第二十五章 概率初步（知識歸納+題型突破）（五大題型96題）（解析版）-（人教版）

第二十一章一元二次方程（知識歸納+題型突破）1.能描述簡單隨機事件的特征(可能結(jié)果的個數(shù)有限，每一個可能結(jié)果出現(xiàn)的概率相等)；2.能用列表、畫樹狀圖等方法求出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果以及指定隨機事件發(fā)生的所有可能結(jié)果；3.能計算簡單隨機事件的概率;知道經(jīng)歷大量重復(fù)試驗，隨機事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性；4.能用頻率估計概率，體會數(shù)據(jù)的隨機性以及概率與統(tǒng)計的關(guān)系；5.能綜合運用統(tǒng)計與概率的思維方法解決簡單的實際問題.知識點一：概率1.概率及公式定義：表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)．概率公式：P(A)＝(m表示試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，n表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果的次數(shù))．2.事件的類型及其概率事件類型概率確定性事件1或0必然事件1不可能事件0不確定性事件(隨機事件)0<P(A)<1知識點二：隨機事件概率的計算1.隨機事件概率的計算方法(1)一步完成：直接列舉法，運用概率公式計算；(2)兩步完成：列表法、畫樹狀圖法；(3)兩步以上：畫樹狀圖法2.幾何概率的計算方法求出陰影區(qū)域面積與總面積之比即為該事件發(fā)生的概率.知識點三：用頻率可以估計概率一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝p＝.題型一隨機事件與可能性【例1】（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）下列事件中，判斷正確有（

）①在地球上拋出的籃球會下落，是必然事件；②鄭一枚圖釘，針尖朝上，是不可能事件；③從一副撲克牌（含大小王）中抽一張，恰好是黑桃5，是隨機事件；④若，則一定有，是必然事件．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)確定事件和隨機事件的定義來區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事件：在一定條件下，一定會發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件；隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件．【詳解】解：①在地球上拋出的籃球會下落，是必然事件，正確，符合題意；②擲一枚圖釘，針尖朝上，是隨機事件，原說法錯誤，不符合題意；③從一副撲克牌（含大小王）中抽一張，恰好是黑桃5，是隨機事件，正確，符合題意；④若，則，是隨機事件，原說法錯誤，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了確定事件和隨機事件的定義，熟悉定義是解題的關(guān)鍵．例2（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在紅色區(qū)域的可能性最大的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】找出哪幅圖中紅色區(qū)域所占的份數(shù)最多，即可得出結(jié)果．【詳解】解：在轉(zhuǎn)盤中的4等份中，A中紅色區(qū)域為1份，B中紅色區(qū)域為1份，C中紅色區(qū)域為2份，D中紅色區(qū)域為3份，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，D中指針指向紅色區(qū)域的可能性最大，故選：D．【點睛】本題主要考查了判斷事件發(fā)生的可能性的大小，找出題中紅色區(qū)域所占的份數(shù)最多的選項是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）下列事件屬于必然事件的是（

）A．隨機擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，擲出的點數(shù)是1B．車輛隨機經(jīng)過一個路口，遇到紅燈C．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是D．有三條線段，將這三條線段首尾順次相接可以組成一個三角形【答案】C【分析】根據(jù)事件的分類進行判斷即可．【詳解】解：A．隨機擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，擲出的點數(shù)是1是隨機事件，故A不符合題意；B．車輛隨機經(jīng)過一個路口，遇到紅燈是隨機事件，故B不符合題意；C．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是是必然事件，故C符合題意；D．有三條線段，將這三條線段首尾順次相接可以組成一個三角形是隨機事件，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了是事件的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握必然事件、隨機事件的定義．2．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）下列事件是必然事件的是（

）A．經(jīng)過城市中某一有交通信號燈的路口，遇到紅燈 B．?dāng)S一次骰子，向上的一面是6點C．購買一張彩票，中獎 D．如果a、b都是實數(shù)，那么【答案】D【分析】根據(jù)必然事件的定義進行逐一判斷即可：在一定條件下，一定會發(fā)生的事件是必然事件．【詳解】解：A、經(jīng)過城市中某一有交通信號燈的路口，可能遇到紅燈，也可能不遇到紅燈，不是必然事件，不符合題意；B、擲一次骰子，向上的一面可能是6點，也可能不是6點，不是必然事件，不符合題意；C、購買一張彩票，可能中獎，也可能不中獎，不是必然事件，不符合題意；D、如果a、b都是實數(shù)，那么，是必然事件，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了事件的分類，熟知必然事件的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·重慶·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列事件，是隨機事件的是（

）A．一個三角形的內(nèi)角和為181度 B．?dāng)S一次骰子，向上一面點數(shù)大于0C．3人分成兩組一定有2人分在一組 D．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈【答案】D【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】A、一個三角形的內(nèi)角和為181度，是不可能事件，不符合題意；B、擲一次骰子，向上一面點數(shù)大于0，是必然事件，不符合題意；C、3人分成兩組一定有2人分在一組，是必然事件，不符合題意；D、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4．（2023春·山東濟南·七年級校聯(lián)考期中）“三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的一個內(nèi)角”這一事件是（）A．隨機事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的一個內(nèi)角，以及必然事件、不可能事件、隨機事件的概念解答．【詳解】解：三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的一個內(nèi)角是必然事件，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理、必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．5．（2023春·廣西南寧·九年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列事件是必然事件的是（

）A．拋一枚硬幣，反面朝上 B．經(jīng)過某一有交通信號燈的路口，恰好遇到綠燈C．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 D．打開電視，正在播放3月15日消費者權(quán)益日晚會【答案】C【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．【詳解】A、拋一枚硬幣，反面朝上，是隨機事件，故A不符合題意；B、經(jīng)過某一有交通信號燈的路口，恰好遇到綠燈，是隨機事件，故B不符合題意；C、內(nèi)錯角相等，兩直線平行，是必然事件，故C符合題意；D、打開電視，正在播放3月15日消費者權(quán)益日晚會，是隨機事件，故D不符合題意；故選：C．【點睛】考查了隨機事件,解決本題要正確理解必然事件,不可能事件,隨機事件的概念,理解概念是解決基礎(chǔ)題的主要方法．用到的知識點為:必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．6．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）下列成語或詞語所反映的事件中，發(fā)生的可能性大小最小的是（）A．守株待兔 B．旭日東升 C．瓜熟蒂落 D．夕陽西下【答案】A【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可得出答案；【詳解】解：A．守株待兔所反映的事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是不確定事件，符合題意；B．旭日東升，是必然事件，發(fā)生的可能性為1，不符合題意；C．瓜熟蒂落，是必然事件，發(fā)生的可能性為1，不符合題意；D．夕陽西下，是必然事件，發(fā)生的可能性為1，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待，一般地必然事件的可能性大小為1，不可能事件發(fā)生的可能性大小為0，隨機事件發(fā)生的可能性大小在0至1之間7．（2021春·廣東江門·九年級?？奸_學(xué)考試）下列說法正確的是（

）A．“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是隨機事件B．“概率為0.001的事件”是不可能事件C．“同位角相等，兩直線平行”是必然事件D．任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的一定是5次【答案】C【分析】根據(jù)事件分類和事件發(fā)生的可能性進行判斷即可．【詳解】解：A．“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是必然事件，故選項錯誤，不符合題意；B．“概率為0.001的事件”是隨機事件，故選項錯誤，不符合題意；C．“同位角相等，兩直線平行”是必然事件，故選項正確，符合題意；D．任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的不一定是5次，故選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】此題主要考查了事件的分類和事件發(fā)生的可能性，熟練掌握事件的分類是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）某天氣預(yù)報軟件顯示“菏澤市東明縣明天的降水概率為”，對這條信息的下列說法中，正確的是（

