2021屆高考數(shù)學(xué)解答題挑戰(zhàn)滿分專項1

2021屆高考數(shù)學(xué)（理）解答題挑戰(zhàn)滿分專項

專題L4隨機變量及其分布

考向解讀

（1）頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差，離散型隨機變量的分布列與期望仍然

是考查的熱點，同時應(yīng)注意和概率、平均數(shù)、分布列，期望，二項分布，正態(tài)分布等知識的

結(jié)合，同時應(yīng)注意獨立性檢驗在實際生活中的應(yīng)用。

（2）求離散型隨機變量X的分布列的步驟

①理解X的意義，寫出X可能取的全部值；

②求X取每個值的概率；

③寫出X的分布列.

注意：①與排列、組合有關(guān)分布列的求法.可由排列、組合、概率知識求出概率，再

求出分布列.

②與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法.可由頻率估計概率，再求出分布列.

③與互斥事件有關(guān)分布列的求法.弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再

列出分布列.

④與獨立事件有關(guān)分布列的求法.先弄清獨立事件的關(guān)系，求出各個概率，再列出分

布列.

⑤求解離散型隨機變量X的均值與方差時，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、

方差的定義求E（X）,￡＞（X）即可.

最新模擬題賞析

1.支付寶為人們的生活帶來許多便利，為了了解支付寶在某市的使用情況，某公司隨機抽

取了100名支付寶用戶進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù):

每周使用支付寶次數(shù)123456及以上

40歲及以下人數(shù)3348730

40歲以上人數(shù)4566420

合計7810141150

（1）如果認為每周使用支付寶超過3次的用戶“喜歡使用支付寶”，完成下面2x2列聯(lián)表,

并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否“喜歡使用支付寶”與年齡有關(guān)？

不喜歡使用支付寶喜歡使用支付寶合計

40歲及以下人數(shù)

40歲以上人數(shù)

合計

（2）每周使用支付寶6次及以上的用戶稱為“支付寶達人”，視頻率為概率，在該市所有“支

付寶達人''中，隨機抽取3名用戶.

①求抽取的3名用戶中，既有40歲及以下“支付寶達人”又有40歲以上“支付寶達人”的概率；

②為了鼓勵40歲以上用戶使用支付寶，對抽出的40歲以上“支付寶達人”每人獎勵500元,

記獎勵總金額為X（單位：元），求X的數(shù)學(xué)期望.

附：一「咋”,-其中…+"c+d.

P（K22%）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【試題來源】云南省云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三第七次月考

【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，在犯錯誤率不超過0.05的前提下，不能認為是否“喜歡使

|Q

用支付寶”與年齡有關(guān);⑵①石;②600.

【分析】（1）根據(jù)題干列聯(lián)表，計算K2,對照參照值得出結(jié)論：

（2）視頻率為概率，可得答案；記抽出的40歲以上“支付寶達人”的人數(shù)為y,滿足二項分

布，得出期望，又x=5ooy,可得獎勵總金額的期望.

【解析】（I）由題中表格數(shù)據(jù)可得2x2列聯(lián)表如下：

不喜歡使用支付寶喜歡使用支付寶合計

40歲及以下人數(shù)104555

40歲以上人數(shù)153045

合計2575100

將列表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得

小的觀測值K2=-0-45x15)2*3030<3.841,

25x75x55x45

所以在犯錯誤率不超過0.05的前提下，不能認為是否“喜歡使用支付寶”與年齡有關(guān).

(2)視頻率為概率，在該市“支付寶達人”中，隨機抽取1名用戶，該用戶為40歲及以下的

32

“支付寶達人”的概率為彳，為40歲以上的“支付寶達人”的概率為y.

①抽取的3名用戶中，既有40歲及以下“支付寶達人”又有40歲以上“支付寶達人”的概率為

②記抽出的40歲以上“支付寶達人”的人數(shù)為y,則X=5007.

由題意得丫口《3,|),所以E(y)=3x]=《,

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=5(X)E(y)=5()0X|=6()0.

