③過點P作射線OP，射線OP即為所求．

3.角平分線的性質(zhì)（1）定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。符號語言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.（2）逆定理：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。符號語言：∵AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴點P在∠AOB的平分線上.注意：三角形的角平分線。三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.說明：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心；（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.4.角平分線的綜合應用（1）為推導線段相等、角相等提供依據(jù)和思路；（2）在解決綜合問題中的應用．【例題1】（2020?襄陽）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，則∠EGD的大小是（）A．132° B．128° C．122° D．112°【對點練習】（2020長春模擬）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E．若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小為（）A．44° B．40° C．39° D．38°【例題2】（2020?隨州）如圖，點A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分線，若∠BOC＝120°，則∠CAD的度數(shù)為．【對點練習】（2019四川自貢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分線BD交AC于點E，DE＝．【例題3】（2020?金華）圖1是一個閉合時的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點A與點B重合），點O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點E，OF⊥BD于點F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點O轉(zhuǎn)動．（1）當E，F(xiàn)兩點的距離最大時，以點A，B，C，D為頂點的四邊形的周長是cm．（2）當夾子的開口最大（即點C與點D重合）時，A，B兩點的距離為cm．【對點練習】已知：點P是∠MON內(nèi)一點，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求證：點P在∠MON的平分線上．一、選擇題1．（2020?樂山）如圖，E是直線CA上一點，∠FEA＝40°，射線EB平分∠CEF，GE⊥EF．則∠GEB＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°2．（2020?福建）如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．33.如圖，在?ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，過點D作DEAB于點E，測得BC=9，BE=3，則?BDE的周長是()A.15B.12C.9D.64．如圖，面積為24的?ABCD中，對角線BD平分∠ABC，過點D作DE⊥BD交BC的延長線于點E，DE＝6，則sin∠DCE的值為（）A． B． C． D．5.已知：如圖，點P在線段AB外，且PA=PB，求證：點P在線段AB的垂直平分線上，在證明該結(jié)論時，需添加輔助線，則作法不正確的是（）A．作∠APB的平分線PC交AB于點CB．過點P作PC⊥AB于點C且AC=BCC．取AB中點C，連接PCD．過點P作PC⊥AB，垂足為C6．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ACD=（）A．75° B．80° C．85° D．90°7．（2019山東濱州）如圖，在正方形ABCD中，對角線相交于點O，BN平分∠CBD，交邊CD于點N，交對角線AC于點M，若OM＝1，則線段DN的長是多少（）A．1.5 B．2 C． D．28.（2019陜西）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E。若DE=1，則BC的長為（）A.2+B.C.2+D.39．（2019內(nèi)蒙古）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點D，E，再分別以點D、E為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF交邊BC于點G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是（）A．1 B． C．2 D．二、填空題10．（2020?揚州）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、BC于點D、E．②分別以點D、E為圓心，大于12DE的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F③作射線BF交AC于點G．如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為．11．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，則CD=．12.如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，OC=5，OM=4，則點C到射線OA的距離為．13．如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，∠B=70°，∠FAE=19°，則∠C=度．14．（2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為點E，且AE平分∠BAC，則AB的長為．15．（2019寧夏）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點B為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB，BC于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交AC于點D．若∠A＝30°，則＝．三、解答題16．（2020?瀘州）如圖，AC平分∠BAD，AB＝AD．求證：BC＝DC．17．（2020?武漢）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，AE與過點D的切線互相垂直，垂足為E．（1）求證：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．18.已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一點，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為點A、點B．求證：PA＝PB．19.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度數(shù)．20.已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB=OC.(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)判斷點O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由.21.如圖，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE與BD相交于點C．求證：AC＝BC．22.如圖，已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA.(1)求證：DE平分∠BDC；(2)若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD.23.如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，問能否在AB上確定一點E，使△BDE的周長等于AB的長？若能，請作出點E，并給出證明；若不能，請說明理由．24.如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PDOA交OA于點D，PEOB交OB于點E，F(xiàn)是OC上的另一點，連接DF，EF．求證：DF=EF．25.如