）A．東明縣明天將有的時間下雨 B．東明縣明天下雨的可能性較小C．東明縣明天下雨的可能性較大 D．東明縣明天將有的地區(qū)下雨【答案】C【分析】根據(jù)概率反映隨機事件出現(xiàn)的可能性大小，即可進行解答.【詳解】解：菏澤市東明縣明天的降水概率為，表明東明縣明天下雨的可能性較大，故選：C.【點睛】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵.9．（2023春·七年級單元測試）某娛樂設(shè)施每次能夠容納4人一組進場游玩，甲、乙、丙、丁排隊等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中間隔著2人，丙排在乙后面，中間隔著1人，丁排在丙后面，中間隔著1人，丁后面也有若干人．下列說法：①如果甲和乙同一組，那么丙和丁也同一組；②如果甲和乙不同一組，那么丙和丁也不同一組；③如果丙和丁同一組，那么甲和乙也同一組；④如果丙和丁不同一組，那么甲和乙也不同一組．正確的個數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，列出這8個人的位置，然后根據(jù)題意逐項分析即可求解．【詳解】解：依題意，設(shè)中間隔著的人用代替，則排序為：甲，，，乙，，丙，，?、偃舴纸M為(甲，，，乙)，(，丙，，丁)，故①正確；②若分組為……甲)，(，，乙，)，(丙，，丁，……，故②錯誤，③由②可知③錯誤，④依題意，分組為：甲，)，(，乙，，丙)，(，丁，……，或甲，，，(乙，，丙，)，(丁，……，故④正確，故選：B．【點睛】本題考查了推理，列舉法求試驗結(jié)果，根據(jù)題意舉出反例或列舉是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·天津紅橋·九年級開學(xué)考試）一只不透明的袋子中裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中任意摸出3個球，下列事件是必然事件的是（

）A．至少有1個球是黑球 B．至少有1個球是白球C．至少有2個球是黑球 D．至少有2個球是白球【答案】A【分析】根據(jù)題意列舉所有可能，即可求解．【詳解】解：一只不透明的袋子中裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中任意摸出3個球，可以是3個黑球，2個黑球和1個白球，1個黑球和2個白球，∴至少有1個球是黑球，故選：A．【點睛】本題考查了必然事件的定義，根據(jù)題意列舉所有可能是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇泰州·八年級校考階段練習(xí)）成語“水中撈月”反映的事件是事件（填必然、不可能或隨機）．【答案】不可能【分析】根據(jù)事件的分類，進行判斷即可．【詳解】解：成語“水中撈月”反映的事件是不可能事件；故答案為：不可能．【點睛】本題考查事件的分類．解題的關(guān)鍵是掌握必然事件是一定條件下，一定會發(fā)生的事件，不可能事件是一定條件下，一定不會發(fā)生的事件，隨機事件是一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．12．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）排隊時，小亮和2位同學(xué)站成一橫排，其中小亮“站在中間”的可能性小亮“站在兩邊”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．【答案】小于【分析】先求出小亮“站在中間”的可能性和“站在兩邊”的可能性，再進行對比即可求解．【詳解】解：3人站成一排，小亮“站在中間”的可能性為：，小亮“站在兩邊”的可能性為：，∵故小亮“站在中間”的可能性小于小亮“站在兩邊”的可能性，故答案為：小于．【點睛】本題考查了可能可能性大小的判斷，熟練掌握事件可能性的計算是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·江蘇常州·八年級?？计谥校┮恢徊煌该鞯目诖醒b有3只黃色乒乓球和5只白色乒乓球（除顏色外都相同），攪勻后從中任意摸出一只乒乓球，摸到（填寫“黃”或“白”）色乒乓球的可能性大．【答案】白【分析】用個體分別除以總數(shù)，算出可能性再進行比較．【詳解】解：∵袋中共8個乒乓球，3只黃色乒乓球和5只白色乒乓球，∴摸到黃色乒乓球的可能性為，摸到白色乒乓球可能性為．∵∴白色可能性大．故答案為：白．【點睛】本題考查了可能性的比較，掌握可能性的求法是解題關(guān)鍵．14．（2023秋·九年級課前預(yù)習(xí)）現(xiàn)有1，2，3，…，9九個數(shù)字，甲、乙兩位同學(xué)輪流從中選出一個數(shù)字，從左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出現(xiàn)的數(shù)字不再重復(fù)使用），每次填數(shù)時，甲會選擇填入后使表中現(xiàn)有數(shù)據(jù)平均數(shù)最小的數(shù)字，乙會選擇填入后使表中現(xiàn)有數(shù)據(jù)中位數(shù)最小的數(shù)字．如圖，若表中第一個數(shù)字是6，甲先填，（1）請你在表中空白處填出一種符合要求的填數(shù)結(jié)果；（2）滿足條件的填法有種．6【答案】【分析】根據(jù)填數(shù)時，甲會選擇填入后使表中現(xiàn)有數(shù)據(jù)平均數(shù)最大的數(shù)字，可知，甲每次都會選最大的數(shù)字；再根據(jù)乙選擇數(shù)字的方法判斷滿足條件的填法即可．【詳解】解：甲會選擇填入后使表中現(xiàn)有數(shù)據(jù)平均數(shù)最大的數(shù)字，表中第一個數(shù)字是，甲先填，第二個數(shù)字為，第四個數(shù)字為，乙會選擇填入后使表中現(xiàn)有數(shù)據(jù)中位數(shù)最小的數(shù)字．第三個數(shù)字可以為，，，，，第五個數(shù)字可以為，，，，且不能與第三個數(shù)字相同，即第三個數(shù)字有種選法，第五個數(shù)字有種選法，滿足條件的填法有種，表中空白處可以為．故答案為：，【點睛】本題考查平均數(shù)，中位數(shù)的定義，列舉法，解題的關(guān)鍵是理解甲選數(shù)字的方法，乙選數(shù)字的方法，根據(jù)其選數(shù)字的方法知道其所選數(shù)字．15．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，一只小蟲沿著圖示的六邊形構(gòu)成的格子從長橋畔爬行到古樟旁，標(biāo)記有箭頭的邊只能按箭頭方向爬行，且小蟲爬行同一條邊最多一次，則共有種不同的爬行路徑．【答案】64【分析】根據(jù)題意，將路線分為5個步驟，分析每一步有幾種走法，即可進行解答．【詳解】解：由圖可知：第一步有2種走法，第二步有2種走法，第三步有4種走法，第四步有2種走法，第五步有2種走法；共有：（種），故答案為：64．【點睛】本題主要考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，用列舉法分析出每一步有幾種走法．