2.如圖是M市旅游局宣傳欄中的一幅標題為“2012~2019年我市接待游客人次”的統(tǒng)計

圖.根據(jù)該統(tǒng)計圖提供的信息解決下列問題.

(1)求M市在所統(tǒng)計的這8年中接待游客人次的平均值和中位數(shù)；

(2)在所統(tǒng)計的8年中任取兩年，記其中接待游客人次不低于平均數(shù)的年份數(shù)為X,求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)由統(tǒng)計圖可看出，從2016年開始，M市接待游客的人次呈直線上升趨勢，請你用線

性回歸分析的方法預(yù)測2021年M市接待游客的人次.

①參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（』,y）,（士,％），…，（當，%），其回歸直線夕=去+6的斜

ZU—可（＞廠9）

率和截距的最小二乘法估計分別為B=上—.............=號----------，a=y-bx.

/=!/=1

②參考數(shù)據(jù)：

x'=x—20160123

y'=y-630-300-12090330

【試題來源】河南省九師聯(lián)盟2020-2021年高三下學(xué)期2月聯(lián)考

【答案】（1）平均數(shù)為401.25（萬人次），中位數(shù)為290（萬人次）；（2）分布列答案見解析,

3

數(shù)學(xué)期望：一；（3）1365萬人次.

4

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖，分別利用平均數(shù)和中位數(shù)公式求解.（2）由不低于平均數(shù)的有3

年，得到X的可能取值為0,1,2,分別求得其相應(yīng)概率，列出分布列求期望.（3）令

x'=x—2016,y'=y—630,分別求得7，歹，進而求得5，a,得到歹關(guān)于x'的回歸

方程求解.

110+150+180+250+330+510+720+960

【解析】（1）平均數(shù)為=401.25(萬人次),

8

250+330

中位數(shù)為=290(萬人次).

2

（2）不低于平均數(shù)的有3年，X的可能取值為0,1,2,

212

則P(X=0)=WC=二5：p(X=l)=^c'Vr=—is.p(x=2)C7=j3

\/C；14I7C；28v'C；28

所以X的分布列為

X012

5153

P

142828

故E(X)=0X』+1X"+2X3=2=3

v,142828284

(3)

X2016201720182019

y330510720960

簡化變量:

x'=x—20160123

V=y-630-300-12090330

44

x'=1.5，y'=0，=1。50,=14.

i=iz=i

1050

T———=210,力=7一笳=0—210x1.5=—315.

,X；2_4X，214-4xl.52

9=210%'-315.當x=2021時，x'=5,p=735,所以￡-630=735,所以少=1365.

即2021年接待的游客約為1365萬人次.

3.眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，

改善眼的疲勞，達到預(yù)防近視的效果，某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保操對改善學(xué)生視力的效果,

在高二2000名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進行視力檢查，并得到如圖所示頻率分布直方

圖，一般認為視力在5.0以上的為標準視力.

（1）為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對高二年級做眼保健操和不做眼保健操

的學(xué)生進行調(diào)查，得到表中部分數(shù)據(jù)，請結(jié)合頻率分布直方圖，求出a,b,并回答在犯錯

的概率不超過0。5的前提下，是否認為視力與做眼保健操有關(guān)系？

做眼保健操不做眼保健操

非標準視力a48

標準視力14b

（2）若以該樣本數(shù)據(jù)，來估計全年級學(xué)生的視力，從全年級標準視力的同學(xué)中，隨機抽取

4名同學(xué)，設(shè)4名同學(xué)中視力在5.2以上的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

附：K?：-----""兒）--------其中"=a+Z?+c+d.

2

P（K>k）0.100.050.0100.005

k2.7063.8416.6357.879

【試題來源】山東省德州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末

【答案】（1）a=32,b=6；能；（2）分布列見解析，1.

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)計算K"進而可以做出判斷;

（2）利用二項分布直接列分布列，利用公式計算均值即可.

【解析】（1）標準視力的人數(shù)：（0.75+0.25）x0.2x100=208=20-14=6.

非標準視力的人數(shù)：100—20=804=80-48=32.

100（32x6-14x48）2400

----------------------------------------------二--------->3>D.OH-1

80x20x46x5469

所以在犯錯誤概率不超過0.05的條件下，能說明視力與做眼睛保健操有關(guān)

（2）視力在5.0以上的同學(xué)中，視力在5.2以上的同學(xué)所占比例為I

0.25+0.754

所以X~B[4,￡]

小。）$哉小心叫訊」啜

P（X=2）G我（滬彩P（X=3）G（外冷

p（X=4）=[；）=圭（X=0,X=4合計1分，其他各1分）

分布列是

X01234

81272731

p

2566412864256

所以E（X）=4x；=l.

4.某校針對高一學(xué)生安排社團活動，周一至周五每天安排一項活動，活動安排表如下:

時間周一周二周三周四周五

活動項目籃球國畫排球聲樂書法

要求每位學(xué)生選擇其中的三項，學(xué)生甲決定選擇籃球，不選擇書法；乙和丙無特殊情況，任

選三項.

（1）求甲選排球且乙未選排球的概率；

（2）用X表示甲、乙、丙三人選擇排球的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【試題來源】廣東省湛江市2021屆高三一模

428

【答案】（1）—;（2）分布列見解析，—

【分析】（1）設(shè)事件，分別求出甲、乙同學(xué)選排球的概率，由相互獨立事件同時發(fā)生的概率，

即可得出結(jié)果.（2）求出丙同學(xué)選排球的概率，X的可能取值為0,1,2,3,分別求出概

率，進而可得結(jié)果.

【解析】（1）設(shè)/表示事件“甲同學(xué)選排球”8表示事件“乙同學(xué)選排球”

C'2C23

則尸(A)=^=5，P(B)=^=M，

因為事件48相互獨立，所以甲同學(xué)選排球且乙同學(xué)未選排球的概率為

--234

P(AB)=P(A)P(B)=yx(l-1)=—

C23

（2）設(shè)C表示事件“丙同學(xué)選排球“，則P（C）=U=A，

C5〉

X的可能取值為0,1,2,3,則

2334

p(X=0)=(l--)x(l--)x(l--)=—;

P(X=l)=|：x(l-1)x(l-1)+(l--|)x|x(l-|)+(l-1)x(l-|)x|=^,

“c、23八3、八2、332八3、311

p(X=2)=-x-x(l--)+(l--)x-x-+-x(l--)x-=—,

JnJJJJ。J

?c、2336

p(X=3)=—x—x—=—.

35525

X的分布列為

X0123

44116

P

75152525

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0xH+lxH+2xU+3*￡=空.

7525252515

5.2019年4月，江蘇省發(fā)布了高考綜合改革實施方案，試行“3+1+2”高考新模式.為調(diào)

研新高考模式下，某校學(xué)生選擇物理或歷史與性別是否有關(guān)，統(tǒng)計了該校高三年級800名學(xué)

生的選科情況，部分數(shù)據(jù)如下表：

性別

男生女生合計

科目

物理300

歷史150

合計400800

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上述表格，并判斷是否有99.9%的把握認為該校學(xué)生選擇物理或歷

史與性別有關(guān)；

(2)該校為了提高選擇歷史科目學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，用分層抽樣的方法從該類學(xué)生中抽

取5人，組成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組.一段時間后，從該小組中抽取3人匯報數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得.記3

人中男生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

附：心——幽過——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】江蘇省南通，徐州，淮安，泰州，宿遷，鎮(zhèn)江，連云港等七市2021屆高三下

學(xué)期2月第一次調(diào)研考試

【答案】（1）表格答案見解析，有,99.9%的把握認為該校學(xué)生選擇物理或歷史與性別有關(guān):

（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：

【分析】（1）補全列聯(lián)表，計算出R2后可得結(jié)論；

（2）由分層抽樣得抽取男生2人，女生3人，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.,計

算出概率得分布列，由分布列計算期望.

【解析】（1）

性別

男生女生合計

科目

物理300250550

歷史100150250

合計400400800

“2800X（300X150-250X100）2（450-250）2160,八℃。

因為K=--------------------------=-----------=---->,

550x250x400x40055x25x211

所以有99.9%的把握認為該校學(xué)生選擇物理或歷史與性別有關(guān).