16．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）將一副去掉大小王的撲克牌平均分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5張紅桃牌，乙有4張紅桃牌，那么丁的紅桃牌有種不同的情況．【答案】5【分析】先求出紅桃牌的總張數(shù)為13張，再減去甲、乙紅桃牌的張數(shù)可得剩下的紅桃牌的張數(shù)，由此即可得．【詳解】解：一副牌去掉大小王后剩下張牌，則紅桃牌的總張數(shù)為（張），甲有5張紅桃牌，乙有4張紅桃牌，剩下的紅桃牌的張數(shù)為（張），所以丁的紅桃牌的張數(shù)的所有可能情況為：0張、1張、2張、3張、4張，共有5種不同的情況，故答案為：5．【點睛】本題考查了列舉所有可能的結(jié)果，理解一副牌中紅桃牌的總張數(shù)是解題關(guān)鍵．17．（2023春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）有甲、乙、丙三個不透明的布袋，在甲袋中放有8個紅球，在乙袋中放有4個紅球，4個黃球，在丙袋中放有8個黃球，這些球除顏色外，其它都相同，從三個袋中任意摸出一球，哪一個可以使“摸到紅球”是必然發(fā)生的？哪一個可以使“摸到紅球”是不可能發(fā)生的？哪一個可以使“摸到紅球”是隨機發(fā)生的？【答案】甲，丙，乙【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件和不可能事件的概念，求解即可，在一定條件下，一定發(fā)生的事件叫必然事件，有可能發(fā)生有可能不發(fā)生的事件叫隨機事件，不可能發(fā)生的事件叫不可能事件．【詳解】解：由題意可得：甲袋中只有紅球，“摸到紅球”事件是必然事件，乙袋中既有紅球又有黃球，“摸到紅球”事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，為隨機事件，丙袋中沒有紅球，“摸到紅球”事件不可能發(fā)生，為不可能事件，則甲可以使“摸到紅球”是必然發(fā)生的，丙可以使“摸到紅球”是不可能發(fā)生的，乙可以使“摸到紅球”是隨機發(fā)生的【點睛】此題考查了隨機事件，必然事件和不可能事件的判斷，解題的關(guān)鍵是理解隨機事件，必然事件和不可能事件的概念．18．（2023春·陜西西安·七年級?？计谀┘状蟹胖?2個紅球和7個黑球，乙袋中放著42個白球和16個黑球，三種球除顏色外沒有任何區(qū)別，將兩袋中的球攪勻，從兩個袋中各任取一個球，哪個袋中取出黑球的可能性大？【答案】乙袋中取出黑球的可能性大【分析】分別計算兩個袋子中取出球的可能性的大小，然后比較即可得到答案．【詳解】解：甲袋中取出黑球的可能性為：；乙袋中取出黑球的可能性為：；，乙袋中取出黑球的可能性大．【點睛】本題考查了可能性的大小，解題關(guān)鍵是了解如何球可能性的大?。?9．（2023春·上海·八年級專題練習(xí)）盒中裝有紅球、黃球各100個，每個球除顏色以外都相同，每次從盒中摸一個球，摸三次，請你設(shè)計下面幾種情況的摸球方案．(1)摸到紅球是不可能的；(2)摸到紅球是必然的；(3)摸到紅球情況有三種：很可能，可能，不太可能．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）不放紅球即可．（2）都放紅球即可．（3）根據(jù)可能性的程度確定紅球比例即可．【詳解】（1）解：盒中只有100個黃球，摸出1個紅球；（2）解：盒中只有100個紅球，摸出1個紅球；（3）解：盒中有99個紅球、1個黃球，摸到紅球；盒中有50個紅球，50個黃球，摸出1個紅球；盒中有99個黃球，1個紅球，摸出1個紅球（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查隨機事件概率的運算方法，能夠通過概率大小確定紅球個數(shù)是解題關(guān)鍵．20．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）一只不透明的袋子中有個紅球、個綠球和個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻，從中任意摸出個球．（1）會出現(xiàn)哪些可能的結(jié)果？（2）能夠事先確定摸到的一定是紅球嗎？（3）你認為摸到哪種顏色的球的可能性最大？哪種顏色的球的可能性最??？（4）怎樣改變袋子中紅球、綠球、白球的個數(shù)，使摸到這三種顏色的球的概率相同？【答案】（1）從中任意摸出個球可能是紅球，也可能是綠球或白球；（2）不能事先確定摸到的一定是紅球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到紅球的可能性最?。唬?）只要袋子中紅球、綠球和白球的數(shù)量相等即可．【分析】（1）根據(jù)事情發(fā)生的可能性，即可進行判斷；（2）根據(jù)紅球的多少判斷，只能確定有可能出現(xiàn)；（3）根據(jù)白球的數(shù)量最多，摸出的可能性就最大，紅球的數(shù)量最少，摸出的可能性就最??；（4）根據(jù)概率相等就是出現(xiàn)的可能性一樣大，可讓數(shù)量相等即可．【詳解】解：（1）從中任意摸出1個球可能是紅球，也可能是綠球或白球；（2）不能事先確定摸到的一定是紅球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到紅球的可能性最?。唬?）只要袋子中紅球、綠球和白球的數(shù)量相等即可．【點睛】此題主要考查了事件發(fā)生的可能性，關(guān)鍵是根據(jù)事件發(fā)生的可能大小和概率判斷即可，比較簡單的中考?？碱}．題型二概率公式及其應(yīng)用【例3】（2023春·陜西西安·七年級?？计谀┰谝粋€不透明的袋子中裝有5個紅球和10個黃球，這些球除顏色外都相同，將袋子中的球充分搖勻后，隨機摸出一球．(1)求出摸出的球是紅球的概率；(2)為了使摸出兩種球的概率相同，再放進去9個同樣的紅球或黃球．那么這9個球中紅球和黃球的數(shù)量分別應(yīng)是多少？【答案】(1)(2)這9個球中紅球有7個，則黃球為2個【分析】（1）根據(jù)概率公式進行計算即可；（2）設(shè)這9個球中紅球有x個，則黃球為個，根據(jù)摸出兩種球的概率相同，列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵袋子中裝有5個紅球和10個黃球，∴將袋子中的球充分搖勻后，隨機摸出一球，摸出的球是紅球的概率為．（2）解：設(shè)這9個球中紅球有x個，則黃球為個，根據(jù)題意得：，解得：，黃球個數(shù)為：（個），答：這9個球中紅球有7個，則黃球為2個．【點睛】本題主要考查了概率公式的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的計算公式．【例4】（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）一房屋內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖所示，小李在房屋內(nèi)自由走動，則他停留在臥室或客廳的概率是．