（2）按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生3人.

隨機變量X的所有可能取值為0，1,2.

322

所以P（X=0）=WC°c=1L,p（x=l）=c*'c=3士，p（x=2）=C*C'=3.

Cl10Cl5Cl10

所以X的分布列為

X012

133

P

To5lp

所以E（X）=0x-!-+lx3+2x2=g.

105105

6.某商場每年都會定期答謝會員，允許年度積分超過指定積分的會員參加特價購物贈券活

動.今年活動的主題為“購物三選一，真情暖心里”，符合條件的會員可以特價購買禮包A（十

斤肉類）禮包8（十斤蔬菜）和禮包。（十斤雞蛋）三類特價商品中的任意一類，并且根

據(jù)購買的禮包不同可以獲贈價值不等的代金券根據(jù)以往經(jīng)驗得知，會員購買禮包A和禮包

2

B的概率均為—.

（1）預(yù)計今年有400名符合條件的會員參加活動，求商場為此活動需要準備多少斤雞蛋合

理;

（2）在促銷活動中，若有甲、乙、丙三位會員同時參與答謝活動，各人購買禮包相互獨立，

已知購買禮包A或禮包8均可以獲得50元商場代金券，購買禮包C可以獲得25元商場代

金券，設(shè)y是三人獲得代金券金額之和.求丫的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【試題來源】山東省青島市2021屆高三一模數(shù)學(xué)試卷

【答案】（1）800（斤）；（2）分布列見解析；期望為135.

21

【解析】（1）會員購買禮包C的概率為1-1乂2=§,

所以準備雞蛋：400x1xl0=800（斤）

（2）丫的所有可能取值為150,125,100,75

3

急P（y=125）=C”xz4

p（y=150）=|-

5

；412

P（Y=100）=C；-X-=-------

1I5125

7.電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀

眾進行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：

將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

附：K：____〃（…cP______,

（Q+Z?）（c+d）（Q+c）（〃+d）

P（K2>k）0.050.01

k3.8416.635

（1）根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)?

非體育迷體育迷合計

男

女1055

合計

（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方

法每次抽取一名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽

取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望七（X）和方差O（X）.

【試題來源】福建省泉州市永春二中、永春六中2021屆高三第三次聯(lián)考

【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有95%以上的把握認為“體育迷”與性別有關(guān)；（2）分布

39

列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：“方差：而

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖讀取數(shù)據(jù)，完成2x2列聯(lián)表，直接套公式求出K?，對照

參數(shù)下結(jié)論;

（2）分析出隨機變量*~8（3,；）,套公式易求出X的分布列、期望與方差..

【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，"體育迷''有25人，從而完成2x2

列聯(lián)表如下:

非體育迷體育迷合計

男301545

女451055

合計7525100

將2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得

”(ad-歷丫_100x(30x10—45xl5『一1()0

(a+b)(c+d)(a+c)e+d)-75x25x45x5533

因為3.030<3.841,所以沒有95%以上的把握認為“體育迷”與性別有關(guān).

（2）由頻率分布直方圖知抽至『體育迷''的頻率為0.25,將頻率視為概率，即從觀眾中抽取

一名''體育迷''的概率為

【名師點睛】（1）獨立性檢驗的題目直接根據(jù)題意完成完成2x2列聯(lián)表,直接套公式求出K2，

對照參數(shù)下結(jié)論，一般較易；

（2）求離散型隨機變量的分布列時，要特別注意.隨機變量是否服從二項分布、超幾何分

布等特殊的分布.

8.某航空公司規(guī)定：國內(nèi)航班（不構(gòu)成國際運輸?shù)膰鴥?nèi)航段）托運行李每件重量上限為50kg,

每件尺寸限制為40cmx60cmx100cm,其中頭等艙乘客免費行李額為40kg,經(jīng)濟艙乘客

免費行李額為20kg.某調(diào)研小組隨機抽取了100位國內(nèi)航班旅客進行調(diào)查，得到如表所示

的數(shù)據(jù)：

攜帶行李重量（kg）[0,20](20,30](30,40](40,50]

頭等艙乘客人數(shù)833122

經(jīng)濟艙乘客人數(shù)37530

合計4538152

（1）請完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否在犯錯概率不超過0.05的前提下，認為托運超額行

李與乘客乘坐座位的等級有關(guān)？

托運免費行李托運超額行李合計

頭等艙乘客人數(shù)

經(jīng)濟艙乘客人數(shù)

合計

（2）調(diào)研小組為感謝參與調(diào)查的旅客，決定從托運行李超出免費行李額且不超出10kg的

旅客中（其中女性旅客4人）隨機抽取4人，對其中的女性旅客贈送“100元超額行李補貼

券”，記贈送的補貼券總金額為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考公式：K2-------\7〃"與&）57-----其中〃=a+b+c+d.

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）

參考數(shù)據(jù)：

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

【試題來源】2021屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考向卷（六）

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)；（2）分布列見解析，儂元.

7

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),得到2x2列聯(lián)表，利用公式求得K?的值，結(jié)合附表，即

可求解；（2）根據(jù)題意得出補貼券總金額X的所有可能取值100,200,300,400,求得相應(yīng)

的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.

【解析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，得到2x2列聯(lián)表:

托運免費行李托運超額行李合計

頭等艙乘客人數(shù)53255

經(jīng)濟艙乘客人數(shù)37845

合計9010100

可得k2=100x（53x8-2x37『=4900

'―_90x10x55x45—-891

所以在犯錯概率不超過0.05的前提下，認為托運超額行李與乘客乘坐座位的等級有關(guān).

（2）根據(jù)題意可得，托運行李超出免費行李額且不超出10kg的旅客有7人（其中女性旅

客4人），從中隨機抽取4人，則其中女性旅客的人數(shù)可能為1,2,3,4,

所以補貼券總金額X的所有可能取值為100元，200元，300元，400元，

貝UP（X=100）=巖=2，/*=2。。）=巖=蔡，

尸"300）=卷嚕P（X=4OO）=罟1,

則X的分布列為

X100200300400

418121

P

35353535

故E（X）=100x3+200x更+300X”+400乂,=生四（元）.

―353535357

9.某校高一年級進行安全知識競賽（滿分為100分），所有學(xué)生的成績都不低于75分，從

中抽取100名學(xué)生的成績進行分組調(diào)研，第一組［75,80）,第二組［80,85）,…，第五組

［95,100］（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖.

頻率

0.07-------------

0.06------------------

0.04----------------------

0.02--------------------------

0.01-----——

________________________

Ov7580859095100分數(shù)

（1）若競賽成績不低于85分為優(yōu)秀，低于85分為非優(yōu)秀，且成績優(yōu)秀的男學(xué)生人數(shù)為35,

成績非優(yōu)秀的女學(xué)生人數(shù)為25,請判斷是否有95%的把握認為競賽成績的優(yōu)秀情況與性別

有關(guān)；

（2）用分層抽樣方法，在成績不低于85的學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機選3人發(fā)言

談體會，設(shè)這3人中成績在［85,90）的人數(shù)為求J的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：K，=：--------------------------,n=a+b+c+d.

（Q+〃）（c+d）（Q+c）（Z?+d）

臨界值表：

2

P（K>k0）0.100.050.0250.010.005

“02.7063.8415.0246.6357.879

【試題來源】河南省中原名校2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)量考評一

【答案】⑴有；（2）分布列見解析,1.5.

【分析】（1）由題意得出列聯(lián)表，根據(jù)計算公式得到K?，進而判斷結(jié)果;

⑵用分層抽樣的方法，應(yīng)分別在競賽成績隹［85,90）,［90,95）,［95,100］的組內(nèi)抽3

人，2人，I人，再根據(jù)超幾何分布得出分布列，從而求得數(shù)學(xué)期望.