【答案】【分析】用臥室和客廳面積的和除以房屋總面積即可求得概率．【詳解】解：臥室和客廳面積的和為：，房屋總面積為：，∴停留在臥室或客廳的概率為，故答案為：．【點睛】本題考查了幾何概率的知識，解題的關(guān)鍵是求得房屋的總面積，難度不大．鞏固訓(xùn)練1．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）剪紙是中國最古老的民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．小文購買了以“剪紙圖案”為主題的5張書簽，他想送給好朋友小樂一張．小文將書簽背面朝上（背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張，則小樂抽到的書簽圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先找出既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的圖形，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：第1圖沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形，繞某一點旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；第2圖沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形，繞某一點旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形；第3圖沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形，繞某一點旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；第4圖沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形，繞某一點旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形；第5圖沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形，繞某一點旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形；第2圖和第4圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，小樂抽到的書簽圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率，故選：C．2．（2023春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）在一個暗箱里放有a個除顏色外其他完全相同的球，這a個球中只有3個紅球，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球，記下顏色再放回暗箱，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25，那么可以推算出a大約是（

）A．12 B．9 C．4 D．3【答案】A【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，列出方程求解．【詳解】解：由題意可得，，解得，．經(jīng)檢驗，是原方程的解，所以，估計a大約是12．故選：A．【點睛】本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．3．（2023春·遼寧錦州·七年級統(tǒng)考期末）如圖是水平放置的圓形瓷磚，瓷磚上的圖案是三條直徑把兩個同心圓中的大圓分成六等份．若在這個大圓區(qū)域內(nèi)隨機地拋一個小球，則小球落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先確定陰影的面積在整個圓形瓷磚中所占的比例，根據(jù)這個比例即可求出小球落在陰影部分的概率．【詳解】解：因為在兩個同心圓中，三條直徑把大圓分成六等份，利用整體思想，可知：陰影部分的面積是大圓面積的一半，因此若在這個大圓區(qū)域內(nèi)隨機地拋一個小球，則小球落在陰影部分的概率是．故選：B．【點睛】本題主要考查了幾何概率，求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率，計算方法是長度比，面積比，體積比等．4．（2023春·浙江金華·九年級?？计谥校?，，，0，3這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)。恰好是負數(shù)的概率是．【答案】/【分析】根據(jù)概率公式計算即可得出答案．【詳解】解：從，，，0，3這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)有5種的可能的結(jié)果，并且它們出現(xiàn)的可能性相等，抽到負數(shù)的可能有，，這3種，抽到負數(shù)的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查了概率的計算，一般地，如果在一次試驗中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件包含其中的中結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率，掌握概率的計算公式是解題關(guān)鍵．5．（2023春·甘肅張掖·七年級?？计谀┯?張紙簽，分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，2，3，4，5，從中隨機地抽出一張．抽出標(biāo)有數(shù)字1的紙簽的概率是．【答案】【分析】用標(biāo)有數(shù)字1的紙簽數(shù)除以卡片的總數(shù)即為所求的概率．【詳解】解：∵一共有7張紙簽，其中標(biāo)有數(shù)字1的有2張紙簽且每張紙簽被抽到的概率相同，∴從中隨機地抽出一張．抽出標(biāo)有數(shù)字1的紙簽的概率是，故答案為：．【點睛】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．6．（2023春·江蘇南京·八年級校考期中）一只不透明的袋子中裝有10個白球、20個黃球和30個紅球，每個球除顏色外都相同，將球攪勻，從中任意摸出一個球，則下列事件：（1）該球是白球；（2）該球是黃球；（3）該球是紅球；則發(fā)生的可能性最大的為：（只填寫序號）．【答案】（3）【分析】根據(jù)概率公式，分別求出各個事件發(fā)生的概率，再進行比較即可．【詳解】解：∵袋子中裝有10個白球、20個黃球和30個紅球，∴一共有個球，∴（1）該球是白球的概率；（2）該球是黃球；（3）該球是紅球；∵，∴該球是紅球發(fā)生的可能性最大，故答案為：（3）．【點睛】本題主要考查了用概率公式求事件發(fā)生的概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率等于所求的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)之比．7．（2023·重慶·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在單詞“”中任意選擇一個字母，選到字母“”的概率是．【答案】【分析】先數(shù)出“”中共多少個字母，讓字母“”個數(shù)除以所有字母的總個數(shù)即為所求的概率．【詳解】解：“”中共12個字母，其中共3個“”，選到字母“”的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是由12個全等的等邊三角形組成的圖案，假設(shè)可以隨機在圖中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是．

【答案】【分析】根據(jù)陰影部分的面積所占比例得出概率即可．【詳解】解：由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的，即這個點取在陰影部分的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查幾何概率．熟練掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為a的正方形里畫一個最大的圓，然后隨機向正方形內(nèi)投一粒米，則這粒米落在圓內(nèi)的概率是．（線粗忽略不計）

【答案】【分析】直接根據(jù)題意得出圓的面積進而利用圓的面積除以正方形面積得出答案．【詳解】解：由題意可得，圓的面積為：，正方形面積為：，故隨機地往正方形內(nèi)投一粒米，落在圓內(nèi)的概率是：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了幾何概率，正確掌握概率公式是解題關(guān)鍵．10．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示的是小明家的地板磚的一部分（圖中所有三角形都是等腰直角三角形）．隨機拋一個小球停留在某塊地板磚上，則小球停留在陰影區(qū)域的概率是．

【答案】/【分析】停留在陰影區(qū)域的概率就是陰影部分占地板磚面積的比值，據(jù)此求解即可．【詳解】設(shè)原圖中最小的等腰直角三角形的面積為，則陰影部分有4塊這樣的等腰直角三角形，面積為，空白部分有12塊這樣的等腰直角三角形，面積為，∴這個地板磚的面積為：，∴停留在陰影區(qū)域的概率是：即小球停留在陰影區(qū)域的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握幾何概率的計算公式是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·陜西西安·七年級校考期末）有紅球，白球，黃球若干個備用，在一個不透明的口袋中放入8個紅球和12個白球，搖勻．(1)求從這個不透明口袋中隨機摸出一個球是白球的概率；(2)現(xiàn)從口袋中取出若干個紅球，并放入相同數(shù)量的黃球，充分搖勻后，要使從口袋中隨機摸出的一個球不是紅球的概率為，問放入了多少個黃球？【答案】(1)(2)4個【分析】（1）用白球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可；（2）設(shè)放入了x個黃球，根據(jù)概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．【詳解】（1）解：∵在一個不透明的口袋中放入8個紅球和12個白球，共有20個球，∴從這個不透明口袋中隨機摸出一個球是白球的概率是；（2）放入了x個黃球，根據(jù)題意得：，解得：，答：放入了4個黃球．【點睛】本題考查了概率公式．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．12．（2023春·云南文山·七年級校聯(lián)考期末）某超市為了促銷一批新品牌的商品，設(shè)立了一個不透明的紙箱，紙箱里裝有1個紅球，2個白球和12個黃球，并規(guī)定：顧客每購買50元的新品牌商品，就能獲得一次摸球的機會，如果摸到紅球，顧客可以獲得一把雨傘，摸到白球，可以獲得一個文具盒，摸到黃球，可以獲得一支鉛筆，甲顧客購此新商品80元，問：(1)獲得獎品的概率是多少？(2)得到一把雨傘，一個文具盒，一支鉛筆的概率分別是多少？【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)概率的意義判斷即可；（2）根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)．二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】（1）解：無論摸到什么球，都有相應(yīng)的獎勵；即中獎是必然事件，故獲得獎品的概率為1；（2）他得到一把雨傘，摸到紅球，其概率為，他得到一個文具盒，即摸到白球，其概率為他得到一支鉛筆即摸到黃球的概率為．【點睛】此題考查概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率（A）．一定發(fā)生的事件是必然事件，發(fā)生的概率為1．13．（2023秋·陜西榆林·八年級?？奸_學(xué)考試）暑假期間，某商場為了吸引顧客，對一次購物滿元的顧客可獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤得獎券的機會.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被等分成個扇形），轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤停止后，根據(jù)指針指向參照下表獲得獎券（指針指向黃色區(qū)域不獲獎，指向分界線時重轉(zhuǎn)，直到指向某一扇形為止）顏色紅藍黑獎券金額（元）205080(1)甲顧客購物元，他獲得獎券的概率是___________；(2)乙顧客購物元，并參與該活動，他獲得元和元獎券的概率分別是多少？(3)為加大活動力度，現(xiàn)商場想調(diào)整獲得元獎券的概率為，其余獎券獲獎概率不變，則需要將多少個黃色區(qū)域改為紅色？【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）用消費的錢數(shù)和元比較即可確定能否參與抽獎，不能參加抽獎則獲得獎金的概率為；（2）用概率公式求解即可；（3）設(shè)需要將個黃色區(qū)域改為紅色，根據(jù)元獎券的概率為列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴小明購物元，不能獲得轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，∴小明獲得獎金的概率為；故答案為：．（2）解：乙顧客購物600元，能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，由題意可知，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，共有種等可能的結(jié)果，其中紅色的有種，黑色的有種，所以指針指向紅色的概率為，指針指向黑色的概率為，所以他獲得元和元獎券的概率分別為，．（3）解：設(shè)需要將個黃色區(qū)域改為紅色，則由題意得，，解得：，所以需要將個黃色區(qū)域改為紅色．【點睛】本題考查了概率公式，根據(jù)概率進行計算，概率的意義，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）有一個被等分成份的轉(zhuǎn)盤，其中有8份被涂成了紅色，小鹿用它做了10組試驗，每組試驗轉(zhuǎn)50次，記錄每組試驗中轉(zhuǎn)盤停下后指針指向紅色區(qū)域的次數(shù)，并制成如下所示的折線統(tǒng)計圖，據(jù)圖回答問題：