【解析】（1）由已知，競賽成績作［85,90）的學(xué)生人數(shù)為0.06x5x100=30,

競賽成績在［90,95）的學(xué)生人數(shù)為0.04x5x100=20,

競賽成績在［95,1（叫的學(xué)生人數(shù)為0.02x5x100=10,

所以競賽成績不低于85（優(yōu)秀）的學(xué)生人數(shù)為60,低于85（非優(yōu)秀）的學(xué)生人數(shù)為40.

因為成績優(yōu)秀的男學(xué)生人數(shù)為35,成績非優(yōu)秀的女學(xué)生人數(shù)為25,

所以2x2列聯(lián)表如下：

非優(yōu)秀優(yōu)秀合計

男生153550

女生252550

合計4060100

所以K?的觀測值％=100x（15x25-35x25）-=竺a4.167?

50x50x40x606

因為4.167>3.841,所以有95%的把握認為競賽成績的優(yōu)秀情況與性別有關(guān).

（2）由（1）知競賽成績在［85,90）的學(xué)生人數(shù)為30,競賽成績在［90,95）的學(xué)生人數(shù)為20,

競賽成績在［95,100］的學(xué)生人數(shù)為10.

所以用分層抽樣的方法，應(yīng)分別在競賽成績在［85,90）,［90,95）,［95,100）的組內(nèi)抽3人,

2人，1人,所以J的可能取值為0,1,2,3,

所以%=。）=等$%/=1)=?C1C29p(g=2、C2C1=29

20'7C：20

「格=3）=與3=±，所以J的分布列為

40123

1991

P

20202020

tog；

所以E(J)=0x—+lx—+2x—+3x—=1.5

20202020

【名師點睛】超幾何分布的特征是①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取

若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類

別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.

10.2020年某市教育主管部門為了解近期舉行的數(shù)學(xué)競賽的情況，隨機抽取500名參賽考

生的數(shù)學(xué)競賽成績進行分析，并制成如下的頻率分布直方圖：

（1）求這500名考生的本次數(shù)學(xué)競賽的平均成績?。ň_到整數(shù)）；

（2）由頻率分布直方圖可認為這次競賽成績X服從正態(tài)分布N（〃,b2）,其中〃近似等于

樣本的平均數(shù)亍，。近似等于樣本的標準差s,并已求得sa18.用該樣本的頻率估計總體

的概率，現(xiàn)從該市所有考生中隨機抽取10名學(xué)生，記這次數(shù)學(xué)競賽成績在（86,140］之外的

人數(shù)為丫，求「（丫=2）的值（精確到0.001）.

附：（1）當X口時，

尸（〃一CT<X釜山+CT）=0.6827,尸（〃一2b<X〃+2b）=0.9545；

⑵0.81868x0.18142?0.0066.

【試題來源】湖北省新高考九師聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期2月聯(lián)考

【答案】（1）104（分）；（2）0.298.

【分析】（I）根據(jù)頻率分布直方圖，利用平均數(shù)公式求解.

（2）由〃=104,。=18,求得尸（86<X領(lǐng)140）=尸（〃-b<X〃+2cr）,進而得到

尸（X,,〃-o?或X>〃+2b）,然后由丫~3（10,0.1814）求解.

【解析】（1）x=10（65x0.0028+75x0.01+85x0.01+95x0.018+105x0.02.

+115x0.018+125x0.012+135x0.008+145x0.0012）

=10x10.416=104.16。104（分）.

（2）由題意知X~N（〃,b2）,且〃=I04,cr=18,

所以86=104-18=//-CT,140=104+18x2=〃+2cr,

所以P（86<X剌40）=P（〃—<X〃+2b）=09545=0.8186,

所以P（X”〃-cr或X>〃+2cr）=l-0.8186=0.1814,

所以丫~3（10,0.1814）,

所以P（V=2）=C：。x0.18142x0.81868《45x000663右0.298.

【名師點睛】（1）若X服從正態(tài)分布，即X?N"/,〃），要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X

=〃對稱和曲線與x軸之間的面積為1.

（2）二項分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實際應(yīng)用和理論分析中都有重要的地

位.

①判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有二：其一是獨立性，即一次試驗中，事件發(fā)

生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗是獨立重復(fù)地進行了”次.