(1)轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針指向紅色區(qū)域的概率大約是多少？（精確到0.1）(2)轉(zhuǎn)盤被等分成了幾份？【答案】(1)轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針指向紅色區(qū)域的概率大約是0.4(2)轉(zhuǎn)盤被等分成了20份【分析】（1）由折線統(tǒng)計圖可知，每組實驗中轉(zhuǎn)盤停下后指針指向紅色區(qū)域的次數(shù)一直在20次上下浮動，且等于20次的最多，再由概率公式進行計算即可得到答案；（2）由概率公式可得，進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：由折線統(tǒng)計圖可知，每組實驗中轉(zhuǎn)盤停下后指針指向紅色區(qū)域的次數(shù)一直在20次上下浮動，且等于20次的最多，轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針指向紅色區(qū)域的概率大約是：，轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針指向紅色區(qū)域的概率大約是0.4；（2）解：根據(jù)題意得：，解得：，轉(zhuǎn)盤被等分成了20份．【點睛】本題主要考查了根據(jù)概率公式計算概率，熟練掌握概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）一個不透明的口袋里有20個除顏色外都相同的球，其中有5個紅球，15個黃球．(1)從中隨意摸出一個球，摸出______球的可能性?。?2)若從中隨意摸出一個球，摸出黃球的概率是______；(3)若要使從中隨意摸出一個球是紅球的可能性為，袋子中需再加入______個紅球；(4)若另外拿20個同款的球放入口袋中（球的顏色是紅色和黃色），你認為怎樣放才能使摸到的紅球和黃球的可能性相同？請分別求出放入口袋中紅球、黃球的個數(shù)．【答案】(1)紅(2)(3)25(4)黃球個，紅球個【分析】（1）由球的個數(shù)即可作答；（2）由概率計算公式即可計算；（3）設(shè)袋子中還需加入個紅球，由概率計算公式即可求解；（4）設(shè)口袋中放入紅球個，根據(jù)摸到的紅球和黃球的可能性相同，即可建立方程求解．【詳解】（1）解：∵紅球的個數(shù)比黃球的個數(shù)少∴摸出紅球的可能性小故答案為：紅（2）解：摸出黃球的概率是：故答案為：（3）解：設(shè)袋子中還需加入個紅球則解得：經(jīng)檢驗：是分式方程的解故答案為：25（4）解：要使摸到的紅球和黃球的可能性相同，即摸到紅球的概率為，設(shè)口袋中放入紅球個，由題意得，解得，∴口袋中放入黃球的個數(shù)為（個），【點睛】本題考查概率的應(yīng)用．掌握概率的計算公式是解題關(guān)鍵．16．（2023春·甘肅張掖·七年級校聯(lián)考期末）一個不透明的袋中裝有紅、黃、白三種顏色球共100個，它們除顏色外都相同，其中黃球個數(shù)是白球個數(shù)的5倍．已知從袋中摸出一個球是紅球的概率是．(1)求袋中紅球的個數(shù)；(2)求從袋中摸出一個球是白球的概率；【答案】(1)40(2)【分析】（1）設(shè)袋中紅球的個數(shù)是個，根據(jù)概率公式列出算式，然后求解即可；（2）設(shè)袋中有白球個，根據(jù)黃球個數(shù)是白球個數(shù)的5倍以及總球的個數(shù)列出算式，求出白球的個數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)袋中紅球的個數(shù)是個，根據(jù)題意得：，解得：，答：袋中紅球的個數(shù)有40個；（2）設(shè)袋中有白球個，根據(jù)題意得：，解得：，則白球有10個，從袋中摸出一個球是白球的概率是．【點睛】本題考查了概率的知識．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．17．（2023春·貴州·七年級統(tǒng)考期末）一個不透明的口袋中裝有3個紅球和9個白球，它們除顏色外完全相同．(1)判斷事件“從口袋中隨機摸出一個球是藍球”是什么事件，并寫出其發(fā)生的概率；(2)求從口袋中隨機摸出一個球是白球的概率；(3)現(xiàn)從口袋中取走若干個白球，并放入相同數(shù)量的紅球，充分搖勻后，若從口袋中隨機摸出一個球是白球的概率是，則取走了多少個白球？【答案】(1)不可能事件，(2)(3)個【分析】（1）口袋中裝有紅球和白球，從口袋中隨機摸出一個球是藍球，是不可能的，進而也可得出概率．（2）口袋中有9個白球，摸出一個，有9種可能，口袋中一共有12個球，摸出一個球有12種情況，利用概率公式可求．（3）拿走白球x個，加入紅球x個，總球數(shù)，白球數(shù)為個，利用概率列方程可求．【詳解】（1）因為口袋中裝有3個紅球和9個白球，所以“從口袋中隨機摸出一個球是藍球”是不可能事件，所以它發(fā)生的概率是0．（2）因為口袋中裝有3個紅球和9個白球，所以從口袋中隨機摸出一個球是白球的概率是．（3）設(shè)取走了x個白球．由題意，得解得．故取走了5個白球．【點睛】本題考查事件的分類，概率，掌握事件的分類，概率的兩種求法，利用方程解概率問題是關(guān)鍵．18．（2023春·寧夏銀川·七年級銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┦钇谟H臨，某商場柜臺為了吸引顧客，打出了一個小廣告如下：本專柜為了感謝廣大消費者的支持和厚愛，特舉行購物抽獎活動，中獎率100%，最高獎50元，具體方法是：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準(zhǔn)黃、紅、綠、白色區(qū)域，顧客就可以分別獲得50元、20元、10元、5元的購物券（轉(zhuǎn)盤被等分成16份）．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)小亮的媽媽購物150元，她獲得50元、20元、5元購物券的概率分別是多少？(2)請在轉(zhuǎn)盤的空白區(qū)域涂上黑色，使得自由轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)它停止轉(zhuǎn)動時，指針落在這一區(qū)域的事件發(fā)生概率為．【答案】(1)，，(2)見解析【分析】（1）根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)．二者的比值就是其發(fā)生的概率的大?。?）指針落在某一區(qū)域的事件發(fā)生概率為，則應(yīng)該有6塊，據(jù)此解答即可．【詳解】（1）解：∵小紅的媽媽購物150元，∴能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，∵轉(zhuǎn)盤被等分為16份，黃色占1份，紅色占2份，白色占11份，∴小紅的媽媽獲得50元購物券的概率為：，獲得20元購物券的概率為：，獲得5元購物券的概率為：，即獲得50元、20元、5元購物券的概率分別是，，；（2）解：根據(jù)概率的意義可知指針落在某一區(qū)域的事件發(fā)生概率為，那么涂上黑色的區(qū)域應(yīng)有（塊），如圖，

【點睛】本題考查概率的求法與運用，一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率，掌握上述知識點是解題的關(guān)鍵．題型三用樹狀圖和列表法求概率【例5】（2023·陜西咸陽·校考二模）國際數(shù)學(xué)家大會（），是由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（）主辦的國際數(shù)學(xué)界規(guī)模最大也是最重要的會議，每四年舉行一次，它是全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會議，被譽為數(shù)學(xué)界的奧林匹克盛會．李穎和汪洋兩人想通過玩游戲的方式，了解關(guān)于國際數(shù)學(xué)家大會的一些常識，他們給一個不透明的袋子里裝了四個分別標(biāo)有、、、的小球，這些小球除所標(biāo)字母不同外其他都相同，汪洋先從四個小球中隨機摸出一個，李穎再從剩下的三個小球中隨機摸出一個，然后兩人按照如下圖示各自搜索并回答自己所摸小球上字母對應(yīng)的問題．

(1)汪洋隨機摸出的一個小球是小球的概率為_______；(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法求游戲結(jié)束后，兩人恰好回答完、兩個問題的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：汪洋隨機摸出的一個小球是小球的概率為．故答案為：．（2）解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好回答完、兩個問題的情況有2種，∴兩人恰好回答完、兩個問題的概率為．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖求概率，根據(jù)概率公式求概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的表格．【例6】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）五一小長假期間，小林和小云一起來到昆明旅游，晚上他們打算去特色街吃飯，他們看到滿大街各式各樣的美食，卻不知道選擇哪一個，于是通過抽卡片的游戲來決定吃什么，他們制作了四張背面完全相同的卡片，在正面上分別寫著：A過橋米線；B野生菌火鍋；C鮮花餅；D汽鍋雞，將這四張卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗勻放好．小林先從四張卡片中隨機抽取一張，放回洗勻后，小云再從四張卡片中隨機抽取一張．(1)小林抽到卡片正面寫著汽鍋雞的概率是；(2)請利用列表或畫樹狀圖的方法，求兩個人抽到同一種特色美食的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用概率公式計算即可；（2）列出圖表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和抽到的兩張卡片恰好是同一種美食的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式直接計算．【詳解】（1）共有四張卡片，小林抽到卡片正面寫著汽鍋雞的概率是，故答案為：；（2）解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：（小林，小云）ABCDABCD由表可知共有16種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩人抽到同一種食物的有4種，，兩人抽到同一種美食的概率為．【點睛】本題考查列表法求概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【例7】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時長情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計圖表（如下圖所示）．學(xué)生平均每天閱讀時長情況統(tǒng)計表平均每天閱讀時長x/min人數(shù)學(xué)生平均每天閱讀時長情況扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：(1)本次調(diào)查共抽取了______名學(xué)生，統(tǒng)計表中______．(2)求扇形統(tǒng)計圖中學(xué)生平均每天閱讀時長為“”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)．(3)若全校共有名學(xué)生，請估計平均每天閱讀時長為“”的學(xué)生人數(shù)，(4)該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進行閱讀，這四本書分別用相同的卡片，，，標(biāo)記，先隨機抽取一張卡片后不放回，再隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法，求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．【答案】(1)100，30(2)(3)名(4)【分析】（1）將組的人數(shù)除以其百分比即可求出抽取的人數(shù)；將抽取的人數(shù)乘以組的百分比即可求出的值；（2）將組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以即可求出扇形統(tǒng)計圖中學(xué)生平均每天閱讀時長為“”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）將組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以即可估計平均每天閱讀時長為“”的學(xué)生人數(shù)；（4）用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【詳解】（1）解：∵組的人數(shù)為，占比為，且，∴本次調(diào)查共抽取了名學(xué)生；∵組占比，，∴，故答案為：，．（2）解：∵樣本中平均每天閱讀時長為“”有名，且，∴扇形統(tǒng)計圖中學(xué)生平均每天閱讀時長為“”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為．（3）解：∵樣本中平均每天閱讀時長為“”的學(xué)生人數(shù)為人，且（名），∴估計平均每天閱讀時長為“”的學(xué)生人數(shù)為名．（4）解：《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書分別用相同的卡片，，，標(biāo)記，畫樹狀圖如下：

一共有種等可能的情況，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游記》即有種可能的情況，∴．【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，能從統(tǒng)計圖表中獲取有用信息，掌握用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·山東泰安·九年級?？计谥校┯?、3、4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列舉法得到所有的三位數(shù)，再找出是偶數(shù)的三位數(shù)，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：用2、3、4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)有、、、、、，共6種等可能的結(jié)果，其中排出的數(shù)是偶數(shù)有4種，故排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為，故選：A．【點睛】本題考查列舉法求概率，正確列出所有的三位數(shù)是解答的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）今年2月，某班準(zhǔn)備從《在希望的田野上》《我和我的祖國》《十送紅軍》三首歌曲中選擇兩首進行排練，參加永州市即將舉辦的“唱響新時代，筑夢新征程”合唱選拔賽，那么該班恰好選中前面兩首歌曲的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)概率公式，即可解答．【詳解】解：從三首歌曲中選擇兩首進行排練，有《在希望的田野上》《我和我的祖國》、《在希望的田野上》《十送紅軍》、《我和我的祖國》《十送紅軍》共三種選擇方式，故選到前兩首的概率是，故選：B．【點睛】本題考查了根據(jù)概率公式計算概率，排列出總共可能的情況的數(shù)量是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學(xué)和三名女同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)異．若從以上四名同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué)擔(dān)任主持人，則剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)列表法求概率即可求解．【詳解】解：列表如下，女女女男女女，女女，女女，男女女，女女，女女，男女女，女女，女女，男男男，女男，女男，女共有12種等可能結(jié)果，其中符合題意的有6種，∴剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是，故選：A．【點睛】本題考查了列表法求概率，熟練掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·寧夏銀川·八年級?？计谀岸墓?jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”，小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂，小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：將“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的圖片分別記為A、B、C、D．根據(jù)題意，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是“立春”和“立夏”的結(jié)果有2種，故其概率為：．故選：C．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．5．（2023春·海南省直轄縣級單位·九年級?？茧A段練習(xí)）在一個黑色布袋中裝有標(biāo)號分別為2、3、4的三個小球，從中摸出一個小球，不放回，再摸出一個小球，兩次摸出小球的標(biāo)號的和為奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫樹狀圖，再利用概率公式即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有種等可能的情況，其中兩次和為奇數(shù)的情況有種，兩次摸出小球的標(biāo)號的和為奇數(shù)的概率，故選：C．【點睛】本題考查了利用樹狀圖或列表法求概率，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵．6．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，兩個相同的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤A被三等分2，0，；轉(zhuǎn)盤B被四等分3，2，，．如果同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A，B，兩個指針指向轉(zhuǎn)盤A，B上的對應(yīng)數(shù)字分別為x，y（當(dāng)指針指在兩個扇形的交線時，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤）落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：203（2，3）（0，3）（，3）2（2，2）（0，2）（，2）（2，）（0，）（，）（2，）（0，）（，）由表可知，共有12種等可能結(jié)果，落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的情況有2種，所以點落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的概率是．故選：C．【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提．7．（2023春·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）有4根細木棒，長度分別為1，2，3，4，從中任選3根，恰好能搭成一個三角形的概率是．【答案】【分析】首先利用列舉法求得從中任取3根的所有等可能的情況與從中任取3根恰好能搭成一個三角形的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：從1，2，3，4的四根木棒任取3根的所有可能性有：1，2，3；1，2，4；1，3，4；2，3，4共4種情況；從中任取4根恰好能搭成一個三角形的有：2，3，4共1種情況；從中任取3根恰好能搭成一個三角形的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查概率的計算方法，使用列舉法解題時，注意按一定順序，做到不重不漏．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有長度分別為和的木棒，用5根長度為、、、、的木棒分別與之圍成三角形，則能圍成三角形的概率為．【答案】/【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三根木棒的長度的取值范圍，再根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：∵兩根木棒的長分別是和，∴第三根木棒的長度大于，小于，∴能圍成三角形的是：、、的木棒，∴能圍成三角形的概率為．故答案為：．【點睛】此題考查了列舉法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．53．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）小麗與媽媽用一個如圖所示的六等分、可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤來玩游戲；將轉(zhuǎn)盤隨機轉(zhuǎn)一次，指針指向的數(shù)字如果是能被整除媽媽獲勝，如果是不能被整除，則小麗獲勝（指針指到線上則重轉(zhuǎn)）．求：