②對于二項分布，如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在"次獨立重復(fù)試驗中這

個事件恰好發(fā)生在次的概率是尸（X=%）=C：pl"Y.其中左=0,1,…，〃，q=l-p.

11.近年來，我國的電子商務(wù)行業(yè)發(fā)展迅速，與此同時，相關(guān)管理部門建立了針對電商的商

品和服務(wù)評價系統(tǒng).現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功的交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品

37

的好評率為彳，對服務(wù)的好評率為歷；其中對商品和服務(wù)均為好評的有80次

（1）是否可以在犯錯誤概率不超過0.1的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的4次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評

的次數(shù)為隨機變量X：求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)X的分布列及其期望.

2

P(K..k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

舄2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bcY,

K~-------------------------(其中〃=a+/?+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

【試題來源】江蘇省百師聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期3月摸底聯(lián)考

【答案】（1）不可以在犯錯誤概率不超過0.1的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)；（2）

Q

分布列見解析，y.

【解析】（1）山題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2x2列聯(lián)表如下：

對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意總計

對商品好評8040120

對商品不滿意602080

總計14060200

200（1600-2400）2=1587,1.587<2.706，

K?=

140x60x120x80

所以，不可以在犯錯誤概率不超過0.1的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān).

802

（2）每次購物時，對商品和服務(wù)都好評的概率為礪=二，目.X的取值可以是0,1,2,3,4.

其中卿x=o）=S=|>x=D=c：（|用爭

改=2）=嗡j眇竽33）=0g）亭

16

p（X=4）=

X的分布列為

X01234

812162169616

P丁Vy

由于X~B（4,|）,所以EX=|.

【名師點睛】求解數(shù)學(xué)期望問題，首先要正確理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的

所有可能值，計算出相應(yīng)的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行

計算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).

12.某校擬舉辦“成語大賽”，高一（1）班的甲、乙兩名同學(xué)在本班參加“成語大賽”選拔測

試，在相同的測試條件下，兩人5次測試的成績（單位：分）的莖葉圖如圖所示.

甲乙

585

65

67

88275

295

（1）你認為選派誰參賽更好？并說明理由;

（2）若從甲、乙兩人5次的成績中各隨機抽取1次進行分析，設(shè)抽到的2次成績中，90分

以上的次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

【試題來源】云南省保山市第九中學(xué)2021屆高三上學(xué)期開學(xué)考試

【答案】（1）選派乙參賽更好，理由見解析；（2）分布列見解析，E（X）=M.

【分析】（1）計算出甲、乙兩人5次測試的成績的平均分與方差，由此可得出結(jié)論；

（2）由題意可知，隨機變量X的取值有0、1、2,計算出隨機變量X在不同取值下的概

率，可得出隨機變量X的分布列，進而可計算得出E（X）.

【解析】（1）甲5次測試成績的平均分為,=55+58+^+88+92=等,方差為

65+82+87+85+95414

乙5次測試成績的平均分為x乙方差為

5

2444

25

所以，海<也，,>53因此，選派乙參賽更好；

（2）由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2,

p(x=o)=梟P（X=I）"小奈唳=2）七

25

所以，隨機變量X的分布列如下表所示:

X012

1681

P

25石

]AR19

因此，￡（X）=Ox—+lx—+2x—=-

'"2525255

【名師點睛】求解隨機變量分布列的基本步驟如下:

（1）明確隨機變量的可能取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；

（2）求出每一個隨機變量取值的概率；

（3）列成表格，對于抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由

排列、組合數(shù)公式求隨機變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計數(shù)原理求隨機變

量在不同取值下的概率.

13.某電商平臺聯(lián)合手機廠家共同推出“分期購”服務(wù)，付款方式分為四個檔次：1期、2期、

3期和4期.記隨機變量占、々分別表示顧客購買〃型手機和V型手機的分期付款期數(shù),

根據(jù)以往銷售數(shù)據(jù)統(tǒng)計，內(nèi)和％的分布列如下表所示:

1234

P0.10.40.40.1

X?1