(1)轉(zhuǎn)完轉(zhuǎn)盤后指針指向數(shù)字是的倍數(shù)概率是多少？(2)這個游戲公平嗎？請你說明理由．【答案】(1)(2)公平，理由見解析【分析】（1）列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進而求出指針指向數(shù)字為的概率；（2）分別求出媽媽獲勝和小麗獲勝的概率，通過比較得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將轉(zhuǎn)盤隨機轉(zhuǎn)一次，指針指向的數(shù)字所有可能的結(jié)果有，，，，，，共六種，且每種出現(xiàn)可能性相等，因此指向數(shù)字的倍數(shù)概率為：，答：轉(zhuǎn)完轉(zhuǎn)盤后指針指向數(shù)字的倍數(shù)概率是；（2）這個游戲公平，理由如下：能夠被4整除的結(jié)果數(shù)有3種，所有等可能的結(jié)果數(shù)有6種，媽媽獲勝的概率為：，小麗獲勝的概率為：，游戲公平．【點睛】本題考查隨機事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解決問題的前提．9．（2023春·四川達州·七年級?？计谀┤鐖D，是一副撲克牌中的四張牌，將它們正面向下洗均勻，從中任意抽取兩張牌，求抽出的兩張牌中，牌面上數(shù)字都是偶數(shù)的概率．

【答案】【分析】列舉出所有可能，根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】解：依題意，有如下可能，，，，，，，，，，，，∴共有12種等可能結(jié)果，其中牌面上數(shù)字都是偶數(shù)的有2種，所以牌面上數(shù)字都是偶數(shù)的概率．【點睛】此題重點考查學(xué)生對概率的應(yīng)用，掌握列舉法是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）在3張相同的小紙條上，分別寫上線段的長度：①；②；③．將這3張小紙條做成3支簽，放在一個不透明的盒子中，(1)攪勻后從中任意抽取一支簽，抽中②簽的概率是__________；(2)攪勻后從中任意抽取兩支簽，求這兩支簽的線段能與長為的線段組成一個三角形的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）先列舉所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：攪勻后從中任意抽取一支簽，抽中②簽的概率是，故答案為：；（2）攪勻后從中任意抽取兩支簽，所有等可能結(jié)果如下：，，，其中這兩支簽的線段能與長為的線段組成一個三角形的有，這2種情況，所以這兩支簽的線段能與長為的線段組成一個三角形的概率為．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．11．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知代數(shù)式．(1)化簡代數(shù)式；(2)在滿足的整數(shù)中隨機抽取1個代入代數(shù)式中，求不會使得代數(shù)式無意義的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式的混合運算法則計算即可解答；（2）先求出滿足的整數(shù)，再求出分式有意義的條件即可解答．【詳解】（1）解：；（2）解：在區(qū)間上的整數(shù)有，，0，1，2,共個，由（1）得，分式有意義的條件為：且，即可取0,1，∴不會使得代數(shù)式無意義的概率為．【點睛】本題考查了分式的運算法則，分式有意義的條件及列舉法求概率，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點并保持計算準(zhǔn)確．12．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）成語是我國燦爛文化寶庫中一顆璀璨的明珠，具有簡潔明快、畫龍點睛的特點．如：成語“物美價廉”形容東西價錢便宜、質(zhì)量又好．樂樂無返回依次到甲、乙、丙三地旅游，在途中準(zhǔn)備購買一個金邊的“冰墩墩”作為紀(jì)念．已知甲、乙、丙三地相離較遠，都可以買到樂樂心儀的同款金邊“冰墩墩”；但市場上這款金邊冰墩墩的質(zhì)量有優(yōu)、良、合格、不合格，價格有130元、120元、105元、95元、90元、85元等情況，樂樂認為只要買到優(yōu)良品質(zhì)、價格不超過100元的金邊冰墩墩，就達到“物美價廉”．(1)若樂樂打聽到甲地所賣的金邊冰墩墩質(zhì)量為優(yōu)品，因此樂樂決定在甲地購買．試求出樂樂買到“物美價廉”的金邊冰墩墩的概率；(2)樂樂認為：沒有了解三地所銷售金邊冰墩墩的相關(guān)信息，直接選擇到了丙地再購買，能買到“物美價廉”的金邊冰墩墩的概率與（1）中在甲地買到“物美價廉”的金邊冰墩墩的概率是一樣的，這個想法是否正確？試說明理由，并列舉出樂樂沒有了解三地所銷售金邊冰墩墩的相關(guān)信息，直接選擇在丙地購買到“物美價廉”金邊冰墩墩的情況．【答案】(1)(2)這個想法不正確，理由見解析，【分析】（1）甲地均為優(yōu)品，買到每種價格的冰墩墩是等可能的，根據(jù)概率公式解答即可；（2）丙地冰墩墩的相關(guān)信息不明，根據(jù)列舉法求出所有情況，進行計算．【詳解】（1）解：∵買到130元、120元、105元、95元、90元、85元的冰墩墩是等可能的，且95元、90元、85元的有三種情況，∴；（2）解：這個想法不正確．列表為：價格質(zhì)量130元120元105元95元90元85元優(yōu)***良好***合格不合格*表示可以買到“物美價廉”冰墩墩的情況，∵有24種等可能的情況，其中買到“物美價廉”冰墩墩的情況有6種，∴在丙地買到“物美價廉”冰墩墩的概率為：，∵，∴這個想法是不正確．【點睛】本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的概率．13．（2023春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，一個轉(zhuǎn)盤平均分成6等份，分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6六個數(shù)字．隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字（指向分界線時重新轉(zhuǎn)動）．

(1)隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，求轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于3的概率；(2)現(xiàn)有兩張分別寫有2和3的卡片．隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字與兩張卡片上的數(shù)字分別作為三條線段的長度，求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，轉(zhuǎn)到每個數(shù)字的可能性相等，共有6種可能結(jié)果，小于3的結(jié)果有2種，由概率公式可得；（2）轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，轉(zhuǎn)到每個數(shù)字的可能性相等，共有6種可能結(jié)果，能夠成三角形的結(jié)果有2種，由概率公式可得．【詳解】（1）解：∵轉(zhuǎn)盤中共有6個數(shù)字，小于3的數(shù)字有1和2，∴轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于3的概率為；（2）轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，轉(zhuǎn)到每個數(shù)字的可能性相等，共有6種可能結(jié)果，分別為：123，223，323，423，523，623，其中能組成三角形的是223，323，423，共3種，∴這三條線段能構(gòu)成三角形的概率是．【點睛】本題主要考查概率公式的運用及三角形三邊間的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊間的關(guān)系和概率公式是解題的關(guān)鍵．14．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）為了深入推動大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國旅游日惠民周活動，活動主辦方在活動現(xiàn)場提供免費門票抽獎箱，里面放有4張相同的卡片，分別寫有景區(qū)：A．宜興竹海，B．宜興善卷洞，C．闔閭城遺址博物館，D．錫惠公園．抽獎規(guī)則如下：攪勻后從抽獎箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據(jù)抽獎的結(jié)果獲得相應(yīng)的景區(qū)免費門票．(1)小明獲得一次抽獎機會，他恰好抽到景區(qū)A門票的概率是_________．(2)小亮獲得兩次抽獎機會，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫出樹狀圖，得出總的結(jié)果數(shù)和恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況，即可求解.【詳解】（1）解：∵共有4張相同的卡片且任意抽取一張卡片，記錄后放回，∴每張卡片抽到的概率都是，設(shè)小明恰好抽到景區(qū)A門票為事件，則,故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

∴一共有16種等可能的情況，恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況有2種，∴他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率為；【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.15．（2023春·寧夏銀川·八年級?？计谀┤鐖D，兩個相同的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤A被三等分，分別標(biāo)有數(shù)字2，0，；轉(zhuǎn)盤B被四等分，分別標(biāo)有數(shù)字3，2，，．如果同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A，B，轉(zhuǎn)盤停止時，兩個指針指向轉(zhuǎn)盤A，B上的對應(yīng)數(shù)字分別為x，y（當(dāng)指針指在兩個扇形的交線時，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），小明和小剛玩游戲，如果點落在直角坐標(biāo)系的第一或第三象限則小明勝，如果點落在坐標(biāo)軸上則小剛勝，請列樹狀圖或表格的方法求出二人各自獲勝的概率，并說明游戲是否公平．

【答案】小明獲勝概率：，小剛獲勝概率：；游戲公平．【分析】用樹狀圖法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求出即可．【詳解】用樹狀圖表示點所有可能結(jié)果，如圖所示，一共有12種情況，點落在直角坐標(biāo)系的第一或第三象限有4種情況，點落在坐標(biāo)軸上有4種情況，∴小明勝的概率為，小剛勝的概率為，∴獲勝概率一樣，游戲公平．

【點睛】此題考查了樹狀圖或列表法，解題的關(guān)鍵是列舉出所有可能出現(xiàn)的情況．16．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）棋在中國有著三千多年的歷史，由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的益智游戲．喜歡思考的小敏設(shè)計了如圖所示的的小方格棋盤，在棋盤方格內(nèi)隨機放入棋子，且每一個方格內(nèi)最多放入一枚棋子．棋盤內(nèi)現(xiàn)已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格內(nèi)繼續(xù)隨機放入棋子，如果有三枚棋子在同一條直線上，我們稱之為“三連珠”．

(1)若小敏隨機放入1枚棋子，出現(xiàn)“三連珠”的概率是________________；(2)若小敏隨機放入2枚棋子，請用畫樹狀圖或列表法求放入的兩枚棋子恰好與右下角的棋子均相鄰的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖求概率即可求解．【詳解】（1）解：共有5個空格，在標(biāo)號為1，2，5，內(nèi)讓人棋子，可以出現(xiàn)“三連珠”；∴小敏隨機放入1枚棋子，出現(xiàn)“三連珠”的概率是故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如圖：

由圖可知，共有20個等可能的結(jié)果，放入的兩枚棋子恰好與右下角的棋子均相鄰的有，共2個結(jié)果，∴放入的兩枚棋子恰好與右下角的棋子均相鄰的概率為．【點睛】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率，用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．17．（2023春·山東日照·九年級?？计谥校┫聢D是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被等分成3個扇形，乙轉(zhuǎn)盤被等分成4個扇形，每一個扇形上都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字．小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10，則小穎獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于10，則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10，則小亮獲勝．如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個數(shù)字為止．(1)請你通過畫樹狀圖或列表的方法求小穎獲勝的概率．(2)該游戲規(guī)則是否公平？若公平，請說明理由；若不公平，請你設(shè)計出一種公平的游戲規(guī)則．【答案】(1)(2)不公平，公平的游戲規(guī)則見詳解【分析】（1）依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出小穎獲勝的概率即可；（2）判斷游戲的公平性，首先要計算出游戲雙方贏的概率，概率相等則公平，否則不公平；然后設(shè)計出公平的游戲規(guī)則（答案不唯一）．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的兩數(shù)字之和小于10的有6種，∴小穎獲勝的概率為；（2）該游戲規(guī)則不公平．由（1）可知，共有12種等可能的情況，其和大于10的情況有3種，∴小亮獲勝的概率為，而小穎獲勝的概率為，故該游戲規(guī)則不公平．游戲規(guī)則可修改為以下兩種：①當(dāng)兩個轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于或等于10時，小亮獲勝；當(dāng)兩個轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10時，小穎獲勝；②當(dāng)兩個轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為奇數(shù)時，小亮獲勝；當(dāng)兩個轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為偶數(shù)時，小穎獲勝．（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了列舉法求概率以及概率的應(yīng)用，理解題意，正確作出樹狀圖或列表是解題關(guān)鍵．18．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭？计谀┠持袑W(xué)舉行“校園電視臺主持人”選拔賽，將參加本校選拔賽的40名選手的成績分成五組，并繪制了下列不完整的統(tǒng)計圖表．分數(shù)段頻數(shù)頻率2m1214n4

(1)表中________________；(2)請在圖中補全頻數(shù)分布直方圖：(3)甲同學(xué)的比賽成績是40位參賽選手成績的中位數(shù)，據(jù)此推測他的成績落在________分數(shù)段內(nèi)；(4)選拔賽中，成績在分以上的選手，男生和女生各占一半，學(xué)校從中隨機確定2名選手參加全市決賽，則恰好是一名男生和一名女生的概率為________．【答案】(1)．(2)見解析(3)(4)【分析】（1）根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)，變形計算，求出m、n的值．（2）根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù)補全圖形．（3）根據(jù)中位數(shù)的概念即一組有序數(shù)據(jù)的中間一個數(shù)據(jù)或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)求解可得．（4）利用列表或畫樹狀圖列舉出所有的可能，再根據(jù)概率公式計算即可得解．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，故答案為：．（2）根據(jù)，補全圖形如下：

．（3）由于共有40個數(shù)據(jù)，其中位數(shù)是第20、21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第20、21個數(shù)據(jù)都落在內(nèi)，∴推測他的成績落在分數(shù)段內(nèi)，故答案為：．（4）畫樹狀圖：

共有12種結(jié)果，其中一男一女的結(jié)果有8種，∴恰好是一名男生和一名女生的概率為．故答案為：．【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率、頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表以及中位數(shù)的定義．熟練掌握中位數(shù)，直方圖，畫樹狀圖計算概率是解題的關(guān)鍵．19．（2023·重慶·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某校為落實“雙減”工作，增強課后服務(wù)的吸引力，充分利用好課后服務(wù)時間，為學(xué)有余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間，成立了5個活動小組（每位學(xué)生只能參加一個活動小組）：．禮儀；．陶藝；．園藝；．廚藝；．編程．為了解學(xué)生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學(xué)生進行了調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)此次調(diào)查一共隨機抽取了_________名學(xué)生；“D．廚藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的圓心角是_________度；(2)補全條形統(tǒng)計圖（請在條形圖上方注明人數(shù)）；(3)學(xué)校計劃從參加“E．編程”活動的四位優(yōu)秀學(xué)生甲、乙、丙、丁中隨機抽取兩人參加區(qū)青少年人工智能編程比賽，請用樹狀圖或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．【答案】(1)，(2)見解析(3)【分析】（1）由E組的人數(shù)除以所占百分比即可得到總數(shù)；由“D．廚藝”所占總數(shù)的百分比即可得到“D．廚藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（2）求出“．陶藝；．園藝”的人數(shù)即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中甲、乙兩人的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）此次調(diào)查一共隨機抽取了人，“D．廚藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的圓心角是故答案為：，；（2）“．陶藝”的人數(shù)為人，“．園藝”的人數(shù)人，∴補全條形統(tǒng)計圖為

（3）樹狀圖如下：

∵共有12中等可能的結(jié)果，其中恰好抽中甲、乙兩人有2種，∴恰好抽中甲、乙兩人的概率．【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20．（2023春·廣西南寧·九年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師指導(dǎo)同學(xué)們開展“調(diào)查某社區(qū)每個家庭五月份的用水量”的實踐活動．【實踐發(fā)現(xiàn)】善思小組隨機抽查了某社區(qū)20個家庭五月份的用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭五月份的用水量在3～7噸范圍內(nèi)，整理數(shù)據(jù)如下：五月份用水量（噸）戶數(shù)【實踐探究】分析數(shù)據(jù)如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差五月份用水量（噸）【問題解決】(1)上述表格中：______，______，______；(2)甲同學(xué)說：“估計該社區(qū)，有一半以上的家庭五月份用水量不超過5噸．乙同學(xué)說：“根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該社區(qū)200戶家庭中五月份用水量不超過5噸的約有120戶．”上面兩位同學(xué)的說法中，合理的是______同學(xué)（填“甲”或“乙”）(3)該社區(qū)決定從五月份用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進行“節(jié)水”經(jīng)驗分享．請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、乙兩戶的概率．【答案】(1)，，(2)甲(3)【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念即可得答案；（2）用樣本估計總體，即可得到答案；（3）畫樹狀圖求出所有等可能結(jié)果，再用概念公式